遊戲教學的理論基礎

第一節 分數的概念分析

分數一詞來自拉丁文「fangere」，它的意義是分開，通常用來敘述一 個被分開的全體之各個部分 (Heddeus；羅鴻翔譯，1980)。甯自強（1993）

則認為分數是起源於分割一物作活動的記錄與結果，而有理數是等值分數 中的最簡分數的型式表示。呂玉琴(1996) 也認為分數概念起源於「分」

是用來解決不滿一個單位量的量，的數值的問題。

在數學上是以有理數來定義分數，即「

p

q ，p、q∈Ζ ，p≠0」，但 在使用上又依情境 的不同而有不同的 用法及解釋 (Corwin, Russel, &

Tierney, 1990)。

國小教育階段，數學課程中關於分數 (fraction) 的學習一直深受重 視。學童能成功學習分數概念有賴基礎分數概念的穩固，故在探討分數概 念之前，有必要先對分數的意義、兒童分數概念發展順序、分數教材分析、

影響學童分數概念之因素、分數概念的相關研究說明。

一、 分數的意義 (一)由數學定義的觀點

分數顧名思義，是由分解、合成而形成的數；從分數的英文是「fraction」

來看，它是源自於拉丁文的「frangere」，具有小部分、片段、破碎的意義，

但通常是指將全部分解為部份的意思(張平東，1995)。Russell (1903) 將分 數 m/n 定義為當 an = bm 時存在於 a 與 b 之間的關係；這個定義使我們能 證明，在 m 與 n 皆不為 0 的情況下，m/n 是一對一的關係(劉秋木，1996)。

分數概念起源於「分」，人們為了描述不滿一個單位量的零頭部分的 數值問題，將原單位量等分割形成單位分量，再把幾個單位分量合成一個 量，用幾分之幾來描述它的數值，這幾分之幾就是所謂的分數(南一書局，

2007)。

Freudenthal (1983) 主張分數的起源是「分割」一物件的活動記錄與結 果，分數可以表現真實現象的分割情況。Hunting (1986) 對於分數的最初 概念是以一個連續物品細分(如蘋果、蛋糕、派)。

(二)學者的觀點

分數在使用時，常會因為情況不同而有不同的用法和解釋，國內外許 多學者對分數的意義有不同的看法，他們分析分數在不同問題情境中關於 認知意義的研究，都主張分數具有多重的意義 。

分數概念在不同的情境問題中有不同的意義，它具有多重意義的特 性。國內外許多學者對分數的意義有不同的看法：

Kieren（1976）提出對分數的解釋是：部份/全體、比值、商、重覆 運算。

Dickon 等人（1984）則對分數的意義有：整個區域的子區域、子集 合與全體集合間的比較、位於兩個整數間數線上的一點、兩數相除所得的 商、二組集合或二個度量的大小比較的方法。

Behr and Post（1988）將分數解釋成：部份/全體、比例、比值、商、

操作、線性座標、數線上的一點。

楊壬孝（1988）在國小學生分數概念發展的研究中提出，分數的四種 意義是：一個全體之相等的部份、一個集合等分組後的幾組、數線上的一 個數值、兩數相除的結果。

林碧珍（1990）則將分數的意義分成五類：全部區域的部份區域（以 連續量為主，如：長度、面積、容積）–部份/全體模式、集合中的部分 集合–子集合/集合模式、數線上的一個數值–數線模式、兩個整數相除 的結果–商模式、二個集合或二個度量相比的結果–比值模式。

Larry and Joseph 將分數區分為：（一）圖形中全部的一部份；（二）

比例中的比；（三）除法中的商；（四）自然數中的有序對等四種。且其 主張兒童在學習分數的初步概念，必須掌握，一、確定單位量；二、認知 等分大小；三、找出等分割數；四、所聚份數與等分割數之比較（引自李 端明，1997）。

