國立台中教育大學進修暨推廣部數學教育系
在職進修教學碩士論文
指導教授：劉 好 教授
國小五年級學童體積概念之研究
研究生： 葉麗鳳 撰
中 華 民 國 九 十 七 年 六 月
國小五年級學童體積概念表現之研究 摘要 本研究目的在探討學習九年一貫暫行綱要所設計之教材的國小五年級學童對於 體積概念的認知表現及參照視圖與實物操作觀察體積的表現。本研究紙筆測驗 的正式樣本為台中縣、彰化縣市一至五年級皆分別使用「南一版」、「康軒版」 或「翰林版」同一版本教材的6 所學校，共 18 班，總計 576 名的學童，訪問對 象為其中使用同版本中各2 班，共 36 名的高、中、低分組學童。研究方法為紙 筆測驗的調查研究法，和對紙筆測驗內容及實作活動所做的半結構性的訪問調 查法。由資料分析結果，研究者歸納出下列結論： 一、學童在下列概念或能力表現良好： 「規則形體的點數」、「體積的直觀比較」、「體積的個別單位比較」、「體 積的普遍單位比較」、「一層個數×高的體積點數」、「以單位積木（邊長1） 實測體積」、「當長方體全部由單位積木堆疊而成時，求其體積」、「當長方 體一維含1/2 單位積木，求其體積」、「含多餘資訊求長方體體積」、「單位 是立方公尺的內體積實測」、「單位是立方公分的內體積實測」、「內體積的 保留性」、「不規則形體的補償體積」、「規則形體的補償體積」、「等積異形， 已知體積與底面積，求高」、「體積的可分割」。 二、學童在下列概念或能力表現尚可： 「體積的意義」、「立方公尺和立方公分的化聚」、「體積的合成」、「不規 則形體的體積點數」、「求複合形體的體積」、「物件擺置方位改變與切割重 組的保留性」、「規則形體變形後的補償體積」、「自底之參考方格觀察底和 寬，求長方體體積」、「不規則形體在有刻度的容器中的排水體積」、「形狀 對體積保留概念的影響水位升高的判別」。 三、學童在下列概念或能力極需再加強： 「以邊長單位減半（邊長1/2）的單位積木實測」、「以邊長單位加倍（邊 長2）的單位積木實測」、「含多餘資訊求三角柱體積」、「自底之參考方格
觀察底和寬，求三角柱體積」、「圓柱體變形後高的判別」、「立方公尺的估 測」、「立方公分的估測」、「重量對體積保留概念的影響水位升高的判別」、 「當長方體二維含1/2 單位積木，求其體積」。 四、國小五年級學童對體積概念的迷思，原因在於對體積的定義不清楚，無法 全面考慮長、寬、高，受視覺大小的影響，保留概念認知未發展成熟，計 算能力的缺乏以及缺少實測與估測經驗。 五、國小五年級學童在Piaget 之物體排開液量所佔空間概念的發展，大部份達 到Ⅰ階段；及Piaget 在物質相等情況下的體積保留概念的發展，大部份學 童達到Ⅱ、Ⅲ階段。 六、就觀察物件體積實作的整體表現而言，物件表徵形式如果為可拆的立體形 體最佳，黏好的次之，再者為視圖。 關鍵詞：體積概念、體積的實測、體積的估測、體積的保留概念。
The Study of Fifth-Grade Students’Performance in Volume Concept Abstract
The purpose of this research was to explore the cognitive performance towards the volume concept and the performance according to viewing diagram and real object to operate an observation physical volume for fifth graders who were taught with math textbooks compiled in accordance with the 2001 Temporary Guidelines for Grade 1-9 Curriculum. The methodology employed for this research was survey approach; therefore paper and pencil test, performance evaluation and semi-structure interview were adopted for data collection. The 576 samples for paper and pencil test were taken from 18 classes in 6 separate elementary schools among Taichung County, Changhua City and Changhua County. The textbooks used were published by “Nani”, “Kang Hsuan” and “Han Lin”. The 36 interviewees are selected equally from high, middle, and low achievement within the 18 classes to conduct the interview survey according to their paper test content and real operation. Through data analysis, this research yielded the following conclusions：
A. The pupils perform well in concept or ability to items listed below. 1. They are able to count cubes of rectangular figure.
2. They are able to compare physical volume with their eyes. . 3. They are able to compare volume with different benchmark.
4. They are able to compare the volume with different standard. 5. They are able to count one layer of cubes multiplied by height.
6. They are able to calculate the volume by counting single unit wooden blocks. 7. They are able to calculate the volume when the rectangular prism counted by unit
wooden blocks.
9. They are able to calculate the volume of the rectangular prism when the surplus information is given.
10. They are able to measure the internal physical volume by cubic meter. 11. They are able to measure the internal physical volume by cubic centimeter. 12. They have conservation of internal physical volume.
13. They have got the idea of compensation for physical volume of irregular figures. 14. They have got the idea of compensation for volume of regular figures.
15. Under the same volume but different shape, they are able to seek the height when the area of the base is given.
16. They understand that volume could be divided.
B. The pupils perform fair in concept or ability to items listed below. 1. They understand the definition of volume.
2. They can exchange with cubic meter and cubic centimeter. 3. They understand the combination of the physical volume.
4. They can measure the irregular figure by counting unit cubics. 5. They are able to save volume problems of complicated figures.
6. Under the same volume, they know the conservation of changing object placement and reorganization.
7. They know the supplemental volume of an regular figure after transforming. 8. They can calculate the volume of the rectangular prism by observing the base and
width on the grid paper.
9. They know the compensation for an irregular figure in a scaled container. 10. They are able to judge the water level effected by the shape to the concept of
conservation volume.
below.
1. They need to improve on how to measure when the length of size is ½ by unit cubic.
2. They need to improve on how to measure when the length of size is double by unit cubic.
3. They need to improve on calculating the volume of the triangular prism when the surplus information is given.
4. They need to improve on calculating the volume of the triangular prism by observing the base and width of the prism on the grid paper.
5. They need to improve on estimating the height of a cylinder after transforming. 6. They need to improve on estimating the volume which it’s unit is cubic meter. 7. They need to improve on estimating the volume which it’s unit is cubic centimeter. 8. They need to improve on how to judge of the water level effected by the weight to
the concept t of conservation volume.
9. They need to improve on calculating the volume when two-dimensional rectangular prism contains ½ unit cubic.
D. Fifth graders’ volume misconception are mainly attributed to reasons below: scarce understanding of volume definition, sight impacts on measuring the length, width and height of a physical volume, immature conservation concepts, disability of calculation and less measuring and estimating experience.
E. Most of fifth graders have reached the first steps of Piaget’s “ the water-level “ theory; And as for Piaget’s “ the conservation of volume at Equal concentrations of matter” theory, most of fifths can reach to level of second or third
F. To the entire results of observing performance of the physical volume, removal cubic objects are the best to use in the surface feature observation, then the sticky one, the last is the viewing pictures.
Keyword︰Concept of volume, the survey of volume, the estimation concepts of volume, the conservation of volume.
