國立台中教育大學數學教育系碩士班
理學碩士論文
指導教授：林炎全 博士
數學史融入國中二年級
數學教學實驗研究
研究生：曾智鈿 撰
中華民國九十五年六月
摘要
本研究的主要目的在於了解「數學史融入數學教材的教學（實驗組）」 與「一般教學法（無數學史融入）（控制組）」，對於學生的數學學習成就 與數學學習態度的影響，並試著探討學生對於數學史融入教學的想法與 接受度。本研究的研究對象是以台中縣某國中二年級兩個班級的學生作 為研究對象，共 71 名學生。教學實驗前以上次段考成績與平時成績作為 前測，其後對實驗組進行數學史輔助數學領域的教學，對控制組採未使 用數學史輔助數學領域的教學，教學時間為期三週，共八堂課。教學結 束後實施「數學成就測驗」及「數學態度量表」後測，而實驗組在教學 實驗後在實施數學史輔助學習意見調查。經過歸納分析後，得到結論： 一、 接受不同教學法的兩組學生在數學學習成就上並無顯著的差異。 二、 接受不同教學法的兩組學生在數學學習態度上並無顯著的差異。 三、 實驗組的學生，對於數學史融入教學的想法： (一) 將數學史融入課程後，學生很喜歡這樣的上課方式，而且讓 原先不喜歡數學的人變為喜歡數學。 (二) 低成就的學生認為這樣的學習方式比較有趣，且也比較有意 願參與課程內的教學活動。 最後並提出實驗組在試教過程中所遭遇的困難，及對數學史教材的 選擇與將數學史融入教學做具體的建議，提供日後其他教師在實施數學 史融入教學之參考。 關鍵詞：數學史、數學學習態度、數學學習成就Abstract
The main purpose of this study is to analyze the influences of different teaching methods on students’ math learning achievement and math learning attitudes. We integrate mathematics history into teaching materials and set it as the experiment group. The control group is to teach generally without
mathematics history . And we also inquire students about their opinions of learning with mathematics history. The objects of this study are eighty students who are in two different senond-grade classes of a junior high school in
Tai-Chung County. Before the teaching experiment, we compared
achievements of the first test. Next we had the experiment group taught by integrating mathematics history into the teaching procedures of math and the control group taught by general teaching without mathematics history. After the teaching experiment, we tested them with "Test of Math Achievement" and "Measurement Chart of Math Attitudes" again. Besides, the experiment group was also asked to do the suggestion survey about learning with mathematics history. We got the following conclusions:
1. The control group and the experiment group who accepted different
teaching methods, it made no remarkable differences on their math learning achievement.
2. The control group and the experiment group who accepted different
teaching methods, it made no remarkable differences on their math learning attitudes.
3. The opinions of the students of the experiment group about the teaching with integrating mathematics history into the math field：
(a) Through this teaching process, students all enjoyed learning math and those who didn’t like math at first were also converted to like it, too. (b) The students of low achievement feel that this teaching process is
funny, and they more want to participate in teaching activity of the curriculum.
Finally, we list the problems that we encountered. In additions, we also make some suggestions about how to choose teaching materials of mathematics history and how to integrate it into teaching process. We hope that they will helpful to other teachers on their teaching.
Key Words：mathematics history, math learning attitudes, math learning achievement
目次
第一章
緒論... 1
第一節 研究動機...1 第二節 研究目的與問題...3 第三節 名詞釋義...4 第四節 研究限制...5第二章
文獻探討... 6
第一節 數學史在數學教育的重要性...6 第二節 數學史在數學教學的應用...12 第三節 數學史融入數學教材的現況...16 第四節 數學史融入數學教材對數學學習態度和數學學習成就之相關研究29第三章
研究方法... 33
第一節 研究架構與設計...33 第二節 研究對象...36 第三節 研究工具...37 第四節 實施程序...39 第五節 資料分析...44第四章
研究結果分析與討論 ... 45
第一節 融入數學史教學對學生數學學習成就的影響 ...45 第二節 融入數學史教學對學生數學學習態度的影響 ...48 第三節 數學史輔助學習意見調查表之結果與討論 ...50第五章
結論與建議... 54
第一節 結論...54 第二節 建議...56參考文獻 ... 59
中文部份：...59 外文部份：...64附錄：
附錄一：數學史輔助數學科教學活動設計 ...68 附錄二：商高定理的驗證...73 附錄三：數學史輔助數學科教學活動學習單 ...78 附錄四：一般數學科教學活動設計 ...88 附錄五：回饋學習單...93 附錄六：數學態度量表...97 附錄七：數學成就測驗...99 附錄八：數學成就測驗雙向細目表 ...102 附錄九：數學史輔助學習意見調查表 ...103第一章 緒論
第一節 研究動機