楊瑞智（2000）分析國小教材的分數問題情境，得到現行教材的分數 概念具有十種意義：部份/全體、子集合/集合、乘法運算元、等值分數、

整數除法的結果、分數是一個數/數線上一點、平均（包含速率、密度）、

當量、比例中的比/比例尺/比值/比較量÷基準量、機率。

教育部九年一貫課程綱要（2003）指出有理數即是分數，小學有理數 教學，必須釐清、練習並且連結下述有理數的四種意涵：平分的意涵、測 量的意涵、比例的意涵、部份/全體的意涵。最後歸結成日後數學學習中，

有理數最核心的意涵–「除的意涵」。

綜合以上之文獻，可以發現分數的意義是多重的，且不外乎涉及兩個 量的相對比較關係。且其學習的困難度，學生在分數概念的學習上有諸多 的困難 (呂玉琴，1991b)。

二、兒童分數概念發展順序

瑞士心理學家皮亞傑 (Piaget) 指出學童的認知發展是漸進的，他以其 所主張的兒童認知發展理論，設計活動來研究兒童對分數概念的發展，發 現從知覺的部份－整體的關係與操作的細分之間有很大的差別。Piaget, Inhelder and Szeminska (1960) 曾對 3 至 8 歲兒童的分數概念發展過程做一 系列研究，研究結果有以下發現：

1、四歲到四歲半的兒童，對於將一個物品分為兩半非常困難，在分 割之前沒有預想的計劃或基模 (Schema)，關於不同形狀的分割，

則是以長方形比較容易，圓形次之，正方形比較難。這個階段的 最大特徵是缺少部分與全體之間的任何關係，兒童不會注意到他 所接觸的部分是某個比較大的全體之中所含的元素。

2、四到六歲的兒童對於規則的、小範圍的東西有分為兩半的能力，

但如果原來的整體大小增加了，其分成一半的能力便要延緩了。

將物體分成相等的三部份之能力尚未表現，在分割圖形中利用長 方形的餅比較容易解決。

3、六到七歲能夠成功的實施三等份的分法，而不必利用試誤的方

法，但其對於操作的了解，仍是處於具體的操作層次。以分餅 為例，在這個階段的兒童具有整體性的保留概念，因此他們能 夠了解將各個分割塊數所得到的總量與整個餅是一樣的。

4、十歲左右兒童能實施六等分的分法，首先是以三等分法分一個 餅，然後再將所分得的三塊餅再用二分法分一次。

Piaget（1960）也指出，兒童在了解分數運算之前必須要具備下列七 個子概念：

1、須有一個可以除盡的全體，才有分數的思考。

2、一個分數包含各部分的限定數（detreminent），分配物品時，個 部分必須與接受者相對應。

3、分割活動中，全體必須被耗盡，沒有餘數。

4、當全體被切割成各部份的數與切割數間，有一固定的關係。

5、分數的概念意指分割後的每一部分都是相等的。

6、兒童操作了再細分的部分概念時，了解到此細分的部分是全體的 一 部分，同時此一細分的部分本身也是一可再細分的全體。

7、因為分數是從全體而來，其全體始終不變。

甯自強(1992) 以 Nik pa 的研究為基礎，觀察學生對「分數詞」的理 解，根據兒童在運思層次與分割活動的不同，提出以下兒童分數概念發展 的五個階段，其論述在國小數學教育界廣受引用，國內許多有關學童分數 概念發展的研究均引用其相關論述(李端明,1997；林大錦,2002；張日 齊,2002，陳靜姿，1997；龐嘉芬,2001)。現將其五個階段內容分述如下：

（一）序列性合成運思與分數概念前身

序列性合成運思階段的兒童其分數詞所指向的數學物件多為「並置類 型」，以分數詞 1/4 來說，其意義為「1 和 4」或「4 和 1」。雖然此階段兒 童具有數概念與分割活動之經驗，在感官上能區分子分割單位是由被子分

