第二章 文獻探討
第一節 體積的意義與特性
本節針對測量的意義及性質、體積的意義、體積的性質及體積和幾何的關係 加以說明與探討，分述如下：
壹、測量的意義及性質
測量在生活中經常用到，趙明勳和甯自強（1988）認為測量是數學的泉源；
NCTM（2000）認為測量在我們生活中是普遍深入的，並且提供了學習和應用數 學的機會。以下就測量的意義，與測量的性質說明如下：
一、測量的意義
Clements 和 Battista（1986）認為為了比較的目的，測量（measurement）
是對一個物件的物理性質用數字表示的過程；劉秋木（1996）認為測量是比 較兩個物體某一屬性的活動；張紹勳（2000）認為測量就是根據一定的規則，
將數值(或符號)指派給物體或事物的一種程序；許嵐婷（2003）則說測量是 一種操作技能，也是概念上的一種認知；賴文正（2005）認為測量意指賦予 物件的某種屬性的一個數值；而 Van De Walle（2001 張英傑、周菊美譯，
2005）認為測量的意思是指屬性被相同屬性的測量單位「填滿了」、「覆蓋了」
或者「相匹配」，測量的結果是一個數，用來表明測量物體的屬性，以及給 定單位的相同屬性之間的比較。
綜合以上所述，測量的對象是物件的某種屬性，其過程是用相同屬性的 單位來比較，其結果是一個估計值。
二、測量的性質
對於測量和數概念的關係，Dickson, Brown 和 Gibson（1984）認為一般 可直接數的物件其屬性是離散量，而測量物的屬性與連續變數有關，測量是 連續量的估計值。體積是連續量的一種，體積的觀測需要用到測量的概念和 技巧。
Piaget 等人認為測量的觀念出於遞移性和可分割性的邏輯思考（劉秋木，
1981）。趙明勳、甯自強（1988）認為測量的兩個中心概念是比較和工具，
阿基米德性質及加法性為測量的基本性質，阿基米德性質是不論多小的單位 量，都可藉著重覆使用涵概整個被測量物；而加法性則是在沒有重覆測量的 情形下，物件分割成幾部份後，最後的測量結果是各部份測量結果的總合。
Riedesel, Schwartz 和 Clements（1996 謝如山、謝名起、謝名娟譯，2002）
認為測量時應有以下的概念：
（一）在測量一個物體時，要注意測量的屬性（例如體積），也要選擇有屬 性的單位(例如一塊積木），和比較物體屬性的單位（例如立方公 分）。
（二）不管測量的多精確都是近似值。
（三）有些東西能直接測量（例如書本的體積），有些無法直接測量（例如 星球的體積）。
綜合以上所述，測量是一個近似值，其性質是重覆使用某個單位去覆蓋 被測量對象的阿基米得性質與分割後測量結果是其總合的加法性。
貳、體積的意義
具有體積的物體在日常生活中處處可見，但是數學上的體積與一般人所說的 體積似乎有些不同，物體是否中空，物體可否盛物質，物體是液體或固體，也會 影響其體積的定義。以下依照物件是容器或流體物質、固體及教材所採用的定 義，說明如下：
一、物件是容器或流體物質時：
根據學者對物件體積的定義，如果物件是容器，其容器最大的裝載量
(Hart, et al., 1981
; Dickson, et al., 1984），則稱為容量或容積（capacity）。流 體物質要裝在容器裡或封閉空間才可測量其體積。如果是液體時，則該液 體在容器中佔有空間的大小，稱為該液體的體積。如果是氣體時，則氣體 所存在封閉容器之容積即為其體積。二、如果物件是固體時：
如果物件是固體，學者對體積的區分，分為內體積及外體積，分別就 其定義說明如下：
（一）內體積（internal volume）的定義
物體若有中空的部份，則中空部份的大小稱為其內體積，亦即 為一物體所包含的內部空間，例如房間內空間的大小即為該房間的 內體積。
（二）外體積（external volume）的定義
物體本身佔有空間的大小稱為該物體的外體積。如 Piaget 認為 外體積（external volume）又稱為佔有體積（occupied volume），就 是包圍物體的空間，例如石頭丟入水中 水上升的體積即為石頭的 體積。Hart（1981）及