在九年一貫數學領域的基本理念中指出數學史的重要性；在教師教 學裡，引進與主題相關的數學史題材，對學童的學習會有很正面的意義， 尤其能協助學童將抽象觀念具體化。因為不論在科技應用層面或思想突 破方面，數學重要概念的演進確有其實用面的考量，因此提供具啟發性 的數學史有關的讀物實屬必要（教育部，2001）。數學史對於揭示數學知 識的現實來源和應用，對於引導學生體會真正的數學思維過程，創造一 種探索與研究的數學學習氣氛，對於激發學生對數學的興趣，培養探索 精神。對於揭示數學在文化史和科學進步史上的地位與影響。進而揭示 其人文價值，都有重要意義（北京師範大學出版社，2001）。 國外學者 Kipnis（1996）指出，「當我們致力於探討如何發展學生 的思考技能時，為什麼我們不嚐試從瞭解與學習科學家的思考著手？… 瞭解一個概念最好的方法之一就是研究他的歷史。」而洪萬生（1999） 指出，如何將古代數學問題『融入』課堂之中，並進而提昇學生的學習 興趣與效果，是無法迴避的『正當性』了。 數學史運用在教材中，使學生比較有興趣學習數學；尤其現任教師利 用數學史進行創新教學更是普遍。左太政（1997）研究發現教師如在數學 教學中透過數學史啟迪學生的視野及引發思考，提升學生學習數學的興趣 進而引起學習的動機。要使大部分的學生對數學產生興趣，讓學生去感受 數學在人類文化上所發揮的功用，經歷一些創造數學的樂趣，乃是達到此 一目的的方法之ㄧ（引自楊淑芬，1992）。引進數學史的教學似乎有其價 值，研究者乃試著將數學史融入國中二年級（國二）的數學學習領域中。 在國二的數學課程中，研究者試著尋求數學史融入到數學教學中，國二學生能力可及且也能接受的教材，並讓他們能利用網路資料，在課堂中能自 行推演與證明。找到康軒版二下第二單元，其能力指標A-4-9為能認識商高 定理及其生活中的應用（教育部，2001），並對商高定理加以介紹。讓學 生了解西方的畢氏定理與中國的商高定理（勾股定理）的整個來龍去脈， 且利用前人的證明，再給學生些許的提示之下，讓學生自行推演出商高定 理並加以證明。除此之外，研究者也試著將一些數學小故事與古代數學文 本融入到數學的教學裡，希望藉此讓學生發現數學是具有人性的ㄧ面，而 且透過數學家的生平介紹，希望能激發學生的學習興趣。 選擇【商高定理】單元，進行數學史融入數學領域的教學，探討學 生對數學學習成就和學習態度的影響。並期望藉此提供給其他教師在未 來教學上的參考。
第二節 研究目的與問題
一、 研究目的 本研究的主要目的在於探討「數學史融入數學教材的教學」與「ㄧ 般教學法（無數學史融入）」，學生的數學學習成就與數學學習態度的影 響。對於實施融入數學史的教學活動，學生數學學習態度與興趣以及學 生對於數學史融入教學與以往的傳統式教學的看法，提供其他教師在未 來實施數學史融入數學領域教學之參考依據。 二、 研究問題 根據研究目的，本研究提出以下問題： （一） 探討學生接受「數學史融入數學教材的教學」與「ㄧ般教學法（無 數學史融入）」在數學學習成就上的差異情形為何？ （二） 探討學生接受「數學史融入數學教材的教學」與「ㄧ般教學法（無 數學史融入）」在數學學習態度上的差異情形為何？ （三） 探討接受「數學史融入數學教材的教學」的學生，對於數學史融 入數學教材的教學之想法為何？第三節 名詞釋義
一、 數學史融入數學教材的教學 含數學發展史的教學不是課本陳述歷史事蹟的歷史課，而是與一般 數學課不同形式的數學課。在使用的方法上，可採用講授、討論、閱讀、 學生的書面或口頭報告，或觀賞電影等幾種方式（梁鑑添、蕭文強， 1995）。 本研究係指教師將數學史融入到數學教材的教學，並配合上課時 數、教學目標及教材，在學生課程進行時，配合著學習單的使用，藉此 達到教學目標。使用方法上，則採用討論、閱讀、口頭報告等多元方式 進行，讓學生主導課堂的進行。 二、 ㄧ般教學法（無數學史融入） 採用一般的傳統教材為背景，以教科書內容為主。 三、 數學學習成就 係指研究者自編之「數學學習成就測驗」的得分。 四、 數學學習態度 研究者所採用的是曹宗萍與周文忠（1998）所編製的「數學學習態度 量表」的得分，作為其個人在數學學習上的態度。第四節 研究限制
本研究採用準實驗設計，在實驗過程中，由於一些難以控制的客觀 因素影響，故產生以下限制： 一、 實驗樣本的限制 本研究是以台中縣的一所國中二年級的兩個班級為研究對象。原先 擬定選擇高成就的兩個班級與低成就的兩個班級同時進行研究，因研究 者無法同時任教四個班級，故選擇高成就的兩個班級進行施測。因此， 可能會影響實驗結果解釋量及實驗之外在效度，在結果的推論上應有所 保留。 二、 實驗時間的限制 本研究僅以二年級下學期ㄧ個單元，在每節五十分鐘，進行為期三 週，共八節課的數學史融入數學教材的教學。對於數學學習成就與數學 學習態度的改變需要長時間的教學陶冶，才能看出其顯著的變化。 三、 教學年級的限制 由於任教的限制，只能針對國二的學生，所以實驗的結果對於其他 年級，是否有相同的結果，應實際去做實驗，不宜由此推論。第二章 文獻探討
本章共分為四節，第一節說明數學史在數學教育的重要性，詳加說 明；第二節說明數學史在數學教學的應用；第三節數學史融入數學教學 的現況；第四節數學學習態度和數學成就之相關研究。第一節 數學史在數學教育的重要性
就現在的數學課程內容來說，為什麼需要將數學史融入在數學的教 學中？這將是本節所探討的重點。 一、 數學史在數學教育的理由在千禧年這場數學史與數學教育盛會，Gail E. FitzSimons 和 Andy Begg（2000）分別為數學教育裡的數學史提出不同於其他與會學者的思 考路徑，數學史可以引發學生學習數學的興趣，也讓數學更添人味，同 時學生有需要知道數學這個科目所牽涉到的一切，以及數學家如何使這 些數學技能發揮功用，才能培養關照全體的能力，數學史在此提供了一 條有效的路。數學史在目前教育改革裡，便成為了一個重大議題。歐陽 絳（1998）認為數學教師要把課本上的內容放到歷史的背景上考察，才 能求得自己的理解；然後，才有可能幫助學生理解。 不少學生認為數學只是概念、定理、符號等組合, 有學者名為「靜態 數學觀」(鄭毓信，1995)。數學其實不應只著眼於最終的成果，還必須重 視「過程」, 其中包括猜測、錯誤、嘗試、檢驗、問題、觀念、思想方法 等成分。教學上有必要體現數學為人類數千年文化中的重要組成部分， 更須要表達數學各課題與其他文化活動之間是互有關連的。這種較全面 的數學觀, 有學者名之為「動態數學觀」（引自 列志佳，1996）。數學
歷史本身正是體現「動態數學觀」的上佳素材。假若承認展示數學的本 來面目是教師的基本責任，運用數學史於教育中便能有所定位，絕非可 有可無的「補品」了（列志佳，1996）。 使用歷史在數學教育上的一些理由： （一） 引起學習興趣 Fauvel（1991）認為使用數學史可以幫助學習者增加刺激，減少對數 學的恐懼，幫助維持對數學的興趣。蕭文強（1992）也認為將數學史使 用在數學教育上可以引發學習動機，從而使學生保持對數學的興趣和熱 情。 （二） 讓數學具有人性的一面 Fauvel（1991）認為使用數學史可以給予數學一個具有人性的一面。 Helena Pycior (1987) 更強調數學史融入於數學課堂時，應賦予數學人性化 的一面，那麼學生將不只可以體會到那些偉大的數學家一如常人，更重 要的是普通的平凡人也可以成為偉大的數學家。這樣的學習經驗便可以 啟發學生的一些同理感受，也因此可降低學生的學習挫折感。蕭文強 （1992）也認為將數學史使用在數學教育上可以為數學平添“人情味”，使 它易於親近。 （三） 幫助學生了解其困難點 Fauvel（1991）認為使用數學史可以改變學生的數學理解，幫助發展 多樣的途徑，讓學生瞭解不是自己本身的問題，而是大部分的學生都會 遇到的問題。如此ㄧ來，學生比較不會有太大的挫折感。鮑賢鈞（2004） 認為介绍這樣一些大數學家在遭遇挫折時又是如何執著追求的故事，對 於他們正確看待學習過程中遇到的困難、樹立學習數學的信心會產生重
