國立臺中教育大學數學教育學系碩士論文
指導教授：胡豐榮 博士
遊戲融入
遊戲融入
遊戲融入
遊戲融入國小
國小
國小五
國小
五
五年級
五
年級
年級異分母分數
年級
異分母分數
異分母分數
異分母分數
加減
加減
加減
加減之
之
之準實驗
之
準實驗
準實驗研究
準實驗
研究
研究
研究
研究生：謝勛楷 撰
中 華 民 國 九 十 九 年 六 月
謝誌
時光飛逝，轉瞬間，將畢業了！在這段日子裡，歷經教職、學業及家 庭多重的忙碌，該感謝的人真的很多，若不是大家的協助真是分身乏術， 自己在各方面也有許多的收穫。 首先，要感謝指導教授胡豐榮教授，在老師的引領之下，研究過程中 時時給予敦促與鼓勵，引導我找到方向，並跨過難關，使駑馬得以一窺知 識殿堂的奧秘，獲益良多。感謝許院長天維教授，及辛俊德博士，在百忙 之中撥冗審閱論文，口試時提出精闢的見解，使我的論文得以更加完備。 感謝學校長官及同仁，在論文如火如荼進行之際，給予業務上最大之 支援，及宏偉老師，不論是在論文或是工作上都給予我許多的協助。 特別感謝的是研究所同學秀綿、秀華、毅玲及素如，不論是一起修課 或是撰寫論文的討論，都給予我莫大的支持及動力，總算得以如期完成研 究所的學業。 最後，要感謝全力支持我的家人阿公、爸爸、媽媽及愛妻心怡，讓我 得以心無旁騖的完成學業，吾女喬郁，每次看到你可愛的模樣，心中的壓 力頓時化為烏有，取而代之的是無限的歡樂與動力。 該謝的人真是太多了，沒有你們，我無法完成。真的十分感謝你們陪 我走過人生中的這一段，特別精彩的一段! 謝勛楷 謹誌 中華民國九十九年蒲月摘要
本研究主要目的在於探討遊戲融入國小五年級異分母加減之準實驗 研究。本研究以台中市某國小兩班五年級學童為研究對象，實驗組 33 人， 控制組 34 人，經過前測、實驗教學、後測，採用 SPSS 12.0 進行獨立樣 本 T 檢定分析。 本研究結果如下： 一、實驗組的學生，前測分數為 43.64 分，控制組為 45.65 分，經過實驗 教學後，實驗組得分為 71.88 分，控制組得分為 59.76 分。 二、實驗組在後測的表現相較於控制組，達顯著差異。 三、實驗組在異分母分數加減的概念，在實驗教學前後，達顯著之差異。 本研究根據研究結果加以討論，並提出若干建議以作為教師教學及未來研 究的參考 關鍵詞：異分母分數、遊戲融入Abstract
The purpose of this study is to explore the game integrated into the mathematics – the different denominators of the fifth-grade students in the elementary school. This study was done on two classes of fifth-grade of an elementary school in Taichung City. The experimental group was composed of 30 students; the control group was composed of 34 students. After teaching and testing, the outcome was analyzed with Spss12.0 and T-test.
The results of this study are concluded:
1.After the experimental teaching, the score of the experimental group was 71.88, and the score of the control group was 59.76. The
performance of the experimental group and the control group achieved remarkable difference in addition and subtraction of the different denominators.
2.For the group between the experimental and the control, the experimental teaching achieved extremely remarkable difference. 3.The thinking of the schoolchild toward the game integrated into the
mathematics teaching were 73% positive, 18% middle, and 9% negative.
Some observations made and implications discussed, and suggestions proposedin this study were as the reference to the teachers and researchers.
目次
第一章 緒 論...1 第一節 研究動機...1 第二節 研究目的與待答問題...3 第三節 名詞釋義...3 第四節 研究限制...4 第二章 文獻探討...5 第一節 分數的概念分析...5 第二節 遊戲教學的理論基礎...17 第三節 遊戲導入教學要點...25 第四節 數學遊戲的相關實證...31 第三章 研究方法與步驟...35 第一節 研究架構及流程...35 第二節 研究方法...37 第三節 研究對象...39 第四節 研究工具發展...40 第五節 遊戲融入之教學設計...46 第四章 研究結果與分析...51 第一節 國小五年級在異分母分數加減的理解情形...51 第二節 實驗組與控制組差異情形...56 第三節 實驗組之實驗前後概念改變情形...63 第五章 結論與建議...75 第一節 結論...75 第二節 建議...77 參考文獻...79 一 、 中文部分 ...79 二、 西文部份...83 附錄...85 附錄一 後測複本試題...85 附錄二 活動卡...89 附錄三 活動記錄表...91表次
表 3-3-1 兩組之性別分析...39 表 3-4-1 預試試題雙向細目表...42 表 3-4-2 試題分析表...44 表 3-4-3 後測試題雙向細目表...45 表 3-5-1 活動名稱與教學目標對照表...46 表 3-5-2 活動名稱與分概念對照表...50 表 4-1-1 兩組學童成就測驗前測成績之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...51 表 4-2-1 兩組學童數學科成就測驗後測成績之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...56 表 4-2-2 兩組學童後測低中高分組之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...57 表 4-2-3 兩組後測分概念之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...58 表 4-2-4 概念一後測依低中高分組之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...59 表 4-2-5 概念二後測依低中高分組之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...59 表 4-2-6 概念三 後測依低中高分組之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...60 表 4-2-7 概念四 後測依低中高分組之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...60 表 4-2-8 概念五 後測依低中高分組之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...61 表 4-2-9 概念六 後測依低中高分組之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...61 表 4-2-10 概念七 後測依低中高分組之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...62 