避險理論

其中，Xs為現貨部位的數量，Xf為期貨部位的數量，St為第 ｔ期的現貨價格，Ft為第ｔ期的期貨價格，基差 Bt = St - Ft。

因為套利空間為 0，故 E(W) = 0，代入(2-2)式，得：

E(W) = 0 = XsE (Bt-B0)

即 Bt-B0 = (St-F1) - (S0-F0) = (St- S0) - (F1-F0) (2-3)

若以報酬的變異數來表示為基差風險，則：

Var (W) = XsVar (Bt) (2-4)

由(2-3)可知，傳統的避險理論內隱含著基差變為 0 之假設。

但實際上，基差並不為 0。所以若 E(W)不為 0，則 Bt-B0不為 0，

Var (W) 亦不為 0。表示雖然已經採取避險比率為 1 的完全避險，

但實際上仍不能消除基差風險，因此直接避險策略並不是最佳的 策略選擇。

2、 選擇性避險

Working (1962)【27】認為在期貨市場中避險者為風險中立 者，以追求最大預期利潤為避險目的，因為手中擁有現貨所以追 求的並不是絕對價格而是相對價格。避險者會根據基差的走向來 決定避險策略，若預期基差上升，則採取等量的反向避險策略；

反之則不採取任何避險策略，換言之其避險比率不是 0 就是 1。

數學模式表示如下：

E(W)=Xs【（1+h）E（ΔS）－hE(ΔB）】，h = 0,-1 (2-5)

若避險者認為 E(ΔB）>0，則 h = -1，此時採取等量反向的避 險策略求利潤之極大；反之，若 E(ΔB）<0，則 h = 0，此時將不 採取任何的避險策略。

3、 投資組合避險

Johnson(1960)【20】與 Stein(1961)【23】將 Markowitz(1952)

【22】的投資組合均異模型應用於避險理論，並整合了傳統避險 理論及 Working【27】的選擇性避險理論觀點，主張避險者會同 時考量風險與利潤兩個層面，因此投資組合避險理論可以分為下 列三項：

i、 最小風險法

Ederington(1979)【16】推導出的風險極小避險模型是假 設避險的目的在追求風險的極小而非利潤的極大，所以認為 其現貨部位與期貨部位並不互為替代品。此分析法是以價格 的變異數與標準差來衡量風險的大小，故其導出的最適避險 比率介於 0 至 1 之間，亦可為 0 或 1，所以又稱為部份避險 理論。其數學式表示如下：

其目標函數為：

Xf

Min

^{Var W}

^{( )}

^{=Xs2σs2+X2fσ2f +2X Xs fσsf (2-6)}

將(2-6)式對 X_f微分並令其為 0，則可得最適期貨部位為：

*

2 sf

f s

f

X σ X

σ

⎛ ⎞

= −⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ (2-7)

最適避險比率為：

*

*

2

f sf

s f

HR h X X

σ

≡ = = −σ (2-8)

若h^*>0，表示期貨和現貨的長短部位一致；若h^*<0，表 示期貨和現貨的長短部位相反。但是因為期貨和現貨價格通 常皆是同方向的變動，所以σ_sf 通常為正，且σ²_f為正值，所以 最適避險比率大致呈現正值。

ii、 均異模型

Heifner(1972)【17】假設避險者的預期效用函數為期望 報酬與風險函數並重的投資組合均異模型，假設擁有一種現 貨部位（Xs），則避險之後的報酬可表示為：

( )

+Xf

(

F Ft t₋1

)

S t t-1

W=X S -S - (2-9)

而避險者的目標是在追求效用期望值的最大，其數學模 式可表示如下：

( ) ( ) ( )

s f 2

X X

E U W E W Var W

MAX Ω

^{= ⎡}⎣ ^⎤⎦^{= −λ (2-10)}

s.t. E W

( )

=X E Ss

(

t−St₋1

)

+X E Ff

(

t−Ft₋1

)

