ARIMA 模型

自 我 迴 歸 整 合 移 動 平 均 模 型 (Autoregressive Integrated Moving Average Model；ARIMA 模型)是一種常用的隨機時間序列 模型，由 Box & Jenkins【13】在 1970 所提出，因此又稱為 B-J 模型。ARIMA 分析主要是以遞迴的方式對時間序列資料建構模 式，經過一次或一次以上的差分，將時間序列轉換成定態的時間 序列。所謂定態的時間序列是指時間序列資料的統計特性不會隨 著時間而改變。

ARIMA(p,d,q)模型可表示為一序列有 p 階的自我迴歸、q 階 的移動平均過程和差分 d 次而成為定態序列，其數學模式如下：

Φp(B)(1-B)dYt = C+Θq(B)ε_t (3-1)

其中，Φp(B) = 1-φ1B-φ1B²-….. φpB^p

Θq(B) = 1-θ1B-θ1B²-….. θqB^q

Yt 是 指 一 隨 機 過 程 所 產 生 的 等 時 距 序 列 ， 且 具 有 定 態 性 (stationarity)與可逆轉性(invertibility)。B 為後移運算子(back shift operator)，例如 BYt = Yt-1。p,d,q 為非負整數，φ 為自我迴歸參數，

θ 為移動平均參數，C 為常數項，εt為白噪音(white noise)。

ARIMA 主要的遞迴過程分為以下四個步驟：

1、 模型鑑定

模 型 鑑 定 階 段 的 主 要 工 作 即 是 判 定 ARIMA(p,d,q)的最合適 階數，一般而言，在進行統計分析前需先判定資料是否為平穩型 資料，倘若序列非平穩型，則需透過差分將資料轉換為定態時間 序列，並利用自我相關函數(autocorrelation function，ACF)與偏自 我相關函數(partial autocorrelation function，PACF)判定 p,q 的階 數。模型判斷準則如下：

表 3.4 ARIMA 模型判斷準則

模型區分 ACF PACF

MA(q) q 期後”截斷”

呈”指數遞減”或

正負相間遞減的形式

AR(p)

呈”指數遞減”或

正負相間遞減的形式

p 期後”截斷”

ARMA(p,q) 逐漸衰退 逐漸衰退

其中，“截斷”的意思為 ACF 與 PACF 僅只有少數幾階顯著，

通常是以兩倍的標準差做為判斷的依據。

2、 參數估計

在(3-1)式中，欲估計之參數為 Φ 與 Θ，若原始資料為非定態 則要先轉換為定態數列再以最小平方法估計之，使得誤差平方和 為最小。但因為 ARMA 係數為非線性狀態，真正的參數值不易估 計，若樣本數夠大時，可利用最大概似函數法，亦可得有效的函 數估計值。採遞迴方式進行非線性的係數估計時，需指定係數的 起始值，再觀察所得的係數值是否收斂，一般而言，因為 ACF 已知，所以自我迴歸的起始值可以用 Yule-Walker 聯立方程式求 出的 p 個 φ 係數做為自我迴歸係數的第一組值，而移動平均的係 數同樣可利用 ACF 的特性：

1 1

2 2 2

1 2

...

1 ...

k k q k q

q

θ θ θ θ θ

θ θ θ

+ −

− + + +

+ + + + k = 1…q

Pk = ０ k>q…

加上已知的 ACF，以 q 個聯立方程式，解出 q 個移動平均係 數 θ 作為起始值，再以遞迴方式計算其係數。

3、 模型診斷

當模型參數經過估計後，需診斷檢定模型是否適合，則可利 用原始資料與依模型所得到的預測值兩者之差距，即為殘差值，

根據 AIC 準則檢驗殘差序列做為選取模型的標準：

( )

^{M n}

( )

^M

AIC = lnσˆ_ε² +2 (3-2)

Ｍ：為模型中參數的個數。

ｎ為有效觀測值個數。

ˆ_ε2

σ ：為σˆ²之最大概似估計量。

AIC 的值是愈小愈好。

4、 預測

經 由 模 型 診 斷 後 所 選 擇 的 最 適 模 型 可 以 做 為 最 後 的 預 測 分 析，假設 Y_T為時間序列最後一個觀察值，Z_T+1即表示在 T 點預測 ι 個時期後的觀測值，Z)_T+1