目 次
中文摘要 ……… Ⅰ 英文摘要 ……… Ⅲ 目次 ……… Ⅶ 表次 ……… Ⅹ 圖次 ……… ⅩⅢ 第一章 緒論……… 1 第一節 研究動機……… 1 第二節 研究目的及待答問題……… 4 第三節 名詞解釋……… 5 第四節 研究限制……… 6 第二章 文獻探討……… 7 第一節 體積的意義與特性……… 7 壹、測量的意義及性質……… 7 貳、體積的意義……… 8 參、體積的性質……… 10 肆、體積和幾何的關係……… 14 第二節 兒童體積概念發展相關的理論……… 16 壹、以測量的觀點探討體積概念的發展……… 16 貳、以體積保留概念的觀點探討體積概念的發展 17 參、以直觀法則的觀點探討體積概念……… 22 第三節 量的課程設計理念……… 24 壹、九年一貫課程暫行綱要量的學習發展階段………… 24 貳、九年一貫課程正式綱要量的學習發展階段………… 26 參、其他學者的測量課程的認知發展……… 27 第四節 體積概念課程綱要分析……… 28 壹、國內國民小學課程標準體積分析……… 28 貳、2000 年 NCTM 測量課程標準……… 35 參、NCTM 測量課程標準與九年一貫暫行綱要 的比較分析……… 36第五節 近年國小數學課程體積的教材內容分析……… 39 壹、國內九年一貫課程各版本體積教材內容及 教學活動分析……… 40 貳、美國芝加哥大學Everyday Mathematics 體積教材內容分析……… 48 參、國內九年一貫暫行綱要各版本與Everyday Mathematics 體積教材內容比較分析……… 50 第六節 體積的相關研究……… 51 壹、體積的意義認知表現……… 51 貳、測量體積的相關研究……… 52 參、體積保留概念的相關研究……… 58 肆、以直觀法則探究體積的相關研究……… 62 第三章 研究方法……… 65 第一節 研究流程……… 65 第二節 研究架構……… 68 第三節 研究對象……… 70 第四節 研究方法與工具……… 72 第五節 資料處理方式……… 81 第四章 研究結果與討論……… 83 第一節 學童體積概念具備情形、解題之策略及迷思概念……… 83 壹、體積的意義表現分析……… 83 貳、體積的性質表現分析……… 108 參、體積的保留概念表現分析……… 115 肆、體積的實測概念表現分析……… 152 伍、立方公尺、立方公分化聚表現分析……… 186 陸、體積解題的表現分析……… 194 柒、體積的估測概念表現分析……… 201 第二節 學童參照視圖與實際操作實物觀察體積的表現………… 209 壹、體積的性質表現分析……… 209 貳、體積的保留概念表現分析……… 238 參、體積的實測概念表現分析……… 243
第五章 結論與建議……… 259 第一節 研究發現與結論……… 259 壹、國小五年級體積概念的紙筆測驗表現……… 259 貳、學童參照視圖與實際操作實物觀察體積的表現…… 264 第二節 建議……… 267 參考文獻 ……… 270 中文部分 ……… 270 西文部分 ……… 275 附錄 附錄一 美國 Everyday Mathematics「體積」教材內容與 教學活動分析表……… 277 附錄二 預試施測筆試試題概念分析對照表……… 282 附錄三 體積概念紙筆預試測驗試題……… 285 附錄四 預試施測實作試題概念分析對照表……… 293 附錄五 體積概念實作訪談預試問題……… 294 附錄七 預試筆試試題的難度、鑑別度分析……… 296 附錄八 預試試題之 Cronbach’s α 信度分析……… 297 附錄九 體積概念紙筆正式測驗試題……… 298 附錄十 正式實作訪談問題……… 307
表 次
表2-1-1 體積的保留……… 11 表2-1-2 體積的可比較性……… 12 表2-2-3 體積的可合成與可分割……… 13 表2-1-4 體積的可測量性……… 14 表2-2-1 Piaget 等（1960）的體積保留概念的研究……… 18 表2-3-1 九年一貫課程暫行綱要量的學習的發展階段……… 25 表2-3-2 九年一貫課程正式綱要體積量的學習的發展階段……… 26 表2-3-3 測量概量發展與使用的典型活動對照表……… 27 表2-4-1 八十二年版國民小學課程標準體積概念的教材綱要……… 29 表2-4-2 九年一貫課程暫行綱要與正式綱要有關體積的能力指標對照表…… 30 表2-4-3 八十二年版數學課程標準與九年一貫暫行綱要與正式綱要體積 概念對照表……… 33 表2-4-4 2000 年 NCTM 有關體積測量的課程標準……… 35 表2-4-5 NCTM（2000）課程標準與九年一貫課程暫行綱要中有關體積 的內容比較……… 37 表2-5-1 南一版之94 年版「體積」教材內容與教學活動分析表……… 41 表2-5-2 康軒版之94 年版「體積」教材內容與教學活動分析表……… 43 表2-5-3 翰林版之94 年版「體積」教材內容與教學活動分析表……… 45 表2-5-4 南一版、康軒版、翰林版94 年版「體積」教材內容比較表………… 47 表3-3-1 正式樣本、訪談樣本及使用教科書版本分佈一覽表……… 71 表3-4-1 本研究工具體積概念紙筆測驗內容出處……… 75 表3-4-2 正式施測筆試試題概念分析對照表……… 78 表3-4-3 正式實作訪談試題概念分析對照表……… 80 表4-1-1 具有體積之規則形體筆試作答情況統計表……… 83 表4-1-2 具有體積之不規則形體筆試作答情況統計表……… 87 表4-1-3 有容器裝的物體筆試作答情況統計表……… 93 表4-1-4 二維或二維以下之形狀、點、角有無體積筆試作答情況統計表…… 102 表4-1-5 規則形體的體積點數筆試作答情況統計表……… 108表4-1-6 直觀比較筆試作答情況統計表……… 110 表4-1-7 體積的合成筆試作答情況統計表……… 113 表4-1-8 規則形體的補償體積作答情況統計表……… 116 表4-1-9 規則形體變形後的補償體積的作答情況統計表……… 119 表4-1-10 物件「擺置方位改變」與「切割重組」的保留性作答情況統計表… 123 表4-1-11 內體積的保留性作答情況統計表……… 127 表4-1-12 體積的可分割作答情況統計表……… 129 表4-1-13 不規則形體在有刻度容器中的排水體積作答情況統計表……… 134 表4-1-14 重量對體積保留概念的影響水位升高的判別筆試作答情況統計表… 137 表4-1-15 重量對體積保留概念的影響理由的說明筆試作答情況統計表……… 138 表4-1-16 重量對體積保留概念的影響鋁的判斷狀況筆試作答情況統計表…… 139 表4-1-17 參照 Piaget 排開液量的發展階段分析五年級學童的表現筆試統計表 144 表4-1-18 形狀對體積保留概念的影響筆試作答情況統計表……… 145 表4-1-19 形狀對體積保留概念的影響理由的說明筆試作答情況統計表……… 147 表4-1-20 參照 Piaget 等在物質相等情況下的體積保留概念發展階段分析五年級 學童的表現筆試統計表……… 151 表4-1-21 以單位積木（邊長為 1 公分）實測體積的作答情況統計表………… 154 表4-1-22 以邊長單位減半（邊長為 1/2）的單位積木實測的作答情況統計表… 156 表4-1-23 邊長單位加倍（邊長為 2）的單位積木實測的作答情況統計表……… 161 表4-1-24 八-1 題「當長方體全部由單位積木堆疊而成，求其體積」的作答 情況統計表……… 165 表4-1-25 「當長方體一維含 1/2 單位積木，求其體積」的作答情況統計表… 166 表4-1-26 「當長方體二維含 1/2 單位積木，求其體積」的作答情況統計表…… 167 表4-1-27 「含多餘資訊求長方體體積」的作答情況統計表……… 172 表4-1-28 「單位是立方公尺的內體積實測」的作答情況統計表……… 175 表4-1-29 「單位是立方公分的內體積實測」的作答情況統計表……… 176 表4-1-30 「含多餘資訊求三角柱體積」的作答情況統計表……… 179 表4-1-31 「自底之參考方格觀察底和寬，求三角柱體積」的作答情況統計表 182 表4-1-32 立方公尺換算成立方公分（化）的作答情況統計表……… 187