要的作用。 （四） 提供進ㄧ步的學習 Fauvel（1991）認為使用數學史可以讓學生比較古代和現代的技術， 用來建立現代科技的價值，進ㄧ步提供研究的機會，鼓勵學習者更深一 層的觀察。蕭文強（1992）也認為將數學史使用在數學教育上可以瞭解 數學思想發展過程，能增進理解，對比古今，能更深入明白現代理論和 技巧的優點，經由滲透多元文化觀點，瞭解數學與社會發展的關係，並 提供跨科合作的通識教育，讓學生有進ㄧ步探索的機會和素材。 張祖貴（2004）提到，偉列亞力闡述數微積分的歷史，其目的就在 為後者提供背景知識，了解數學發展的真正面目，數學創造過程的挫折， 數學家所經歷的艱苦漫長的道路，從而更好地學習這一重要數學內容。 左太政（1997）研究發現教師如在數學教學中透過數學史啟迪學生的視 野及引發思考，大多數學生皆能提升學習興趣而引起學習動機，對學生 學習數學有實質上的幫助。謝豐瑞與鄭芳枝（2001）的研究提到數學史 中描述了數學的建構發展，蘊含了數學家的嘗試、困惑、排斥，以及數 學概念名稱的由來等等知識。 Jones（1976）認為融入數學史的教學，可以幫助學生瞭解「為什麼」， 可以促進學生對概念的學習具有意義。同時，數學史可以幫助教師了解 到以前的數學家在發展ㄧ個概念時，也曾經產生過許多錯誤的概念。而 這些錯誤的概念可能與現在學生在學習過程中所擁有錯誤概念類型相 似，因此教師較能理解學生在學習時的困難所在，這是為什麼要將數學 史融入數學教學之中的原因。 二、 數學史在數學教育的作用
汪曉勤、韓祥臨（2002）把西方學者對數學史在教學中的作用歸納 為下列數點： （一） 激發學生學習數學的興趣 要使學生對數學有興趣，這樣學生便會自已主動找尋數學知識。數 學家軼事、古算題、數學概念起源等。或會使學生從乏味的繁瑣計算中 找尋到數學有趣的一面。 （二） 不同時空數學思想的對比有利拓寬學生的視野，培養學生全方位 的認知能力和思考彈性 不同時代的數學家往往對同一樣的數學問題或概念有不同的看法， 如勾股定理的證明，這些不同使我們的學生不會只困在教科書中的公式 或固有方法，因而拓展更寬廣更彈性的思考模式。 （三） 讓學生了解數學的多元文化意義 數學不是某一些民族或國家的專利，數學的發展讓我們和學生了解 到不同文化之間的合作和分別，更甚者了解不同文化背景下的數學思 想，因而了解數學的多元文化意義(汪曉勤、韓祥臨，2002)。 三、 數學史在數學教育的重要性 專業知識與歷史知識總是互補的。就是說，不僅研究、學習歷史需 要具備一定的專業知識，而且學習專業知識也同樣需要用歷史知識幫助 分析和思考。著名數學家外爾（HeWeyl）認為︰“如果不知道遠溯古希臘 各代前輩所建立和發展的概念、方法和結果，我們就不可能理解近 50 年 來數學的目標。”如果教材是根據現代數學的分科來編寫，並主要是按照 公理化的思想方法而不是知識的發生過程編排體系，就會使學生在學習
數學知識時，常常知其然而不知其所以然，尤其會對數學概念的發展過 程，定理證明的發現過程及聯繫無法融會貫通。 因此，讓學生了解各門課程的發展歷史是促進各科學習的必要途 徑。具體地，數學史的作用可以概括為︰（1）對數學給出一個整體框架， 對數學有一個整體圖景，能認識到之間的相互關係。（2）對數學問題、 概念、理論和方法的來龍去脈有一定認識。對引入它們的動機與產生的 後果有所了解。（3）總結歷史上的經驗、教訓，借鏡解決問題的各種途 徑、方向。（4）對數學發展趨勢有一定的估計和預測。 Swetz（1992）認為數學史和學習數學是非常有關聯的。數學史應該 是學數學不可或缺的部份，很多國家都有這樣的領悟，法國已經承認： 數學歷史觀點的介紹能夠賦予學生較好的理解。丹麥教育部提倡：在人 文和社會的背景之下，學生應該完成數學史的知識。而英國更強調，能 夠恰當地將自己的歷史融入到數學裡。在 National Council of Teachers Mathematics（美國數學教師學會，以下簡稱 NCTM）設計一連串的指導 方針，他們注意到在歷史觀點上，數學的教與學是很重要的，並且極力 主張：學生體認數學和歷史的相互影響來自於我們文化和生活的相互發 展。NCTM 經由刊物提供會員在數學史方面的資源，這些資源最受歡迎 的兩個是「Mathematical History：Activities, Puzzles, Stories and Games （1978）」和「The Yearbook, Historical Topics for the Mathematics Classroom（1989）」。 歷史可以讓我們「以古鑑今」，我們藉著了解歷史，可以了解古人的 腳步是如何跨出的，依循古人的腳步，可以避免重蹈覆轍。Kipnis（1996） 指出，「當我們致力於探討如何發展學生的思考技能時，為什麼我們不嚐 試從瞭解與學習科學家的思考著手？瞭解一個概念最好的方法之一就是 研究他的歷史」，相同的情況也可以運用在數學學習上。 洪萬生（1984）提到，數學史的應用能幫助教學者在教學上，從學生
思考及學習的角度來思量，以裨幫助學生數學學習，以此看來，數學史不 管是在塑造數學教育理想、關照數學教學方法以及評估數學課程教材的恰 當性上，其角色都是無可替代的。我們將這些數學內容及概念重新還原到 他們相對應的歷史中，讓它們接上源頭的活水，讓學生瞭解他們的脈絡， 可以進一步啟發學生理解數學是如何「有用」，如何通過歷史與其他的學 問取得聯繫（洪萬生，1989）。強調在課堂上，教師運用數學史至少可以 分成三個層次：(1) 說故事，對學生的人格成長會有啟發作用；(2) 在歷史 的脈絡中比較數學家所提供的不同方法，拓寬學生的視野，培養全方位的 認知能力與思考彈性；(3) 從歷史的角度注入數學知識活動的文化意義， 在數學教育過程中實踐多元文化關懷的理想（洪萬生，1998）。 歐陽絳（1994）指出，歷史從哪裡開始，思維就應該從那裡開始。歷 史上的東西都是曾經成為現實的東西，它成為現實，總有它成為現實的理 由，正因為如此，要探討數學是什麼，必須從數學史著手。左太政（1997） 提到，參考數學史上的許多發展觀念，可以提供學生許多探索的機會，有 些未完成的定理，或是其他觀念的衍生推廣，都是學生繼續研究的好素材。 袁小明（2003）指出數學史材料的教育價值首先在於它能提供相對完 整的數學思維模型，還包括多樣化的思維形式，不同文化背景下的思維特 徵，以及思維成功與失敗的各個方面。數學教育可根據學生的需要選取具 有啟發意義的例子，進行教法加工，讓學生思索數學家們的解題過程。
第二節 數學史在數學教學的應用
Freudenthal（1991）強調，先學純數學，再應用，或直接學應用數學 都不對，正確的做法是從「用」中學數學，也就是強調數學課程的精神， 應為「取之於生活，用之於生活」。且認為「數學是人的活動、解決問題 的活動，也是組織學科內容的活動－即數學化」。Polya（1962）在建議教 師如何引起學生的學習動機時，即建議過教師應儘量選擇「與學生日常 生活經驗相關」的問題來引導學生。 數學史融入數學教學之研究風氣可從 Historia Mathematica 中看出 來。例如 1984 年 Arcavi 和 Bruckheimer 發表的「為老師準備的數學史材 料的發展與評價」正在為職前與在職教師發展有關中學數學課程的數學 史教材。每ㄧ主題的發展計劃包含（1）一個簡明的歷史介紹。（2）歷 史的來源作為主要來源。（3）這些來源資料所引發的問題。到了 1980 年代後期，國際上有關這方面的計劃與報告更加雨後春筍般出現。（引 自許淑清，2003） 洪萬生（1984）指出，一旦同意在數學課程中為數學史留個位置， 數學教育家自然會立刻面臨一項挑戰，那就是：如何將數學史融入數學 教材之中？ 一、 數學史在數學教育的應用 自從教科書開放民間編輯之後，教科書在版面上均比以往更精緻活 潑，內容也比以往更為充實。陳啟文（2001）提到，教科書增加不少數學 史的內容與相關話題，而綜觀各版本教科書，數學家的照片以及一些數學 歷史故事是現行數學教科書比對數學史內容最常編撰採用的方式。 Tzanakis、Arcavi（2000）所作綜合性討論將數學史融入數學教學的方式分為： (一) 學習歷史： 經由歷史資料的提供來學習歷史，其中歷史資訊可以是單一的人、事、 時、地、傳記、著名的問題或方法或者一系列的歷史知識，例如對歷史資 料、概念發展的過程所做的簡要說明。這種運用方式偏重歷史知識的學 習，不會直接改變特定數學教學內容。 (二) 學習數學的主題： 由被歷史所啟發的教案來學習數學的主題。並非著重於理解、概念和 方法的使用，而是強調為何以特定方式來求解、該如何思考解題的方法。 (三) 發展更深入的察覺： 對促進數學發展的社會、文化背景，有更深入的察覺，就這方面來說， 尚可分為兩部分，分別是數學活動的內在本質與外在本質。內在本質是指 數學史提供機會來顯露、分析數學的重要觀點。外在本質是指數學發展史 與社會、文化之間的聯繫。 洪萬生（1998）強調在課堂上，教師運用數學史至少可以分成三個層 次：（1） 說故事，對學生的人格成長會有啟發作用；（2）在歷史的脈 絡中比較數學家所提供的不同方法，拓寬學生的視野，培養全方位的認知 能力與思考彈性；（3） 從歷史的角度注入數學知識活動的文化意義，在 數學教育過程中實踐多元文化關懷的理想。 蕭文強（1992）曾具體指出運用數學史於數學教學的方法有： (一) 在數學課程中穿插數學家的軼事與言行。 (二) 開始講授某個數學概念之前，先介紹它的歷史發展。 (三) 以數學史上的名題及其解答去講授有關的數學概念，以數學上的關鍵 事例去說明有關的解題技巧，以數學上有名的錯誤或誤解去幫助學生
