逆运动学几何解推导

中国科学技术大学的王建军博士简化了 Duindam 等人的工作，采用一种 stop-and-turn(实际上是一种准静态思想) 控制策略，将路径规划转化为求解转动次数最少情况下的

最短路径^[94,106]。类似 IK 方法，三维规划问题中，用两个平面来进行避障处理，选择两平

面交线上一个中间点，作为第一个平面规划问题的目标点和第二个平面规划问题的起始 点，整个穿刺路径是可逆的。

1.3 研究目标和内容

本论文主要致力于以下三个问题：一是柔性针与软组织交互作用机理，二是软组织内 部靶点和障碍物的实时预测模型，三是柔性斜角柔性针操控和轨迹规划。下面概括描述这 三个问题及论文的主要研究内容。

直接影响着穿刺过程中软组织变形和针体挠曲的预测。

为考虑针体与软组织之间的摩擦力和针尖与软组织之间的切割力，有限元模型需具有实 时网格更新功能。针刺破软组织过程是软组织网格单元重新划分和节点重定位的过程，需 要对组织的刚度矩阵进行修改，不但增加计算的时间成本，也可能导致计算不稳定。

本文根据穿刺轨迹的物理意义，定义了针与组织单元相交的“虚拟针节点”在软组织 有限元模型中的表达式，从而建立起一种基于改进局部约束法的针-软组织耦合模型。该

第 1 章 绪 论 浙江大学博士学位论文

模型在小变形和线弹性的假设条件下，简化了针体与软组织之间作用力的关系，将针上节 点刚度通过坐标转换分配到组织节点上，使耦合问题变为一个矩阵求逆的过程。虚拟针节 点使针与组织之间作用力分配成为组织内部作用力传递的过程，而力传递由软组织模型 来控制。因此，所提出的针-软组织耦合算法既适用于小变形的线弹性模型，也适用于非 线性非匀质模型。

严重影响着针到达预定靶点和避开障碍物 的准确性。尽管有限元方法可高精度计算出软组织内部任意点的运动情况，但计算的复杂 性制约了有限元模型为穿刺运动规划提供有效的实时信息。如何提供靶点和障碍物的精 确实时信息，对提高穿刺成功率和开发虚拟穿刺训练系统具有重要意义。

为了克服计算机仿真的计算代价大的缺陷，本文将计算机实验分析方法应用于组织 内部靶点和障碍物运动的预测。采用超拉丁方格法对包括软组织材料特性、穿刺针材料特 性、针尖几何形状和针体几何尺寸等影响组织变形的参数进行采样。在有限元模型的基 础上，基于 Kriging 模型建立起组织靶点和障碍物运动的实时预测模型。Kriging 模型是计 算机仿真模型（包括有限元模型）一种近似简化模型。因此，和高精度有限元模型联合使 用，可为穿刺运动规划提供精确的靶点和障碍物运动的反馈信息，从而提高针尖到达病灶 和针体躲避障碍物的准确性。

方法可实现柔性针（或者虚拟柔性针）针尖按照规划路径 运动，躲避血管、腺体和骨头等关键敏感性结构器官^[107–109]，准确到达靶点区域。针操控 需结合针体变形规律，建立起针座和针尖之间的运动学关系。而轨迹规划算法则需要考虑 穿刺手术过程中靶点和障碍物的动态信息将术中靶点和障碍物信息，尽量减少针体旋转 次数，从而降低对体内软组织的损伤。

本文在分析柔性穿刺针变形机理的基础上，基于机器人运动学理论建立了柔性针穿刺 的运动学模型，采用 D-H 方法描述了针座和针尖之间的正向和逆向运动学方程。讨论了 目标靶点的可达性和逆运动学解的存在性，并提出了静止靶点和障碍物情况下的穿刺轨 迹规划算法。结合 Kriging 模型预测靶点和障碍物的实时运动信息，采用人工势场概念建 立了考虑针体与障碍物和针尖与靶点之间关系的广义穿刺误差模型。在静态穿刺轨迹算 法的基础上，结合广义穿刺误差模型，提出了动态环境下针穿刺轨迹规划算法，将动态轨 迹规划问题转化为广义穿刺误差的优化问题。算法充分考虑了针与软组织之间交互作用 和柔性针的可操控性。

本论文目标是解决考虑软组织变形情况下柔性针穿刺准确避障和中靶过程中一系列 关键问题，包括软组织变形机理模型、靶点和障碍物实时预测模型、柔性针运动学模型及

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浙江大学博士学位论文 第 1 章 绪 论

动态环境下穿刺轨迹规划算法。这些问题的解决，将有助于提高机器人辅助针穿刺手术的 准确性和可靠性，为开发高精度针穿刺虚拟训练系统奠定理论基础。

1.4 论文的主要结构

本章主要介绍了课题的研究背景和意义，从针穿刺作用机理、柔性针操控技术和穿刺 运动规划三个方面详细阐述了针穿刺技术的国内外研究现状。最后描述了论文研究的主 要问题，并概括介绍了相应的解决方法和策略。