表4-1-33 立方公分換算成立方公尺（聚）的作答情況統計表……… 190 表4-1-34 「圓柱體變形後高的判別」的作答情況統計表……… 195 表4-1-35 複合形體的體積的作答情況統計表……… 199 表4-1-36 二十一-1 題立方公尺的估測作答情況統計表……… 202 表4-1-37 二十一-2 題立方公分的估測的作答情況統計表……… 205 表4-2-1 不規則形體的體積點數筆試作答情況統計表……… 210 表4-2-2 「一層個數×高」的體積點數筆試作答情況統計表……… 218 表4-2-3 體積的個別單位比較筆試作答情況統計表……… 226 表4-2-4 體積的標準單位比較筆試作答情況統計表……… 231 表4-2-5 不規則形體的補償體積筆試作答情況統計表……… 238 表4-2-6 「等積異形，已知體積與底面積求高」筆試作答情況統計表……… 243 表4-2-7 「自底之參考方格觀察長和寬，求長方體體積」筆試作答情況統計表250
圖 次
圖2-1-1 圖形的組織……… 15 圖3-1-1 國小五年級體積概念研究流程圖……… 67 圖3-2-1 預試施測研究架構圖……… 68 圖3-2-2 正式施測研究架構圖……… 69 圖4-1-1 H11219 錢幣直放和斜放的高……… 196 圖4-1-2 H21214 錢幣直放和斜放的高……… 197 圖4-1-3 M21217 錢幣直放和斜放的高……… 197 圖4-1-4 L21122 錢幣直放和斜放的高……… 198 圖4-2-1 題目三-1 以高度分解的方式點數……… 211 圖4-2-2 題目三-1 以層分解的方式點數體積……… 211 圖4-2-3 題目三-1 以看得見和看不見的方式點數體積……… 211 圖4-2-4 題目三-1 以數旁邊兩面再數中間的方式點數體積……… 212 圖4-2-5 題目三-1 以側面分層的方式點數體積……… 212 圖4-2-6 L31125 三-1 題的點數……… 215 圖4-2-7 M31113 三-1 題視圖的點數……… 216 圖4-2-8 M31113 三-1 題黏住的模型點數……… 216 圖4-2-9 M31113 三-1 題黏住的模型點數……… 216 圖4-2-10 題目三-3 形體的分割 1……… 219 圖4-2-11 題目三-3 形體的分割 2……… 219 圖4-2-12 題目三-3 形體的分割 3……… 219 圖4-2-13 題目三-3 形體的分割 4……… 219 圖4-2-14 H11218 題目三-3 體積的點數……… 223 圖4-2-15 個別單位逐一點數……… 227 圖4-2-16 個別單位變形後的比較……… 227 圖4-2-17 個別單位變成標準單位後再比較……… 228 圖4-2-18 L11207 個別單位的比較……… 230 圖4-2-19 標準單位逐一點數……… 233 圖4-2-20 標準單位變形後的比較……… 233圖4-2-21 H21113 標準單位比較……… 234 圖4-2-22 M31113 視圖標準單位比較……… 235 圖4-2-23 M31113 移動後比較……… 236 圖4-2-24 L21106 標準單位的點數……… 236 圖4-2-25 L21106 標準單位的移動……… 237 圖4-2-26 不規則形體補償體積的點數圖……… 239 圖4-2-27 不規則形體補償體積換方向點數……… 239 圖4-2-28 從外面拿積木補滿乙……… 240 圖4-2-29 從甲拿積木補滿乙……… 240 圖4-2-30 M11119 甲體積的切割……… 255 圖4-2-31 L11207 甲體積的切割……… 257
第一章 緒論
本研究的目的在探討國小五年級學童之體積概念，藉由研究中體積概念的紙 筆測驗、半結構的訪談及實作中的表現，分析學童對體積概念的了解情形及解決 體積問題中的方法情況及迷思概念。本章就本研究之研究動機、研究目的與待答 問題，與本研究相關的名詞解釋及其研究限制分別說明如下:第一節 研究動機
體積的觀測與概念的應用，生活中比比皆是，舉凡房間內的傢俱的購置估量 大小、鹽與糖裝到盒子、買烤箱估量烤的食物體積的大小與烤箱的容量大小等， 都說明體積概念的使用在生活中是不可或缺的。 我們生活在三度空間，隨著科技的發達與人類對空間的需求，高樓大廈的林 立，台北 101 大樓的興建，都說明認識體積與測量體積的重要。 雖然在生活中，常常應用體積的概念，但學童在學習體積上仍有很多困難。 如譚寧君（1997）認為學生在體積的測量上有下列的迷思概念：一、缺乏對被測 量量的認識；二、保留性的不足；三、其對體積的瞭解是建立在視覺的知覺上， 而不是在堆疊活動上；四、一維、二維、三維單位量的混淆；五、體積的點數受 空間能力的影響；六、重視公式的記憶，輕忽概念的瞭解。 而在求體積的迷思方面，高敬文和黃金鐘（1988）的研究發現我國學童點數 體積時，會有點數一面或兩面的情況；劉好（2001）研究發現我國學童在點數體 積時，常點數表面的格子數當做其體積；黃文達（2003）的研究發現學童將體積 和表面積混淆，未認知體積是三維的量。此外，Stavy 和 Tirosh（1996，1999）研 究發現學童在解決體積問題時，會受「A 同，B 就同」（Same A—Same B）（例如： 面積相同，體積就相同）或「A 大，B 就大」（More A—More B）（例如：邊長比 較大，體積就比較大）等直觀法則的影響；陳光勳、譚寧君（2001）研究發現我 國國小學童判斷體積的大小時會受視覺大小及數量多寡的影響，而且低年級比中 高年級易採取「A 大，B 就大」（More A—More B）的策略，高年級比低中年級易犯「A 同，B 就同」（Same A—Same B）的迷思概念。 而在單位立方體的邊長是 1 2 方面，高敬文和黃金鐘（1988）研究以邊長 1 2 公 分的立方體為單位表徵一個長、寬、高各為 2 公分、4 公分、2 公分的長方體的 體積單位數，發現約有 50%的學童只考慮一邊認為體積增加兩倍；譚寧君（1999） 研究邊長 1 公分的立方體是由幾個邊長為 1 2 公分的立方體所構成，發現五年級學 童只有 34.3%的學童答對，有 24.2%只考慮一邊，30.9%考慮兩邊。顯示學童普遍 無法以三維的觀點，完整的去考慮排成長方體的單位數。 除了學童在體積的學習上仍存有困難外，尚有一些針對體積意義的研究。 Potari 和 Spiliotopoulou（1996）研究國小五年級學童對體積定義的瞭解，研究發 現學童認為體積與幾何、重量、容量或實體物質的體積有關；黃文達（2003）研 究發現我國國中生對哪些物件具有體積有很大的分岐。而何健誼（2003）研究發 現幼稚園至國小六年級學童對人、氣球、水有沒有體積存有很多迷思概念，但是 對於液體、氣體、不規則物體、幾何圖體形、規則形體是否有體積，其如何判斷， 迷思概念為何，詳細的羅列與探討學童對體積意義的認知，則無人提及。
在體積測量概念的研究上，英國 CSMS（Hart, et al., 1981）與 APU（Foxman, et al., 1984）曾進行測量方面的研究，高敬文和黃金鐘亦在 1987 至 1988 年參考 CSMS 調查臺灣國小五、六年級學童測量的概念，周武男、杜震凡（1990）則調 查國中生實測概念的錯誤；林仁得、謝祥宏、陳文典（1993）則以實作的方式調 查國小學童對體積的認識；而沈佑霖則於 2003 年依據 82 年版國民小學數學科課 程標準，研究國小六年級的體積概念。以上這些研究不是年代久遠，就是其研究 對象非國小五年級學童，否則就是其研究主題只限於訪談的實測能力，對於歷經 課程改革，使用九年一貫暫行綱要的學童而言，其體積的測量概念是否迴異於以 上的研究，值得再加以探討。 在體積保留概念的研究上，Piaget 等在 1930 至 1974 年間曾對體積保留概念 的發展加以研究，但國內對於 Piaget 等的體積保留概念的相關研究只有黃湘武和