克服學習困難。 (四) 利用原著數學文獻設計課堂習作。 (五) 指導學生製作富數學史趣味的壁報、專題探討、特輯、甚至是戲劇、 錄影等等。 (六) 在課程內容滲透歷史發展觀點。 (七) 以數學史指引去設計整體課程。 (八) 講授數學史的課程。 Barry（2000）提到想要使教室有生氣、課程有意義，那麼就要將數 學史使用在數學教育上，我們就需要講述數學家軼事，讓學生尋找數學 家的生活需求，鼓勵學生研究，試著解決歷史上有趣的問題，讓學生去 發現連接數學和科學歷史上的發展。 二、 數學史在數學教育上需注意的事項 Fauvel（1991）提到將數學史運用在數學教學上要注意的事情： (一) 對數學教學來說，數學史應該是嚴謹的輔助物和附屬物。 (二) 它不是要成為考試科目。 (三) 在數學史融入數學教學的過程中，最常遇見的困難是如何對材料適當 的剪裁，使其與課程主題融合，不至於過份突兀，加重學生學習上的 壓力，反倒造成學生學習上的困擾與抗拒。 數學史的教學在本質上不是在教歷史，而是在教數學（邱守榕， 2002）。所以，Wilson and Chauvot（2000）主張整合歷史到數學課程中， 是教數學的明智方法，它是一個有效的教學工具，但不要變成一個額外 的課業。
鄧明立、陳雪梅（2002）提出以下幾點數學史課程建議： (一) 數學史課程應透過歷史集中對數學的基本概念、數學思想和方法的發 生，從中揭示數學發展的基本方向，以及數學發展與社會和其他科 學之間的關係。 (二) 對於數學史教材的編排，不必刻意追求知識的系統性，更不只按照數 學知識的邏輯系統組織。 (三) 在具體教學過程中，應該強調數學知識的有趣和有用，並借此提醒中 學教師︰數學知識有它深刻的價值與意義。這應該也是數學史教學 的內容。 (四) 數學史教學不應侷限於中國數學史，雖然以“實用”與“計算”為特徵的 中國古代數學曾為推展世界數學的發展做出卓越貢獻，但也只能體 現古代數學特點的一個方面，不能反映古代數學的全貌，因此對於 中國數學史的介紹還是應納入世界數學史中，使學生透過分析、比 較，全面認識中國數學發展的成就和不足。
第三節 數學史融入數學教材的現況
一、 數學史融入數學教學的背景
數學史融入數學教學已被倡導多時，近代的研究是以 1970 年代為開 端，最初是在 International Conference on Multimedia & Expo（國際數學教 育會議，以下簡稱 ICME）中設立數學史工作小組與 NCTM 注意到數學 史的重要性，相關會議為：ICMEⅡ注意到數學的發展深受社會文化的影 響，因此成立「Exeter 工作小組」討論數學與歷史的關聯。NCTM 所出 版的第 31 本年書指出，把數學史用於教學的目的，不在於數學史本身， 而在於數學的教與學。ICMEⅢ成立 International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics（HPM），已連絡 各國學者針對數學史在數學教育中的地位與作用，進行國際性合作為宗 旨。
接著1980 年「For the learning of Mathematics」數學史專刊出刊。1987 年的國際數學之歷史與教育研討會。1984 年Arcavi 和Bruckheimer 發表 「為老師準備的數學史材料的發展與評價」。2000年ICME 推出專書 「History in Mathematics Education」。HPM 於2004 年在台中師範學院辦 理的「歷史、文化與資訊時代的數學教育國際研討會」均是以如何有效運 用數學史為研究目標。 在華語世界有關數學史的研究，蕭文強與洪萬生兩位可說盡最大的心 力於這個園地上。蕭文強對數學史用於數學教學做了實質上的論述。洪萬 生亦致力於數學史原始文獻資料的開發，為進一步推廣數學史研究成果， 來提升數學教師的教學品質與學生的學習成效，『HPM 台北通訊』 於1998 年出刊，作為數學史與數學教育的園地，邀請有志於將數學史融入數學教 學的教師，對相關議題發表看法（洪萬生，1998）。
二、 國內外數學史融入數學教材的情形
（一）國外將數學史融入數學教材的事例 1、 美國將數學史融入小學課程中
在 Mathematics Plus Teacher’s Edition 教材中，第三冊除法單元，介 紹希伯來（Hebrew）數字，讓學生了解當時如何做除法；幾何單元中介 紹中國七巧圖，藉由七巧圖的排列讓學生認識幾何圖形的變化；並利用 「格子法」，讓學生利用此法計算乘法；第四冊中介紹質數的發現者 Eratosthenes；並介紹 1650 BC，利用埃及的泥板介紹當時數學的計數符 號；與圖形單元裡，利用周遭事物排列介紹巴斯卡三角形；第五冊分數 單元介紹魔方陣，並延伸計算原則，將其中的整數換成分數，讓學生動 腦思考；六年級測量單元提及黃金比例，讓學生了解並測量身邊的物體 是否有黃金比例。 2、 美國將數學史融入中學課程中 在 Teachers of Mathematics 教材裡，有為畢氏定理的歷史來由特定編 冊，不僅完整收錄中西方有關畢氏定理（商高定理）的證明與介紹，也 提供教師對此定理思考的延伸方向。 另外，在 Mathematics in Action 教材中，質因數分解單元介紹圖形數 的來由與規則，並介紹三角形數，且讓學生加以演算從第一個到第一百 個三角形數所需的個數。在百分比單元介紹巴斯卡三角形，讓學生了解 裡面簡單的規則並讓學生往下延伸繼續練習。根號單元介紹畢氏定理， 提及股與弦的名稱，並利用兩種方法證明出畢氏定理。 3、 中國將數學史融入小學課程中 由陜西人民出版社所出版的第二冊教科書中，提及讓學生學習乘法 口訣，且讓他們了解乘法口訣是我國古代一個發明，它能使乘法計算又
對又快；第三冊裡結合生活實際，說明算盤是我國勞動人民創造的一種 簡便的計算工具，已有幾千年的歷史，另加以介紹撥珠口訣：「三指分工， 協同動作」、「下五去几，…」、「上几去五進一，…」；第五冊梯形單元裡， 讓學生自行製作七巧板。 4、 日本將數學史融入小學課程中 在東京書籍株式會社所出版第七冊數學教科書中，介紹兆以上的計 數名稱；第十冊裡介紹以前分數和小數的記法；更在新版第十二冊中介 紹長度單位的歷史。 在大日本圖書株式會社所出版第八冊數學教科書中，介紹 0 的發現； 第十二冊重量單元裡介紹公尺與公斤的由來。 在學校圖書株式會社所出版第十冊數學教科書中，圓的單元裡介紹 圓周率相關的歷史；第十二冊中介紹量的測定時，提及曹沖秤象的故事。 （引自 賴姝秀，2004） （二）國內將數學史融入數學教材的事例 1、 國小課程 在康軒文教事業股份有限公司所出版的第十一冊數學課本參考活動 第一單元「介紹億以上的單位」中，提到漢朝所傳下來的數術記遺中的 計數名稱，分別為億、兆、京、垓、秭、穰、溝、澗、正、載等名稱表 示更大的數。第九冊數學課本提及畢達哥拉斯與其學派，並介紹「正方 形數」。以及第三冊第二單元「二位數的加減」教師手冊提到別的計數系 統，如羅馬系統，分別以I、X、C、M來表示 1、10、100、1000（，2003）。 在南一書局企業股份有限公司所出版的第十二冊教學指引中，第一 單元「概數」提到「四捨五入法」是近似計算的一種方法，在我國《九 章算術》均輸章已有初步思想，至三國景初曆（237 年）已有明文記載「半
