第 2 章 软组织针穿刺有限元建模
2.1 软组织和柔性针建模
2.1.1 软组织有限元模型
有限元方法能够适应复杂几何形状和边界条件，适用于线性和非线性的生物组织建 模。本文将软组织假设为匀质的、线弹性材料，其变形动力学可描述如公式 2.1。
M¨ u(t) + C ˙u(t) + Ku(t) = Q(t)
(2.1) 式中，M、C 和 K 分别为软组织节点的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。Q 为载荷矩阵，为时间 t 相关的函数；u、 ˙u 和 ¨
u 分别为软组织节点的位移、速度和加速度，均为与时间 t
相关的函数。对动力学方程求解，通常采用直接积分法直接逐步数值积分，而不需转换方程形式。
常用的直接积分法包括 Newmark 方法和中心差分法。本文采用 Newmark 直接积分法对组 织动力学方程进行求解，该方法在 ∆t 时间步长内，位移、速度和加速度之间的函数形式 如式 2.2和2.3所示。
˙ut+∆t = ˙ut+ [(1
− δ) ¨u
t+ δ ¨u
t+∆t] ∆t (2.2)u
t+∆t = ut+ ˙ut∆t +[(1 2
− ξ
)
¨
u
t+ ξ ¨u
t+∆t ]∆t2 (2.3)
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浙江大学博士学位论文 第 2 章 软组织针穿刺有限元建模 性针（Flexible needle）和软体针（Soft needle）[124]。刚性针通常指具有较高的刚度，针轴 直径较大（> 2mm），穿刺过程中不会发生变形；软体针也称作完全柔性针，针轴直径较 小（< 0.3mm），针体变形可呈一定弧度，属大变形范围。从针体可控性来说，软体针可 产生复杂形变而适应复杂环境，但需要新型滚轮式进针机构来操控[125,126]。柔性针刚度介
第 2 章 软组织针穿刺有限元建模 浙江大学博士学位论文
于二者之间，针轴直径一般在 0.4mm
− 1.0mm 范围内，与软组织相互作用发生挠曲变形，
但挠曲角度 θ 较小，可以满足 sin θ
≈θ 的假设条件。
本文主要讨论带有斜角 α 的可控柔性针，且基于小变形的假设，如图 2.1所示。图 2.1a中
16G 18G 20G
(a) 不同型号斜角柔性穿刺针
Neutral axis after deflection
!
Needle base
Needle tip (b) 斜角穿刺针体小变形示意图 图 2.1 斜角柔性穿刺针及小变形示意图
展示了三种不同型号的针尖带有斜角的穿刺针，分别为 16G、18G 和 20G。图 2.1b示意了 斜角柔性穿刺针由于针尖受到组织挤压力的不对称性，发生小变形挠曲，其挠曲角度 θ 一 般小于 10◦。
在小变形假设的基础上，柔性针针体可简化为一个实心长棒，其长度在穿刺过程中视 为常数，即针体不伸长也不压缩。在满足以上假设条件下，柔性穿刺针可建模为针座端 固定、针尖端自由的悬臂梁模型，如图 2.2所示。图中，定义针尾为坐标系原点，针尾的
o
Needle
x y
Insertion direction
F1 F2
Fn
红色点表示针节点 1, 2,· · · , n；第 i 个节点上受到集中作用力 Fi；定义针尾为坐标系原点，针尾的切线 方向为 x 方向，与之垂直针尖偏向的方向为 y 方向。
图 2.2 柔性针的悬臂梁模型
切线沿进针方向（Insertion direction）为 x 正方向，与之垂直且针尖偏向的方向为 y 正方 向。将柔性针针体分段，各针段上节点 1, 2,
· · · , n（红色圆点）均受到与组织在 y 轴方向
的交互作用的集中力为 Fy = [F1, F
2, · · · , F
n]T，其在 y 方向上的相应位移，即针的挠度为ω = [ω
1, ω
2, · · · , ω
n]T。利用欧拉-伯努利梁（Euler-Bernoulli beam）理论和叠加原理，可得到针的挠度 ω 和节
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