黃寶鈿等人於 1985、1986 年研究過，而且主要的研究對象都是國中生， 課程多次改版後的今天，現階段學童之保留概念的發展如何，尚未見相關研究。 而學童對於屬於三維空間的體積，在數學的教科書卻是常利用二維的平面立 體圖形來思考與演算。但是「圖形的抽象特質，必需藉著實物上的結構來呈現， 兒童必需透過可呈現形狀之實物豐富的拼排、翻摺、疊合及製作等活動才能領會 圖形上的各種特徵或性質」（劉好，1998）；劉秋木（2002）也認為數學的教學必 需經由動手操作實物的具體經驗開始，再來才是形體與符號、圖形對照的半具體 經驗，最後才是符號的抽象學習經驗。而小學階段體積課程的設計正是由具體、 半具體、抽象學習的經驗依序由低年級、中年級、高年級展開，國小五年級學童 正處於半具體與抽象學習的階段，其對於視圖、黏好的（模型）、可拆的（模型） 的解題思維是否相同？學童學習體積的平面立體圖與具體的模型的操作的學習 是否有差別？對其計算體積的認知為何？這些皆是頗值得探討的。 因為時代的變遷與教育思潮的影響，課程標準或課程綱要不斷的翻新，民國 八十二年九月教育部頒布國民小學課程標準，民國八十九年又頒佈國民小學九年 一貫課程暫行綱要，民國九十二年十一月再公佈國民小學九年一貫課程正式綱 要。我國近年因為教科書開放給民間編寫，現在坊間出版提供學校使用的教科書 版本極為繁雜，廣為被選用的版本是南一書局（簡稱南一版）、康軒文教事業（簡 稱康軒版）及翰林出版事業（簡稱翰林版）所出版的版本，各版本的課程內容及 進度皆有些差異，參照不同版本使用教科書之學童，其體積概念的學習狀況與學 習能力又是如何？面對這些課程改革，學生體積概念的發展情況是否有異於前人 的研究？研究者深覺值得加以探討，以供課程修訂或教學改善之參考。 基於以上幾點值得進一步探討有關體積的相關概念或情況，研究者乃決定進 行國小五年級學童的體積認知表現的探討。
第二節 研究目的與待答問題
依據上述研究動機，本研究針對台中縣、彰化縣市接受九十四學年度國小五年級學童在體積概念之學習情況進行探討。本研究的研究目的及待答問題如下: 壹、研究目的: 根據上述的研究動機，具體而言，本研究的主要目的在： 一、調查國小五年級學童體積概念具備的情形。 二、探究國小五年級筆試測驗表現之高、中、低成就學童的實作表現。 三、從訪談與實作表現探究五年級學童對於體積概念具備情形、解題之策略 及迷思概念。 貳、待答問題: 依據研究目的，本研究之待答問題為： 一、國小五年級學童體積概念具備的情形為何？ （一）體積的意義認知情形為何? （二）體積的性質瞭解情形為何? （三）體積的保留概念具備情形為何? （四）體積實測能力具備情形為何? （五）立方公尺與立方公分的化聚能力具備情況為何？ （六）體積估測能力具備情形為何? （七）體積解題的能力具備情形為何？ 二、國小五年級學童對視圖與不可拆解的立體模型及可拆解之立體模型的觀 察差異表現如何？ 三、國小五年級學童對於體積概念具備情形、解題之策略及迷思概念？
第三節 名詞解釋
壹、國小五年級學童 本研究所指五年級學童是指九十學年度進入國小就讀一年級，九十四學年 度完成國小五年級課程之學童，其一年級至五年級係接受民國八十九年頒佈的九年一貫課程暫行綱要數學領域的課程。 貳、體積
體積是指物件在三維空間所佔的量，這裡的物件是有範圍，而且是有封閉 的區間。Piaget 等（1960）又把體積分為外體積（external volume）和內體積 （internal volume）。外體積是指是指物體在「水中」所佔有空間的量，而內體 積是指物體包容的內部空間，例如一間房子的內部空間即為房子的內體積。本 研究中的體積涵蓋以上所述的各種情況。 參、體積的初步概念 指學習者能夠判別圖形或物件在什麼情況下具有體積，以及對體積意義的 瞭解。 肆、體積的保留概念 體積的保留概念是指學習者對於物體不會因為「形狀改變」、「切割」、「重 組」、「方向」、「位置的改變」等的轉換，而改變體積的大小的認知。 伍、體積的測量概念 本研究中體積的實測概念是指學生能以立方體如立方公分或立方公尺為單 位，使用尺或量杯等測量器具，用以下三種形式:一、點數體積；二、使用體積 公式；三、利用排水或裝水的量的體積（如 1 立方公分＝1 毫升）之關係，來 測量物件體積的大小。 陸、體積的估測概念 本研究中體積的估測概念是指學生不用任何測量器具（可以用身體的部 位），在心中以心象或參考物體積量感的比較，去估出物件體積的大小。 柒、體積的迷思概念 迷思概念又稱先前概念（preconception）、直覺概念（intuitive conception） 是指學童自行發展出的概念，與現有教科書的教材內容或學者專家的體積概念
和想法不同，即稱為迷思概念。本研究所指的迷思概念是指學童在解決體積問 題時，所產生的錯誤概念或直覺推理。 捌、單位量 在測量活動被選擇當作「1」的計數單位，為測量活動的基本計數單位（國 編版數學教學指引第八冊，2001）。 玖、個別單位 在測量活動中，測量者自行選擇一個當作 1 的計數單位。 拾、標準單位（或普遍單位） 個別單位因人而異，為溝通方便，社會上約定成俗的統一的個別單位稱之 標準單位（或普遍單位）。本研究中體積的標準單位為立方公分或立方公尺。 拾壹、視圖 視圖是實物投射在平面上的像，這種平面立體圖稱為視圖。
第四節 研究限制
為了呈現學童課程完整學習的結果，也免去課程銜接的影響，本研究樣本選 取國小一至五年級使用同一版本數學教科書的學校與班級，每一版本選取 6 個學 校，每校各 3 個班級，共計 18 個班級。礙於研究者時間、人力、經費及國小學 生一到五年級使用同一版本的學校為極少數，因此無法擴大研究的樣本，本研究 對象只針對中部地區台中縣、彰化縣市的學生選取使用同一版本的學生 進行施測及研究分析，因此，本研究所得之研究結果無法推論到普遍情境，僅提 供教師教學或其他研究者參考。第二章 文獻探討
本章將探討國內外有關於體積的國小數學課程、課程綱要，及相關的文獻資 料，共分為六節說明，第一節為體積的意義與特性；第二節為體積學習的發展理 論；第三節為量的課程設計理念；第四節為體積概念的課程綱要；第五節為近年 國小數學課程體積的教材分析；第六節為學習體積的相關研究。第一節
體積的意義與特性
本節針對測量的意義及性質、體積的意義、體積的性質及體積和幾何的關係 加以說明與探討，分述如下： 壹、測量的意義及性質 測量在生活中經常用到，趙明勳和甯自強（1988）認為測量是數學的泉源； NCTM（2000）認為測量在我們生活中是普遍深入的，並且提供了學習和應用數 學的機會。以下就測量的意義，與測量的性質說明如下：一、測量的意義 Clements 和 Battista（1986）認為為了比較的目的，測量（measurement） 是對一個物件的物理性質用數字表示的過程；劉秋木（1996）認為測量是比 較兩個物體某一屬性的活動；張紹勳（2000）認為測量就是根據一定的規則， 將數值(或符號)指派給物體或事物的一種程序；許嵐婷（2003）則說測量是 一種操作技能，也是概念上的一種認知；賴文正（2005）認為測量意指賦予 物件的某種屬性的一個數值；而 Van De Walle（2001 張英傑、周菊美譯， 2005）認為測量的意思是指屬性被相同屬性的測量單位「填滿了」、「覆蓋了」 或者「相匹配」，測量的結果是一個數，用來表明測量物體的屬性，以及給 定單位的相同屬性之間的比較。 綜合以上所述，測量的對象是物件的某種屬性，其過程是用相同屬性的 單位來比較，其結果是一個估計值。
二、測量的性質
對於測量和數概念的關係，Dickson, Brown 和 Gibson（1984）認為一般 可直接數的物件其屬性是離散量，而測量物的屬性與連續變數有關，測量是 連續量的估計值。體積是連續量的一種，體積的觀測需要用到測量的概念和 技巧。 Piaget 等人認為測量的觀念出於遞移性和可分割性的邏輯思考（劉秋木， 1981）。趙明勳、甯自強（1988）認為測量的兩個中心概念是比較和工具， 阿基米德性質及加法性為測量的基本性質，阿基米德性質是不論多小的單位 量，都可藉著重覆使用涵概整個被測量物；而加法性則是在沒有重覆測量的 情形下，物件分割成幾部份後，最後的測量結果是各部份測量結果的總合。