法以上排成一，不滿半法廢棄之。」 2、 國中課程 I. 民國八十三年部編版（國立編譯館，1994） 選修數學第二冊，1-2 旅遊篇介紹古希臘數學家丟番圖，即〝代數 之父〞，並介紹其墓碑上的打油詩： 這裡躺著大大有名的代數之父－丟番圖 上帝送給他一生的六分之一當少年時代 之後經過一生的十二分之一他長了鬍鬚 又過生平的七分之一他步上紅毯結了婚 五年之後妻子為他生了一個胖胖的嬰孩 啊呀！躺著的聖人！他可愛的孩子呀！ 只活了父親丟番圖半生的時間不幸辭世 痛失愛子的四年來他努力學習藉以忘憂 歲月不饒人他也消失在人生的舞臺上了 數學課本第三冊利用小商、小畢兩隻數熊的故事，引導出商高定理 （即畢氏定理）。第四冊第二單元－簡單的幾何圖形中，提及幾何觀念， 在西方起源於埃及，因尼羅河每年氾濫，重畫田界所需。在東方很早之 前就有這個觀念，不過一直到利瑪竇與徐光啟所譯的幾何原本中，才出 現這個名詞。第六冊 1-2 等差級數中，提到德國數學家高斯，他在十歲的 時候輕易算出老師所給的數學題目：從一到一百的總和，並在 19 歲時研 究出用尺規畫出正 17 邊形的作圖法，並要求後人把正 17 邊形畫在他的 墓碑上。 II. 民國九十二年南一出版社（南一書局企業股份有限公司，2003） 第一冊 1-1 因數與倍數單元中，提及古希臘數學家埃拉托塞尼
（Eratosthenes）設計了一種篩檢法，用來找出小於某個正整數的所有質 數。第二冊第五章等量公理介紹「曹沖秤象」的故事，同時闡述等量公 理所想要表達的意義。第三冊 1-4 命數系統與科學記號中，提到羅馬系 統，M代表 1000、D代表 500、C代表 100、L代表 50、X代表 10、V代表 5 與I代表 1，並讓學生練習如「MMDCCCLXXXVI」表四位數為何？第 四冊 3-1 一元二次方程式及其解的意義中，提到義大利科學家伽利略 （Galileo Galilei）在比薩斜塔所做的著名實驗。第四冊 2-2 商高定理，從 郵票中介紹直角三角形有「風車」、「新娘圖」、「新娘的椅子」等別稱， 並說明此郵票為了紀念一個重要的數學定理，在西方稱為畢氏定理，而 中國很早就有這個定理，稱為商高定理。第五冊 4-2 比例線段與相似三角 形中，提到在希臘愛情海東南角的賽莫斯（Samos），即畢達哥拉斯的故 鄉。大約西元前 540 年，統治者波利克雷帝斯（Polycrates）下令挖鑿山 洞，從山的另一頭將泉水引入此深水港，在工程師尤帕林納斯（Eupalinus） 的設計整工下，工人從山的兩頭同時開挖。據說，尤帕林納斯就是應用 相似三角形的性質得知的。 III. 民國八十九年翰林出版社（翰林出版事業股份有限公司，2000） 第二冊第七單元幾何量提及七巧板，乃為中國古代益智遊戲，被西 方人叫做Tangram（唐圖）。第三冊 2-3 其他進位的方法中，提到巴比倫人 創作了 60 進位制，現今在紀錄時間的分、秒時，仍以 60 為基數。另在 工具方面，羅馬人使用算板，中國人使用算籌，直到元末明初算盤才取 代了算籌。第四冊 2-2 商高定理提到，在西方，此定理為畢達哥拉斯所發 現的，因此被稱為畢達哥拉斯定理，簡稱畢氏定理。據周髀算經記載，周 公向商高學習數學時，在他們的對話中，商高指出夏禹治水時已懂得運 用此定理，因此有些人認為此定理應稱為商高定理。
IV. 民國九十二年康軒出版社（康軒文教事業股份有限公司，2003） 第一冊 2-1 因數與倍數中，提到大約 2000 多年前，古希臘數學家伊 拉托斯尼斯（Eratosthenes）利用篩檢法求出某個範圍內的質數。第三章 一元一次方程式介紹代數之父－丟番圖（Diophantus）為第一個懂得使用 符號代表數來研究問題的人。亦加入墓誌銘上的文字記載讓學生思索。 第二冊 1-2 二元一次聯立方程式－數學櫥窗中提到，孫子巧解「雞兔 同籠」，大約在 1500 年前，在孫子算經中記載：「今有雉、兔同籠，上有 三十五頭，下有九十四足，問雉、兔各幾何？」與算法統宗提到：「100 個和尚吃 100 個饅頭，大和尚 1 人吃 3 個饅頭，小和尚 3 人吃 1 個饅頭。 求大、小和尚各多少個？」第三章比例與線型函數提到，義大利畫家達 文西最早提出「黃金分割」名稱，並稱 1.618：1 為黃金比例。且經發現， 古希臘的巴特農神殿經分析，其立面長寬比、圓柱之間隔均呈黃金比例。 第三冊 1-1 科學記號－數學櫥窗中，提到印度阿拉伯命數法。目前普 遍使用的 1、2、3…9、0 等數字，以及十進位制就是「印度－阿拉伯命 數法」。並與羅馬命數法作比較。1-2 數的運算規律提到格子乘法，義大 利一本算術書提到了一種「格子乘法」，後來傳入中國，明末程大位著《算 法統宗》中，把它稱為「鋪地錦」。課本例題738×41=304056如下： 圖 2-1 格子法
與運算符號的起源；四則運算從 15 世紀才逐漸開始使用。「＋」、「－」 在公元 15 世紀德國人引入，而「×」在公元 17 世紀英國數學家歐德萊 （Oughtred）最先使用，又德國數學家萊布尼茲（Leibniz）認為「×」易 容易跟x相混，故主張用「‧」做乘號。「÷」是在公元 17 世紀瑞士人拉 思（Rahn）所創造，至於「＝」由英國皇家法庭的醫生羅伯特雷科達（Robert Recorde）首創；「＞」與「＜」由哈利阿（Harriot）所創造。2-1 一元一 次方程式－數學櫥窗中，提到明朝有名算學大師－程大位。在他 60 歲時 完成一本有關珠算的算法統宗，其中記載了一個問題如下：「我問開店李 三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客多一房。」2-2 二元 一次方程式中提到，有一張清朝康熙年間的發票，被老鼠咬了幾個洞， 只留下部分字跡如下：
發 奉
白粳壹佰伍拾參擔每擔價銀□分 共計銀□兩二錢七分 4-1 比例式－數學櫥窗中提到黃金比例，歐多克斯（Eudoxus）在求AC :BC 的比值時，AB:AC = AC:BC稱為「中外比」，即義大利畫家達文西 （Leonardo DaVinci）就稱 1.618：1 為黃金比例。其名畫「人體比例圖」 即以黃金分割去分析人體各部份比例。 第四冊 2-1 平方根－數學櫥窗提及畢達哥拉斯（Pythagoras）學派與 數，並介紹直到 16 世紀大數學家笛卡爾（Descartes）才開始採用「 」 表示平方根。2-2 商高定理中，利用希臘為了紀念畢達哥拉斯的郵票，敘 述商高定理。並在數學櫥窗中，加入了三國時期魏國人，劉徽，在九章 算術注文中，利用「出入相補原理」成功證明了「勾股弦定理」。3-3 應 用問題－數學櫥窗中，先證明黃金比例，另提到十七世紀德國著名的天文學家開普勒（Kepler）曾經這樣說過：「幾何學裡有兩件寶，一個是勾 股定理，另一個是黃金分割。如果把勾股定理比作黃金礦的話，那麼可 以把黃金分割比作鑽石礦」。4-1 幾何作圖－數學櫥窗中，提到拿破崙運 用圓規將圓周四等分並加以詳述。 第五冊 1-2 全等三角形－數學櫥窗中，提到最早明確提出尺規限制的 是古希臘數學家伊諾皮迪斯（Oenopides），後來歐幾里得（Euclid）把這 個規則寫在他偉大的著作幾何原本中。並提到古希臘雅典智人學派的三 大問題：（1）三等分任意角；（2）倍立方體；（3）化圓為方。直到西元 1895 年德國數學家克萊因（Klein）才解決此問題。3-1 相似三角形－數 學櫥窗中提到，約西元 263 年左右，中國東漢後期三國時代的魏國人劉 徽寫了一本海島算經，書中利用相似三角形原理進行剖析。4-2 圓心角、 圓周角及弦切角－數學櫥窗中介紹巴比倫與圓周的 360 等分。關於圓周 360 等分的概念，最簡單的講法是「年是地球繞行太陽一圈的時間，從地 球看去，太陽在天上相對於恆星的位置每年移動 ，差不多每天 ， 這也是五千年前 ° 360 1° 巴比倫人定義圓周為 的起源，如今使用度的小圈圈 符號『。』就代表太陽。」 ° 360 第六冊 1-2 解一元一次不等式－數學櫥窗中提到不等號（Sign of inequality）的由來。從一開始的笛卡爾（Rene Descartes）以「 」代 表A大於B，以及「 AffB A Bξ 」代表B小於A。直到最後，據哥德巴赫（Christian Goldbach）於 1734 年 1 月寫給尤拉（Euler）的一封信所述，現今通用之 「 」和「 」符號為法國人≥ ≤ 布蓋（Bouguer）所首先採用，然後逐漸流 行。3-1 機率－數學櫥窗中介紹機率的起源，17 世紀數學家巴斯卡（Pascal） 偶遇法國貴族梅黑（Mere）的關係，經一番研究後，把自己的想法寫給 也是數學家的好友費馬（Fermat），並吸引了荷蘭數學家惠更斯（C. Huygens）一起加入討論。惠更斯把他們討論的結果寫進一本名為論賭博 的計算（1657 年出版），這本書被公認是關於機率論的第一本著作。4-1
