數學史融入數學教材的現況

一、 數學史融入數學教學的背景

數學史融入數學教學已被倡導多時，近代的研究是以 1970 年代為開 端，最初是在 International Conference on Multimedia & Expo（國際數學教 育會議，以下簡稱 ICME）中設立數學史工作小組與 NCTM 注意到數學 史的重要性，相關會議為：ICMEⅡ注意到數學的發展深受社會文化的影 響，因此成立「Exeter 工作小組」討論數學與歷史的關聯。NCTM 所出 版的第 31 本年書指出，把數學史用於教學的目的，不在於數學史本身，

而在於數學的教與學。ICMEⅢ成立 International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics（HPM），已連絡 各國學者針對數學史在數學教育中的地位與作用，進行國際性合作為宗 旨。

接著1980 年「For the learning of Mathematics」數學史專刊出刊。1987 年的國際數學之歷史與教育研討會。1984 年Arcavi 和Bruckheimer 發表

「為老師準備的數學史材料的發展與評價」。2000年ICME 推出專書

「History in Mathematics Education」。HPM 於2004 年在台中師範學院辦 理的「歷史、文化與資訊時代的數學教育國際研討會」均是以如何有效運 用數學史為研究目標。

在華語世界有關數學史的研究，蕭文強與洪萬生兩位可說盡最大的心 力於這個園地上。蕭文強對數學史用於數學教學做了實質上的論述。洪萬 生亦致力於數學史原始文獻資料的開發，為進一步推廣數學史研究成果，

來提升數學教師的教學品質與學生的學習成效，『HPM 台北通訊』 於1998 年出刊，作為數學史與數學教育的園地，邀請有志於將數學史融入數學教 學的教師，對相關議題發表看法（洪萬生，1998）。

二、 國內外數學史融入數學教材的情形

（一）國外將數學史融入數學教材的事例 1、 美國將數學史融入小學課程中

在 Mathematics Plus Teacher’s Edition 教材中，第三冊除法單元，介 紹希伯來（Hebrew）數字，讓學生了解當時如何做除法；幾何單元中介 紹中國七巧圖，藉由七巧圖的排列讓學生認識幾何圖形的變化；並利用

「格子法」，讓學生利用此法計算乘法；第四冊中介紹質數的發現者 Eratosthenes；並介紹 1650 BC，利用埃及的泥板介紹當時數學的計數符 號；與圖形單元裡，利用周遭事物排列介紹巴斯卡三角形；第五冊分數 單元介紹魔方陣，並延伸計算原則，將其中的整數換成分數，讓學生動 腦思考；六年級測量單元提及黃金比例，讓學生了解並測量身邊的物體 是否有黃金比例。

2、 美國將數學史融入中學課程中

在 Teachers of Mathematics 教材裡，有為畢氏定理的歷史來由特定編 冊，不僅完整收錄中西方有關畢氏定理（商高定理）的證明與介紹，也 提供教師對此定理思考的延伸方向。

另外，在 Mathematics in Action 教材中，質因數分解單元介紹圖形數 的來由與規則，並介紹三角形數，且讓學生加以演算從第一個到第一百 個三角形數所需的個數。在百分比單元介紹巴斯卡三角形，讓學生了解 裡面簡單的規則並讓學生往下延伸繼續練習。根號單元介紹畢氏定理，

提及股與弦的名稱，並利用兩種方法證明出畢氏定理。

3、 中國將數學史融入小學課程中

由陜西人民出版社所出版的第二冊教科書中，提及讓學生學習乘法 口訣，且讓他們了解乘法口訣是我國古代一個發明，它能使乘法計算又

對又快；第三冊裡結合生活實際，說明算盤是我國勞動人民創造的一種 簡便的計算工具，已有幾千年的歷史，另加以介紹撥珠口訣：「三指分工，

協同動作」、「下五去几，…」、「上几去五進一，…」；第五冊梯形單元裡，

讓學生自行製作七巧板。

4、 日本將數學史融入小學課程中

在東京書籍株式會社所出版第七冊數學教科書中，介紹兆以上的計 數名稱；第十冊裡介紹以前分數和小數的記法；更在新版第十二冊中介 紹長度單位的歷史。

在大日本圖書株式會社所出版第八冊數學教科書中，介紹 0 的發現；

第十二冊重量單元裡介紹公尺與公斤的由來。

在學校圖書株式會社所出版第十冊數學教科書中，圓的單元裡介紹 圓周率相關的歷史；第十二冊中介紹量的測定時，提及曹沖秤象的故事。

（引自 賴姝秀，2004）

（二）國內將數學史融入數學教材的事例 1、 國小課程

在康軒文教事業股份有限公司所出版的第十一冊數學課本參考活動 第一單元「介紹億以上的單位」中，提到漢朝所傳下來的數術記遺中的 計數名稱，分別為億、兆、京、垓、秭、穰、溝、澗、正、載等名稱表 示更大的數。第九冊數學課本提及畢達哥拉斯與其學派，並介紹「正方 形數」。以及第三冊第二單元「二位數的加減」教師手冊提到別的計數系 統，如羅馬系統，分別以I、X、C、M來表示 1、10、100、1000（，2003）。

在南一書局企業股份有限公司所出版的第十二冊教學指引中，第一 單元「概數」提到「四捨五入法」是近似計算的一種方法，在我國《九 章算術》均輸章已有初步思想，至三國景初曆（237 年）已有明文記載「半

