國小中年級學童數學溝通能力之縱貫性研究

全文

(1) . 國立臺中教育大學教育測驗統計研究所國民小學教師在職進修教學碩士學位班碩士論文. 指導教授：施淑娟. 博士. 國小中年級學童數學溝通能力之縱貫性研究. 研究生：林哲筠. 中. . 華. 民. 國. 一. ○. 二. 撰. 年. 七. 月.

(2)

(3) . 摘要本研究採縱貫研究之方式，探討國小中年級學童數學溝通能力之起始表現和成長變化，並探討個人背景變項對於數學溝通能力的起始表現和成長率的影響，最後探究數學學業成就與數學溝通能力之相關。本研究之對象為臺中市、彰化縣兩所國民小學101學年度三年級之學生，共計309名，利用自編之數學溝通能力測驗，於三年級上學期、三年級下學期以及四年級上學期三個時間點進行施測。本研究使用潛在成長模式對三波施測資料進行資料分析，以了解國小中年級學童之數學溝通能力起始表現與成長變化情形；再利用性別、城鄉差距、兄弟姐妹人數、家庭狀況、是否參與課後數學補習、父母親教育程度、父母出生地等個人背景變項做高階預測變項，進行有條件之LGM 分析，以了解上述變項與數學溝通能力的關係；之後針對數學溝通能力與數學學業成就之相關進行探討。研究結果顯示：(1)研究者提出之 LGM 與觀察資料的整體適配度理想。(2) 數學溝通能力分為三個向度。「表達自己數學想法和概念」向度的成長軌跡為先急升後趨緩，「判斷他人數學解法」和「轉化他人的數學想法」向度之成長軌跡呈現線性成長；三個向度中，起始點能力值高的學童成長速率皆低於始點能力值較低的學童。(3)數學溝通能力起始點平均值為都會學生、本土子女顯著較高；而數學溝通能力之總體成長率平均值方面，都會子女、雙親家庭子女、有參與課後補習之學童、父母親教育程度在大專以上之學童，成長速率顯著較多。(4)數學溝通能力之起始點平均值與數學學業成就顯著相關，數學溝通能力總體成長率則與數學學業成就相關不顯著。. 關鍵詞：數學溝通能力、縱貫研究、潛在成長模式、國小中年級. . I .

(4) . A Longitudinal Study of Mathematical Communication Ability for Intermediate Graders in Elementary School. Abstract The purposes of this study were to design the testing tools of mathematics communication, and to explore the latent growth curve model of middle grade students’ mathematics communication abilities. Further, to analyze the influences on initial state and growth rate of different individual background variables on students’ mathematics communication abilities. The major findings of this research are as following： 1.. The overall model fitting indicators of the proposed LGM to the observed data was good. The growth of “expressing one’s own mathematics concepts or thinking”, “judging others’ mathematics formulas”, and “transferring others’ mathematics thinking” skills among the students was in a linear trend.. 2.. The differences between the urban and rural areas are found to be significantly related to the students’ mathematics communication abilities initial state and growth rate.. 3.. Residential status, Parents’ education degree, are found to be significantly related to the students’ mathematics communication abilities growth rate.. 4.. Parents’ birth place are found to be significantly related to the students’ mathematics communication abilities initial state.. 5.. Math academic achievement found to be significantly related to the students’ mathematics communication abilities initial state.. Keywords: the mathematical communicative competence, longitudinal study, the latent growth curve model, the middle-grade elementary school student. II .

(5) . 目錄摘要.............................................................. II Abstract.......................................................... II 目錄............................................................. III 表目錄............................................................. V 圖目錄............................................................ IX 第一章緒論........................................................ 1 第一節研究動機 ................................................ 1 第二節研究目的 ................................................ 2 第三節待答問題 ................................................ 3 第四節名詞釋義 ................................................ 4 第五節研究範圍與限制 .......................................... 6 第二章文獻探討.................................................... 7 第一節數學溝通能力與相關研究 .................................. 7 第二節國小中年級數學教材分析 ................................. 21 第三節縱貫研究與潛在成長模式 ................................. 26 第三章研究方法................................................... 37 第一節研究架構 ............................................... 37 第二節研究對象 ............................................... 38 第三節研究流程 ............................................... 41 第四節研究工具 ............................................... 42 第五節資料處理與分析 ......................................... 66 第四章研究結果與討論............................................. 69 第一節正式施測之試題品質分析 ................................. 69 第二節國小中年級學童數學溝通能力潛在成長模式之分析與討論 ..... 88. III .

(6) . 第三節數學溝通能力與學業成就之相關 .......................... 123 第五章結論與建議 ................................................ 126 第一節結論 .................................................. 126 第二節建議 .................................................. 129 參考文獻 ......................................................... 131 中文部分 ..................................................... 131 英文部分 ..................................................... 135 附錄一：康軒版 101 學年度數學科教材分析表（三上、三下、四上） ..... 138 附錄二：數學溝通能力測驗（三上 A 卷） ............................. 142 附錄三：數學溝通能力測驗（三上 B 卷） ............................. 148 附錄四：數學溝通能力測驗（三下 A 卷） ............................. 156 附錄五：數學溝通能力測驗（三下 B 卷） ............................. 162 附錄六：數學溝通能力測驗（四上 A 卷） ............................. 171 附錄七：數學溝通能力測驗（四上 B 卷） ............................. 175 附錄八：背景問卷調查 ............................................. 183 附錄九：數學溝通能力測驗評分標準 ................................. 185 附錄十：數學溝通能力測驗評分範例 ................................. 187. IV .