表 4-3-1 實驗組前後測成對樣本 t 檢定 ...63 表 4-3-2 實驗組低中高分組前後測成對樣本 t 檢定 ...64 表 4-3-3 實驗組概念一前後測之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...65 表 4-3-4 實驗組概念一前後測依低中高分組之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...65 表 4-3-5 實驗組概念二前後測之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...66 表 4-3-6 實驗組概念二前後測依低中高分組之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...66 表 4-3-7 實驗組概念三前後測之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...67 表 4-3-8 實驗組概念三前後測依低中高分組之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...67 表 4-3-9 實驗組概念四前後測之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...68 表 4-2-10 實驗組概念四前後測依低中高分組之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...68 表 4-3-11 實驗組概念五前後測之獨立樣本 t 檢定摘要表...69 表 4-2-12 實驗組概念五前後測依低中高分組之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...69 表 4-3-13 實驗組概念六前後測之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...70 表 4-2-14 實驗組概念六前後測依低中高分組之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...70 表 4-3-15 實驗組概念七前後測之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...71 表 4-3-16 實驗組概念七前後測依低中高分組之獨立樣本 t 檢定摘要表 ...71 表 4-3-17 實驗組男女生對遊戲看法分組統計表...72 表 4-3-18 實驗組男女生對遊戲看法人數統計表...72 表 4-3-19 實驗組依低中高分組人數統計表...73圖次
圖 3-1-1 研究架構圖 ... 35 圖 3-1-2 研究流程 ... 36 圖 3-4-1 異分母分數加減法概念圖 ... 41 圖 4-1-1 兩組學童成就測驗後測成績之分佈圖... 52 圖 4-1-2 實驗控制組擴分的方法及意義答對率圖... 52 圖 4-1-3 實驗控制組約分的方法和意義答對率圖... 53 圖 4-1-4 實驗控制組比較大小關係答對率圖... 53 圖 4-1-5 實驗控制組列式能力答對率圖 ... 54 圖 4-1-6 實驗控制組運算規則答對率圖 ... 54 圖 4-1-7 實驗控制組計算題答對率圖 ... 55 圖 4-1-8 實驗控制組具體量的情境答對率圖... 55 圖 4-3-1 實驗組前後測擴分的方法及意義答對率圖... 65 圖 4-3-2 實驗組前後測約分的方法和意義答對率圖... 66 圖 4-3-3 實驗組前後測比較大小關係答對率圖... 67 圖 4-3-4 實驗組前後測列式能力答對率圖 ... 68 圖 4-3-5 實驗組前後測運算規則答對率圖 ... 69 圖 4-3-6 實驗組前後測計算題答對率圖 ... 70 圖 4-3-7 實驗組前後測具體量的情境答對率圖... 71第一章 緒 論
本研究旨在探討遊戲融入國小五年級分數單元之教學成效。本章主要 目的在闡述研究動機、目的以及對研究中所提及之相關名詞作明確的界 定，並說明研究的限制。全章共分四節：第一節為研究動機；第二節為研 究目的與待答問題；第三節為名詞釋義；第四節為研究限制。茲分述如下：第一節 研究動機
諺云：「學精於勤而荒於嬉」，早告誡著我們要勤學，不能耽溺於嬉戲， 但遊戲的魅力卻是遠遠超過於生冷的書本知識，況且遊戲發展至今，綜合 了聲光效果，已經是許多學童日常生活中無法脫離的一部分；不管是傳統 的遊戲，抑或是現代的電玩、線上遊戲，都深深的吸引了廣大學子的心。 下課時興高采烈的玩樂，相較於每每要上數學課時，學童露出痛苦的表 情，甚至是空洞無助的眼神，真是有如天淵之別，因此，讓筆者不禁思考 著，難道上數學課真不能如同線上遊戲一般有趣，如此的引人入勝？ 目前有相當比例的國小的學生對於數學的學習，具有恐懼或是困難， 肇因於目前一般數學教學，多是傳統教學，教師講述，示範解題及學生練 習，而在這樣的教學中，比較無法吸引學生的注意力，學生是處於被動的 狀態來學習數學。在推行九年一貫之後，過分強調學生的生活情境，亦矯 枉過正。如何創造一個遊戲的環境，使學生對於這個單元的學習，產生興 趣甚至是動力，對於他的生活是有相當的重要性。 對國小學童而言，分數的學習比整數困難許多，也是最具挑戰性的主 題，若不能瞭解分數的意義，對分數缺乏數感，僅以機械式背誦規則來進 行分數的運算，如此不但違背九年一貫課程的精神，且對日後數學概念的 學習有相當大的影響。 數學教育研究中，「分數」向來是備受數學教育學者所重視的研究主題之一，也在日常生活、數學與自然科學的教材中，都可以發現分數是很 常重要的概念，因為數學概念具有抽象及前後連貫的特性，是由一連串的 概念抽象化所形成的(林碧珍，1985)，假若一個國小學童的分數概念無法 正確的建立，將無法進行其他相關概念的學習。所以分數的學習與概念的 發展十分漫長(陳瑞發，2003)。 但是在無論國內 (楊壬孝，1989；林福來、黃敏晃、呂玉琴，1996)、 國外 (Columba,1989; Hunting,1986) 的研究報告卻指出兒童學習分數是 困難的；研究也顯示學童對分數不能理解，會阻礙他們在國小以後的數學 學習發展，；美國全國數學教師學會亦認為分數象徵兒童知識重大的擴 展，分數概念的發展更是兒童未來學習許多概念和技能的基礎和關鍵(李 曉莉，1998)。因此，根據上述研究探究國小分數概念有其必要性。 在國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域的分年細目中， 2-n-07、2-n-10、3-n-09、4-n-06、4-n-07、4-n-08、5-n-05、5-n-06、 5-n-07、5-n-11、6-n-03、6-n-05，皆是關於分數概念的能力指標之分年 細目，在小學數與量三個階段的能力指標中，有關分數的主題也佔了相當 的比例，尤其隨著年級越高所佔的比例也越高，顯示在九年一貫課程數學 學習領域之中，分數在國小的數學教學上的重要性。 如何讓學生在分數的學習上，獲得樂趣，激發學生的學習意願，進而讓學生 可以認識、熟悉分數的概念，以遊戲的方式進行教學，消除對分數的陌生及恐懼， 在學習中帶入樂趣，不僅僅是為了要有遊戲而遊戲，同時也要兼顧教育性及教學 目標，以期能夠同時兼顧樂趣以及學習成效。
在本研究中希望可以在一般的數學教學之中，用遊戲的方法融入教 學，期使每個學生都能夠參與，藉由遊戲激發學生學習的興趣，同時在遊 戲中，高分組同學也會對低分組的同學，為求獲得分數而有小組教學的情 形發生，發揮同儕互助的精神。
第二節 研究目的與待答問題
本研究主要目的在於探討遊戲融入國小五年級學童異分母分數加減法教 學，對於兒童分數概念學習之成效，進行準實驗研究。因此，研究者擬探討國小 學童分數概念之理解情形，並藉以比較不同能力學童之間的差異。 綜上所述，本研究的待答問題如下： 一、國小五年級在異分母分數加減概念的理解情形。 二、實驗組與控制組之差異情形。 三、實驗組中不同能力之兒童，其實驗前後概念改變之情形。第三節 名詞釋義
茲將本研究中所談論的幾個相關名詞釋義如下： 一、遊戲融入 所謂遊戲融入，是指教師將課程的教學內容，透過設計成為一個具有趣 味性、競賽性、機運性的教學活動，配合適當的教具，將教材、教法及教具 融入遊戲互相配合，達到教學目標的教學方式。二、國小五年級學童 本研究所指之五年級學童，為已完成四年級數學課程，且經過一個暑 假，剛邁入國小五年級之學童。 三、異分母分數加減法 意指不同分母的分數，進行加減法的運算。
