數學溝通能力與相關研究

第一節 數學溝通能力與相關研究

在本節，研究者根據文獻將數學溝通能力分成四個部分加以說明：數學溝通 的意義與內涵、國內外課程對於數學溝通的看法、數學溝通能力的評量、數學溝 通能力的實徵研究。

壹、數學溝通的意義與內涵

Piaget (1959)主張知識是由個體主動建構而產生，透過同化(assimilation)、調 適 (accommodation)與平衡 (equilibration)等歷程來發展。當個體因為與外界互動 而產生新舊知識的衝突時會造成不平衡狀態，個體便會進行協調而形成新概念的 增長。Piaget 也認為同儕互動有益於認知發展，互動中交換彼此觀點可以產生衝 突、引發失衡並藉由重新建構而增進彼此認知的成長，但必須是與個體地位對等 的同伴，才能順利進行辯證、調適或同化，Piaget 反對由成人直接指導兒童來進 行思考發展。(引自何欣玫，2004)

Vygotsky (1986) 對於認知發展的論述中強調語言的地位，語言符號在思考發

程就是溝通。語言符號不但是個體思考的媒介，也有助於建立思考模式、釐定思 考的範疇。

Vygotsky (1986)和 Piaget一樣強調在學習過程中個體的主動性，但不同的 是，Vygotsky更強調社會文化環境之間交互作用對個體認知發展的影響。此外，

Vygotsky 認為兒童獲得學習經驗不一定完全由衝突而來，由能力較好的成人或 同伴在個體的進側發展區 (zone of proximal development)架設鷹架 (scaffolding) 更能增進個體發展。也就是說，由能力較佳的成人或是同伴帶領著兒童，藉由溝 通與互動的過程給予兒童協助，使兒童能達到潛在發展水準中的最高水平。

由Piaget (1959) 與Vygotsky (1986) 的理論中不難看出，兩位學者皆認為在 學習的過程當中，「溝通」扮演著極重要的角色，因為知識是由學生在社會溝通 的過程中主動建構出來的，透過有意義的溝通將有助於建構、整理並提升個體認 知發展。

張春興（1992）提出，溝通是指透過語言或非語言的管道，將某方的意見、

態度、知識、觀念、情感等訊息傳達給對方的歷程。Ronald 和 Russell 所歸納出 的「交流模式」觀點（黃素菲編譯，2007) 提到，溝通是一種互動的過程，傳達 訊息給對方之後，也能收到對方的反應和回饋，所以參與溝通者不僅是訊息的傳 送者，同時亦是訊息的接收者。在溝通的過程中，溝通者用合理且清晰的語言、

真誠的情感去傳達自己的想法給對方知道。綜合上述，溝通是一種歷程、也是一 種互動交流，溝通不只是理智的交流，同時也是情感的融合（孫明玉，2008）。

溝通除了能幫助人們了解彼此之間的想法，在數學學習的過程中，溝通更扮 演著極重要的角色。在數學課室當中，數學語言是學生學習的重要媒介。透過用 數學語言的溝通除了可以使學生藉此釐清與整理自己的數學想法，也可以使學生 與同儕、老師溝通、討論其思考的歷程與解題想法，更可以使教學者藉由師生之 間、學生與學生之間的互動而了解學生的學習狀況。

Hoyles (1985) 認為言談在溝通的歷程中扮演了「認知」與「溝通」兩種功能，

而溝通有助於兒童對於數學的理解。認知的功能是指兒童能藉由語言的使用來描 述出自己的內在思考模式，而溝通的功能則是指能利用語言來將自己的想法傳達 給別人理解。此外，他也提出在數學課室中利用數學語言溝通可以使兒童形成自 己對數學的觀點，在溝通的過程中可以促使兒童再次去檢視與反省自己和他人所 提供的數學概念，並選擇將自己與他人的數學概念做連結或是合理的拒絕別人的 觀念。

周筱亭（1994）認為「數學符號是一種語言」，兒童在數學課室中透過表徵與 說、讀、聽、寫等活動來進行數學溝通。在數學課室中，提供學童「說」數學的 機會、讓學童「聽」教師或同儕對於數學解題的想法、藉由「寫」出解題的過程 與想法讓學童更深入了解、「讀」教科書或是其他人的解題想法，這些都是數學 溝通的一部份。因此，既然數學是一種語言，教師可以在營造教學環境時，用解 題溝通為導向，帶領並引導學生去「做問題」、「談解法」、「說結果」和「寫心得」， 以增進學生對數學的了解和思考，並且建構知識（何欣玫，2004）。

數學語言是進行數學溝通時不可或缺的媒介（孫明玉，2008），但數學語言並 不限定於口語方式，使用語言（文字或語句）、有助於理解的圖像或物件、數學 符號等三種方式，皆可用來表達數學想法和概念。（Ferrie等人，2002）

模仿的成功並不代表數學意義的獲得（羅友任，2003），在數學的學習過程 當中，學童不應該只是被動的接收知識，然後有如影印機一般複製教師所提供的 步驟去解題。教師單向的灌輸知識不但無法使學童真正理解數學，反而容易造成 學童對開始對數學產生焦慮。在數學學習的過程中，利用數學語言進行溝通可以 幫助兒童對數學產生意義 (Cai & Kenney , 2000)，數學溝通的重要性可見一斑。