Riedesel, Schwartz 和 Clements（1996 謝如山、謝名起、謝名娟譯，2002） 認為測量時應有以下的概念： （一）在測量一個物體時，要注意測量的屬性（例如體積），也要選擇有屬 性的單位(例如一塊積木），和比較物體屬性的單位（例如立方公 分）。 （二）不管測量的多精確都是近似值。 （三）有些東西能直接測量（例如書本的體積），有些無法直接測量（例如 星球的體積）。 綜合以上所述，測量是一個近似值，其性質是重覆使用某個單位去覆蓋 被測量對象的阿基米得性質與分割後測量結果是其總合的加法性。 貳、體積的意義 具有體積的物體在日常生活中處處可見，但是數學上的體積與一般人所說的 體積似乎有些不同，物體是否中空，物體可否盛物質，物體是液體或固體，也會 影響其體積的定義。以下依照物件是容器或流體物質、固體及教材所採用的定 義，說明如下：
一、物件是容器或流體物質時：
根據學者對物件體積的定義，如果物件是容器，其容器最大的裝載量 (Hart, et al., 1981; Dickson, et al., 1984），則稱為容量或容積（capacity）。流 體物質要裝在容器裡或封閉空間才可測量其體積。如果是液體時，則該液 體在容器中佔有空間的大小，稱為該液體的體積。如果是氣體時，則氣體 所存在封閉容器之容積即為其體積。 二、如果物件是固體時： 如果物件是固體，學者對體積的區分，分為內體積及外體積，分別就 其定義說明如下： （一）內體積（internal volume）的定義 物體若有中空的部份，則中空部份的大小稱為其內體積，亦即 為一物體所包含的內部空間，例如房間內空間的大小即為該房間的 內體積。 （二）外體積（external volume）的定義 物體本身佔有空間的大小稱為該物體的外體積。如 Piaget 認為 外體積（external volume）又稱為佔有體積（occupied volume），就 是包圍物體的空間，例如石頭丟入水中 水上升的體積即為石頭的 體積。Hart（1981）及Dickson 等（1984)認為外體積為物體放入液 體中所排出的液量。譚寧君（1997）認為體積是三維的量，指的是 物件佔有空間的大小。 三、一些教材所採用的定義 許多版本教科書（國立編譯館教學指引第 8 冊，2001；南一版第 10 冊 教師手冊，2005；康軒版第 10 冊教師手冊，2005；Everyday Mathematics 三 年級，1998）中都是以物體所佔空間的大小作為體積的定義。 綜合上述的觀點，可歸納出學者對體積的定義取向可分為「佔有空間大小」 及「容器的容量」。雖然定義有些不同，但大體上以「物件所佔空間的體積」、「物
體包容的內部空間」及其「容量」來分別，而在物件本身體積的定義描述上，大 致以「佔有空間」的觀念來說明體積的意義。 參、體積的性質 關於體積的屬性，體積的量屬於外延量，具稠密性，屬於連續量的一種。就 測量而言，體積尚有可以不停的予以分割，符合加法原則，具有保留性，可以被 比較的，可以觀察和測量的，其測量通常有誤差，可以設定單位，有些體積可以 用公式求得的特徵（劉秋木，1996）。 以下就體積的保留性、可比較性、可分割與可合成、可測量性分別加以說明： 一、體積的保留性 關於體積的保留性，以下分為保留概念和體積的保留性加以說明。 （一）保留概念（conservation）的意義 國內外學者針對保留概念有各種不同的定義，但依比較的對象主要 可分為物件自己和自己的比較以及二種物件之間的比較，說明如下： 1 .物件自己和自己的比較 保留概念是一種和原來的特質、固有性質、量或屬性的比較關 係，在物件歷經物理外觀的改變，或是位置的移動、方向的轉動、形 狀的改變、切割的轉換，或者是剛體運動如旋轉、平移、翻轉等，仍 然不變的認知能力（趙明勳、甯自強，1988；劉秋木，1996；譚寧君， 1995；Dickson, et al., 1984） 2. 二種物件之的比較 Stavy 和 Tirosh（1996）認為保留概念指的是二種維持某種相同狀 態（重量相同、體積相同、容量相同等）的物件，其中之一的物件面 對不相關的（irrelevant）改變時，對二者量的關係的認知還是不變。 綜合以上學者對保留概念的定義，可以發現保留概念是一種認知能 力——當物件面對屬性中的某種改變，其屬性的量仍然不變。
（二）體積的保留性 因此當物件的屬性是體積時，根據以上學者對保留概念的定義，可知 體積的保留概念是指物體不會因為「形狀改變」、「切割」、「重組」、「方向」、 「位置的改變」等的轉換，而改變體積的大小。有關體積的保留性，如表 2-1-1 圖示說明。 表 2-1-1 體積的保留性 項 目 圖 示 說 明 形狀改變 ◎物件的體積不因形狀改變而改變。 所以，形狀改變前後體積相同。 A 的體積=B 的體積。 體積的分割 ◎未分割前物件的體積與分割後的體積 總值相等。 所以，D 的體積=A+B+C 的體積。 體積可重組 ◎重組前的物件體積總值與重組後的體 積總值相等。 所以，A+B+C 的體積=D 的體積。 方位擺置 ◎物件的體積不因方位擺置的改變 而改變。 所以，方位擺置改變前後體積相同。 A 的體積=B 的體積 位置改變 ◎物件的體積不因擺放位置的改變 而改變。 所以，位置改變前後體積相同。 A 的體積=B 的體積 二、體積的可比較性 就體積而言，有的比較只是用眼睛觀察，有的比較必須用到其它工具。 下表 2-1-2 是體積測量時常用到的比較方式（劉秋木，1996）： B A 位置改變 B A 形狀改變 D C B A 可分割成 B A 方位擺置 D C B A 可重組成
表 2-1-2 體積的可比較性 比較名稱 圖 示 說 明 直觀比較 ◎以知覺比較兩個物體不同 大小的體積，這裡的知覺可 能是手的觸覺或視覺的觀 察。 直接比較 ◎直接比較是利用疊合的方 式，比較兩物體的體積。 間接比較 ◎用大於或等於兩物體的第 三物來量兩物體。 B=C，A＜C，所以 A＜B。 個別單位比較 ◎用小於兩物體的第三物來 量兩物體。 A=3C，B=2C，所以 A>B。 標準單位比較 （普遍單位） ◎用社會公認的單位(例如： 立方公分、立方公尺)來量 兩物體。 B 為 12 立方公分， C 為 4 立方公分， 所以 B>C。 三、體積的可分割與可合成 一個物件的體積可分割成二個以上規則或不規則圖形的體積，稱為體積 的可分割。而反過來說，二個以上規則或不規則的圖形的體積，可經由無空 C C B A 所構成 所構成 ٛ 由2個 由3個 C B A 為4立方公分 為12立方公分 為1立方公分 是由4 所構成 所構成 是由12 A B B A 把兩個物件放 在一起比較 眼或手 C C 結果 A B>A B
隙的堆疊合成一個物件，稱為體積可合成（劉秋木，1996），如表 2-1-3 說明。 表 2-1-3 體積的可合成與可分割 項 目 圖 示 說 明 體積可分割 ◎物件 D 的體積可分割成物件 A、B、C 的體積。 體積可合成 ◎物件 A、B、C 的體積經由無空隙的堆 疊，可合成物件 D 的體積。 四、體積的可測量性 體積的可測量性是指訂定一個較小的體積為基本測量單位來測量物件， 觀察物件為基本單位體積的多少倍，就是「體積」數值化的過程。一般使用 上，體積的標準測量單位是立方公分、立方公尺。 體積的可測量性，有以下三種形式來測量物件體積的大小。當物件是由 1 立方單位的單位立方體無空隙堆疊而成時，可透過點數單位立方體的個 數，而得知物件的體積。當物件的外形為規則的幾何形體時，如長方體、柱 體，可透過長方體的體積公式、柱體的體積公式等加以運算得知。如果物件 是不規則的形體，則可透過佔有體積的概念，物件在水中的體積為升高的水 量（參考南一版國小數學課本第六、九、十冊，2004；康軒版國小數學課本 第六、九、十冊，2004；翰林版國小數學課本第六、十、十二冊，2004；Everyday Mathematics 教師指導手冊三年級、四年級、五年級，1998-1999）。如表 2-1-4 圖示說明： 表 2-1-4 體積的可測量性 項 目 圖 示 說 明 點數體積 ◎當物件的體積為單位立方體所堆疊而 成，可透過個別單位的堆疊與點數 描述物件體積的大小。 D C B A 可分割成 D C B A ٛ 可合成 A 為1立方公分 是由4個 所構成