第四節 研究限制
本研究以國小五年級學童為研究對象，藉由準實驗研究，探討不同教學方法 的成效差異性。茲將本研究的範圍與限制，就研究對象、研究內容及研究方法， 分述如下： 一、就研究對象而言 本研究基於研究者時間，因此，以台中市某國小五年級的兩個班級的學生為 研究對象，受測人數為該班全部學童，故研究結果將不做過度推論。 二、就研究內容而言 本研究主要內容為九年一貫課程數學領域中，異分母分數加減法之理解情 形。 三、就研究方法而言 本研究係以自編的試題，經過信效度的分析改進，作為施測的工具，進行準 實驗研究，來探究國小五年級學童異分母分數加減法的理解情形。第二章 文獻探討
本研究為「遊戲融入國小五年級異分母分數加減之準實驗研究」，主 要是探討遊戲融入數學科分數教學之模式，對國小五年級兒童學習成效如 何？探討如何將「遊戲」融入五年級異分母分數學習教學的活動中，在這 樣的教學模式中會遇到什麼困難？如何解決這些困難？以及探討透過這 種遊戲融入的教學活動，是否可以提高學生學習數學的興趣？是否可以提 高學生學習數學的成就？因此，本章將相關文獻資料分成四節：第一節， 分數的概念分析。第二節，遊戲教學的理論基礎。第三節，數學遊戲的導 向教學。第四節，遊戲教學的相關實証。第一節 分數的概念分析
分數一詞來自拉丁文「fangere」，它的意義是分開，通常用來敘述一 個被分開的全體之各個部分 (Heddeus；羅鴻翔譯，1980)。甯自強（1993） 則認為分數是起源於分割一物作活動的記錄與結果，而有理數是等值分數 中的最簡分數的型式表示。呂玉琴(1996) 也認為分數概念起源於「分」 是用來解決不滿一個單位量的量，的數值的問題。 在數學上是以有理數來定義分數，即「 p q ，p、q∈Ζ ，p≠0」，但
在使用上又依情境 的不同而有不同的 用法及解釋 (Corwin, Russel, &
Tierney, 1990)。
國小教育階段，數學課程中關於分數 (fraction) 的學習一直深受重
視。學童能成功學習分數概念有賴基礎分數概念的穩固，故在探討分數概 念之前，有必要先對分數的意義、兒童分數概念發展順序、分數教材分析、 影響學童分數概念之因素、分數概念的相關研究說明。
一、 分數的意義 (一)由數學定義的觀點 分數顧名思義，是由分解、合成而形成的數；從分數的英文是「fraction」 來看，它是源自於拉丁文的「frangere」，具有小部分、片段、破碎的意義， 但通常是指將全部分解為部份的意思(張平東，1995)。Russell (1903) 將分 數 m/n 定義為當 an = bm 時存在於 a 與 b 之間的關係；這個定義使我們能 證明，在 m 與 n 皆不為 0 的情況下，m/n 是一對一的關係(劉秋木，1996)。 分數概念起源於「分」，人們為了描述不滿一個單位量的零頭部分的 數值問題，將原單位量等分割形成單位分量，再把幾個單位分量合成一個 量，用幾分之幾來描述它的數值，這幾分之幾就是所謂的分數(南一書局， 2007)。 Freudenthal (1983) 主張分數的起源是「分割」一物件的活動記錄與結 果，分數可以表現真實現象的分割情況。Hunting (1986) 對於分數的最初 概念是以一個連續物品細分(如蘋果、蛋糕、派)。 (二)學者的觀點 分數在使用時，常會因為情況不同而有不同的用法和解釋，國內外許 多學者對分數的意義有不同的看法，他們分析分數在不同問題情境中關於 認知意義的研究，都主張分數具有多重的意義 。 分數概念在不同的情境問題中有不同的意義，它具有多重意義的特 性。國內外許多學者對分數的意義有不同的看法： Kieren（1976）提出對分數的解釋是：部份/全體、比值、商、重覆 運算。 Dickon 等人（1984）則對分數的意義有：整個區域的子區域、子集 合與全體集合間的比較、位於兩個整數間數線上的一點、兩數相除所得的 商、二組集合或二個度量的大小比較的方法。
Behr and Post（1988）將分數解釋成：部份/全體、比例、比值、商、 操作、線性座標、數線上的一點。 楊壬孝（1988）在國小學生分數概念發展的研究中提出，分數的四種 意義是：一個全體之相等的部份、一個集合等分組後的幾組、數線上的一 個數值、兩數相除的結果。 林碧珍（1990）則將分數的意義分成五類：全部區域的部份區域（以 連續量為主，如：長度、面積、容積）–部份/全體模式、集合中的部分 集合–子集合/集合模式、數線上的一個數值–數線模式、兩個整數相除 的結果–商模式、二個集合或二個度量相比的結果–比值模式。
Larry and Joseph 將分數區分為：（一）圖形中全部的一部份；（二） 比例中的比；（三）除法中的商；（四）自然數中的有序對等四種。且其 主張兒童在學習分數的初步概念，必須掌握，一、確定單位量；二、認知 等分大小；三、找出等分割數；四、所聚份數與等分割數之比較（引自李 端明，1997）。 楊瑞智（2000）分析國小教材的分數問題情境，得到現行教材的分數 概念具有十種意義：部份/全體、子集合/集合、乘法運算元、等值分數、 整數除法的結果、分數是一個數/數線上一點、平均（包含速率、密度）、 當量、比例中的比/比例尺/比值/比較量÷基準量、機率。
教育部九年一貫課程綱要（2003）指出有理數即是分數，小學有理數 教學，必須釐清、練習並且連結下述有理數的四種意涵：平分的意涵、測 量的意涵、比例的意涵、部份/全體的意涵。最後歸結成日後數學學習中， 有理數最核心的意涵–「除的意涵」。 綜合以上之文獻，可以發現分數的意義是多重的，且不外乎涉及兩個 量的相對比較關係。且其學習的困難度，學生在分數概念的學習上有諸多 的困難 (呂玉琴，1991b)。 二、兒童分數概念發展順序 瑞士心理學家皮亞傑 (Piaget) 指出學童的認知發展是漸進的，他以其 所主張的兒童認知發展理論，設計活動來研究兒童對分數概念的發展，發 現從知覺的部份－整體的關係與操作的細分之間有很大的差別。Piaget,
Inhelder and Szeminska (1960) 曾對 3 至 8 歲兒童的分數概念發展過程做一
系列研究，研究結果有以下發現： 1、四歲到四歲半的兒童，對於將一個物品分為兩半非常困難，在分 割之前沒有預想的計劃或基模 (Schema)，關於不同形狀的分割， 則是以長方形比較容易，圓形次之，正方形比較難。這個階段的 最大特徵是缺少部分與全體之間的任何關係，兒童不會注意到他 所接觸的部分是某個比較大的全體之中所含的元素。 2、四到六歲的兒童對於規則的、小範圍的東西有分為兩半的能力， 但如果原來的整體大小增加了，其分成一半的能力便要延緩了。 將物體分成相等的三部份之能力尚未表現，在分割圖形中利用長 方形的餅比較容易解決。 3、六到七歲能夠成功的實施三等份的分法，而不必利用試誤的方
法，但其對於操作的了解，仍是處於具體的操作層次。以分餅 為例，在這個階段的兒童具有整體性的保留概念，因此他們能 夠了解將各個分割塊數所得到的總量與整個餅是一樣的。 4、十歲左右兒童能實施六等分的分法，首先是以三等分法分一個 餅，然後再將所分得的三塊餅再用二分法分一次。 Piaget（1960）也指出，兒童在了解分數運算之前必須要具備下列七 個子概念： 1、須有一個可以除盡的全體，才有分數的思考。 2、一個分數包含各部分的限定數（detreminent），分配物品時，個 部分必須與接受者相對應。 3、分割活動中，全體必須被耗盡，沒有餘數。 4、當全體被切割成各部份的數與切割數間，有一固定的關係。 5、分數的概念意指分割後的每一部分都是相等的。 6、兒童操作了再細分的部分概念時，了解到此細分的部分是全體的 一 部分，同時此一細分的部分本身也是一可再細分的全體。 7、因為分數是從全體而來，其全體始終不變。 甯自強(1992) 以 Nik pa 的研究為基礎，觀察學生對「分數詞」的理 解，根據兒童在運思層次與分割活動的不同，提出以下兒童分數概念發展 的五個階段，其論述在國小數學教育界廣受引用，國內許多有關學童分數 概念發展的研究均引用其相關論述(李端明,1997；林大錦,2002；張日 齊,2002，陳靜姿，1997；龐嘉芬,2001)。現將其五個階段內容分述如下： （一）序列性合成運思與分數概念前身 序列性合成運思階段的兒童其分數詞所指向的數學物件多為「並置類 型」，以分數詞 1/4 來說，其意義為「1 和 4」或「4 和 1」。雖然此階段兒 童具有數概念與分割活動之經驗，在感官上能區分子分割單位是由被子分