貳、中外課程對於數學溝通能力的看法

步的納入課程編寫的重點之一。以下分別以國內數學課程以及全美教師協會 (National Council of Teachers of Mathematics，以下簡稱NCTM)為代表來分析中外 課程對於數學溝通能力的看法。

一、 國內數學課程對於數學溝通能力的看法

在六十四版的課程標準（教育部，1975）中提到數學教育的目標是輔導兒童 從日常生活經驗中獲得數學相關知識，進而培養有效運用數學方法來解決實際問 題的態度與能力。其課程重點著重於使學童獲得數、量、形的基本知識技能，但 並未強調數學溝通在數學學習上的重要性（許淑珠，2005）。

我國教育部在八十二年國民小學數學科課程標準當中明定以『培養兒童以數 學語言溝通、討論、講道理和批判事物的精神』為其總目標之一（教育部，1993）。

八十二年版的國民小學數學課程主張學生在社會溝通活動當中建構數學知識，而 教室中的主要教學活動就是進行溝通（游麗卿，1999），證明了學生的數學溝通 能力與數學學習有著密不可分的關係。

民國九十二年公布之九年一貫課程綱要基本理念當中提到，數學之所以被納 入國民教育的基礎課程，其原因之一便是『數學是一種語言。簡單的數學語言，

融合在人類生活世界的諸多面向，宛如另一種母語。精鍊的數學語句，則是人類 理性對話最精確的語言，從科學的發展史來看，數學更是理性與自然界對話時最 自然的語言。』因此，九年一貫課程綱要數學學習領域的教學總目標為：（教育 部，2003）

（一）培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。

（二）學習應用問題的解題方法。

（三）奠定下一階段的學習基礎。

（四）培養欣賞數學的態度及能力。

從上述總目標中可以發現，九年一貫課程將數學溝通能力的培養視為數學教

育當中極為重要的環節，而在九年一貫課程綱要中對數學溝通能力之定義如下：

溝通包括理解與表達兩種能力。所以，數學溝通一方面要能了解別人以書寫、圖 形，或口語中所傳遞的數學資訊；另一方面，也要能以書寫、圖形，或口語的形 式，運用精確的數學語言表達自己的意思。（教育部，2003）

為達成上述目標，九年一貫課程將數學內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、

「統計與機率」和「連結」等五大主題。在「連結」這項主題當中包含了五項能 力的培養，分別為察覺、轉化、解題、溝通、評析（教育部，2003）。

從我國數學課程的演變，可以清楚看出數學教育不再只是培養學童的運算能 力即可，我國的數學課程愈來愈重視在課堂之中培養學童的數學溝通能力，期望 學童能利用數學語言來與同學、師長溝通自己的數學想法，同時也能聆聽、判斷 他人的數學想法，數學溝通能力成為一種重要的能力指標，也是一種可以帶著走 的能力。

二、NCTM對於數學溝通能力的看法

NCTM於1989年時，在其課程目標中強調要『學生學習使用數學語言來溝 通』，口語、寫作均能作為溝通的形式，其目的是要提升學童的數學理解能力 (NCTM，1989)。而後在1991年更進一步提出學生在進行數學溝通時之表現包含 了多元的運思活動：能提出解題策略並且針對他人的觀點提出關於有效性與合理 性之辯論或批判；能根據數學事實之原理原則來證明、修正甚至放棄不合理之意 見；團體討論時，能尊重並且聆聽他人的意見；專注於數學概念的推理和理解 (NCTM，1991)。

在1998年時，NCTM提出在數學課室裡應利用溝通方式來加速學生對於數學 的理解。學生使用數學語言做為數學表達的一種正確方法，在溝通過程中，學童 除了可以藉由發表來組織、整理自己的數學想法，也可以利用與同儕、教師討論、

聆聽他人的解題想法來擴展自己的數學知識 (NCTM，1998)。

school mathematics)中提到數學學習的五項過程標準分別為推理證明 (reasoning and proof)、問題解決 (problem solving)、溝通(communication)、連結 (connection) 與表徵 (representation)。由此可見溝通是數學學習過程中極為重要的一環，這是 一種表達、理解和澄清想法的方式。表達自己數學想法時，可以使學童對所學的 數學內容有更深入了解：聆聽他人的意見能夠培養學童的理解能力。

此外，NCTM針對數學溝通的標準提出看法：從學齡前到12年級的教育課程 應使所有的學童都能夠透過溝通來組織、整合與強化他們的數學想法，能有條理 並清楚的與他人溝通自己的數學想法，能分析與評價其他人的數學想法和策略，

能精確的使用數學的語言來表達自己的數學想法 (NCTM，2000)。

國內外共同的教育趨勢皆認為數學教學的重點應逐漸由「教」轉向「學」，

師生與同儕之間藉由溝通、討論、質疑、辯證等過程來獲得有關數學知識的部份，

這種方式逐漸受到重視（房昔梅、鍾靜，2005）。因此，本研究將針對國內中年

這種方式逐漸受到重視（房昔梅、鍾靜，2005）。因此，本研究將針對國內中年