法以上排成一，不滿半法廢棄之。」

2、 國中課程

I. 民國八十三年部編版（國立編譯館，1994）

選修數學第二冊，1-2 旅遊篇介紹古希臘數學家丟番圖，即〝代數 之父〞，並介紹其墓碑上的打油詩：

這裡躺著大大有名的代數之父－丟番圖 上帝送給他一生的六分之一當少年時代 之後經過一生的十二分之一他長了鬍鬚 又過生平的七分之一他步上紅毯結了婚 五年之後妻子為他生了一個胖胖的嬰孩 啊呀！躺著的聖人！他可愛的孩子呀！

只活了父親丟番圖半生的時間不幸辭世 痛失愛子的四年來他努力學習藉以忘憂 歲月不饒人他也消失在人生的舞臺上了

數學課本第三冊利用小商、小畢兩隻數熊的故事，引導出商高定理

（即畢氏定理）。第四冊第二單元－簡單的幾何圖形中，提及幾何觀念，

在西方起源於埃及，因尼羅河每年氾濫，重畫田界所需。在東方很早之 前就有這個觀念，不過一直到利瑪竇與徐光啟所譯的幾何原本中，才出 現這個名詞。第六冊 1-2 等差級數中，提到德國數學家高斯，他在十歲的 時候輕易算出老師所給的數學題目：從一到一百的總和，並在 19 歲時研 究出用尺規畫出正 17 邊形的作圖法，並要求後人把正 17 邊形畫在他的 墓碑上。

II. 民國九十二年南一出版社（南一書局企業股份有限公司，2003）

第一冊 1-1 因數與倍數單元中，提及古希臘數學家埃拉托塞尼

（Eratosthenes）設計了一種篩檢法，用來找出小於某個正整數的所有質 數。第二冊第五章等量公理介紹「曹沖秤象」的故事，同時闡述等量公 理所想要表達的意義。第三冊 1-4 命數系統與科學記號中，提到羅馬系 統，M代表 1000、D代表 500、C代表 100、L代表 50、X代表 10、V代表 5 與I代表 1，並讓學生練習如「MMDCCCLXXXVI」表四位數為何？第 四冊 3-1 一元二次方程式及其解的意義中，提到義大利科學家伽利略

（Galileo Galilei）在比薩斜塔所做的著名實驗。第四冊 2-2 商高定理，從 郵票中介紹直角三角形有「風車」、「新娘圖」、「新娘的椅子」等別稱，

並說明此郵票為了紀念一個重要的數學定理，在西方稱為畢氏定理，而 中國很早就有這個定理，稱為商高定理。第五冊 4-2 比例線段與相似三角 形中，提到在希臘愛情海東南角的賽莫斯（Samos），即畢達哥拉斯的故 鄉。大約西元前 540 年，統治者波利克雷帝斯（Polycrates）下令挖鑿山 洞，從山的另一頭將泉水引入此深水港，在工程師尤帕林納斯（Eupalinus）

的設計整工下，工人從山的兩頭同時開挖。據說，尤帕林納斯就是應用 相似三角形的性質得知的。

III. 民國八十九年翰林出版社（翰林出版事業股份有限公司，2000）

第二冊第七單元幾何量提及七巧板，乃為中國古代益智遊戲，被西 方人叫做Tangram（唐圖）。第三冊 2-3 其他進位的方法中，提到巴比倫人 創作了 60 進位制，現今在紀錄時間的分、秒時，仍以 60 為基數。另在 工具方面，羅馬人使用算板，中國人使用算籌，直到元末明初算盤才取 代了算籌。第四冊 2-2 商高定理提到，在西方，此定理為畢達哥拉斯所發 現的，因此被稱為畢達哥拉斯定理，簡稱畢氏定理。據周髀算經記載，周 公向商高學習數學時，在他們的對話中，商高指出夏禹治水時已懂得運 用此定理，因此有些人認為此定理應稱為商高定理。

IV. 民國九十二年康軒出版社（康軒文教事業股份有限公司，2003）

第一冊 2-1 因數與倍數中，提到大約 2000 多年前，古希臘數學家伊 拉托斯尼斯（Eratosthenes）利用篩檢法求出某個範圍內的質數。第三章 一元一次方程式介紹代數之父－丟番圖（Diophantus）為第一個懂得使用 符號代表數來研究問題的人。亦加入墓誌銘上的文字記載讓學生思索。

第二冊 1-2 二元一次聯立方程式－數學櫥窗中提到，孫子巧解「雞兔 同籠」，大約在 1500 年前，在孫子算經中記載：「今有雉、兔同籠，上有 三十五頭，下有九十四足，問雉、兔各幾何？」與算法統宗提到：「100 個和尚吃 100 個饅頭，大和尚 1 人吃 3 個饅頭，小和尚 3 人吃 1 個饅頭。

求大、小和尚各多少個？」第三章比例與線型函數提到，義大利畫家達 文西最早提出「黃金分割」名稱，並稱 1.618：1 為黃金比例。且經發現，

古希臘的巴特農神殿經分析，其立面長寬比、圓柱之間隔均呈黃金比例。

第三冊 1-1 科學記號－數學櫥窗中，提到印度阿拉伯命數法。目前普 遍使用的 1、2、3…9、0 等數字，以及十進位制就是「印度－阿拉伯命 數法」。並與羅馬命數法作比較。1-2 數的運算規律提到格子乘法，義大 利一本算術書提到了一種「格子乘法」，後來傳入中國，明末程大位著《算 法統宗》中，把它稱為「鋪地錦」。課本例題738×41=304056如下：

圖 2-1 格子法