割活動所分割的單位量分割得來的，但這個階段的兒童在思維的層次上， 其並置活動並非部份全體的並置，缺乏「部分－整體」關係的了解，無法 使用不同分數詞去表示不同分割情境的意義，「二分之一」只是將一物件 分成離散的二部分，而不代表將物件等分為二份。（張日齊,2002；甯自強, 1992） （二）累進性合成運思與起始單位分數： 兒童若於分數的情境中引入累進性合成運思，其分數詞之意義稱之 為「內嵌並置類型」(embedded patterns)，分數詞 1/4 是指由 1 所指涉 的集聚單位內嵌於由 4 所指涉的集聚單位之中，其分子是內嵌於分母之 中。此階段「內嵌並置類型」的並置關係是隱約的部份全部關係，可稱之 為部份在全體之中(part-in-whole)。這個階段的兒童的分數詞意義是獨 一 單 位 指 向 (singleton–unit oriented) 而 不 是 部 份 指 向 (part oriented），對於「一瓶汽水等分成 3 杯，1 杯是 1/3 瓶」的「1/3 」認為 是「3 杯中的 1 杯」，而不是三個部分(3 個 1/3 瓶)中的一個部分(1 個 1/3 瓶)。在這階段不能進行單位分數的累積活動，兒童將兩個 1/4 合起來的 結果可能是 2/8。（張日齊,2002；甯自強,1992） （三）部份─整體運思與加法性分數： 經過部份整體運思的運作，原先內嵌於集聚單位中的子分割單位，自 集聚單位中脫嵌(disembedding)而出，此時子分割單位轉換成為單位分數 單位(unit fraction unit)，分數詞 3/4 可以認定是代表 3 個由 1/4 所指 示的單位分數單位所構成的集聚單位；分子與分母間的部份全部關係是部 份獨立於全體之外(part-of-whole)。在這個階段的「部分與全體關係」 是單向的關係 (uni-directional relationship)，當從一個全部中連續 取出二個不同分數時，第一個分數的量被取走時，可能失去原來得全部量 （例如：12 個中拿走 1/4 和拿走 1/3 個拿走幾個，學童在拿走 1/4 的 3 個
後，會把剩下的 9 個當作整體）。兒童只能用整數概念來解決幾個不同分 數詞的問題，能將非單位分數是為單位分數的倍數，但無法理解分數的分 數倍問題（例如：1/7 是 3/7 的 1/3 倍）。（張日齊,2002；甯自強,1992） （四）測量運思與巢狀分數(nested fractions) 巢狀分數是測量運思的產物，此階段兒童已能察覺到 8 個積木的 3/4 與 8 個積木的 6/8 是同一分量的測量值，測量運思階段的兒童能視分數單 位為一個可子分割的分數單位，能判定 1/3 和 2/6 這兩個分數是一個整體 的等值分數。這個階段的「部份與整體」關係是雙向的的意義，能理解單 位分數及整數的倒數關係，連續從一個整體中抽取出二個不同分數時，不 會造成整體的數值的破壞。但是其「部分與整體」關係是不能分解的（例 如：2 個紅色花片和 1 個藍色花片，能將 1 個藍色花片當作是全部花片的 1/3，但是無法同時將 1 個藍色花片看作是紅色花片的 1/2）。（張日齊,民 2002；Ning,1992） （五）有理數概念 兒童的分數概念進步到有理數的數概念時，具有「部份─整體」關係 的雙向分數概念，有等比例運思的概念，能夠將分數詞與它的情境背景的 數值分開來，而同時思考兩個分數(例如 2/3、2/5)，獨立運作分數間的關 係，同時，此階段的兒童也能將「部分與整體」關係分解為「部分對部分」 的關係，而且能以分數做為測量單位、擴展至等值分數的概念。(張日 齊,2002；Ning,1992) 綜合上述兒童分數概念的發展，當兒童能以通分的概念來進行分數的 解題活動時，已具備了巢狀分數概念，但仍缺乏等值分數的概念；然而當 兒童能以共測單位理解不同分數詞之間的等值或次序關係，知道分數詞之 間的稠密性，便進入有理數概念的階段。
三、 分數教材分析 教師在課堂上教授學童分數概念之前，應先瞭解九年一貫數學課程正 式綱要裡的分數能力指標，藉此瞭解學童在學習分數的教材內容。 數學領域將九年國民教育區分為四個階段：階段一為一至三年級，階 段二為四、五年級，階段三為六、七年級，階段四為八、九年級。另將數 學內容分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題。 前四項主題的能力指標以三碼編排，其中第一碼表示主題，分別以 字母 N、S、A、D 表示「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」 四個主題；第二碼表示階段，分別以 1, 2, 3, 4 表示第一、二、三和四 階段；第三碼則是能力指標的流水號，表示該細項下指標的序號。雖以主 題與階段來區分，仍有若干能力指標採跨主題方式同時編列，以下列出有 關分數部分的能力指標。 N-1-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加 減問題。 N-2-04 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。 N-2-06 能理解分數之「整數相除」意涵。 N-2-07 能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數的比較、加減與 分數倍計算，並解決生活中的問題。 N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分的意義。 N-2-09 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減問題。 N-2-11 能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。 N-2-14 能理解比率及其在生活上的應用。 N-3-02 能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分 數約成最簡分數。
N-3-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 N-3-05 能理解比、比例、比值與正反比的意義，並解決生活中的問題。 分年細目 一年級：無。 二年級：2-n-07 能在具體情境中，進行分裝和平分的活動。 2-n-10 能在平分的情境中，認識分母在12以內的單位分數，並 比較不同單位分數的大小。 三年級：3-n-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的 比較與加減問題。 四年級：4-n-06 能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 4-n-07 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數 的互換，進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的 整數倍的計算。 4-n-08 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來 做簡單分數與小數的互換。 五年級：5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。 5-n-06 能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 5-n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的 問題。 5-n-11 能將分數、小數標記在數線上。