物件外形為規則的幾何形體 ◎用體積的柱體公式、錐體公式算體積。 不規則的形體 ◎利用水的 1 毫升（ml）體積=1 立方公 分，求出丟入石頭在水中佔有的體積 為 800－400=400 毫升（ml）， 也就是石頭體積為 400 立方公分。 肆、體積和幾何的關係 雖然同一物體不管其外形如何轉變，其體積有保留性，但大部份物體，在測 其體積時皆要保持其外觀的不變。而實測就體積而言，除了少部份小體積的不規 則物體可放於水中求其體積外，其他不管是實質上的堆疊、觸摸、點算、分割， 或者是利用體積公式（例如：柱體公式＝底面積×高），大部份都必需考慮其外形 （幾何）。Clements 和 Battista（1986）曾就測量和幾何的性質加以說明，他們認 為並非所有測量在本質上都與幾何有關，但是測量是幾何很重要的一部份。 美國廣為被採用的中學數學教科書 Math（Charles 等，2002）對於立體幾何 圖形其體積與幾何圖形與其構成要素之間的關係，畫成圖形，如下圖 2-1-1 ： 周長 多邊形 面積和 柱體和角錐 體積 表面積 周長 組成要素 表面積 面積 parts 長方體 圓 展開圖 A體積=3x2x3 =18 為18立方公分 A 為1立方公分 丟入石頭後 900ML 800ML 700ML 600ML 500ML 400ML 300ML 200ML 100ML 100ML 200ML300ML 400ML 500ML600ML 700ML800ML 900ML
放大 放 大 組成 π 圓柱體和圓椎體 按比例縮小 要素 圓周 按比例縮小 內接圖形 外接圖形
圖 2-1-1 圖形的組織（Charls & Scott Foresman Addison Wesley , 1999, p.500） 體積教材的學習，涵蓋幾何與測量，受到空間概念與測量概念的影響很大（譚 寧君，1997）。而國民中小學九年一貫課程綱要（2003）則認為體積屬於幾何（視 覺）量，學生可以依賴其幾何經驗來學習。由上圖 2-1-1 可知，國小的立體教材 包括角柱和角錐、圓柱體和圓錐體。其中，和體積有關的是柱體和錐體的幾何性 質，包括：圖形的形狀、圖形的放大、縮小、展開圖、組成要素等。而物體不同 的立體造形，間接形成不同的底面積或不同體積的求法，例如：柱體＝底面積× 高；錐體＝ 3 1 底面積×高，也就是形狀不同、可能需使用不同工具來測，測的方式 不同，會影響體積的測量值的精密度。 綜合上述幾何與體積關係的觀點，體積的測量受到物體外形的影響，使用不 同的測量工具、測量策略或測量公式，可能影響體積的測量值的精確度。 本節文獻的啟示︰具有體積的物體在生活中處處可見，學童對體積意義與特性的 瞭解，將會影響學童整個體積概念的發展，包括體積的初步概念、保留概念、測 量概念、估測概念。本研究乃對國小五年級學童的體積概念加以探討，以上文獻 作為本研究設計研究工具依據的參考。
第二節
兒童體積概念發展相關的理論
在中外兒童體積概念發展的研究中，較常以下列三種觀點來研究體積的問 題：其一為測量的觀點，其二為體積保留概念的觀點（或稱體積守恆概念概念）， 其三為直觀法則的觀點。本節將以這三部份來闡述學者的看法。 壹、以測量的觀點探討體積概念的發展Piaget 等（1960）認為學童對測量瞭解的發展階段有五個階段（引用 Dickson 等，1984），每個階段的特性說明如下： 階段Ⅰ—最初的階段（約 3-6 歲） 一、缺乏保留概念。 二、利用媒介物的遞移性質比較時，只注意高度或長度一個向度。 例如：當孩童比較兩塔的哪一個較大時，孩童會移動塔增加視覺 上的比較，只專注在塔的頂端而忽略其基底的大小。 階段Ⅱ—保留概念和遞移性質開始出現（6-7 歲） 開始發展保留概念和遞移性質，孩童會利用身體的部位，當作測量 單位，但卻無法瞭解測量單位必需同樣大小。 例如：以手臂的長來測量沙發椅的長，有的孩童量 4 個手臂長，有的量 5 個手臂長，最後他們可能未考慮每個人手臂長短不同，而認為 5 個手臂長的沙發椅比 4 個手臂長沙發椅還要長， 階段Ⅲ—操作保留概念和遞移性質的開始（7-8 歲） 一、能使用媒介物（其長度至少大於或等於兩個被比較物），孩童在比較 兩物的長度時，可以在媒介物上做記號來比較。 二、保留概念的發展上開始去調和兩個維度。 例如：水倒入不同的容器，容器底面較寬時，知道其水平面會較低。 階段Ⅳ—瞭解用小單位測量（8-10 歲） 一、能用較小單位與覆蓋的形式測量。 二、長度、面積、容積概念已有很大的進展， 三、但以「佔據空間的量的多少」為體積的測量方式發展緩慢。 階段Ⅴ—測量概念的最後階段（11-12 歲）
一、達到皮亞傑所稱的公式操作階段（the stage of Piaget’s formal operational thought）。
17 三、發展連續（continuity）和無限（infinity）的概念。 由以上的 Piaget 測量的認知發展階段，發現測量的認知發展的順序都是 使用媒介物當作間接比較後，再使用個別單位來測量，最後的階段達到能使用 公式計算測量的結果。我國五年級學童依照皮亞傑測量的認知發展階段的描 述，正在此發展程序的第五階段，也就是學童能使用公式計算體積。由以上的 資料得知學童的體積測量認知有其發展順序，教學時必須依循學童的認知發展 情況加以教學。 貳、以體積保留概念的觀點探討體積概念的發展
在體積發展的過程中，Piaget, Inhelder 和 Szeminska 將其分為內體積和 外體積二個不同的發展階段。Piaget 等發現孩童通常是先發展內體積保留概 念（或譯為內體積守恆概念），再發展外體積保留概念（或譯為外體積守恆 概念）（引用黃湘武等，1985）。 以體積保留概念的觀點探討體積概念的發展，內體積保留概念有 Piaget 等的（內）體積保留概念的發展研究；外體積保留概念有 Piaget 排開液量的 發展研究、Piaget 等在物質相等情況下的體積保留概念的發展研究，分述如 下： 一、（內）體積保留概念（或譯為體積守恆概念）的發展研究
以下就 Piaget, Inhelder 和 Szeminska（1960）的研究題目與其兒童（內） 體積保留概念的發展說明如下： Piaget 等（1960）曾設計一個題目，來研究有關內體積和外體積的保 留概念，由題目的研究結果，Piaget、Inhelder 和 Szeminska（1960）把小 朋友內體積和外體積的保留概念發展分為四個階段。研究題目如下表 2-2-1: 表 2-2-1 Piaget 等（1960）的體積保留概念的研究 研 究 擺 設 研 究 說 明 1.甲積木 乙紙片 受試者被告知： 1.甲積木是建在一個小島上的一棟舊房子，
2.很多個像 的積木 註：乙紙片可以是 2 公分×2 公分、 2 公分×3 公分、3 公分×4 公分 ，或是 1 公分×2 公分。 這個舊房子的高度是 4 公分，它的底是 3 公分×3 公分，體積是 36 立方公分。 2.因為這個小島會淹水,所以島上的居民決定 在另一個小島上建一棟和原來舊房子有相 同空間的新房子，另一個小島的大小為 2 公分×2 公分的紙片大小，請受訪者把新房 子造出來。 3.分別將上述的舊房子與新房子完全沉入同 一桶水中，水會怎樣？為什麼？ 4.比較新房子與舊房子水上升的高度，哪一 個多哪一個少？ 在表 2-2-1 中，研究說明的 1.和 2.是研究內體積的保留概念，在基底 改變的情況下，其內部空間是否維持不變；研究說明的 3. 和 4. 是研究外 體積的保留概念，將上述的舊房子與新房子放入水中，二者水上升的高度 是否一樣，如果一樣，則表示受試者具備體積是佔有空間的概念。 階段Ⅰ（0~4 歲）：無法分析 受限於孩童的認知，無法從其答覆分析。 階段ⅡA（4~6 歲）：只比較一個向度 （一）完全不知道重建後積木的總數要和原來一樣。 （二）這時期的受訪者除了一維的長度間的比較，無法作整體體積間的 比較。只注意到事物的單一向度的知覺集中傾向。 階段ⅡB（5~7 歲）：無法掌握確切的高度 （一）開始注意要使重建後的積木總數和原來一樣，但並不完備。這時 期的孩童開始建立兩物體間不同維度的比較關係，他們會說“這 個較寬廣，那個較細長”，顯示孩童對三度空間的知覺，藉著變 更結構的高度來維持體積的相等，但卻無法掌握確切的房子高度。 （二）對長方體體積公式的轉換尚未具普遍性，所以受訪者會認為 3×3× 4 與 2×2×9 體積相等，因為二者使用相同多的積木，但是 3×3×4
