預測方法

3.2.1 單變量 ARIMA 模式

ARIMA 模型是由 Box＆Jenkins（1970）所提出，由資料的過 去實際值和隨機振動（random shock）來組成時間序列。ARIMA

（p,d,q）模式表示一序列有 p 階的自我迴歸過程、q 階的移動平

6 AIC 是 由 Akaike 於 1973 年 提 出 。

39

均過程和差分 d 次可成為定態序列，可表示如下：

( )( )

^d _{t q}

( )

_t

p B −B Y =C+Θ Bε

Φ 1 （3-1）

( )

B = −φ B−φ B − −φ_pB^p

Φ 1 _{1 2} ² ... （3-2）

( )

^{B = −θ B−θ B − −θ}_q^Bq

Φ 1 _{1 2} ² ... （3.3）

其中，Y_t是由一種隨機過程（stochastic process）所產生的等時距 序列，具有定態（stationarity）與可逆轉性⁷（invertibility）。B 為 後移運算子（backward shift operator），BY_t =Y_t−1。P、d、q 為非負 整數，φ為自我迴歸參數，φ為移動平均參數，C為常數項，ε_t為 白噪音（white noise）。

在 ARIMA 分析中，我們的目的是自時間序列中取出所有可 能的資訊，使得誤差項的分配為白噪音干擾，依據 Box＆Jenkins 的方法論，建立 ARIMA 模式的流程如圖 3.1

7 所 謂 定 態 性 是 讓Φ B_p

( )

=0的 所 有 根 皆 位 於 單 位 圓 之 外 ，Y_t可 表 示 成 MA(∞)的 形 式 。 所 謂 可 逆 轉 性 是 讓Φ B_q

( )

=0的 所 有 根 皆 位 於 單 位 圓 之 外 ，Y_t可 表 示 成 AR(∞)的 形 式 。

40

圖 3.1 ARIMA 模式之建構流程圖

1. 模型鑑定

首先將原始資料依時間先後繪圖，觀察資料的趨勢。從趨勢 圖中可以初步判定資料是否呈現平穩，若序列資料為非平穩型，

則 對 資 料 進 行 差 分 使 其 平 穩 。 然 後 利 用 自 我 相 關 函 數

（autocorrelation function：ACF）值，和偏自我相關函數（partial autocorrelation function：PACF）作為判定 p 及 q 之階次。若模型 僅為自我迴歸模式（Autoregressive Model：AR）或移動平均模式

（Moving Average Model：MA ）過程，判定的準則如下：

模型鑑定

診斷檢查

模型預測分析 模型參數估計

41

表 3.1 模式判定之準則

模型區分 ACF PACF

AR(p)

呈 現 指 數 衰 退 或 正 負 相 間

衰退的方式 P 期後截斷

MA(q) q 期後截斷 呈 現 指 數 衰 退 或 正 負 相 間 衰退的方式

ARMA(p,q) 逐漸衰退 逐漸衰退

其中”截斷”的意義為 ACF 與 PACF 僅僅只有少數幾階顯著，

通常是以兩倍標準差做為判斷顯著的依據。

2. 模型參數估計

若 時 間 序 列 資 料 被 鑑 定 為 ARIMA 模 型 中 之 某 種 特 定 模 型 後，通常自模型中含有一些未知參數在內，此時需對未知參數進 行 估 計 。 一 般 可 利 用 最 小 平 方 法 來 估 計 模 型 中 的 參 數 ， 但 因 ARIMA 係數為非線性狀態，而須採用非線性反覆求解的過程來 估計模型中之參數。

3. 診斷檢查

當模式被鑑定且求得參數之最佳估計值後，欲判定模式是否 適合，可利用原始資料與依模型所得到的預測值兩者間之差距，

即為殘差值，我們依據 AIC 準則檢驗殘差序列做為選取模型的標 準：

( )

^{M n}

( )

^M

AIC = lnσˆ_ε² +2 （3-4）

42

其中，M 為模型中參數的個數；n 為有效觀測值個數；σˆ_ε²為σ_ε²之 最大概似估計量，AIC 越小越好。

4. 模型預測分析

經由診斷檢查後被認定為最適模型，則可以此最終模式進行 預測分析。假設Y_T+l是在 T 時點預測l個時期後的觀測值，Yˆ_T

( )

l 為Y_T+l 之預測值，而Yˆ_T

( )

l 值為使得均方誤差ET

[

YT₊l −Y^ˆT₊l

]

²為最小。欲求 得

l

T + 期最佳預測值須先求得T +1期之預測值，在依此計算T +2期之 預測值，以此類推直到T +l。

在文檔中 圖目次 (頁 47-51)