六年級：6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意 義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式，並能將 分數約成最簡分數。 6-n-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的 問題。 6-n-05 能作分數的兩步驟四則混合計算。 小學的有理數教學，必須釐清、練習並連結下述有理數的四種意涵， 最後歸結成日後數學學習中，有理數最核心的意涵─「除的意涵」： 1、平分的意涵：學生在低年級認識人我分際之後，就會發展出強烈 的公平感，因此從平分入手學習分數，是一條比較容易的途徑， 也比較容易化解分數學習中常見的認知衝突。 2、測量的意涵；長度測量是低年級就發展的數學課題，在以個別單 位度量長度，為了解決剩下部分的「餘數」約定時，就能同時發 展小數與分數兩種課題。由於單位的強調，測量是調和「部分/全 體」的意涵與帶分數認知衝突中的重要工具。 3、比例的意涵：比的原理，是一種微妙的平分方式，因此學生比較 容易接受。即使學生尚未學習比例式，透過比的方式，仍然可以 協助學生解題。最後再透過比值的引入，一貫地解決比例的問題。 4、部分/全體的意涵：部分/全體雖然是分數的重要意義之一，但是 由於概念較為抽象，而且真分數的暗示過深（全體為 1），可能造
成假分數或帶分數學習上的困擾，必須透過單位的強調來解決其 認知衝突。 另外，建議在分數教學的早期，可以使用單位分數為計數單位，教導 假分數的約定與計算，這能與自然數、測量單位的學習，相互加強。 四、影響學童分數概念之因素 面對分數，學童普遍會出現許多錯誤及迷思概念，以及不能把舊知識 過渡至新知識，無法用「數數」的計算方法或概念來認識分數。而且即使 是數學成就高的學生，在分數概念上也常常無法有傑出的表現，似懂非懂 的情況普遍存在。由此可見，學童對分數概念的學習有相當的學習困難與 障礙。分數是一個複雜但卻十分重要的概念，學生若不能真正理解分數， 將會嚴重影響其日後的數學學習信心與成就(湯錦雲，2002)。也由於分數 概念複雜，所以導致學生在學習分數時才會出現許多迷思概念及錯誤類 型，然而分數概念所涵蓋的範圍相當大，包括分數的基本概念、分數的加 減乘除以及分數是數線上的一個點等諸多概念，也與其他數學概念息息相 關，例如有理數的概念、小數、比與比值等，所以其中所包含的迷思概念 亦是相當繁多。 參考國內外相關文獻，發現影響學童分數概念之因素如下： 1、單位分數概念不穩固 2、等分的概念薄弱 3、忽略單位量 4、受整數基模影響，視分數 b a 為兩個獨立的數 5、受不同表徵方式影響
有理數是小學的核心課程之一，也是小學數學教育中，最有挑戰性的 教學主題。有理數教學的困難主要在於：它牽涉兩種非常不同的表現形式 ─分數與小數；它的應用課題很廣─平分、測量、比例、比率、比值、部 分/全體；學生較缺乏有理數的前置經驗，日常生活中的有理數情境也比 整數少；分數的形式是學生首次碰到兩整數並置的約定，一方面分數計算 的熟練，仰賴整數的精熟，另一方面整數計算的經驗，有時反而會造成有 理數學習的錯誤；甚至，有理數的概念理解與形式程序的學習，有時會互 相干擾，然而有理數數感的建立，卻又依賴兩者在反覆應用練習中，彼此 增強。 什麼是穩當的有理數教學，並無定論。但是基本的共識是，學生需要 較長的時間，來學習掌握有理數的概念；不論是先形式程序，或者先概念 理解，兩者都必須不斷互相支持；在有理數教學中，必須將材料作適當的 安排，先從較容易的平分或測量入手，而將其它的應用課題，作為錘鍊有 理數數感的課題；運用數線作為模型，將自然數、分數與小數結合在一起， 匯聚成「數」的觀念。
第二節 遊戲教學的理論基礎
一、 遊戲的定義
自古至今，兒童都是從小玩到大，然而一直到現在，還是很少人把兒 童的遊戲當成 一回事。既然人類天性愛玩，不管大人或小孩都一樣。如 果能善用人類此種喜好遊戲的天性，引導到各科的教學與學習，必能增加 學習的動機與樂趣（饒見維，1996）。九年一貫數學領域課程綱要中提到， 「學習數學應該是一種快樂的經驗」；而杜威所主張的「做中學」，其實便 是學生從遊戲、實際操作中學到教師為其安排之教材的教學。杜威說：「教 育即生活。生活是經驗繼續不斷的重組與改造」。杜威十分重視個人經驗， 強調教育與個人經驗之間的聯繫，他認為「教學應從學生的經驗和活動出 發， 使學生在遊戲或工作中， 採用與兒童和青年在校外活動類似的活動 形式」（賈馥茗，1992）。 （一）、遊戲的意義 遊戲的英文為「game」及「play」。「game」常被視為是一種受到規則 所限制的自由，或是一種制度的遊戲（Spariosu，1989）。方永泉（2003） 提到「play」一詞則是在西元 1800 年以後，生物學、心理學、教育工作 者與社會學家對遊戲的焦點多是置於「遊戲如何適應或是有益於個人生 長、發展與社會化」，因此，就變成是不同學科領域中學者在進行有系統 的概念或科學性的論述時，以「play」代替他們在論述中的「遊戲」一詞。 但是若從中文解釋，「play」較接近「遊」，「game」較接近「戲」（方永泉， 2003），在學生辭典中提到「遊」是即是「玩」的意思，當作動詞；「戲」 即是「扮演活動」的意思，當作名詞用；「遊戲」一詞的意思為「一種能 使身心愉快的個人或團體活動」（陳國弘，1988），因此「遊戲」兩字在中 文中當作名詞使用，而與英文中「game」的意思較相似。
詹棟樑（1979）參照人類學家 Martinus Jan Langeveld 的論述提出：兒 童的世界就是學習的世界，兒童的學習具有三種涵義：（1）開放的意義， 公開的共同生活、工作；（2）無拘無束的意義，兒童在遊戲，不受限制地 嘗試其心中所嚮往的想法；（3）創造的意義，兒童如同藝術家，透過遊戲 來創造遊戲。 教育學學者 Froebel 認為：「遊戲乃兒童生活的最高層次，因為遊戲 是兒童自由表現自我內在者，意即呼應自我內在本質之必需，而表現於外 界者。」因此遊戲乃兒童行動、知覺、思維等三種作用的創作活動，兒童 做自己能力範圍內的事情，理解各種事物，了解自己本身提高自覺，提高 兒童創造力（林風南，1985）。 因此兒童的學習往往是透過遊戲的方式，並在自己能力範圍內嘗 試心中所嚮往的想法，創造新遊戲規則以作為新的學習。歷史文化學者 Huizinga 也說到：「遊戲是在某一定時間和空間內，依照自願接受的規則 （該規則一旦被接受就具有絕對的約束力）所進行的自發性行為或活動。 遊戲的目的就是活動本身，該活動伴有緊張和愉快的感情，而且是源自不 同於現實生活的意識。」（引自林風南，1985）。 （二）、遊戲的特徵 遊戲基本上應具備下列五項基本特徵（潘慧玲，1991）： 1、非實際性（nonliterality）： 遊戲的時空和真實的時空其實沒有 兩樣，但是遊戲的時空是透過想像的，自成一個系統，特定的人、 事及物在特殊的定義或關係之下，形成一種暫時性的組合。 2、內在動機（intrinsic motivation）：遊戲中不可避免的緊張成分， 可能也會帶來焦慮、不安、挫折、無奈的負面情緒，遊戲者為了 完成目標，過程是艱辛的，但是心情是愉悅的。
3、過程勝於結果（ process over product）：因為遊戲的本質往往 是十分簡單。例如棋子的總數，如何佈局等等的知識。但是卻在 下棋的過程中，參與者不斷地接受挑戰，要綜觀全局，衡量各種 因素，不斷地作出智慧的決策，一般而言在下棋的過程中獲得的 經驗是遠勝於結果的勝負。 4、自由選擇（ free choice）：遊戲是自願的、非強迫的，個人擁有 非常充分的自主權隨時可以決定加入或退出。 5、正面性的情意（ positive affect）： 遊戲的魅力，在於其能讓 人沉緬於想像的國度裡面，欲罷不能，有一玩再玩的衝動。 （三）、遊戲的功能 我國人類學者李亦園指出，根據傳統人類學的研究，遊戲具有三種特 殊的功能（吳美雲等編，1978）： 1. 孩子從遊戲中學到生活的原則和規律，他們在輕鬆的玩樂中，培 養了面對未來真實生活的反應力。 2. 習於群體生活的人類，需在團體的規則限制與個人自由間，尋找 到一種精神上的平衡，從這個角度看，遊戲正具備擺脫社會規則 和文化限制，尋求個人自由發揮的性質。 3. 在遊戲的一段特定時間和空間中，遊戲者可以虛構任何真實生活 中所不被允許的行為和情節，來發洩由社會文化種種限制所造成 的不滿及沮喪。 每個孩子在玩遊戲的時候，都有機會去教別人怎麼玩，藉此而建立自 信與批判精神。所以教師應運用孩童喜愛遊戲的天性，以遊戲來增加學習 的能力、帶動學習的氣氛，利用遊戲的競爭性來加強記憶；利用合作性增 進學生人際溝通的技巧；利用其挑戰性來磨練面對困難的勇氣；利用其趣 味性以增進其學習效果， 相信許多人會因此而更喜歡學習數學（ 饒見維， 1996）。
二、 遊戲的理論
西洋的遊戲理論，探討兒童在遊戲中學習的影響，可以分為兩個時 期：其一是古典理論：指的是 1920 年之前的理論；其二是現代理論：指 的是 1920 年之後所發展出來的理論。簡述如下： （一）古典理論 古典理論主要是在 1920 年前發展出來的，他們主要以哲學式的反省 為理論基礎而較少以實證研究方式來立論（簡楚瑛，1993）。古典理論主 要代表有四家學說：1、精力過剩論（The Surplus Energy Theory of Play）