等差數列－數學櫥窗中介紹「費氏數列」，又稱「費波那契數列」，是中 世紀義大利數學家費波那契（Fibonacci）在其著作算盤書中提到的「月 兔問題」裡所推導出來的數列。此數列排列方式：1、1、2、3、5、8、 13、…，從第三項起，每一項等於前二項的和。4-2 等差級數－數學櫥窗 介紹數學神童高斯，並說明當時他解出從 1 加到 100 的故事。且在許多 數學研究上得到許多非凡的成就：舉凡數論、代數學、非歐幾何、複變 函數和微分幾何等。後人更尊稱為「數學王子」，以紀念他為人類數學所 做的偉大貢獻。 三、 國內外數學史融入教材的情形 （一） 國內將數學史應用在教材的例子 1、 數學史融入教學－以畢氏定理逆定理為例 謝新傳（1998）在「國中數學史教學」經驗談，給學生上選修上冊 1-3「畢氏定理逆定理」證明時，可以用歷史上五種方法證明畢氏定理， 並且讓他們比較，三國時代的趙爽面積證法、公元三世紀的劉徽、公元 12 世紀的印度數學家 Bhaskara、清朝的梅文鼎甚至於美國第 20 任總統加 菲（Garfield）在當眾議員時想到的簡單梯型面積算法。 2、 數學史融入教學－以機率為例 蘇意雯（2000）在「古代數學文本在課堂上的使用」之教學報告－ 單元：機率中，先簡介機率論其來由，分成賭博問題的解法及有關保險 費和死亡率資料的統計過程。然後介紹對機率論的發展位居要津的巴斯 卡其人其事。在介紹巴斯卡時，也回頭對二項式定理的巴斯卡三角形再 做一番解釋，並與賈憲楊輝三角形作比較。最後在講述數學期望值時， 補充著名的「巴斯卡賭注」。 3、 數學史融入教學－以ㄧ元二次方程解法為例
陳鳳珠（2001）在阿拉伯代數在數學教學的應用中，先介紹阿拉伯 數學家的代表人物阿爾花拉子模的相關研究，她以實際的例子介紹六種 方程求解的演算方法，並作為一般解法的說明，另外，還提出上述後三 類方程解法的幾何解釋。他對二次方程所提供的幾何解釋，正是可以做 為二次方程解法－「配成完全平方」（或公式解）的另類教材。 4、 數學史融入教學－以對數為例 蘇俊鴻（2002）在對數單元的教學，利用學習單，介紹文藝復興時 期法國數學家 Nicholas Chuquet(死於 1487 年）將巴比倫人對級數研究的 成果呈現出來，接著介紹 John Napier（1550~1617）如何產生對數的概念。 根據數學史家的研究，Napier 對數概念的形成受到三種影響：（1）算術 （等差）級數與幾何（等比）級數的比較；（2）將乘法看成加法；（3） 運動學的幾何性質。希望經由此一學習單的活動，能使學生重新了解對 數概念的歷史發展上，並非經由指數而來，反倒是等比數列與等差數列 扮演著決定性的角色。進ㄧ步深化對數概念的認知。 5、 數學史融入教學－以三角函數為例 阮錫琦（2004）在「HPM在課堂上的應用－以三角函數為例」中， 提供了另類的教學策略，就是將「數學史融入數學教學(HPM)」應用於課 堂上來實施；其實就是結合「邏輯」（ogical approach）、「認知心理」 （Psychological approach）及「歷史」（Historical approach）三個維度，以 提供給學生另一種可行的學習活動。
6、 數學史融入教學－以無窮等比級數為例
陳啟文（2004）在「數學史融入無窮等比級數的教學」中，透過學 習工作單的設計，以數學史的典故為主軸，利用數學史為場景來佈置教
學情境，再結合 HPM 的三個維度（邏輯、認知心理、歷史），具體呈現 「三角函數」教學單元的知識結構，其中，教學策略為「啟發」取代「操 練」以及「圖解」置換「算式」，主要目的是希望培養學生「數形結合」 的概念。同時，也期待能夠從數學史的脈絡中提供給中學教師，面對「三 角函數」單元時，具有另類的數學教材教法。 7、 數學史融入教學－以數學歸納法為例 蘇俊鴻（2004）在「數學史融入教學－以數學歸納法為例」提出， 在學習單的設計安排上，試圖讓數學史的材料融入課程之中，彌補現行 教材啟蒙例設計上的不足，不再將它獨立於課程外，較能兼顧課程進度 的壓力。 8、 數學史融入教學－以圓錐曲線為例 蘇惠玉（2004）在「圓錐曲線的教學設計」提出，在現行高中數學 課程中，由於直角座標系的引入，以代數符號操弄為主的解析幾何成為 主流，導致學生對幾何概念的瞭解，變得零散瑣碎。以圓錐曲線的教學 為例，藉著學習單的設計，將圓錐曲線的相關史料引入，譬如阿波羅尼 斯《錐線論》中的「正焦弦」觀念，結合「圓錐截痕」與「圓錐曲線方 程式」這兩個表徵。研究目標在於提供學生對於幾何物件的學習另一角 度的思考，並期望學生因而對於所學的幾何物件，有較全面性的瞭解。 9、 數學史融入教學－以動態幾何教學活動為例 賴勝煌（2004）在「整合數學史之動態幾何教學活動設計」也提到， 數學史教學，是目前數學教學的一種方法。利用前人發生的事情，讓學 生能夠了解數學發展的脈絡。和前人面臨數學問題時，所產生的智慧。 希望利用外在環境的刺激，引發學生學習動機，並且使學生在課程學習
上，有所幫助。動態幾何環境與數學史的資料，就是很好的外在刺激環 境。 （二） 國外將數學史應用在教學的例子 1、 介紹埃及數字、巴比倫數字和羅馬數字的計算 Ofir（1991）在課堂中介紹埃及數字、巴比倫數字和羅馬數字與其所 屬的計數系統，讓學生發現各種計數系統的差異，並和現在的計數系統 作比較。他認為學生應該要享受做數學的樂趣。 2、 利用數學碑文的例子 Barry（2000）在上課時利用破損的數學碑文（如圖 2-2），讓學生選 擇翻譯碑文，決定行列之間的數字，而解釋基礎，將是決定碑上所遺失 的三分之ㄧ的項目。引導學生思考？數字的寫法是從左到右還是從右到 左？缺口表示零還是無意義。學生經過這些的引導討論出：假設基底是 12，數字由左至右，發現第 1 行與第 2 行之差是完全平方，但只有第 3、 5、7 列不是如此。如果數字由右至左，發現第 1 行與第 2 行之差是完全 平方，但只有第 7 列不是如此，也發現第 1 行與第 2 行之和是完全平方， 但只有第 7 列不是如此，而且發現第 1 行與第 2 行可以組成畢氏定理。 經過這樣的訓練，利用數學知識來創造碑文的翻譯，能夠展現學生的思 考方式、靈活的探究，並透過ㄧ致的努力達成任務。
圖 2-2 數學碑文 3、 利用角色扮演介紹數字與幾何的例子 Shirley（2000）在上課時利用角色扮演畢達哥拉斯（Pythagoras），藉 此角色將希臘的 1 到 4 的數字意義與寫法介紹給學生，並將兩條直線所 形成的直角與三角形作連結，利用四個直角三角形的移動來形成正方 形。這樣的上課方式可以讓學生瞭解數學家的一些人格特性，並能參與 數學家的發現過程。 4、 介紹圓與 的例子 π Tent（2001）將 的緣由及各國數學家發現π π 的歷史介紹給學生，並 讓學生試著去了解圓的周長與直徑、面積與半徑的平方之間的關係是個 常數，而這個常數就是 。學生經過這樣的學習過程，能夠了解圓與 之 間的關係。 π π
第四節 數學史融入數學教材對數學學習態度和數
學學習成就之相關研究