Dickson 等（1984
)認為外體積為物體放入液 體中所排出的液量。譚寧君（1997）認為體積是三維的量，指的是 物件佔有空間的大小。三、一些教材所採用的定義
許多版本教科書（國立編譯館教學指引第 8 冊，2001；南一版第 10 冊 教師手冊，2005；康軒版第 10 冊教師手冊，2005；Everyday Mathematics 三 年級，1998）中都是以物體所佔空間的大小作為體積的定義。
綜合上述的觀點，可歸納出學者對體積的定義取向可分為「佔有空間大小」
及「容器的容量」。雖然定義有些不同，但大體上以「物件所佔空間的體積」、「物
體包容的內部空間」及其「容量」來分別，而在物件本身體積的定義描述上，大 致以「佔有空間」的觀念來說明體積的意義。
參、體積的性質
關於體積的屬性，體積的量屬於外延量，具稠密性，屬於連續量的一種。就 測量而言，體積尚有可以不停的予以分割，符合加法原則，具有保留性，可以被 比較的，可以觀察和測量的，其測量通常有誤差，可以設定單位，有些體積可以 用公式求得的特徵（劉秋木，1996）。
以下就體積的保留性、可比較性、可分割與可合成、可測量性分別加以說明：
一、體積的保留性
關於體積的保留性，以下分為保留概念和體積的保留性加以說明。
（一）保留概念（conservation）的意義
國內外學者針對保留概念有各種不同的定義，但依比較的對象主要 可分為物件自己和自己的比較以及二種物件之間的比較，說明如下：
1 .物件自己和自己的比較
保留概念是一種和原來的特質、固有性質、量或屬性的比較關 係，在物件歷經物理外觀的改變，或是位置的移動、方向的轉動、形 狀的改變、切割的轉換，或者是剛體運動如旋轉、平移、翻轉等，仍 然不變的認知能力（趙明勳、甯自強，1988；劉秋木，1996；譚寧君，
1995；Dickson, et al., 1984）
2. 二種物件之的比較
Stavy 和 Tirosh（1996）認為保留概念指的是二種維持某種相同狀 態（重量相同、體積相同、容量相同等）的物件，其中之一的物件面 對不相關的（irrelevant）改變時，對二者量的關係的認知還是不變。
綜合以上學者對保留概念的定義，可以發現保留概念是一種認知能 力——當物件面對屬性中的某種改變，其屬性的量仍然不變。
（二）體積的保留性
因此當物件的屬性是體積時，根據以上學者對保留概念的定義，可知 體積的保留概念是指物體不會因為「形狀改變」、「切割」、「重組」、「方向」、
「位置的改變」等的轉換，而改變體積的大小。有關體積的保留性，如表 2-1-1 圖示說明。
表 2-1-1 體積的保留性
項 目 圖 示 說 明
形狀改變
◎物件的體積不因形狀改變而改變。
所以，形狀改變前後體積相同。
A 的體積=B 的體積。
體積的分割
◎未分割前物件的體積與分割後的體積 總值相等。
所以，D 的體積=A+B+C 的體積。
體積可重組
◎重組前的物件體積總值與重組後的體
積總值相等。
所以，A+B+C 的體積=D 的體積。
方位擺置
◎物件的體積不因方位擺置的改變
而改變。
所以，方位擺置改變前後體積相同。
A 的體積=B 的體積
位置改變
◎物件的體積不因擺放位置的改變
而改變。
所以，位置改變前後體積相同。
A 的體積=B 的體積
二、體積的可比較性
就體積而言，有的比較只是用眼睛觀察，有的比較必須用到其它工具。
下表 2-1-2 是體積測量時常用到的比較方式（劉秋木，1996）：
B
A 位置改變
B A
形狀改變
D
C A B
可分割成
A B
方位擺置
D B C
A
可重組成
表 2-1-2 體積的可比較性
隙的堆疊合成一個物件，稱為體積可合成（劉秋木，1996），如表 2-1-3 說明。
表 2-1-3 體積的可合成與可分割
項 目 圖 示 說 明
體積可分割 ◎物件 D 的體積可分割成物件 A、B、C
的體積。
體積可合成 ◎物件 A、B、C 的體積經由無空隙的堆
疊，可合成物件 D 的體積。
四、體積的可測量性
體積的可測量性是指訂定一個較小的體積為基本測量單位來測量物件，
