第二章 文獻探討
第六節 體積的相關研究
一、Everyday Mathematics 在柱體體積的尋求的方法上較多元，三年級時由展 開圖所做的長方體盒子，裝滿 1 單位的立方體，由觀察其基的長與寬和柱 體的高，求得長方體體積；四年級則不只是由層層堆疊的方式，求得長方 體體積公式，而是由求多邊形柱體的體積的過程中，引導學童去認識底面 積×高的意義，國內教材的引導大致是僅由層層堆疊的方法，去推得長方 體公式與柱體體積的公式。
二、
Everyday Mathematics 較重視動手操作實驗的能力，所以在比較體積的大 小、1 立方公撮=1000 立方公分、1 公升=1000 毫升上與體驗 1 立方公尺體 積的大小上，都鼓勵學生去實際去動手做教具驗證結果。三、
Everyday Mathematics 對於國小體積課程內容的安排較早，而且內容較豐富 且方式較多，二年級已讓學生對容積與體積的關係有一些認識，三年級則 讓學童藉著觀察長方體的底與高的關係，歸納長方體公式。四年級已安排 長方體體積公式，五年級的課程安排了角柱、圓柱體積公式的認識；而國 內教材五年級教長方體體積公式，柱體體積公式的課程，康軒版與翰林版 則編排在六下。本節文獻的啟示︰經由上述教材內容的分析，可以瞭解國內外體積教材的內容與 課程編排上的不同，Everyday Mathematics 的體積教材內容比國內深，也學得較 多；在學習方法上，動手實驗的精神，與國內有些不同。本研究擬研究國內五年 級學童的體積概念，在研究工具的編寫上，除了參考國內學童各版本已學得的概 念外，亦參考 Everyday Mathematics 的部份教材內容加以改編，以瞭解學童對題 積題材的瞭解程度。
第六節 體積的相關研究
中外兒童體積概念發展的研究，有些屬於保留概念的研究，有些以測量與直 觀法則的觀點，大致上常以下列四種觀點來研究體積的問題：
其一為體積意義的觀點（何健誼，2002；柯青秀，2006；馬乃忠，2006；黃 文達，2003；Potari & Spiliotopoulou，1996）。
其二為測量的觀點（周武男、杜震凡，1990；林仁得、謝祥宏、陳文典，1993；
林慈容，2001；沈佑霖，2003；柯青秀，2006；高敬文和黃金鐘，1988；馬乃忠，
2006；黃文達，2003；劉好，2001；譚寧君，1997-2000；Hart et al., 1981；Foxman et al., 1984），相關的理論為 Piaget（1960）測量概念的發展研究（見第二章第二 節）。
其三為保留概念的觀點（或稱守恆概念)（何明昇，1999；黃湘武等，1985；
黃湘武、黃保鈿，1986；黃寶鈿等，1986；Rothwell, 1979；Piaget, 1930；Piaget、
Inhelder & Szeminska, 1960；Piaget & Inhelder, 1974），相關的理論為 Piaget（1930）
排開液量的發展研究、Piaget 等（1974）在物質相等情況下的體積保留概念的發 展研究及 Piaget 等（1960）的體積保留概念的發展研究（見第二章第二節）。
其四為直觀法則的觀點（何健誼，2002；徐存姮，2003；馬乃忠，2006；陳 光勳、譚寧君，2001；陳光勳，2002；Stavy & Tirosh, 1996-1999）相關理論為 Stavy
& Tirosh（1996-1999）的直觀法則：Same A—Same B，More A—More B，Come to an end，Can be divided by two 四種直觀（見第二章第二節）。
本研究分別就這四種研究體積的角度說明如下。
壹、體積的意義認知表現
雖然體積有不同的定義，但各版本教科書教材皆是以「佔有空間」來說明 體積的意義，以下是其相關研究。
Potari & Spiliotopoulou（1996）研究國小五年級學童的體積概念，發現學童 認為體積與佔有空間、容量、重量、其外觀的幾何形狀、構成物體質量有關。
何健誼（2002）研究幼稚園至國小六年級學童的體積認知，發現學童認為
看不到、摸不到的物體沒有體積，沒有固定形狀、是氣體與液體、中空有洞、
沒有重量、圓形、無法計算出體積及不是一格一格的都沒有體積。
黃文達（2003）針對國中生所做的測量概念學習研究，發現青少年對哪些 物體具有體積有很大的分歧，並且將學生體積的意義歸納成四個認知層次，分 別是常見物體不變物具有體積，形狀不固定具有體積，有界封閉區間具有體積，
無界或開放空間無體積。
馬乃忠（2006）針對四、五、六年級體積概念之研究，發現學童認為沒有 固定形狀、看不到摸不到、沒有重量的沒有體積及較重的體積較大。
而柯青秀（2006）針對新台灣之子與一般學童體積概念的比較，研究發現 一般臺灣學生的體積概念優於新台灣之子。極少數國小五、六年級的新臺灣之 子（21%）認為空氣有體積，一般學童則為 31%；而約半數新台灣之子（56%）
認為杯子內的果汁有體積，一般學童則為 72%。
綜合以上研究，可知一些學童對「什麼物體有體積」還存有很多迷思概念，
極待釐清。
貳、測量體積的相關研究
對於學童體積測量概念的研究依年代的先後而言，有全英國所做的數學和 科學的概念研究（Concepts in Secondary Mathematics and Science，以下簡稱 CSMS 研究）（Hart, et al., 1981）、英國針對教育和科學的發展所做的實測評估
