數學信念與教學的關係

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中。接著探討本研究所使用之電腦支援協作學習的相關理論，了解電腦支 援協作學習在教育中如何進行，最後探討電腦支援協作學習典範之一的

「知識翻新理論」，藉由文獻探討澄清與強化研究目的重要性，並加強對 本研究的理論基礎之理解。

第一節 數學信念與教學的關係

數學教師的數學基模(schema)包含數學知識、數學本質信念以及教學 與學習方式等。專業知識的多寡固然重要，但單靠知識本身並無法區分數 學教師之間的差異，舉例來說，兩位數學教師可能擁有相似的數學知識，

但其中一人用問題解決導向來教學；另一位教師則採用講述法進行教學。

雖然擁有相同的數學知識，但呈現出來的教學方式以及教學效果卻不盡相 同。因此，信念才是影響教師的重要因素，數學信念可粗分為：（1）對 數學本質的觀點；(2)對數學教學本質的觀點或模式；(3)對數學學習歷程 的觀點或模式(Ernest, 1989；Thompson, 1984)。以下針對數學信念的內涵 加以探討，並釐清信念與教學實踐的關係以作為本研究參考的依據。

壹、 數學信念的意義

    信念如同海平面下的冰山，廣泛而難以探索，我們往往只能察覺到冰 山的一角，然而隱藏在下的龐大底部‐‐信念才是支配我們認知與行為的真 正推手。大多數的人會將知識與信念混淆，在過去研究中也較少區分兩者 之間的差異。Sigel（1985）指出信念是社會互動的產物，是個體對生活與 經驗的心理建構，人們會根據信念去理解世界並有所行動。知識則是人們 賴以評價真實世界的依據。廣義來說，信念則是個人主觀意識，帶有價值 批判的意味；而知識則代表客觀存在的材料。在教學現場，知識與信念是 需要被釐清的概念，例如：教師的數學知識與概念也許相同，但呈現出來 的教學方式不盡相同，這就是信念所產生的影響。因此，信念不僅影響個

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體的行為，也會透過教學進行傳遞、傳承。 

    數學信念代表人們對於數學本質的理解與認識，包含數學本質信念、

教學信念以及學生如何學習數學三個向度。其中以教師的數學本質信念為 最重要，因教師的信念將成為影響其教學方式主要因素。Handal（2003）

認為數學信念主要由：什麼是數學？數學教學與學習如何進行？以及理想 的數學教學與學習情況為何？組合而成。而Ernest（1988）將數學信念分 成三類： 

一、問題解決觀－數學是一種動態探索、創造發明的歷程，其中包含錯誤、

嘗試改正的歷程，數學不是既定永恆的知識，而是隨時能夠推翻修正的知 識； 

二、柏拉圖觀－數學為靜態永恆不變的知識，十分嚴謹的邏輯體系； 

三、工具觀－將數學視為一套工具，由許多的公式、定理、理論所組成，

學生必須善用工具以達到教學目標  (引自Thompson, 1992)。 

Kagan（1992）研究教師信念發現教室情境中經常存在不確定性與模 糊性，因此教師必須建立一套信念系統，當教室中出現問題時可以有所依 據並解決問題。教師對於數學本質的認知，與其數學教學的模式是密切相 關的，個人數學信念可以決定其對於數學問題的看法與解題的歷程

（Schoenfeld，1983）。

綜上所述，數學信念指教師對數學本質的思考方式以及賦予數學意義 的方式，教師依其原有的邏輯觀、知識觀、社會觀、經驗觀、哲學觀等，

檢視自我對於數學相關的觀點，包括數學本質、教學本質與學習本質，選 擇可以接受的部分並排除與自身信念相異的概念，以形塑成對教學相關問 題的看法。

貳、 數學信念與教學實踐

教師的數學信念與看法將導引教師的教學，進而影響學生的學習

（Clark & Peterson, 1986）。此外，教師信念影響教學實務的觀點在數學教 育研究領域中也已被證實（Peterson, Fennema, Carpenter& Loef, 1989;

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Schwartz & Riedesel, 1994）。透過教師的數學信念可以了解教師對於「數 學是什麼？」的看法，亦即教師如何看待數學的內涵及範圍。在教學現場，