最早的遊戲理論是由一位十八世紀的詩人Friedrich Schiller
（1854）所提出，他認為遊戲是消耗過剩精力而漫無目的的耗 用。再由哲學家Herbert Spencer加以改進。Spencer(1896)認為當個 體將精力消耗在有目的的活動，那就是工作；而消耗在沒有目的 的活動，那就是遊戲。Spencer在其著作「精力過剩理論」（The
Surplus Energy Theory）中，把遊戲視為一種釋放兒童過剩精力的
必要手段，他指稱大自然賜與人類一定程度的精力，好讓人類得 以生存下去，而兒童正是藉著遊戲來釋放他們過剩的精力。 2、放鬆和休閒理論（The Relaxation and Recreation Theories of Play）
以十九世紀哲學家 Moritz Lazarus(1883) 為倡導者，他認為 「遊戲是一種休閒活動」，唯有如此才能恢復健康的功能。Lazarus 強調遊戲的目的是為儲備精力或能量以供工作時消耗之用（郭靜晃 譯，1992；Johnson＆Yawkey，1987）。Patrick(1916)認為遊戲可以 讓人們解除身心的疲憊，具有暫時獲得放鬆的功用。此說法即是指 遊戲的功能在於鬆弛工作後的壓力。
3、練習論（The Practice Theory of Play） 以Karl Groos(1898)為倡導者。Groos 認為遊戲具有適應的目 的。他認為遊戲是一種為了發展日後生活技能所不可或缺的行 為，遊戲可以幫助兒童發展及加強日後生存所具備的本能 (Johnson＆Yawkey,1987；郭靜晃譯,1992)。人的本能是經由遺傳 而來的，但可從遊戲中去練習才能使本能更加強化出來。兒童往 往會模仿成人，常試著去探索各種事物的可能性，以增進對自我 及對環境的認識及掌控，並從中發展出個人的人格和智能(Bruner, 1960)。
4、重演論（The Recapitulation Theory of Play）
以 Hall、Gulick 為倡導者。Gulick(1898)主張兒童在遊戲當中 表現出了先人的活動情形，也就是兒童的遊戲會重演人類行為進 化的過程。Hall(1906)在其提出的重演說中，強調兒童的成長歷 程 ， 很 像 從 動 物 演 進 到 原 始 人 類 的 一 連 串 進 化 過 程 。 McDougall(1923)認為遊戲由本能需求所衍生的活動，兒童藉由一 種安全的方法來製造練習的機會，使這些本能更臻完善，以利日 後成人生活所使用。 遊戲的古典理論反映出人們對遊戲的重視，並在遊戲的形式及功能給 予較正確的解釋。但由於古典遊戲理論多是由歷史與人類生活的觀點出 發，所以在對兒童學習上的影響觀點就顯得較缺乏，以至於在 1920 年後 發展出來的現代理論，主要是從觀察兒童在遊戲中的學習表現來對遊戲作 為解釋（周士傑，2005）。
（二）現代理論
1920 年代以後，由於心理學快速發展，例如 Piaget and Vygotsky，
雖研究重點不在遊戲上，但對遊戲的理論亦有所貢獻。很多學者便想要 從心理學的角度去探索遊戲的意義與價值，也漸漸的發現遊戲的重要 性。他們認為「遊戲是一種有價值的學習經驗」，強調遊戲對兒童個人適 應及社會適應之重要性。現代理論大約可以分成四個學派，分別說明如 下： 1、心理分析學派 以Freud（1959） 為倡導者，主張遊戲是兒童人格型態與內 在慾望的展現，兒童可透過遊戲調節其受挫經驗(如平撫、淨化受 創情緒、發洩心理焦慮等)。遊戲具有宣洩的效果，兒童在遊戲中 可以暫時拋開現實，扮演與現實中不同的角色，以使自己受創的 情緒得到紓解（潘慧玲，1992）。Erikson(1950)則針對Freud的遊戲 理論加以延伸，認為從遊戲中可看到兒童在每一個發展階段時， 不斷地對世界所產生更新、更複雜的看法。遊戲對每個兒童而言， 都有他獨特的、個人的意義。兒童透過遊戲與週遭人事互動，或 模仿真實情況，進而學會自己處理現實需求。 2、認知學派
認知學派主要是由Piaget and Vygotsky所倡導，主張遊戲 可促進兒童的認知發展。Piaget認為遊戲是個體對環境刺激的同 化，使現實符合自己原有的認知基模之方式（郭靜晃，1997）。 Piaget(1962)提出一個詳盡的兒童認知發展階段及遊戲型態關 係，認為玩遊戲不僅可以反映小孩的認知發展，更可以促進孩子 的認知發展。孩子在遊戲中不用學習新的技巧，卻可以透過遊戲
去練習並鞏固最新的技巧，進而達到熟練的程度。Vygotsky(1976) 認為遊戲可以提昇兒童的創造力及多樣性。蔣興儀(2004)認為遊 戲表現為一種從被動中見主動的對話過程，其遊戲結構優先由於 人的主體性。遊戲中會運用到推理、思考、假設、邏輯等，因此 兒童藉由遊戲可增進運思思考的能力。 Bruner(1972)and Sutton-Smith(1983)根據適應的架構，主 張遊戲有助於創造力和彈性能力的發展。Bruner認為遊戲的方法 及過程比遊戲結果來得重要。在遊戲中可以嘗試很多新的行為及 玩的方法，以便日後應用到實際生活情境，進而解決生活上的問 題。也就是說遊戲因增加兒童行為的自由度而助長了變通力。 Sutton-smith 認為「假裝」的遊戲(象徵性轉換)可幫助兒童打 破傳統心理聯想而增加新的想法，用新的、不尋常的方法來遊 戲。這種創意的、新的想法可以幫助其成人後適應生活。 3、覺醒調節論（Arousal Modulation） 覺醒調節論是由Berlyne 於1960年發展出來，再由 Ellis(1973)修正。Berlyne 與Eills 認為遊戲是為了尋求刺 激，當生活平淡無奇的時候，遊戲便會開始，若外界刺激太多， 則人們就會減少追求刺激的機會，即遊戲就不會產生。因此個體 為了增加刺激，會在遊戲中發揮創意及想像力，以不同方式運用 物體和進行活動(郭靜晃譯, 1992；Johnson＆Yawkey,1987)。例 如小孩子玩溜滑梯，如果以平常的方法玩，孩子可能很快就感覺 無聊了，如果不換個新奇的玩法，便不能增加刺激，所以遊戲被 認為可以產生刺激的（吳志偉，2009）。
4、貝蒂生之系統理論（Bateson’s Theory） 以Bateson 為倡導者，強調遊戲的溝通系統，兒童藉由「遊 戲」的訊息，來交替協調其角色、物體和活動在遊戲中的意義 及在真實生活中的意義。因此，遊戲是矛盾的，遊戲中的意義 不代表真實生活中的意義。Bateson 認為遊戲中的一切行為並 不等同於現實中的行為。因此，在遊戲之前都會訂出一個規則， 讓大家明白這只是個遊戲而不是真的。Garvey(1977)認為在遊 戲時會產生角色扮演的情形，利用角色扮演，兒童會找到對自 己的角色有用的訊息。遊戲的內容與兒童的年齡有相關，年紀 愈大，在遊戲中所扮演的角色及遊戲的內容及規則就愈複雜(郭 靜晃譯,1992；Johnson＆Yawkey,1987)。Bateson 的理論促使 後繼的研究者對兒童遊戲溝通訊息的注意，如兒童在遊戲的對 話、表徵的轉移情形等。
第三節 遊戲導入教學要點
皮亞傑曾提到「自律」，是指「自我管理的能力」。自律代表能夠做全 方位思考，不受獎勵與處罰所左右，能夠在道德領域判斷對與錯，在認知 領域判斷真與假，能與他人合作正式自律的表現（陳燕珍，2001）。從孩 子發展自律精神的觀點來看，遊戲有規則，對孩子自制能力特別管用。一 旦有衝突，老師可以引導孩子自己訂定罰則，或修正規則，或重訂新規則。 從數學的角度來看，遊戲會激勵孩子活用四則運算是不爭的事實。而且玩 遊戲比做數學練習好，因為可以馬上得到同儕的回饋。 饒見維（1996）認為「數學遊戲教學法」乃是把數學科的教學活動轉 變成遊戲活動的教學方法。然而玩遊戲很容易「失控」，所以老師ㄧ定要 陪孩子一起玩，表示這是一件「值得重視」的事情；此外，還可以觀察每 個孩子的數學能力，並且評量遊戲是否需要修正規則，或者乾脆放棄不 玩。（陳燕珍譯，2001）Aufshnaiter and Schwedes（1984）提出的「遊戲導向教學法」，主張 開發有趣的單元活動教材來改善教學與學習環境。所以教師在課堂中教學 時，應提供學生適當的遊戲與學習情境，並注重學生自主、自發性的學習 （Jones & Nimmo，1994）
本節分為兩部分來探討，一為設計要點，二為教學模式 一、設計要點 （一）陳燕珍（2001）指出數學課程的四大目標： 1.能獨立思考，而且對自己解決問題的能力有信心。 2.能想出不同的辦法來解決相同的問題。 3.發展數字感。 4. 能和其他孩子充分交換觀點。