Bloom(1979)以方便教師設計課程與教學情境，將學習目標分為認知、 情意、技能等三部分。就情意來說，Mandler(1989)指出情意的活動是基於 特定情境的認知評估。認為信念、態度、情緒為情意研究的主要因素。 Mcleod(1992)以1970年到1994年間「Journal of Research in Mathematical Education」所刊登有關情意的文獻分析進行回顧性探討，指出早期的情意 研究聚焦於「數學態度」，後來才擴充到「數學信念」與「情緒反應」方 面的研究。 Leder(1987)指出，對數學的態度無法以單一維度來處理，數學可以分 為不同的類別，不同類別的數學可能引起不同的數學態度反應。 Douglas B. Mcleod (1992)指出態度的發展可分為兩種方式： 1、 來自於重複的情緒反應：例如，若學生解幾何證明題時，常產生負面 情緒，則幾何證明所產生的情緒衝擊將隨發生的次數而逐漸減少，轉 而形成自動化情緒反應，生理覺醒變弱，反應趨於穩定，產生不喜歡 幾何的態度。 2、 現存的態度影響相關的任務：例如，不喜歡代數證明的學生，可能會 對幾何證明產生排斥的態度。 吳明隆（1997）指出數學態度是個人對於數學的一般性觀感、看法、 喜歡或厭惡的程度。邵淑華（1997）認為數學態度是指個體對數學學習所 抱持的一種具有持久性而又ㄧ致性的行為傾向。數學態度是基於過去的經 驗，個人對數學所具有相當ㄧ致性與穩定性的理性認知、情感好惡與行動 傾向的一種心理特質（高石城，1999）。
Garfield（1977）將數學態度分為五個層次： 1、 接受（Receiving）：願意去學習數學。 2、 反應（Responding）：願意參加數學活動。 3、 價值（Valuing）：主動承認數學的價值，積極推動數學的活動。 4、 組織（Organization）：能統整數學的概念，以形成個人的價值體系。 5、 價值的確認（Characterization by a Value）：能完全認同數學的概念與 價值，以形成個性的一部份。 Aiken(1976)將影響數學態度的原因分為下列五項： 1、 性別因素：社會文化普遍期望男生對數學採取較積極的態度，因此一 般的研究均指出男生比女生喜歡數學。 2、 人格因素：有些人格特質與數學態度的形成有密切的關係，例如高自 尊、高責任感、高社會標準、高成就動機、高自由傾向的 人對數學比較有積極的態度。 3、 社會因素：人際吸引、團體動力等社會因素運用得當，能提高學生數 學學習態度。 4、 教師因素：教師對數學的態度會直接影響學生數學態度的形成。 5、 教學與課程因素：數學科的教法與課程安排會影響學生的數學態度。 Schmidt、McKnight (1998)對日本學生所做的研究指出，日本學生的 數學成就比其他國家高，但不喜歡數學的程度也比其他國家高。Dossey、 Mullis、Lindquist & Chambers(1988)以 3、7、11 年級的學生為研究對象， 指出態度與成就有正相關的關係。張海和 (2004)的研究中指出韓國的國 中、高中學生，在經濟合作及發展組織（Organization for Economic Co-operation and Development，以下簡稱 OECD）策劃的學生基礎能力國 際研究計畫（Programme for International Student Assessment，以下簡稱
PISA）和第三屆國際數學與科學調查（Third International Mathematics and Science Study，以下簡稱 TIMSS）國際合作研究中，都有很好的數學成就， 但他們對數學的興趣是非常低的。McLeod(1992)指出態度與成就並非彼 此依賴，而是以複雜的方式交互作用。 張春興（1996）認為「學習」是指個體經由練習或經驗，使其行為 或行為潛勢產生較為持久改變的歷程；簡茂發（1978）認為「學習成就」 是透過學習歷程獲致較為持久性的行為結果。 數學成就代表學生對數學的直接經驗，也是對數學的一種信念的表 現（Tocci & Engelhard, 1991）。吳元良（1996）認為數學成就是指學生學 習數學課程後，在數學課程的表現。因此，研究者自編數學成就測驗， 期望瞭解學生在數學課程上的表現。 數學態度是指個人對於數學的一般性觀感、看法、喜歡或厭惡的程 度。雖然學習數學是一認知的過程，然而研究顯示，數學態度對學生決定 未來是否繼續研讀數學或是否從事有關數學行業等均扮演一個相當重要 的角色。往往一個有較樂觀數學態度的學生亦有較高的學習成就(譚寧君， 1992)。而對於數學態度的研究發現，對數學具有積極態度者，比具有消極 態度者有較高的數學成就(黃德祥，1990)。
從研究中發現，數學態度和數學成就有顯著的正相關（Hackett & Betz, 1989）。曾琬淑（1995）在研究中發現，數學成就與數學態度之間關係密 切，小學兒童數學態度可以有效的預期其數學成就。張新仁（1982）認為 學習態度比學習方法和學習習慣更能有效預測學生的學業成就。王三幸 （1993）之研究也顯示，數學態度可以有效的預測數學成就。Higgins（1997） 認為學生的數學成就如果提高，將會有較積極的數學態度和信念。Pearce,
Lungren, & Wince（1998）的研究中認為消極的數學態度將使得未來的數 學學習產生失敗的危機。
第三章 研究方法
本研究目的在比較使用「數學史融入數學教材的教學」與「ㄧ般教 學法（無數學史融入）」對國中二年級學生在數學學習成就與數學學習態 度之影響。本章共分五節依序說明本研究之研究架構與設計、研究對象、 研究工具、實施程序、資料分析。第一節 研究架構與設計
一、 研究架構 本研究是採用「準實驗設計」（quasi-experimental design）。所謂的準 實驗設計，是指不能隨機分派受試者、無法像真正實驗那樣把系統的誤 差來源完全予以控制，而只能儘可能予以控制的實驗研究（黃光雄、簡 茂發，2000）。以兩班學生中之ㄧ班作為實驗組，接受數學史輔助數學領 域的教學；另一班作為控制組，採一般數學領域教學，即未使用數學史 輔助數學領域的教學。在進行教學實驗前先以第一次段考成績做為學習 成就前測與進行「數學態度量表」前測，其後對實驗組進行數學史輔助 數學領域的教學，對控制組採未使用數學史輔助數學領域的教學。教學 結束後實施「數學成就測驗」及「數學態度量表」後測。另外，再對實 驗組多進行「數學史輔助學習意見調查表」。（見圖 3-1）教師、教學時數 共變項 自變項 數學史輔助教學 組 別 一般教學法 學習成就 數學史輔助教學 學習態度 一般教學法 實驗組進行數學史輔助學習意見調查表 學習成就 第一次月考數學學期成績 學習態度 數學態度量表前測 圖 3-1 研究架構圖 依變項 控制變項 二、 研究設計 (一) 自變項 主要分為實驗組和控制組。實驗組接受「數學史輔助教學」；控制組 接受一般教學法（不含數學史）。 (二) 依變項 1、 數學學習成就後測：以研究者自編的「數學成就測驗」在教學實驗後 實施，以此為指標，成績越高，表示學生在數學成就上越高；反之則 越低。 2、 數學學習態度後測：以曹宗萍與周文忠（1998）所編訂之「數學態度 量表」在教學實驗後實施，以此為得分指標，得分越高，表示學生在 數學態度上越正向；反之則越負向。
(三) 共變項 1、 數學學習成就施測：以兩組學生在二年級下學期第一次月考的數學學 期成績作為數學成就測驗前測分數。 2、 數學學習態度前測：以曹宗萍與周文忠（1998）所編訂之「數學態度 量表」在教學實驗前實施，以此為得分指標，得分越高，表示學生在 學習態度上越正向；反之則越負向。 (四) 控制變項 1、 教師：為控制教學實驗的進行，實驗組與控制組的教學均由研究者擔 任教學。 2、 教學內容：以康軒版二年級第四冊第二單元「商高定理」為教材。 3、 教學時數：實驗組與控制組的教學時間一致，每節課 50 分鐘，共進 行三週，計八節課。
第二節 研究對象
本研究的研究對象是以台中縣某國中二年級兩個班級的學生作為研 究對象，共 71 名學生。其中二年一班為實驗組，接受數學史融入數學教 材的教學方式，共 35 人；二年二班為控制組，接受無數學史融入數學教 材的教學方式，共 36 人（如表 3-1）。在實驗前採用兩組第一次數學段考 成績分數，進行獨立樣本 t 考驗，探討兩組間是否有差異，其結果如下表： 表 3-1 實驗組與控制組的學生人數表 組別 實驗組 控制組 人數 35 36 表 3-2 第一次段考數學成績之描述統計量與差異性 t 考驗摘要表 組別 個數 平均數 標準差 SE 自由度 t 值 p-value 實驗組 35 80 15 3.68 69 1.63 0.124 控制組 36 74 16 p>.05 結果分析： 由以上得知實驗組與控制組在第一次段考數學成績上並無顯著差異 （p>0.05）。第三節 研究工具