為Z_T+1之最佳預測值。所謂最佳之定義 為該預測值使得均方誤差E_T

[

Z_T+1−Z)_T+1

]

²

為最小。欲求得 T+ι 期最佳 預測值得先求得 T+1 期之預測值，再依此計算 T+2 期之預測值，

以此類推直到 T+ι 期。

3.4 避險模型的建立

目前我國飼料原料仰賴進口為多，再加上國際原物料波動甚 鉅，因此飼料廠商在面對採購成本時勢必將會面臨到價格風險與 匯率風險。因此在估算避險策略時，我們必須考慮到匯率風險與

來規避因原物料波動所引起的價格風險。在匯率風險方面，因為 我國目前只開放新台幣對美元的遠期契約，因此我們假設以新台 幣兌美元的遠期契約來規避匯率風險。並採用最小風險法，假設 在期初手中目前並無存貨部位，故其為預期避險，利用多頭避險 配合匯率風險的考量導出最小風險模型，並估算出最適避險比率。

令 XS、Xf為現貨部位與期貨部位的數量，St、Ft為第ｔ期的 現貨價格與期貨價格，e_t為第 t 期新台幣兌美元的即期匯率，t=1 為期初，t=2 為期末。X_S、S^１、F^１為已知，令σs² =Var S

( )

2 ，σF² =Var F

( )

2 ，

(

2, 2

)

SF Cov S F

σ = 。

假設在兩期的考量中，飼料進口商皆不採取任何避險措施，

則期末財富我們以美元表示如下：

U = −X S2 2 （3-3）

( )

S

( )

2

E U = −X E S （3-4）

( )

s²

( )

2 s² s²

Var U =X Var S =X σ （3-5）

假設原料進口商只以穀物市場期貨契約來避險，而不考慮匯 率風險下，則其期末財富如下：

( )

2 2 1

s f

W = −X S +X F −F （3-6）

( )

s

( )

2 f

( )

2 f 1

E W = −X E S +X E F −X F （3-7）

( )

_S²

( )

2 ²_f

( )

2 2 _{s f}

(

2, 2

)

Var W =X Var S +X Var F − X X Cov S F （3-8）

=X_s²σ_S²+X²_fσ_F² −2X X_{s f}σ_SF

將（3-8）對 X_f做一階微分且令之為 0，則可得最適避險為：

2

f SF

OUS

s F

HR X

X σ

= = σ （3-9）

若同時考慮價格與匯率風險，但只使用穀物市場期貨契約來 避險，期末財富以新台幣計價，則：

( )

2 2 2 1 2

s f

W = −X S e +X F −F e （3-10）

( )

s

(

2 2

)

f

(

2 2

)

f 1

( )

2

E W = −X E S e +X E F e −X F E e （3-11）

( )

_S²

(

2 2

)

²_f

(

2 2

)

²_f 1²

( )

2 2 _{s f}

(

2 2, 2 2

)

Var W =X Var S e +X Var F e +X F Var e − X X Cov S e F e

( )

²

( )

1 2 2 2 1 2 2 2

2X X F Cov S e e_{s f} , 2X F Cov F e e_f ,

+ − （3-12）

為簡化起見，定義：

(

2 2

)

Se

E S e =μ ， E F e

(

2 2

)

=uFe ， E e

( )

2 =ue ， Var S e

(

2 2

)

=σSe² ，

(

2 2

)

Fe²

Var F e =σ ， Var e

( )

2 =σe² ， Cov S e F e

(

2 2, 2 2

)

=σ_{Se Fe}, ，

(

2 2, 2

)

_{Se e},

Cov S e e =σ ，Cov F e e

(

2 2, 2

)

=σ_{Fe e}, 。

則（3-11）、（3-12）重新表示如下：

( )

_S² _Se^{2 2}_{f Fe}^{2 2}_f 1² _e² 2 _{s f Se Fe},

Var W =X σ +X σ +X F σ − X X σ

2

1 , 1 ,

2X X F_{s f} σ_{Se e} 2X F_f σ_{Fe e}

+ − （3-14）

將（3-14）代入目標函數 Min Var(W)中，並對 X_f做一階微分 且令之為 0，則得到之最適避險為：

, 1 ,

2 2 2

1 2 1 ,

f Se Fe Se e

ONT

s Fe e Fe e

X F

HR X F F

σ σ

σ σ σ

= = −

+ − （3-15）

若同時考慮價格與匯率風險，並使用穀物市場期貨契約來規 避價格風險及新台幣兌美元之遠期契約規避匯率風險，則期末財 富以新台幣計價為：

( ) ( )