（二）鄭肇楨（1980）提 出遊戲有五個要素，分別為：身體接觸、官能 活動、認知技巧、把握時機和適者生存。而其中的認知技巧即是 說明了遊戲與知識的學習是有相關的。 （三）曹亮吉（1979）提出數學遊戲的四大特色： 1.題目簡單易懂且有趣，答案有時也出人意表。 2.沒有一套系統性的方法。 3.看不出任何直接的應用。 4.沒有列入正式的課程。 （四）陳杭生（1993）在「視聽媒體與教學正常化」一文中指出，「遊戲 導向教學」必須從課程內容、教學方法和教具的運用三方面著手， 他並且建議： 1.將教材遊戲化：即教師應把教材善加靈活重組並趣味化，讓學 生願意直接參與活動，教材隱含於遊戲活動中，使每一位學生 感覺到活動與本身有直接關聯。 2.將教法遊戲化：透過遊戲，學生可獲得實際參與合作的學習機 會，藉由角色扮演、小組討論以及分組比賽等寓教學於遊戲中 的方法，作為學習的啟導過程。 3.將教具玩具化：抱持著「教師手中的教具，是學生心中的玩具； 學生手中的玩具，是教師手中的教具」這樣的觀念，必要時， 儘可能讓學生自製簡易教具，於上課時除聽講外，亦有機會直 接操作教具，而能從中獲得「有目的之直接經驗」。 （五）在《國小數學遊戲教學法》的作者饒見維（1996）則提到遊戲融 入 教學的四的要點： 1、挑戰性：遊戲中具有某些限定的條件，在這限定的條件中完成
任務或目標。條件限定越多其挑戰性越大，使學生越不容易完 成，因而遭受到挫折越大；反之條件限定越少，其挑戰性越低， 學生雖容易完成，但學生可能覺得越乏味，所以一個遊戲的挑 戰性必須適當，使學生才能樂於其中學習。 2、競賽性或合作性：遊戲常常含有競賽的意味，也因為競賽可以 引發人性好勝的心態，所以增進了學生的挑戰性和趣味性，更 增加了學生參與的動機和興趣。但若有一方無論如何玩都一定 會勝，這樣就打破競賽性的原意了，如此就沒有人對此遊戲有 興趣了。若競賽性的遊戲能和團體結合，這樣不只趣味加倍， 而學生為了獲勝則須和自己團隊的其他同學合作，共同對抗其 他團體，這樣不僅達到教學效果，也讓學生學習合作的方法， 溝通的重要性。 3、機遇性或趣味性：遊戲之所以令人著迷主要是因為遊戲含有部 分的機運的因素，這些無法掌握的因素讓遊戲的趣味性增加許 多。由於這些不可測的因素，要達成遊戲的目標就變成不能完 全依賴實力，而是須靠實力和運氣兼顧才能順利達成，使得學 生對遊戲的結果多了一份的期待。 4、教育性：一個良好的數學遊戲若能兼具教育性，則能幫助學生 運用數學的知識，建立數學的概念，進而磨練學生的數學思考 能力，推理能力、計算能力等。 所以一個良好的數學遊戲須包含上列四點，若只有前三項而少了教育 性即會變為一種有趣味的活動，對學生的學習影響性就較少，而若只有第 四項教育性則失去遊戲的意義，變成了枯燥無味的教學活動了。
（六）Dienes 於 1981 年在「數學的營造」（黃毅英，1997）一書中依 據皮亞傑學習心理學，提出一套嘗試運用遊戲方式建立數學概念 的教學模式，模式中各階段的主要意義如下： 1. 自由玩耍（free play）：學習者被安排到一個經過預先設計的 環境中，設計者先讓學習者自由玩耍一段時期。 2. 規律遊戲（games）：學習者在受到環境刺激後，開始對具有 數學結構的事物做出反應，這時設計者可以嘗試著以遊戲方 式讓學習者進行分類活動，讓學習者漸漸發覺這些事物的規 律性。
3. 找尋共同結構（searching for communality）：反覆運用各種分 類活動，讓學習者能夠綜合推廣，知道所有的可能性。 4. 描述和圖示（representation）：學習者可以用一些圖書或文字 表述上面分類的策略。 5. 符號化（symbolization）：再進一步，開始以符號整理上述描 述。 6. 形式化（formalization）：在第四第五階段中，學習者所引入的 符號可能不是很好的表示法，此時引入正式符號，數學概念， 於是構成。 二、教學模式 （一）楊淑朱（1995）提到運用遊戲－討論－重新遊戲的方式能增進 兒童的能力和自信心，同時，透過教師精心的佈置及設計遊戲 活動，除了協助教師順利的將理論和實務連接起來，更能讓兒 童在科學、言語、藝術及社會的教學課程中成為一位主動學習 者及探險者。由楊淑朱（1995）的研究中知道，遊戲若能經過 教師精心的設計，遊戲活動對學生即非單純的玩，而是一種有
效的學習。所以教師應提供適當的知識及教具，用以點出學習 單元中的概念結構，進而影響學生的解題活動或推理思考過程。 （二） 「遊戲導向教學法」最早是由 Aufshnaiter，Schwedes and Helanko 於 1984 年所提出的，主張以開發有趣的單元活動教材 來改善教學與學習環境。 （三）蘇育任（1993）曾提出「遊戲導向教學」的原則有以下三個： 1.遊戲教學雖由老師指引，但老師之主要職責在設立學習環境， 使大多數學生均能建構本身的遊戲系統。 2.教師欲使更多學生得以建構其遊戲系統，可以合理地干預遊戲 系統，甚或刻意佈置遊戲系統以引導學生。 3.縱使教師無法為所有學生設定強迫性的共同學習目標，有時似 乎無法見到每個學生在學習中獲得學習成效，但仍需堅持遊戲 導向教學的重要性，持之以恆才能成功。 （四）黃毅英（1978）指出，遊戲教學最差勁的莫如毫無準備，漫不 經心，以及利用遊戲做填塞時間，遊戲教學時必須有明確的認 知或情意在。以數學科而言數學遊戲必須有特定的數學主題， 遊戲部分不能喧賓奪主。Bell（1978）亦提出十二個評鑑遊戲 的準則（黃毅英，1993）： 1、學生清楚遊戲的規則嗎？ 2、學生是否需要大量時間學習遊戲規則？ 3、該遊戲是否過於複雜以拖慢遊戲進度 4、該遊戲是否太幼稚或太高深？ 5、是否每個學生都有平均參加的機會？ 6、是否每個學生都可參與整個遊戲的進展？ 7、學生對遊戲感興趣嗎？
8、是否引起學生紀律性的問題？ 9、學生是否會因過於投入遊戲而忽略學習的目的？ 10、在整個遊戲過程數學部分是否有突顯出來？ 11、學生能否達到數學認知目的？ 12、最重要者，學生經過遊戲後，數學表現是否有改進？ 這十二個評量準則，主要以學生「學習」為主，而 Sutton-Smith（1983） 也認為遊戲的過程及方法比遊戲的結果來的重要，因此遊戲導入教學即應 以學生的學習為主體，重視學生學習方面特色的展現，因此在遊戲設計的 原則上、價值上、評鑑上、都應是相當值得注意得地方。
杜威強調：「缺乏遊戲的教育，不可能得到有效果的學習。」可知一 個好的教育方式是要配合適當遊戲一起來呈現，如此學生的學習才會有較 好的效果。遊戲導入教學必須掌握一定的教育原則，注重學生學習，配合 適當的教具及教材，如此才能達到使學生獲得有意義的學習。反之，若只 是讓學生單純盡興的去玩，缺乏教育性，這只是浪費時間，學生並不能達 到學習效果，所以必須掌握一定的教育原則，配合適當的教材及教具，如 此才能使學生獲得有意義的學習。
第四節
數學遊戲的相關實證
本節將從國內外的實證研究中，探討數學遊戲如何落實在課室教學 中，並且探討以往學者如何運用數學遊戲教學，影響學生學習成就與興 趣，來支持本研究的論點。
一、
國外相關之實證研究
（一）國外遊戲教學相關實證Hollis and Felder(1982)曾對三歲到國小三年級學生做過研究，發 現遊戲、謎題、韻文、手指遊戲等工具、都可以幫助發展學生數學觀念及 技巧、甚至能夠促進學習，以培養兒童對數學的正向態度。
Aufshnaiter and Schwedes(1984)以 900 名十歲至十六歲的學生為研 究對象，使用遊戲導向教學改善學生物理科的教學及學習情境。研究發現 學生和教師都偏愛使用遊戲導向式教學，同時也較能引起學習動機並維持 學習興趣。 Keller(1990)以 26 位國小四年級學生為研究對象，進行為期十週的 遊戲教學，內容包括複習和加強活動，並有每週二次的實物操作，結果發 現在學習動機、問題解決策略、學習態度方面都有顯著的進步。 巴西的研究（黃敏晃譯，1991）：巴西的一些學校做了一個實驗研究， 企圖改變完全由美國原裝進口的典型數學課程，嘗試將「民族數學帶回課 室」。他們由一些數學教師設計出六項微觀的民族數學課程教材，實驗結 果發現在實驗中學生非常熱烈地參與各種教學活動，一改傳統數學教學的 被動、記憶與重複練習的學習方式，學生轉而變得主動積極、熱心參與討 論、辯論重要的數學想法等，此計畫讓巴西及世界各國數學教育學者，看 到了這種數學教學被擴展使用的可能性。