一、 數學成就測驗 數學成就測驗在教學實驗進行之後施測，以了解實驗組及控制組學 生在經過不同的教學方法下數學成就的差異。 以康軒版國中數學領域第四冊第二單元為範圍，題目的選取以教學 內容為主，試題共分為三大題，共計一百分（見附錄）。 此數學成就測驗之範圍以康軒版的國中數學領域第四冊第二單元所 列的教學目標為橫軸，依 Bloom 的認知階層分類（郭生玉，1985）為縱 軸，所設計的雙向細目表（見附錄），此為內容效度。之後，交由該年級 教師與數學科教師共同審查，以取得專家效度。此測驗經內部一致性信 度分析，測得 Cronbach α 係數為 0.75，顯示具有良好的內部一致性。折 半信度為 0.86，前後測兩次時間均為五十分鐘。 二、 數學態度量表 本研究採用曹宗萍與周文忠（1998）所編定的數學態度量表（附錄 六），量表共分為學習數學的信心、數學有用性、數學探究動機、對數學 成功的態度、重要他人的數學態度、數學焦慮等六個分量表，共 55 題。 此份量表經內部ㄧ致性信度分析，測得總量表之 Cronbach α 係數為 0.94，再測信度 0.72，與「數學焦慮分量表」(計分方式為數學焦慮越高， 得分越低)之效標關聯效度為–.66（p<001）。「學習數學的信心」分量表為 0.77；「數學有用性」分量表為 0.75；「數學探究動機」分量表為 0.72；「對 數學成功的態度」分量表為 0.67；「重要他人的數學態度」分量表為 0.76； 「數學焦慮」分量表為 0.72。此量表採用五點李克氏（five-point Likert scale）的計分方法，正向 題的計分方式為勾選「非常同意」者給五分，勾選「同意」者給四分，
勾選「不ㄧ定」者給三分，勾選「不同意」者給二分，勾選「非常不同 意」者給ㄧ分，反向題則相反計分，以六個分量表的題目累計之分數為 該分量表之得分（表 3-4）。六個分量表分數之總和為總量表之得分，得 分越高，代表受試者態度越積極，反之則越消極。 三、 數學史輔助學習意見調查表 為了瞭解實驗組的學生在實驗教學後的想法，研究者自編「數學史 輔助學習意見調查表」（見附錄九）作為調查工具，此調查表包含七題封 閉式及ㄧ題開放式，共八題，有關數學史融入數學領域的問題，在數學 實驗後實施調查。
第四節 實施程序
本研究的實施程序分為準備階段、前測階段、實驗教學階段、後測 階段、完成階段。實施的流程如圖 3-2： 研讀相關研究文獻 收集相關數學史資料 編製數學學習態度量表 修正、定稿 研討融入數學史教學活動設計 編製融入數學史教學活動設計 實施融入數學史教學活動 編製學習成就測驗 編製融入數學史教學活動設計 修正、定稿 數學學習態度量表後測 學習成就測驗施測 數學史輔助學習意見調查表 資料分析、撰寫報告 圖 3-2 實施流程圖 文 獻 探 討 文 獻 探 討一、 準備階段 主要流程如下： （一） 蒐集並閱讀相關文獻，擬定研究計畫。 （二） 選定研究對象：本研究以國中二年級兩個班級學生為研究對象， 並蒐集研究對象的相關資料。 （三） 蒐集與編製實驗所需的研究工具。包括：自編的融入數學史教 材、數學成就測驗、數學史輔助學習意見調查表、以及選用研究 工具，為曹宗萍與周文忠（1998）所編製的數學態度量表。 （四） 與指導教授和該班數學老師研商實驗流程、進度與教學內容。 二、 前測階段 兩組學生在教學實驗前，先蒐集兩組學生在二年級下學期第一次段 考的數學成績作為數學成就測驗前測分數。將其結果作為實驗教學後施 測結果比較的依據，藉以了解學生接受數學史融入數學領域教學與一般 教學後，數學態度與數學成就的差異情形，並瞭解學生在接受數學史融 入數學領域的教學，教學實驗後，在數學成就與態度上的改變。 三、 實驗教學階段 本實驗教學由研究者擔任教學者的工作，教學範圍為康軒版數學領 域第四冊第二單元「商高定理」，進行為期三週，共八節課的教學實驗。 在教學流程中，控制組採一般式教學法（附錄四）。實驗組採數學史融入 課程（附錄一）。 一開始藉由命運的數字帶領同學進入畢達哥拉斯的世界，讓學生從 遊戲（此遊戲為畢達哥拉斯所提出）中進入課程。並在遊戲進行後，介 紹畢達哥拉斯的軼事與事蹟，讓學生對於畢達哥拉斯這位數學家充滿新 奇感、好奇心。在第一節的最後，發給各組資料（見附錄二），讓各組組
員利用所能使用的工具如網路、書籍、雜誌…等等，進行學習單的填寫。 並要求各組分別報告不同的證明方法，其中若遇有問題，能請教研究者 或和研究者討論。各組在課餘時間討論各組所想證明的方法，若有重複， 則另選他題。學生的分組報告從下次上課開始進行。另外，其餘未證明 的方法公佈於公布欄；一方面乃因難度較高，不便課堂上講解，讓有興 趣的同學私底下再與研究者討論。 其中，實驗組各組教學狀況詳述如下（內容見附錄二）： (一) 第一組採證法五，由十二世紀印度數學家巴斯卡所提出（附錄 五）。這組先利用四分鐘時間闡述巴斯卡的事蹟，再利用剩餘 的十六分鐘進行推演。這組學生自行利用硬紙板製作如附錄二 證法五的圖卡，在講解中實際推演。較令人驚訝的是，原先題 目意思是以拼湊法證明出商高定理即可，這組卻不僅如此，更 利用代數原則推演出商高定理公式，整個證明並無瑕疵，全班 反應也顯示明白易懂。 (二) 第二組採證法二，由美國第 20 任總統加菲（James A. Garfield） 所提出（附錄五）。先利用三分鐘進行事蹟闡述，再用剩餘的 十七分鐘講解證明法則。這組學生在黑板實際證明，因國二還 沒學過如何證明，證明敘述有待加強，其中因研究者有事先對 此組稍加解釋如何闡述證明，故不致於完全無法證明出此定 理。且班上學生也反映，此證法並不難。 (三) 第三組採證法一，此證法為 82 年部編版國中數學習作所提。 事蹟因無可敘述，便許可此組直接以證明講解。雖然此證法與 第一組後半段極為類似，故分開此兩組在不同天進行，以免學 生聽課意願減少；且亦能增加學生對此證法的理解更加深刻。 因為前二組中，應如何敘述證明讓全班理解，研究者已事先說
明，故在此組的證明中，不免發現學生能模仿前幾組的證明敘 述，並加以改良。這發現讓研究者驚覺，學生的學習能廣泛接 受所學的新知並加變化。 (四) 第四組採證法六，利用清初數學家梅文鼎所提出的證法（附錄 五）。在教學前，此組有先行利用課餘時間與研究者討論，其 中涉含國三全等性質。此組亦先利用四分鐘時間對梅文鼎此人 詳加介紹事蹟，再接著進入教學流程。另外，此組也以圖卡實 際拼湊，讓全班有「眼見為憑」的感覺。之後，引進全等性質， 因為有實物輔助，全班對全等概念有初步性了解，也藉此性 質，說明了商高定理的緣由。 (五) 第五組採證法八，此證法為部編版國中選修數學課本第五冊所 提。因為此證明亦無事蹟解說，故直接進入教學流程。此證明 利用全等性質與比例關係才能求得，亦屬國三範圍，在教學前 研究者亦幫忙解說部分內容，再讓組員自行討論與證明。另 外，在得知四、五兩組所選擇的方案之後，也刻意將四、五兩 組分在不同天上課，因全等概念在上一節有初步性概念理解， 這組的呈現亦能加深學生對全等性質的認識。整體而言，全班 對於全等概念有初步認識，且亦能理解商高定理另種證法。 (六) 第六組採附錄二學習動機中的證明，此證明為 82 年版國中數 學課本第三冊 1-4 商高定理所提。因其他證明對於國中二年級 而言，顯得有些困難，研究者同意此組以此證明呈現。除此之 外，並讓此組介紹畢達哥拉斯歷史事蹟（附錄五）。證明中， 此組直接在黑板進行教學，且因為此證明極為簡潔，全班反應 上非常不錯，似乎均能接受此證明方法。 在每組分組報告後，都由研究者講評大概五分鐘左右，對各組的優
缺點加以論述，且為了讓同學對商高定理有更進一步的認識，更讓同學 自行利用拼圖法證明出商高定理，實行每人「做中學」的精神。另外， 更設計了每組利用商高定理擬題課程，讓同學互相競爭與切磋，表現優 異者會給予適當的鼓勵，最後才引進課程內容。 四、 後測階段 受試學生在教學實驗後，分別施測「數學成就測驗」與「數學態度 量表」，施測時間為兩節課共 80 分鐘，藉以瞭解不同教學方法在數學成 就與數學態度上，實驗組與控制組兩組學生的差異情形。 實驗組的學生在教學實驗後必須接受「數學史輔助學習意見調查 表」，以瞭解實驗組的學生對數學史融入數學教學的想法。 五、 完成階段 將文獻資料及實驗組與控制組兩組在「數學成就測驗」、「數學態度 量表」數據、實驗組再增加「數學史輔助學習意見調查表」結果，進行 分析，形成結論與建議，而完成論文。