觀察物件為基本單位體積的多少倍，就是「體積」數值化的過程。一般使用 上，體積的標準測量單位是立方公分、立方公尺。
體積的可測量性，有以下三種形式來測量物件體積的大小。當物件是由 1 立方單位的單位立方體無空隙堆疊而成時，可透過點數單位立方體的個 數，而得知物件的體積。當物件的外形為規則的幾何形體時，如長方體、柱 體，可透過長方體的體積公式、柱體的體積公式等加以運算得知。如果物件 是不規則的形體，則可透過佔有體積的概念，物件在水中的體積為升高的水 量（參考南一版國小數學課本第六、九、十冊，2004；康軒版國小數學課本 第六、九、十冊，2004；翰林版國小數學課本第六、十、十二冊，2004；Everyday Mathematics 教師指導手冊三年級、四年級、五年級，1998-1999）。如表 2-1-4 圖示說明：
表 2-1-4 體積的可測量性
項 目 圖 示 說 明
點數體積 ◎當物件的體積為單位立方體所堆疊而
成，
可透過個別單位的堆疊與點數 描述物件體積的大小。
D
B C A
可分割成
D B C
A
可合成ٛ
A 為1立方公分
是由4個 所構成
物件外形為規則的幾何形體
◎用體積的柱體公式、錐體公式算體積。
不規則的形體 ◎利用水的 1 毫升（
ml）體積=1 立方公
分，求出丟入石頭在水中佔有的體積 為 800－400=400 毫升
（ml）， 也就是石頭體積為 400 立方公分。
肆、體積和幾何的關係
雖然同一物體不管其外形如何轉變，其體積有保留性，但大部份物體，在測 其體積時皆要保持其外觀的不變。而實測就體積而言，除了少部份小體積的不規 則物體可放於水中求其體積外，其他不管是實質上的堆疊、觸摸、點算、分割，
或者是利用體積公式（例如：柱體公式＝底面積×高），大部份都必需考慮其外形
（幾何）。Clements 和 Battista（1986）曾就測量和幾何的性質加以說明，他們認 為並非所有測量在本質上都與幾何有關，但是測量是幾何很重要的一部份。
美國廣為被採用的中學數學教科書 Math（Charles 等，2002）對於立體幾何 圖形其體積與幾何圖形與其構成要素之間的關係，畫成圖形，如下圖 2-1-1 ：
周長
多邊形 面積和 柱體和角錐 體積 表面積
周長 組成要素 表面積
面積 parts 長方體 圓 展開圖
A
體積=3x2x3 =18 為18立方公分A
為1立方公分
丟入石頭後
900ML 800ML 700ML 600ML 500ML 400ML 300ML 200ML 100ML 100ML
200ML300ML 400ML 500ML600ML 700ML800ML 900ML
放大 放 大 組成 π 圓柱體和圓椎體
按比例縮小 要素 圓周 按比例縮小 內接圖形
外接圖形
圖 2-1-1 圖形的組織（Charls & Scott Foresman Addison Wesley , 1999, p.500）
體積教材的學習，涵蓋幾何與測量，受到空間概念與測量概念的影響很大（譚 寧君，1997）。而國民中小學九年一貫課程綱要（2003）則認為體積屬於幾何（視 覺）量，學生可以依賴其幾何經驗來學習。由上圖 2-1-1 可知，國小的立體教材 包括角柱和角錐、圓柱體和圓錐體。其中，和體積有關的是柱體和錐體的幾何性 質，包括：圖形的形狀、圖形的放大、縮小、展開圖、組成要素等。而物體不同 的立體造形，間接形成不同的底面積或不同體積的求法，例如：柱體＝底面積×
高；錐體＝
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底面積×高，也就是形狀不同、可能需使用不同工具來測，測的方式 不同，會影響體積的測量值的精密度。綜合上述幾何與體積關係的觀點，體積的測量受到物體外形的影響，使用不 同的測量工具、測量策略或測量公式，可能影響體積的測量值的精確度。
綜合上述幾何與體積關係的觀點，體積的測量受到物體外形的影響，使用不 同的測量工具、測量策略或測量公式，可能影響體積的測量值的精確度。