2 2 2 1 2 1

s f e

W = −X S e +X F −F + e −w X （3-16）

( )

s Se f Fe f 1 e c e c 1

E W = −X u +X u −X F u +X u −X w （3-17）

( )

_S² _Se^{2 2}_{f Fe}^{2 2}_f 1² _e² _c² _e² 2 _{s f Se Fe}, 2 _{s f} 1 _{Se e},

Var W =X σ +X σ +X F σ +X σ − X X σ + X X Fσ

2 2

, 1 , , 1

2X X_{s c}σ_{Se e} 2X F_f σ_{Fe e} 2X X_{s c}σ_{Fe e} 2X X F_{f c} σ_e

− − + − （3-18）

將（3-18）代入目標函數 Min Var(W)中，並對 X_f做一階微分 且令之為 0，則得到之最適避險為：

( )

( )

2

1 ,

, 1 ,

2 2 2 2 2 2

1 2 1 , 1 2 1 ,

c e Fe e

f Se Fe Se e

OB

s Fe e Fe e Fe e Fe e s

X F

X F

HR X F F F F X

σ σ

σ σ

σ σ σ σ σ σ

− −

= = +

+ − + − （3-19）

1 c f

e

s s

X X

HR F

X X

= = （3-20）

（3-15）、（3-19）式為同時面臨價格風險與匯率風險時，只 使用穀物市場期貨契約來避險，與同時使用穀物市場期貨契約及 新台幣兌美元之遠期契約來規避價格風險與規避匯率風險的最適 避險比率。但在實際情形中，穀物市場的價格與匯率的相關程度 甚低，所以我們可假設σ_{Se e,} =σ_{Fe e,} =0，因此（3-15）、（3-19）式可 簡化為：

,

2 2 2

1

f Se Fe

ONT

s Fe e

HR X

X F

σ

σ σ

= =

+ （3-21）

( )

, 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1

f Se Fe c e

OB

s Fe e Fe e s

X X F

HR X F F X

σ σ

σ σ σ σ

= = +

+ + （3-22）

若進一步將（3-20）式代入（3-18）和（3-19）式中，則：

( )

s Se f Fe f 1 1

E W = −X u +X u −X F w （3-23）

( )

_s² _Se^{2 2}_{f Fe}² 2 _{s f Se Fe},

Var W =X σ +X σ − X X σ （3-24）

, 2

f Se Fe

OB

s Fe

HR X X

σ

= = σ （3-25）

綜合以上四種模式我們可將其彙整如下表：

不避險 (以美元表示)

( )

s

( )

2

E U = −X E S

( )

s² s²

Var U = X σ

只考慮 價格風險，

並用期貨避險 (以美元表示)

( )

s

( )

2 f

( )

2 f 1

E W = −X E S +X E F −X F

( )

s² S^{2 2}f F^{2 2} s f SF

Var W = X σ +X σ − X X σ

2

f SF

OUS

s F

HR X

X σ

= = σ

同時考慮價格與 匯率風險，

但只用 期貨避險 (以新台幣表示)

( )

s Se f Fe f 1 e

E W = −X u +X u −X F u

( )

_s² _Se^{2 2}_{f Fe}^{2 2}_f 1² _e² 2 _{s f Se Fe},

Var W = X σ +X σ +X F σ − X X σ

,

2 2 2

1

f Se Fe

ONT

s Fe e

HR X

X F

σ

σ σ

= = +

同時考慮價格與 匯率風險，且同 時使用期貨與遠 期契約避險(以 新台幣表示，其

中X_c =X F_{f 1})

( )

s Se f Fe f 1 e c e c 1

E W = −X u +X u −X F u +X u −X w

( )

_s² _Se^{2 2}_{f Fe}^{2 2}_f 1² _e² _c² _e² 2 _{s f Se Fe}, 2 _{f c} 1 _e²

Var W = X σ +X σ +X F σ +X σ − X X σ − X X F σ

, 2

f Se Fe

OB

s Fe

HR X X

σ

= = σ

1 c f

e

s s

X X

HR F

X X

= =

在文檔中 中 華 大 學 (頁 57-66)