隨機邊界法的文獻介紹

Stochastic frontier approach(隨機邊界法)，簡稱 SFA，主要來自兩篇由 Meeusen and van den Broecj (1977)及 Aigner, Lovell, and Schmidt(1977)所提出的 一套衡量效率的方法，在這兩篇文章提出這個方法之後，Battese and Corra(1977) 也在同年提出類似的概念，模型如下：

{ }

exp ) f(x;

y = β ⋅ ) N(0,

~

v σ _v²

其中 y 為產出、x 是要素投入、β是技術參數，而誤差主要由兩部分構成，

且兩者之間相互獨立。第一部分是隨機誤差 v，為一均數為 0，變異數 的常態 分配，這個隨機誤差用來捕捉統計上的隨機干擾項；第二部分為 u，這個 u 必須 大於等於零，是由於廠商技術上的無效率所導致，故為產出的減項(若 u 為 0，表 示廠商沒有生產上的無效率，若 u 大於 0，則有生產上的無效率)，因此當廠商生 產活動落在隨機生產邊界上[f(x; β)．exp{v}]，則表示 u 為 0，廠商以最佳方式 進行生產活動。

2

σv

關於 u 分配的設定，各家眾說紛紜，Meeusen and van den Broecj (1977)設 u 服從指數分配、Battese and Corra(1977)則設 u 為半常態分配、Aigner, Lovell, and Schmidt (1977)則是兩者皆採用，並做一比較；相較於單參數分配，Greene(1980a,b) 提出 Gamma 分配，Stevenson(1980)提出 Gamma 及截尾半常態的雙參數分配，

Lee(1983)則提出 Pearson family 四參數分配。

u 分配的設定對參數β， 及 的估計將產生不同的影響，然而不論設定 型態為何，都要求合成誤差(v-u)有負偏態的性質，並能夠透過最大概似函數估計

之。而廠商的技術無效率在 u 為半常態分配下，以 估

計之；在指數分配下，以

2

σv σ_u²

u

)1/2

-(2/

u) -E(v

E(-u)= = π σ

- u

u) -E(v

E(-u)= = σ 估計之。

在早期研究隨機邊界及效率的文獻中，Fφ rsund, Lovell, and Schmidt(1980; 14) 提出隨機邊界的缺點，他們認為沒有一個有效的方法將估算出來的殘差分解為隨 機干擾項與技術無效率項，最多只能得知整體樣本廠商的平均無效率水準。之後 Jondrow, J., C. A. K. Lovell, I. S. Materov, and P. Schmidt(1982)針對這個問題進行研 究，他們提出以條件均數或條件眾數 [ ] 當作個別廠商的技術無效率估 計值。

i i i| v -u u

隨機邊界法除了在生產面的應用外，對成本面也同樣適用，此時模型將改為 如下所示：

u}

exp{v )

w;

y, C(

E= β ⋅ +

) N(0,

~

v σ _v²

其中 E 為總成本，y 為產出、w 是要素價格、β是技術參數，而誤差主要由 兩部分構成，且兩者之間相互獨立。第一部分是隨機誤差 v，為一均數為 0，變 異數 的常態分配，這個隨機誤差用來捕捉統計上的隨機干擾項；第二部分為 u，這個 u 必須大於等於零，是由於廠商技術上的無效率所導致，故為成本的加 項(若 u 為 0，表示廠商沒有成本上的無效率，若 u 大於 0，則有成本上的無效率)，

2

σv

因此當廠商生產活動落在隨機成本邊界上[C(y; w; β)．exp{v}]，則表示 u 為 0，

廠商以最佳方式進行生產活動。

橫斷面的研究對廠商績效的評估提供了一個比較基礎，然而縱斷面的資料更 有助於了解廠商的長期經營績效以及技術進步的變革，以及個別廠商在整個業界 的相對競爭優劣勢。Hoch(1955,1962) 和 Mundlak(1961)運用 Panel data 去估算農 業生產函數，並把誤差的變異視為管理方法的不同；之後 Pitt and Lee(1981)將橫 斷面的最大概似估計法應用到 Panel data 上，Schmidt and Sickles(1984)則是延伸 Hoch(1955,1962) 和 Mundlak(1961)的研究，並運用固定效果模型與隨機效果模 型去估算效率值；早期考慮 Panel data 的效率估算法中，假定特定廠商的效率不 隨時間點變化，然而時間選的越長，這個假設越不合理，Cornwell, Schmidt, and Sickles(1990)、Kumbhaker(1990)及 Battese and Coelli(1992)則將此條件放寬。

效率不但會隨者時間點不同而發生改變，也跟一些廠商的經營手法與特色有 關，因此如何去找出影響這些效率產生變化的研究也就隨之而生。早期的研究是 運用二階段法，第一階段是先估計出廠商個別效率，第二階段則是將效率估計值 與效率因子進行回歸分析，找出對效率有顯著影響力的因素，然而在比較近期的 研 究 ， 包 括 Kumbhakar, Ghosh, and McGuckin(1991) 、 Reifschneider and Stevenson(1991)、Battese and Coelli(1995)均使用一階段法，把效率因子直接納入 無效率項，同成本函數一起估計，這兩種方法相同處在於假定效率是某些效率因 子(如：經理人持股比率、市場壟斷力)的函數，差異處在於一階段估計法可以解 決統計上一致性的問題。

另外，在估算成本效率上還有所謂的 Thick Frontier Analysis(厚邊界法)及 Distribution-free Approach( 自 由 分 配 法 ) ， 厚 邊 界 法 由 Berger and Humphrey (1991,1992)提出，這個方法特點在於不對無效率項進行分配上的假設，而是依照

廠商的成本產出比率(或成本資產等具代表性比率)高低分成數組，並個別估算每 組的成本函數，然後將高成本效率組與低成本效率組之間平均預測成本的差異分 解為由不採用高成本效率組別的生產方式所產生的成本無效率以及產出不同所 造成差異的加總以進行各組別效率的比較，此法優點在於不需對無效率分配進行 假設，缺點則是分組的準則流於主觀。

自由分配法則由 Berger(1993)所提出，DeYong(1997)則是發展一套模式驗證 這個方法，這個方法重點也是不對無效率項進行分配上的假設，而是認為隨機干 擾項隨時間的增加，平均而言將遞減為 0，而無效率因子在某段時間則維持一定 水準，只要選定適當的一段時期，廠商的效率水準可由該時期的平均殘差衡量，

DeYong(1997)利用美國銀行資料，驗證 6~7 年間銀行的效率大致維持在同一水 準。

最後，在效率衡量的方法上，較新進展為 Battese, Rao, and O'donnell(2004) 所提出的 Metafrnotier Production function model，此法可以針對具有數群不同技 術的廠商進行效率的估計與比較，主要方式是利用這些不同技術群體的廠商建構 一個 Metafrontier，所有的廠商在特定要素與技術下的產出均不得超出這個共同 邊界，再利用 Metafrontier 去估算各群體廠商的技術效率，以進行效率之間的比 較。