（Assessment of Performance Unit，以下簡稱 APU）（Foxman, et al., 1984），我 國高敬文和黃金鐘（1988），及周武男和杜震凡（1990）、譚寧君（1999）、黃 文達（2003）、沈佑霖（2003）、馬乃忠（2006）及柯青秀（2006）所做的研究 等。除了 APU 外，其他研究者之施測試題其內容大多改編自 CSMS。這些研究 的主要發現為：
一、英國的 CSMS（Hart, et al., 1981）針對 11 歲至 16 歲學童研究其對數學 概念的瞭解，將學生的測量概念分成五個概念階層，研究發現 12 至 14
歲學童其測量的認知層次有隨年紀增高的趨勢。
二、APU（Foxman, et al., 1984）針對 11 歲和 15 歲的英國學童進行體積測量 概念的研究，發現 30%至 40%的英國 11 歲學童能算出邊長少於 10 的整 數邊的體積，而 70%至 80%的英國 11 歲學童能點數體積。
三、高敬文和黃金鐘（1987，1988）針對我國五、六年級的測量概念發展作 研究，發現我國國小學童測量概念的理解優於英國，其研究參考 CSMS 的五個概念階層，建構我國國小學童測量概念的概念理解層次；並且發 現我國國小學童測量概念的發展確有隨年齡而成長的趨勢，但達最高層 次者仍居少數。
四、周武男和杜震凡（1990）針對我國國中生研究其實測概念的發展，發現 國中階段實測概念的認知並未明顯發展，在求體積的時候，如果題目有 格子或立方體，國中生常會用數的方式而不用學過的公式。
五、林仁得等（1993）針對國小一年級至四年級研究其對體積測量的認識，
將其概念分為五個層次，由易至難依序為(a)對體積屬性的確認比較及排 序(b)應用現成的工具度量(c)能權宜的運用方便的工具及選用合適的單 位(d)等值換算單位(e)靈活運用度量策略。研究發現一年級學童對體積此 一名詞已有概念，國小四年級已具備等值換算單位的能力，但對於靈活 運用度量策略則一至四年級皆未具備。
六、譚寧君（1997）在面積與體積教材分析中指出學童對體積的了解是建立 在視覺上，而非堆疊的活動，空間能力不足將影響體積的瞭解；而且學 童在體積上缺乏對被測量物的認識，保留性和估測能力皆不足，在學習 上重視公式的記憶，輕忽概念的瞭解。譚寧君（2000）針對國小三年級 至六年級學童及國小老師，研究主題為從兒童迷思概念看教師對兒童測 量知識的了解，發現國小教師對學童體積概念的瞭解不足。
七、林慈容（2001）針對一位六年級學童從單位量的觀點探討其面積及體積 概念，研究發現被訪談者的「單位量概念」與「面積概念」、「體積概念」
的發展有密切的關係。
八、劉好（2001）針對國小一年級至六年級所探討的國小實驗班學生幾何概 念之分析研究，發現部份二年級學童未具備長方體立體圖形轉換為平面 視圖的能力，且其點數積木其策略為：一一點數倍數型、點數可見表面、
表面錯誤類推等。
九、黃文達（2003）針對青少年研究其測量概念的學習，發現青少年形成體 積測量概念時，會受到先前面積公式的影響，並且未深入認知體積是三 維的量，將體積與表面積混淆，或認為體積與長度是平方關係、線性關 係。
十、沈佑霖（2003）針對國小六年級學童進行體積概念的研究，發現國小六 年級對學童的體積基礎概念和測量概念優於估測概念。
十一、馬乃忠（2006）針對四、五、六年級學童基於模糊理論及試題反應理 論探討其體積概念之發展研究，發現學童的體積保留概念優於體積測量 概念，體積測量概念優於體積估測概念，並且學童的年級和體積概念有 顯著差異，六年級最優，五年級次之，再者為四年級。
十二、柯青秀（2006）針對國小五、六年級的新台灣之子探討其數學「體積」
教材的成就表現，發現現其體積測量概念最優，體積保留概念次之，再 者依序為體積初步概念、體積解題能力、體積估測能力。
本研究和以上研究有關的項目有「點算法求體積」、「由多少單位堆疊」、「長 方體積木邊長含 1
2 單位積木」、「給出長、寬、高資訊，求長方體體積」、「給出 相關資訊，求三角柱體積」、「體積解題」、「體積估測」等項，下面就這些項目的 相關研究發現整合說明：
一、「點算法求體積」的認知表現
（一）當物件是長方體時，學童會點數 表面的格子數可見的兩面 或三面（高敬文、黃金鐘，1988）；此外，劉好（2001）尚發現學童點
數看得到的部份表面外，也會推想看不到的地方，去數體積的個數。
（二）當物件是非長方體時，譚寧君（1997）與沈佑霖（2003）的研究發現 學童尤其不易掌握其立體結構，學童的空間能力會影響其點數體積的能 力。
二、「由多少單位堆疊」的認知表現
（一）單位積木實測體積
對於 實測 CSMS 發現英國 12 歲學童答 對率為 46.2%（引用高敬文、黃金鐘，1988），高敬文和黃金鐘（1988）
發現五年級學童的答對率為 73%，類似題目，譚寧君（1999）則為 63.5%。
顯示七成左右的學童能正確的以單位積木實測體積。
（二）以邊長單位減半（邊長為
2
1
）的單位積木實測當物件為同樣的長方體，但堆疊的單位積木其邊長變為
2
1
時，CSMS（Hart, et al., 1981）發現 12 歲學童的答對率為 0.6%，高敬文和黃金鐘
（Hart, et al., 1981）發現 12 歲學童的答對率為 0.6%，高敬文和黃金鐘