本文的余下部分的结构如下。第二章提出基于改进的局部约束法的针-软组织耦合模 型，建立针穿刺软组织的有限元模型，并设计实验验证方法的有效性；第三章研究计算机 实验分析方法，结合有限元模型提出一种基于 Kriging 元模型的靶点和障碍物实时预测模 型，并讨论穿刺参数的敏感性；第四章采用准静态思想建立针挠曲的悬臂梁模型，基于 D-H 方法建立针座与针尖之间的运动学方程，设计实验验证运动学模型的有效性；第五章 在正向运动学的基础上，建立柔性针的逆向运动学，结合穿刺误差模型，提出靶点和障碍 物运动情况下的动态轨迹规划算法。第六章是本文的总结和未来展望。

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第 2 章 软组织针穿刺有限元建模

引 言

针穿刺微创手术中采用细长的穿刺针经皮刺入体内器官，使针尖到达有效病灶区域 以获取病变组织用于活检（如组织活检），或者将药物放置病变区域（如局部麻醉、近距 放射治疗等）^[22,110]，其诊疗效果很大程度上依赖穿刺的准确度^[26,111]。在众多影响因素中，

针挠曲和软组织变形的不确定性是影响机器人辅助穿刺手术精度的关键原因^[25]。

针与软组织交互作用力是引起针体挠曲和组织变形的根本原因，许多研究者对其交 互作用机理进行了深入研究。Okamura 等系统地研究穿刺过程中的针与软组织之间的作 用力，并分别建立了背膜阻力的非线性弹簧模型、摩擦力的改进 Karnopp 模型和切割力 的常量假设模型^[31]。Nienhuys 等采用准静态粘滑摩擦理论模型对针体-软组织交互作用 进行了仿真^[112]。Hing 等利用 X-ray 图片建立了软组织和针之间的交互的有限元模型^[113]。 Moore 等研究了空心针刺入牛肝脏的穿刺力，并建立了单元刀具模型来近似穿刺力^[36]。 Fukushima 等利用最小二乘法和扰动观测器建立了针尖摩擦力模型^[114]。Jiang 等采用实验 研究了针几何尺寸、穿刺方式和组织特性等对针-软组织交互作用力的影响^[115]。上述研究 多偏向于针轴向力的建模和仿真，而径向穿刺力都作为针-软组织受力平衡条件，而径向 穿刺力对组织内靶点和障碍物运动，及针体挠曲有更多影响。本文将对针体径向作用力进 行建模，并用来计算针体挠曲量，进而对针尖偏离度进行估算。

软组织变形建模方法主要包括：弹簧-质点模型、填充球模型、质点张量模型、边界 元和有限元等^[67,116]。随着计算硬件的发展，以连续介质力学为基础的有限元方法已成为 软组织变形建模的事实标准^[116,117]。Dimaio 等提出了一种二维线弹性有限元模型，可计算 针体作用力和软组织变形量^[35]。Pezzementi 等结合有限元模型采用学习算法训练二维质 量-弹簧-阻尼系统，近似估算软组织变形^[118]。Kobayashi 等提出了一种肝脏的有限元模型，

能够反映其非线性和粘弹性等特性，其变形误差小于 1mm^[59]。越来越多的研究关注于软 组织的非线性特性，本文重点研究穿刺过程中针体与软组织之间的耦合作用机理。

在针穿刺软组织耦合方面，Goksel 等研究了准静态线弹性三维有限元软组织模型与 柔性针之间的耦合问题，并用于预测前列腺组织变形^[119]。Haddadi 等把针视为带有角度 弹簧的平面机械臂，利用弹簧建立软组织变形和针挠曲之间关系^[120]。Alterovitz 等将针与

第 2 章 软组织针穿刺有限元建模 浙江大学博士学位论文

软组织耦合视为迭代过程，并建立了考虑针尖斜角角度和摩擦力影响的二维针穿刺有限元

模型^[121]。Chentanez 等采用粘滑理论研究了三维有限元模型和一维长棒之间耦合作用^[122]。

上述研究中，针节点均由组织节点定义，其刚度矩阵转换消耗大量计算时间成本。

尽管有限元模型已经广泛用于解决针穿刺软组织过程，但针-组织耦合模型依然存在 挑战。一方面，现有有限元模型中，由于针节点由软组织节点定义，每个迭代步（穿刺步）

都需要采用重绘网格或者重定位方法重新计算软组织节点的刚度矩阵，不仅消耗计算成 本，而且容易引起额外的仿真误差。另一方面，现有模型中针节点上的力被分配到组织节 点，由于组织节点和针节点的刚度不一致引起迭代计算的不稳定。因此，开发高效稳定的 针-组织耦合模型对实现针穿刺软组织实时仿真系统具有重要意义。

本章提出一种新的针-软组织耦合算法来模拟针与软组织之间的交互作用，进而建立 针穿刺有限元模型来预测组织内部的变形情况。所提出算法利用改进的局部约束法将针 与软组织之间作用力同时分配到针节点和组织节点上，从而增强计算的稳定性，提高计算

本章提出一种新的针-软组织耦合算法来模拟针与软组织之间的交互作用，进而建立 针穿刺有限元模型来预测组织内部的变形情况。所提出算法利用改进的局部约束法将针 与软组织之间作用力同时分配到针节点和组织节点上，从而增强计算的稳定性，提高计算