每一個因應策略的背後都符應一個教學信念，意即，教學信念支配教師的 教學行動。整體而言，教學問題、因應策略以及教學信念構成一個環狀結 構（陳彥廷，2002）。

數學教師對於教學典範的看法來自於其對教學方式、教師角色、課 程以及教室內活動等等的觀點，不同的教師角色將導致不同的成果。例 如：若將教師視為數學知識與學生之間的中介者，教師信念就是透過教學 實踐的方式與學生進行溝通。Ernest(1989)以教師角色預測學習成果如下表 2-1所示 ：

表 2-1 教師角色與學習成果

教師角色 預期學習成果

指導者（Instructor） 精熟的技巧與正確無誤的表現 解說者(Explainer) 對知識有概念上的理解

促發者(Facilitator) 擁有質疑問題以及解決問題能力 資料來源：翻譯自Ernest(1989)。Mathematics Teaching: The State of the

Art(p.251). Basingstoke: Falmer Press.

然而，許多研究者提出教師信念和其教學行為的各種相關程度的研 究，其中除了兩者之間的一致之外，也出現不一致的情形（Thompson, 1992)。也就是說，信念與教學實踐之間呈現辯證的關係，而非一般認知的 線性因果關係。Thompson在研究中發現了教師信念和其教學行為之間的不 一致，而當這些教師被要求解釋其中不一致的原因時，他們提出了兩個解 釋：（一）兩者間本來就有差異存在；（二）影響他們實際教學的來源很多，

導致他們必須將信念置於一旁。Handal(2003)也提出相似的觀點，認為信 念與教學是雙向的關係，有些教師縱然擁有建構的或是學生中心的信念，

但礙於許多調節變項，例如：學生、家長的期待，學校領導者的領導方式 等等，無法實踐於教學當中。Ernest(1989)認為教師的教學信念對於其教學 實踐有決定性的影響，在教師將信念轉化為實踐的歷程中，受到下列因素 的影響：（一）是社會文化因素；（二）為教師信念的層次；（三）為高

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層次的思考能力。社會文化因素包含學生、家長的期待、校長的領導方式、

整個社會文化對於數學教學的期待等（Thompson, 1992）。因此，在外在 因素的影響下，教學信念與實踐間的聯結可能會比我們所期待的微弱。

過去研究顯示多數數學教師傾向將數學視為不斷練習的歷程，認為

「練習」能快速增進學生學習的效率。練習能夠幫助學生精熟所要學習的 知識，並使學生能夠快速的接收教師傳授的知識。古明峰(2000)研究國小 教師數學科評量態度之研究中即指出，一般教師認為要讓學生反覆練習並 熟知題目類型在考試中才能有較佳的表現。而Brown, Cooney 與Jones

（1990）的研究結果則發現，有許多教師認為有效的數學教學就是「直接 教導」學生適當方法，使學生能快速並正確的進行數學思考，因此他們認 為機械性的動作和持續不斷的動手練習可以讓學生在數學上有好表現（引 自莊淑琴，1998）。

而教師信念的層次可大略分為傳統觀以及建構觀（李麗君，2002）。

因此，排除社會文化的因素後，影響教師教學實踐最重要的因素就是信 念，而高層次的思考能力能幫助教師縮短教學信念與實踐間的差距。因 此，幫助教師提升其思考能力並建立正確信念應為數學師資培育重要核 心。 

参、結語

數學教學趨勢已逐漸由靜態走向動態，傳統觀趨向建構觀，也就是說教 學方式由講述轉向探索的歷程(Ernest, 1989)，而不再強調以練習、背誦公 式為主的教學方式。有鑑於數學內涵的範疇越來越偏向「由抽象中尋找次 序的歷程」，教師的信念也必須翻新，並在教學方法上有所突破。先前研 究指出，教師的信念來自於先前的學習經驗(Pajares, 1992; Richardson, Anders, Tidwell & Lloyd, 1991; Schommer, 1994; Wilson, 1990)，然而這樣的 觀點在師資培育的課程設計中常被忽略。  

在師資培育過程中，我們不應該只重視教師的信念為何，而是必須幫助 師培生建立對數學與教學的深層理解（Leatham, 2006）。有鑑於信念與教

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學實踐間的辯證關係，本研究探討師培生信念的改變與教學實踐改變之間 的關係，不再僅僅侷限於兩者的線性關係。下一節，即探討各國的師資培 育課程，以瞭解其培育師資的方式以及信念的確立在師資培育的過程中扮 演何種角色？