在國外學者時間概念的研究中，Piaget(1988)將兒童時間概念發展分 類為序列期、超序列期及精確衡量期；Friedman(1990)的研究發現，兒童 在五歲以後對於生活事件的時間估測，才有明顯的區別；Thornton 和 Vukelich(1988)的研究發現，兒童時鐘時間的發展是從大單位到小單位。
二、
國內相關之實證研究
國內關於數學遊戲導入教學的相關研究中，多以探討在正式課程中導 入遊戲教學後對學生的學習態度、興趣或成就所產生的影響，鮮少針對課 後的複習或加強活動，導入遊戲式數學進行研究，故研究者針對此方面進 行研究有其價值存在。以下針對國內其他相關研究，簡述如下： 王明慧（1996）以「活潑化教學模式」與「傳統式教學模式」對國一 學生數學學習動機與班級學習氣氛之影響進行研究，其「活潑化教學模式」 正好與遊戲教學法相似。研究結果顯示「活潑化教學模式」對實驗組學生 的學習動機與班級學習氣氛均有顯著正向影響，且有 71.1％的學生選擇「活 潑化教學模式」。 王克蒂（1999）透過 15 個不同的數學遊戲來提高國小四年級學生的 數學學習興趣。研究發現有 87.5％的學生喜歡數學遊戲，研究結果顯示， 數學遊戲教學對於提升實驗組的問題解決能力有正相關，但是對於學習態 度，實驗組與控制組則無明顯差異，實驗組甚至有稍微退步的現象，王克 蒂對此現象的解釋是認為學生過度學習以及研究時間過短所造成。 林嘉玲（2000）以國小四年級學生為對象，透過協同行動研究的方式 將數學遊戲融入建構教學，以改進原有講述式的教學。研究結果發現在學生學習方面，可以提高學生學習數學的興趣，減低數學焦慮狀況；在教師 方面則有助於提升教師的教學能力。不過她發現並非所有課程皆可以遊戲 的方式融入教學中，其中牽涉的因素相當多，如教材本身的特性、教師的 人格特質、教學風格、時間的限制進度的壓力等等，都需要列入考慮。 徐右任（2001）在「和原住民學童玩數學」的研究中，認為學生數學 程度和學習態度的好壞並無很大的關聯，反而與家庭和學校的影響較大， 運用數學遊戲教學的確對兒童學習較具吸引力也能使學童傾向正向的學 習態度。 田興蓉（2003）探討國一數學教師在設計數學遊戲時，所面臨的困難 與解決方式。研究發現在課室中實施數學遊戲教學法，確實能增強學生整 體的學習動機，且有助於數學概念的學習。 葉盛昌（2003）以五年級學生進行研究，經過設計後的數學遊戲教學 後，發現學生在數學學習興趣、成就與後設認知方面的前後測改變，均顯 出正面的效果。尤其在中成就和低成就的學生群中，更是有相當大的進 步，進步分數也優於控制組。 王奎婷（2004）根據行動研究精神以遊戲融入國小三年級分數教學的 教學設計。 黃怡芳（2005）透過研擬 4 個數學遊戲來輔助二年級學童學習二位數 加減法運算。研究結果顯示學童們在認知情義及技能的反應良好，證明透 過數學遊戲輔助二年級學童學習二位數加減法運算是有高效益的。
周士傑（2005）將遊戲導入六年級數學教材因數、分數及比三個單元。 研究結果顯示讓學生在遊戲中學習數學，不僅可以提升學生的學習興趣及 學習態度，家長亦能認同適時將遊戲導入教學是一種良好的教學方式。在 遊戲設計方面，本研究建議應考量課程的選擇、教材的呈現以及教學的時 機，才能達到更佳的教學效果。 許扶堂（2007）研究結果顯示：將遊戲融入教學之後，對國小五年級 弱勢族群兒童課後學習數學的學習成就提升是有幫助的；對學生學習數學 的態度方面，從「數學態度量表」的統計資料來看，則沒有顯著的效果。
選 定 實 驗 組 、 控 制 組 確 定 課 程 版 本 及 單 元 分 組 教 學 一 般 教 學 遊 戲 教 學 後 測 訪 談 與 分 析
第三章 研究方法與步驟
本研究主要是針對五年級學童在學習異分母加減的單元時，由研究者 以遊戲融入教學單元活動的方式，設計四個單元的教學活動：「擴分和約 分」、「通分」、「異分母分數的加法」、「異分母分數的減法」等四個教學單 元。 本章就研究架構及流程、研究對象、研究工具、教學設計與實施、資 料分析與處理這五個節次做敘述。第一節 研究架構及流程
一 一 一 一、、、、研究架構研究架構研究架構研究架構 本研究以研究者就目前五年級數學教學課程上之內容作為依據，課程 版本為九年一貫綱要之康軒版五上數學課本，教學單元為第六單元擴分、 約分。在學生的單元學習中有分數的加減，以此作為遊戲融入教學活動的 設計根據，設計四個遊戲融入教學的小單元活動來進行教學。 在教學活動上，實驗組與控制組皆學習相同的單元內容。控制組的班 級以其級任老師就原有的教學方式進行教學；實驗組的班級以研究者設計 的遊戲教學活動，由研究者進行教學。教學活動前進行分數基本能力的前 測，教學活動後進行後測，以分析其學習成效，並進行訪談討論學習成效。 本研究的研究架構如圖 3-1： 圖3-1-1 研究架構圖二、研究流程： 本研究在選定研究主題後，開始進行單元教學活動設計、及前測試 題的編制。在學生數學課程學習到五上第四單元時，先行前測，再進行 實驗組與控制組的教學活動，於教學活動後進行後測。最後進行實驗組 低、中、高能力學童訪談，並加以分析討論，做出結論與建議。本研究 的研究流程如圖 3-1-2： 圖3-1-2 研究流程 編製分數概念試 參考國小數學分數相關課程 蒐集並閱讀 編製雙向細目 試題修正或刪除 不適當題目 進行預試試卷施 測 專家教師審閱 指導教授審閱 分析預試結果並修正試 資料分析與整理 研究前測 進行教學活動 研究後測 撰寫論文 編製試題複本
第二節 研究方法
本研究採準實驗研究設計法，實驗對象為台中市某國小五年級學生共 兩班，分別為實驗組與控制組。在實驗教學的處理中，實驗組實施遊戲融 入教學，控制組則以傳統教學法教學，茲將實驗分述如下。一
一
一
一、
、
、
、實驗組與控制組教學變因控制
實驗組與控制組教學變因控制
實驗組與控制組教學變因控制
實驗組與控制組教學變因控制
本研究是教學法的研究，將受實驗的學生樣本分成實驗組和控制組進 行教學實驗，以進行前測和後測，探討不同教學方法，從兩者教學效果來 比較實驗教學法的效果差異性，實驗組的教學以遊戲融入正規的教學活動 中進行教學，控制組則採用傳統教學方式進行教學，並無加入任何額外教 學或練習等活動。實驗組的教學活動強調遊戲的學習，但主要目的也是在 達成原教學單元之教學目標。為避免實驗組學生受到其他變因影響，能呈 現實驗組教學「遊戲」變因確實以呈現遊戲影響教學的結果，所以實驗組 在教學變因的控制上必須明確。本節就實驗組與控制組的控制變因與操作 變因做說明。教學實驗之處理如表 3-2-1： 表 3-2-1 教學實驗之處理 自變項 控制變項 操縱變項 依變項 控制組 1.學生起點行為 2.教學單元內容 3.授課時數 傳統教學 異分母分數加減的 學習表現 實驗組 1.學生起點行為 2.教學單元內容 3.授課時數 遊戲教學 異分母分數加減的 學習表現
（一）控制變因 進行實驗主要要控制所有可能影響的變因，一次只讓一種變因變 化，找出此變因所帶來的影響，而控制實驗組與控制組相同的變因就是 控制變因。為確認實驗組教學時，僅受「遊戲教學」變因所影響，所以 嚴謹的界定實驗的控制變因。以下就教學單元內容、授課時間及學生學 習背景等控制變因進行說明： 1、學生起點行為 實驗組與控制組的學生皆為台中市同一所國小的學生，在先前的 學習歷程與使用教材方面都是相等的，也無城鄉差距的問題存在。並 對學校班級進行分數基本能力的前測，選擇兩個能力相當的班級，成 為實驗組與控制組進行實驗教學，更確保學生的起點行為的一致性。 2、教學單元內容 本研究主要是在原本教學單元中，研究者以遊戲融入教學的方式 對實驗組進行實驗研究，而控制組則採原本教材的單元活動設計進行 教學，所以實驗組與控制組的教學單元是一致的。其教學單元內容為 康軒版九年一貫課程數學科第十一冊第六單元「異分母分數的加 減」。其教學單元活動為：「擴分和約分」、「通分」、「異分母分數的加 法」、「異分母分數的減法」。控制組依教材內容進行一般之教學活動； 控制組教學採研究者依教材內容所設計之遊戲教學內進行教學活動。 3、授課時數 本研究進行教學實驗的單元為分數大小的比較，課程教學時數為 七節課，共 280 分鐘。在課程教學的安排上，控制組用六節課進行一 般教學活動，及一節課進行例題練習活動；實驗組用五節課進行研究 者設計的五個遊戲教學活動，進行實驗教學。
（二）操縱變因 本實驗研究的操縱變因為教學方法。控制組採用傳統的教學方法， 以課本的授課內容、教學方式，及由老師講述並教導學生解題方式進行 教學活動。實驗組以研究者設計的四個遊戲融入教學的單元活動，讓老 師與學生互動學習，藉以產生異分母分數的加減法的遊戲，來進行教學 活動。