( )

s² s^{2 2}f ²f ² s f sf

Var W =X σ +X σ + X X σ

λ：為風險趨避係數且>0

W：為避險後之報酬

2

σs ：為現貨的價格變異數

2

σf：為期貨的價格變異數

σsf ：為現貨與期貨價格的共變異數。

依 Lagrangian 函數求X_s、 X_f最適解，即將(2-10)對 X_s、

Xf作一階微分並令之為 0 得：

( )

2

*

2 2 2

s f f sf

s

s f sf

X μ σ μ σ λ σ σ σ

= −

− (2-11)

( )

2

*

2 2 2

f s s sf

f

s f sf

X μ σ μ σ λ σ σ σ

= −

− (2-12)

最適避險比率為：

* 2

*

* 2

f f s s sf

s s f f sf

HR h X X

μ σ μ σ μ σ μ σ

≡ = = −

− (2-13)

若現貨部位為已知，則由(2-10)可解得最適期貨部位為：

*

2 2

f sf

f s

f f

X μ σ X

λσ σ

⎛ ⎞

= − ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ (2-14)

2 f

f

μ

λσ ：為對未來期貨價格變動的預期，稱為純投機需要。

2 sf

f

σ

σ ：為現貨與期貨的共變異數及期貨價格變異數之比。

若現貨價格與期貨價格均為已知情況時，σ_sf 與σ²_f亦為已 知，此為在最小風險下預期報酬極大部分，是避險比率的純 避險部份，稱為純避險需要。若μ_f為 0，或λ趨近無窮大，

則 ^f₂

f

μ

λσ 為 0， 此 時 避 險 者 不 預 期 會 得 到 額 外 的 利 潤 ， 因 此

HR= ^sf₂

f

σ

σ 。因為在實證研究時λ很難判斷，所以在實際估算最

適避險比率時皆假設 ^f₂

f

μ

λσ 為 0。

iii、 風險報酬法

Howard and D’Antonio (1986) 【18】認為在不考慮其它 成本下，避險者兼顧利潤極大化與風險極小化下建立的投資 組合是在追求此一投資組合的報酬對風險的極大為目的。其 數學模式如下：

f

Max

X

( )

P

p

E W i

θ σ

= − (2-15)

( )

P

E W ：為現貨與期貨投資組合的預期報酬率。

i：為無風險利率。

σp：為現貨與期貨投資組合的標準差。

0 0

0

s s f f

P s

s

X S W X F W

W X P

= + (2-16)

( )

²

( )

²

2 2 2 2

0 0 0 0

0

1 2

p s s f f s f s f sf

s

X S X F X X S F

σ = X P σ + σ + σ σ ρ (2-17)

其中，X_s為現貨部位數量，X_f為期貨部位數量，S₀、F₀ 為代表期初的現貨與期貨價格，W_s、W_f為代表現貨與期貨的 期望報酬率，σ_s、σ_f為現貨報酬率與期貨報酬率的標準差，

ρsf 為現貨與期貨報酬率的相關係數。

根據(2-15)可得最適期貨部位：

* *

f s

X =X h (2-18)

最適避險比率為：

( )

*

HR h λ ρ1 πγ λρ

≡ = −

− (2-19)

(

s ^f

)

^f s

W W i λ σ

= σ

− ：代表相對的風險報酬。

f

s

π σ

=σ ：代表相對風險。

f

s

P

γ = P ：代表相對價格。

由(2-19)可得知，λ值為決定h^*的重要因素。若λ=1 表示 期貨部位與現貨部位的超額報酬相同。若λ>1 表示期貨部位 提供較大的超額報酬，此時h^*會提高。若λ<1 表示期貨部位 提供較小的超額報酬，此時h^*會降低。此外在

(

^1−λρ

)

^{>0 的前}

提下，同時需考量λ、ρ。當λ>ρ則h^*>0，避險者會買進期 貨。當λ<ρ則h^*<0，避險者會賣出期貨。當λ=ρ則h^*=0，此 時不論買進或賣出期貨都對現貨避險亳無幫助，所以將不再

在文檔中 中 華 大 學 (頁 39-47)