第三章 研究方法
第四節 非線性共整合檢定
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𝑦𝑡 = 𝛽0+ 𝛽1𝑧𝑡+ 𝜀𝑡 ─ (3.3.1)
其中如果兩變數有共整合關係，根據Stock (1987) 𝛽̂ 和 𝛽0 ̂ 會為 𝛽1 0 和 𝛽1 的超級一致性估計量(super consistent)，且收斂的速度會比定態情況下的最小平方 法估計還要快。
Step2
將step1 得到的殘差項序列 𝜀̂ 做以下方程式的估計： 𝑡
∆𝜀̂ = 𝑎𝑡 0𝜀̂ + ∑𝑡−1 𝑛𝑖=1𝑎𝑖∆𝜀𝑡−𝑖+ 𝜇𝑡 ─ (3.3.2)
其中 𝜀̂ 為 step1 中所獲得的殘差項，𝑎𝑡 0 及 𝑎𝑖, 𝑖 = 1 … 𝑛 為回歸係數，𝜇𝑡 為滿足白噪音假設的隨機誤差項，n 為差分項∆𝜀𝑡−𝑖的落後期數。此時針對 𝜀̂ 𝑡 做ADF 單根檢定，若拒絕虛無假說 𝐻0: 𝑎0 = 0，則 𝜀̂ 序列為 I(0)定態序列，𝑡 𝑦𝑡 和 𝑧𝑡 有共整合效果。然而，因為我們的誤差𝜀𝑡用的是Step1 回歸估計所得 到的殘差𝜀̂，此時會有傾向接受殘差為定態的情況𝑡 11；因此，不可直接使用ADF 檢定的臨界值而需根據 MacKinnon (1999)、(2010) 所提供的方式計算出共整 合檢定各顯著水準的臨界值。
第四節 非線性共整合檢定
在本文中，若根據 Engle-Granger 共整合檢定之後，無法拒絕沒有共整合效 果的公司樣本，本研究中會再透過此節的非線性共整合模型做檢定。因為在某些 情況下，Engle-Granger 共整合檢定無法檢測出共整合效果的原因為：一開始對誤
11 此敘述參考 Enders (2010), Applied Econometric Time Series 3e, pp. 374。
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差修正是線性的假設就是錯誤的，使得共整合檢定的檢定力下降而無法正確地拒 絕虛無假說。因此，需再經由非線性共整合檢定，才能使得兩序列是否有共整合 效果的判斷更為準確。以下介紹非線性共整合檢定的方法：
一、 門檻自我回歸共整合檢定(TAR)
假定有兩個變數 𝑦𝑡 和 𝑧𝑡 兩序列都為 I(1)，則接下來我們可以根據 Enders and Siklos (2001) 擴展 Engle-Granger 共整合檢定所提出的方法，來確 認兩序列是否有門檻自我回歸共整合關係，其檢定過程如下：
Step1
以普通最小平方估計法估計
𝑦𝑡= 𝛽0+ 𝛽1𝑧𝑡+ 𝜀𝑡 ─ (3.4.1.1)
其中如果兩變數有共整合關係，則𝛽̂和𝛽0 ̂會為𝛽1 0和𝛽1的超級一致性估計量 (super consistent)。
Step2
將步驟1 得到的殘差項序列 𝜀̂ 做以下方程式的估計： 𝑡
∆𝜀̂ = 𝐼𝑡 𝑡𝜌1𝜀𝑡−1̂ + (1 − 𝐼𝑡)𝜌2𝜀̂ + ∑𝑡−1 𝑛𝑖=1𝑎𝑖∆𝜀𝑡−𝑖+ 𝜇𝑡 ─ (3.4.1.2)
其中 𝜀̂ 為 step1 中所獲得的殘差項，𝜌𝑡 1、𝜌2 及 𝑎𝑖 為回歸係數，𝜇𝑡為滿 足白噪音假設的隨機誤差項，n 為差分項∆𝜀𝑡−𝑖的落後期數，𝐼𝑡則為指標函數：
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𝐼𝑡= { 1, 𝜀̂ > 𝜏 𝑡−1
0, 𝜀̂ < 𝜏𝑡−1 ─ (3.4.1.3)
其中𝜏為未知的門檻值。
Step3
檢定 𝑦𝑡 和 𝑧𝑡 是否有門檻自我回歸共整合關係分為兩步驟。第一步檢定 虛無假設 𝑦𝑡 和 𝑧𝑡 是否有共整合關係，等同於檢定虛無假說 𝐻0: 𝜌1 𝜌2 0；
此時檢定統計量為 F 統計量，若拒絕虛無假說 𝜌1 , 𝜌2 全為 0 則說明 𝜀̂ 為𝑡 定態數列12，有共整合關係。此時再經由第二步檢定虛無假說 𝐻0: 𝜌1 𝜌2，若 拒絕虛無假說，說明誤差修正有不對稱的調整，則可以確認 𝑦𝑡 和 𝑧𝑡 有門檻 自我回歸共整合關係(非線性共整合關係)。
二、 動量門檻自我回歸共整合檢定(M-TAR)
以上所述模型，如果根據Enders and Granger (1998) 將誤差修正項調整方 式改為取決於𝜀̂ 的差分值，如下： 𝑡−1
𝑀𝑡 = { 1, ∆𝜀̂ > 𝜏 𝑡−1
0, ∆𝜀̂ < 𝜏𝑡−1 ─ (3.4.2.1)
則成為Enders and Siklos (2001)所稱的 M-TAR 共整合模型，可做 M-TAR 非線
12須注意，在虛無假設為真下，此時檢定統計量的漸進分配並不是傳統的F 分配，必須經由 Monte Carlo 模擬而得，一般檢定統計量的臨界值可參考 Enders and Siklos(2001)所提供的臨界值表，然 而因本文中的樣本數和落後期數和Enders and Siklos(2001)針對沒有落後項、落後 1 期、落後 4 期
及相對應的樣本大小n 50、100、200 做模擬的臨界值不同，因此，為了確保檢定的準確性，本
研究將根據其方法針對本研究的資料自行模擬臨界值。
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性共整合檢定。