與 2×18×1 不相等，因為 2×18×1 較長，所以體積較大。 階段ⅢA（6~8 歲）：限制在內體積的保留概念 （一）當被問及二個是否相同時，會動手去重建積木來比較二者是否相 同，卻無法很快速的在心裡重建，以比較二者是否相同。 （二）開始出現數總共有多少積木的現象，知道重建時的積木數目要和 原來相同。 （三）不具備外體積保留概念，這時期的受訪者會認為兩個相同體積的 黏土在水中時，其所佔的空間會因為兩個的形狀是球形，或是圓 柱體，而有不同，也會因為其中一個分成兩塊或四塊，而在水中 佔有的空間不同。 階段ⅢB（8~12 歲）：第一次測量關係的出現 （一）知道重建時的積木總數要和原來的一樣。 （二）開始以層來估測高度。 （三）開始出現以每層有幾個，共幾層，總共有幾個積木的估測。 （四）階段ⅢB 的兒童會以估測的形式來測量體積，但是他們的測量並 非完全正確。兒童會開始以單位立方體為單位來測量體積，但他 們仍然無法建立長方體中長度、面積、體積之間的關係，所以還 無法使用長方體的體積公式。 階段Ⅳ (10~12 歲)：具備長方體體積公式、內體積保留概念和外體積保留 概念 （一）確信物體的保留概念不只是在內體積，而是擴大到物體在空間上 所佔有的體積。 （二）能發現長方體的邊長中，長、寬、高之間的關係，而能對長方體 的體積公式=長×寬×高加以應用。 （三）知道如果二個物體其內部體積是相等的，那麼二者都沉到水底的 情況下，二個物體所佔的水的空間也是相等的，所以水會上升至
同樣的高度。 綜合以上 Piaget 等的體積保留概念的發展特徵，發現階段Ⅰ與階段 ⅡA、ⅡB 皆未具備內體積與外體積保留概念，階段ⅡA 只有注意到一個 向度，階段ⅡB 注意到二個向度；階段ⅢA、ⅢB 知道重建後的積木總數 要和原來相同（內體積保留概念），但均未具備長方體體積公式與外體積 保留概念，階段ⅢA 數積木的方式是一個數一個數，而階段ⅢB 則開始 出現以層來估測的現象；直到階段Ⅳ，學童才具備內體積與長方體體積 公式與外體積保留概念。 二、排開液量的發展研究 1930 年 Piaget 研究孩童預測丟入不同物件後水位升高的解釋，顯示給 孩童一個裝滿四分之三水位的玻璃杯和一顆小而輕的石頭、體積較大而最 重的石頭和一塊體積最大的木頭，依照觀察孩童對石頭丟入水中後水位變 化的解釋，呈現兒童外體積的發展過程，其研究結果與發展說明如下 （Piaget，1930；黃湘武等，1985）： 階段Ⅰ（7~8 歲）：認為物件的重量使水位升高 這個階段的孩童認為由於浸入水中小石頭的重量，使得玻璃的水 位升高。他們認為在水面下，一個小而重的物件比一個大而輕的物件 將使水位升得較高。 階段Ⅱ（7~9 歲）：混淆期 這個時期的孩童還是會認為水面的升高是由於重量的緣故，但他 們開始會以物件體積的大小來預測水位上升的多寡，所以說法反覆、 矛盾。 階段Ⅲ（9~10 歲以後）：以物件在水中佔據空間的大小解釋水位的升高 這個時期的孩童開始以物件在水中「佔據空間的大小」來預測水 位上升的多寡，他們不再以物件的輕重來解釋，而是以排液量體積來
說明水位的上升。 綜合以上孩童解釋水位升高的發展特徵可知，階段Ⅰ的孩童認為是重 量使水位升高，但階段Ⅱ的孩童處於混沌的狀況，一方面宣稱是重量使水 位升高，但面對木頭丟入水中水位會不會升高？又以木頭比較大會使水升 高來解釋。階段Ⅲ孩童則完全跳脫重量的影響，知道是物體在水中會佔有 空間使水位升高，所以外體積(佔有空間的概念)的概念在階段Ⅲ才發展完 全。 三、在物質相等情況下的體積保留概念的發展研究 1974 年 Piaget 和 Inhelder 利用黏土將其搓揉成不同形狀（香腸形、或 大餅形）或切成好幾塊，丟入水中，問孩童其水位的變化如何；觀察不同 年紀的孩童其在物質重量相同、形狀改變之下其（外）體積保留概念的變 化，以下就其 1974 年發表的（外）體積保留概念的發展說明如下： 階段Ⅰ（4~10 歲）：受物件形變影響，不具體積保留概念 這個階段的孩童不具備體積保留概念，受到黏土形變後視覺變 大、變寬、變長、或多塊的影響，認為黏土形變後較寬或較長，有較 多黏土，或者黏土平行放比垂直放佔較多空間，將使水位上升較多。 階段Ⅱ（9~11 歲）：混淆期 這個時期的孩童，已開始發展同一性，認為黏土丟入水中後水位 會上升是由於黏土的重量，重量相同上升水位應相同，或者同一個黏 土形變後佔據空間應相同，但又受到黏土外觀的影響，認為外觀較大 或較多塊應佔有更多空間、水位上升較多，所以說法反覆、矛盾。 階段Ⅲ（9~12 歲）：不受物件形變的影響，以其所佔空間解釋水位的升高 這個時期的孩童以具備體積保留概念，不論黏土如何形變，認為 黏土在水中還是佔據相同空間，所以水位相同。
綜合以上孩童對黏土的形變後，丟入水中其水位變化的發展特徵，可 知階段Ⅰ的孩童受到黏土外觀形變的影響認為其變大、變長、變寬或變多 塊，佔據空間變多或變少，使得丟入水中後水位產生變化；階段Ⅱ的孩童 其認知正在發展保留概念，但並不完備，尚受到黏土形變的影響，所以說 法反覆；階段Ⅲ的孩童則已具備體積保留概念，所以不受到黏土形變的影 響，知道黏土佔據的空間相同，在水中水位相同。 參、以直觀法則（intuitive theory）的觀點探討體積概念 發現學習是最好啟迪智慧的數學學習教學法（劉秋木，2002）；發現學 習論（discovery learning theory）的倡導者布魯納（Jerome S. Bruner,1956~） 鼓勵學生直覺思維（intuitive thinking），他認為直覺思維是發現學習的前奏 （張春興，2001）。但 Hahn（1956）則指出直觀是迷思概念的主要來源，應 該從正式的科學知識裡剔除（引自陳光勳，2002）。 而以色列學者 Stavy 和 Tirosh 在數學或科學領域，研究關於面積、角度、 長度、容量、重量、體積等問題，發現直觀法則可用來預測學童的推理，解 釋其思維，或者可以瞭解學童的迷思概念或另有概念。以下為一些研究者所 歸納出的直觀法則（Stavy & Tirosh，1996-1999）。
一、A 相同，B 就相同（Same A—Same B）
Ronen（轉引自 Tirosh & Stavy，1999）針對 Same A－Same B 法則進 行相同的紙不同方位摺成圓柱體後，其體積大小的研究；研究顯示，絕 大多數的國小五年級學童（96%）會以 Same A—Same B 來判斷，而認為 「二者面積相同，體積也相同」，各年級學童存有此種迷思概念的百分比 為：幼稚園：5％，一年級：19％，二年級：47％，三年級：64％，四年 級：72％，五年級：96％，六年級：83％；顯示越高年級傾向以 Same A— Same B 的直觀法則思考。
第二項為 Piaget 等（1930）（Stavy & Tirosh，1996）針對 More A－ More B 法則，研究不同材料，但相同大小形狀立方體放入水中後，較重 的是否溢出水量較多？研究發現部份 10 歲以上的學童認為「較重的立方 體，溢出的水量較多」（More A—More B）。
三、實體可被對分完畢（Everything come to an end）
Stavy 和 Tirosh（Tirosh & Stavy，1996）針對 5-12 年級的學童對於 立方體、銅、金屬立方體、水、火柴是否可無限對分的研究，對於實體 物質（銅、火柴、金屬立方體）其認為會無限對分的百分比皆小於 50%， 傾向於連續對分進行至分子或原子則會停止。
各年級學童認為銅會無限細分的百分比為 7 年級：26%；8 年級： 30%；9 年級：44%；10 年級：48%；11 年級：58%；12 年級：46%。 四、對分可無限的進行（Everything can be divided by two）