割活動所分割的單位量分割得來的，但這個階段的兒童在思維的層次上，

其並置活動並非部份全體的並置，缺乏「部分－整體」關係的了解，無法 使用不同分數詞去表示不同分割情境的意義，「二分之一」只是將一物件 分成離散的二部分，而不代表將物件等分為二份。（張日齊,2002；甯自強, 1992）

（二）累進性合成運思與起始單位分數：

兒童若於分數的情境中引入累進性合成運思，其分數詞之意義稱之 為「內嵌並置類型」(embedded patterns)，分數詞 1/4 是指由 1 所指涉 的集聚單位內嵌於由 4 所指涉的集聚單位之中，其分子是內嵌於分母之 中。此階段「內嵌並置類型」的並置關係是隱約的部份全部關係，可稱之 為部份在全體之中(part-in-whole)。這個階段的兒童的分數詞意義是獨 一 單 位 指 向 (singleton–unit oriented) 而 不 是 部 份 指 向 (part oriented），對於「一瓶汽水等分成 3 杯，1 杯是 1/3 瓶」的「1/3 」認為 是「3 杯中的 1 杯」，而不是三個部分(3 個 1/3 瓶)中的一個部分(1 個 1/3 瓶)。在這階段不能進行單位分數的累積活動，兒童將兩個 1/4 合起來的 結果可能是 2/8。（張日齊,2002；甯自強,1992）

（三）部份─整體運思與加法性分數：

經過部份整體運思的運作，原先內嵌於集聚單位中的子分割單位，自 集聚單位中脫嵌(disembedding)而出，此時子分割單位轉換成為單位分數 單位(unit fraction unit)，分數詞 3/4 可以認定是代表 3 個由 1/4 所指 示的單位分數單位所構成的集聚單位；分子與分母間的部份全部關係是部 份獨立於全體之外(part-of-whole)。在這個階段的「部分與全體關係」

是單向的關係 (uni-directional relationship)，當從一個全部中連續 取出二個不同分數時，第一個分數的量被取走時，可能失去原來得全部量

（例如：12 個中拿走 1/4 和拿走 1/3 個拿走幾個，學童在拿走 1/4 的 3 個

後，會把剩下的 9 個當作整體）。兒童只能用整數概念來解決幾個不同分 數詞的問題，能將非單位分數是為單位分數的倍數，但無法理解分數的分 數倍問題（例如：1/7 是 3/7 的 1/3 倍）。（張日齊,2002；甯自強,1992）

（四）測量運思與巢狀分數(nested fractions)

巢狀分數是測量運思的產物，此階段兒童已能察覺到 8 個積木的 3/4 與 8 個積木的 6/8 是同一分量的測量值，測量運思階段的兒童能視分數單 位為一個可子分割的分數單位，能判定 1/3 和 2/6 這兩個分數是一個整體 的等值分數。這個階段的「部份與整體」關係是雙向的的意義，能理解單 位分數及整數的倒數關係，連續從一個整體中抽取出二個不同分數時，不 會造成整體的數值的破壞。但是其「部分與整體」關係是不能分解的（例 如：2 個紅色花片和 1 個藍色花片，能將 1 個藍色花片當作是全部花片的

巢狀分數是測量運思的產物，此階段兒童已能察覺到 8 個積木的 3/4 與 8 個積木的 6/8 是同一分量的測量值，測量運思階段的兒童能視分數單 位為一個可子分割的分數單位，能判定 1/3 和 2/6 這兩個分數是一個整體 的等值分數。這個階段的「部份與整體」關係是雙向的的意義，能理解單 位分數及整數的倒數關係，連續從一個整體中抽取出二個不同分數時，不 會造成整體的數值的破壞。但是其「部分與整體」關係是不能分解的（例 如：2 個紅色花片和 1 個藍色花片，能將 1 個藍色花片當作是全部花片的