Stavy 和 Tirosh（1996）針對 5-12 年級的學童對於立方體、銅、金 屬立方體、水、火柴可無限對分的調查研究，發現當物體是數學上的幾 何物體時（如一直線、長方形、正方體），各年級學童傾向於認為對分 可無限進行。 各年級學童認為立方體細分會無限進行的百分比為：9 年級：55%； 10 年級：45%；11 年級：72%；12 年級：60%。 綜合以上直觀法則對體積的研究結果可知： （一）學童對圓柱體體積公式的瞭解不夠清楚，容易受到視覺的影響，產生「外 表形狀一樣或面積一樣大，則體積也會一樣大」的 Same A—Same B 的直 觀法則來思考。 （二）以直觀法則來看孩童的佔有體積的概念，發覺孩童的思考依照「More A— More B」的判別，回答「較重則溢出較多」，顯示兒童對物體在水中排液量 的意義不瞭解，在教學時，應強調物件在水中使水位升高是由於佔有水的 空間的影響。
本節文獻的啟示：本研究為學童體積概念學習成就的探討，以上與體積概念相關 的理論，可作為研究工具之問題設計的參考，與分析研究資料的對照。
第三節 量的課程設計理念
體積是連續量（一般簡稱為量）之一，連續量的數值化與離散量不同；對於 離散量的數值化，離散量裡面每一個物件皆視為一個單位，觀察其群體之大小 時，直接以正整數和物件一對一對應，連續點數，即可得知其總數；而連續量則 需設定一個單位，再以此單位去比較某物件為多少個單位。因此小學教材特將連 續量的概念與數值化部份另列單元教學，針對連續量的教學原則與流程，在課程 綱要中特別加以說明。本節將分三部份說明這方面量的課程設計，第一部份為九 年一貫課程暫行綱要量的學習發展程序，第二部份為九年一貫課程正式綱要量的 學習發展，第三部份為其他學者的測量課程的發展理念。 壹、九年一貫課程暫行綱要量的學習發展階段 九年一貫課程暫行綱要（教育部，2001）中認為量概念的發展形成需經歷下 列五個階段才算完整，如表 2-3-1。 由下表 2-3-1 可知九年一貫課程暫行綱要量的學習的發展歷程為「初步階 段」、「間接比較」、「個別單位的描述」、「單位化聚」、「公式化的概念」，這些階 段皆符合 Piaget（1960）測量概念的發展（本章第二節）。在「間接比較」利用第 三物當媒介物時，已是 Piaget（1960）測量概念的發展中的階段Ⅲ（操作保留概 念和遞移律的開始），「個別單位描述」和「單位化聚」是 Piaget（1960）測量概 念的發展中的階段Ⅳ（瞭解用小單位測量），而「公式化的概念」則是 Piaget（1960） 測量概念的發展的最後階段。 表 2-3-1 九年一貫課程暫行綱要量的學習的發展階段（教育部，2001） 階段 具備之能力 1.初步概念 ◎透過感官感覺。 ◎對兩物的同類量作直接比較，※ 例如比較兩物的體積。 ◎能以整體、合成的方式複製已知量，※ 例如複製一個已知物體的體積。 2.間接比較 ◎對無法直接比較的兩個物體，透過一個媒介物，利用此媒 介物分別與兩物進行直接比較後，把比較的結果推論為原 來兩個物體比較的結果。 3.個別單位的描述 ◎從等量合成複製的結果來描述一個量，並進行比較。 ◎認識量的基本標準單位，如：立方公分、立方公尺。 ◎能利用標準單位所描述的體積，對兩個體積的量進行加、 減、乘、除運作。 4.單位化聚 ◎聚—將用小單位（※ 立方公分）所描述的量，用大單位（※ 立方公尺）來表現。 ◎化—將用大單位（※ 立方公尺）所描述的量，用小單位（※ 立方公分）來表現。 5.公式化的概念 ◎分為三階段—（以體積為例） （1）利用乘法簡化點算的過程。 （※ 例如：體積長方體公式＝長×寬×高） （2）能將各種柱體變形成長方柱，而求其體積。 (※例如：長方體、平行四邊形柱、三角柱…)。 （3）在（1）和（2）的過程中以公式整合成一概念。 （※例如：柱體體積＝底面積×高） 註：※ 為研究者自行補充的例子。 貳、九年一貫課程正式綱要量的學習發展階段 九年一貫課程正式綱要（教育部，2003）中，認為時間以外的六種量的學習 要經歷下列四個階段： 表 2-3-2 九年一貫課程正式綱要體積量的學習的發展階段（教育部，2003） 階段 具備之能力或階段 1.初步概念與直接比較 ◎透過感官直接感覺。 ◎對兩物的量作直接比較，※ 例如比較兩物的體積。。 ◎量的複製，包括整體複製、合成複製及等量合成複製。 ˙整體複製: ※ 例如用一塊黏土複製 3×3×3 的正方體積木。 ˙合成複製: ※ 例如用古氏積木 1 立方公分與 2 立方公分
˙等量合成複製: ※ 例如用 1 立方公分的單位積木拼疊出 3×3×3 的正方體積木。 2.間接比較與個別單位比較 ◎對無法直接比較的兩個物體，透過一個媒介物，並利用比 較結果做出兩量之比較。 ◎能作間接比較，便能使用個別單位作測量。 3.常用單位的約定 ◎認識某類量之常用單位，並能運用此單位，作量的比較加、減、 乘、除。 ※ 例如 8 立方公分－5 立方公分＝3 立方公分。 4.常用單位的換算 ◎能先使用大小單位的複名數來描述測量結果。 ◎學習單位的換算。 ※ 例如學習立方公分與立方公尺的換算。 註：為研究者自行補充的例子。 由上表 2-3-2 發現量的學習要經歷「初步概念與直接比較」、「間接比較與個 別單位比較」、「常用單位的約定」、「常用單位的換算」等四階段，在初步概念與 直接比較上，透過眼睛的直觀比較、直接比較、利用積木堆疊複製的方式比較兩 物件的量；對於無法移動或距離太遠的兩物件，則透過間接比較與個別單位比較 的方式，間接的比較二物件；常用單位的認識與換算，在體積是指認識立方公分 立方公尺及其換算。 由上表 2-3-1 與 2-3-2，比較九年一貫暫行綱要與正式綱要在體積量概念的學 習發展上，發現二者在體積的學習過程在敘述上雖略有差異，但都要經過初步概 念與間接比較、個別單位的描述、常用單位的化聚。在體積量概念的學習發展部 份，九年一貫暫行綱要比正式綱要多一個階段，其內容是公式化的概念。 參、其他學者的測量課程的認知發展 其他學者認為測量課程的學習過程如下： 一、Clements 和 Battista（1986）測量的階段 Clements 和 Battista（1986）認為測量應有下列階段：
（一）瞭解測量物件的屬性； （二）施行比較； （三）用非標準單位測量； （四）用標準單位測量； （五）使用標準測量策略或公式。 二、Van De Walle（2005）的測量教學順序 Van De Walle（2001 張英傑、周菊美譯，2005）認為測量的教學順 序是先發展學童測量的概念性知識，再完成工具性之步驟。以下是發展 測量概念所具備之知識，與其所使用的典型活動對照表 2-3-3。 表 2-3-3 測量概念發展與使用的典型活動對照表（Van De Walle，2001 張英傑、 周菊美譯，2005，p.576） 發展概念上的知識 使用的典型活動 1 瞭解測量的屬性。 2 理解填滿、覆蓋相匹配，或者進行單位 屬性的其他比較，產生稱之所謂測量。 3 理解測量設備運用的方法。 1 以屬性為基礎進行比較。 2 使用測量單位的具體模型，進行填滿、覆蓋 相匹配，或者使用單位去做屬性的必要的比 較。 3 製造測量工具且使用它們，並與使用實際單 位模型比較運用的方法。 由表 2-3-3 可知發展測量所使用典型活動是比較，其比較方式則以某個 屬性為主，使用測量工具以填滿、覆蓋等方式進行比較。 就體積而言，進行比較之前，要先瞭解物體的屬性；使用單位物件堆疊、 填滿(或裝滿)之前，要先瞭解測量體積是用與體積相同屬性的單位積木填 滿；最後，則要先瞭解如何使用測量工具，再進行測量。
綜合上述 Clements、Battista（1986）和 Van De Walle（2005）的測量的認知 發展，可以發現二者均提到測量的內容要進行比較，Clements 和 Battista（1986） 認為應先進行非標準單位的比較、再進行標準單位的比較，而 Van De Walle（2005） 進行比較時則忽略非標準單位，直接使用具體的測量模型。
屬性為主的比較開始，直觀比較、直接比較，再開始使用非標準單位來測量，然 後再使用標準單位測量，最後瞭解單位換算，若是體積與面積課程，則應多一項 公式化概念。因為國小體積的課程主要編排在五年級，故學完五年級的體積課程 後，即可研究國小五年級學童對體積概念認知的情況。