(7) . 表目錄表 2-1-1. 國內外學界對於數學溝通能力的評量標準與內容之整理表 ............ 15. 表 2-1-2. 本研究數學溝通能力評量向度與標準................................................. 16. 表 2-1-3. 國內外對於數學溝通能力之相關實徵研究......................................... 17. 表 2-2-1. 九年一貫數學課程綱要「連結」主題之能力指標彙整表 ................ 21. 表 2-2-2. 溝通能力指標與單元對應表................................................................. 24. 表 2-2-3. 自編數學溝通能力測驗施測單元與五大主題分析表......................... 25. 表 2-3-1. 數學能力相關之縱貫研究..................................................................... 28. 表 2-3-2. 國內外將潛在成長模式應用於學術研究研究上之相關文獻. 表 3-2-1. 三上試題預試人數分配表..................................................................... 38. 表 3-2-2. 三下試題預試人數分配表..................................................................... 39. 表 3-2-3. 四上試題預試人數分配表..................................................................... 39. 表 3-2-4. 正式施測樣本人數分配表..................................................................... 40. 表 3-4-1. 數學溝通能力測驗評量向度與細目的擬定及評量方式..................... 42. 表 3-4-2. 三上數學溝通能力評量雙向細目表(預試).......................................... 43. 表 3-4-3. 三下數學溝通能力評量雙向細目表(預試).......................................... 44. 表 3-4-4. 四上數學溝通能力評量雙向細目表(預試).......................................... 44. 表 3-4-5. 數學溝通能力測驗評分準則................................................................. 48. 表 3-4-6. 三上數學溝通能力測驗預試之 Cronbach's α 係數.............................. 50. 表 3-4-7. 三上 A 卷預試信度 Cronbach's Alpha 值分析表 ............................. 50. 表 3-4-8. 三上 B 卷預試信度 Cronbach's Alpha 值分析表 ............................. 51. 表 3-4-9. 三下數學溝通能力測驗預試之 Cronbach's α 係數.............................. 52. 32. 表 3-4-10 三下 A 卷預試信度 Cronbach's Alpha 值分析表 ............................. 52. . V .

(8) . 表 3-4-11 三下 B 卷預試信度 Cronbach's Alpha 值分析表 ............................. 53 表 3-4-12 四上數學溝通能力測驗預試之 Cronbach's α 係數 ............................. 54 表 3-4-13 四上 A 卷預試信度 Cronbach's Alpha 值分析表............................. 55 表 3-4-14 四上 B 卷預試信度 Cronbach's Alpha 值分析表 ............................. 56 表 3-4-15 兩評分者在 A 卷不同評分細目之相關係數表 ................................... 57 表 3-4-16 兩評分者在 B 卷不同評分細目之相關係數表.................................... 57 表 3-4-17 三上預試測驗試題難易度、鑑別度分析表 ........................................ 59 表 3-4-18 三下預試測驗試題難易度、鑑別度分析表 ........................................ 61 表 3-4-19 四上預試測驗試題難易度、鑑別度分析表 ........................................ 62 表 3-4-20 預試題目修改前後對照表 .................................................................... 64 表 3-4-21 問卷內容................................................................................................. 65 表 4-1-1. 三上數學溝通能力測驗正式施測之 Cronbach's α 係數.................. 表 4-1-2. 三上 A 卷正式施測信度 Cronbach's Alpha 值分析表......................... 70. 表 4-1-3. 三上 B 卷正式施測信度 Cronbach's Alpha 值分析表 ......................... 71. 表 4-1-4. 三下數學溝通能力測驗正式施測之 Cronbach's α 係數 ..................... 72. 表 4-1-5. 三下 A 卷正式施測信度 Cronbach's Alpha 值分析表......................... 72. 表 4-1-6. 三下 B 卷正式施測信度 Cronbach's Alpha 值分析表 ......................... 73. 表 4-1-7. 四上數學溝通能力測驗正式施測之 Cronbach's α 係數 ..................... 74. 表 4-1-8. 四上 A 卷正式施測信度 Cronbach's Alpha 值分析表......................... 75. 表 4-1-9. 四上 B 卷正式施測信度 Cronbach's Alpha 值分析表 ......................... 76. 70. 表 4-1-10 兩評分者在 A 卷不同評分細目之相關係數表 ................................... 77 表 4-1-11 兩評分者在 B 卷不同評分細目之相關係數表.................................... 77 表 4-1-12 適配度指標檢核表 ................................................................................ 81 表 4-1-13 三上正式施測試題難易度、鑑別度分析表 ........................................ 83. VI .

(9) . 表 4-1-14 三下正式施測試題難易度、鑑別度分析表......................................... 85 表 4-1-15 四上正式施測試題難易度、鑑別度分析表......................................... 86 表 4-2-1 表 4-2-2. 數學溝通能力 LGM 適配度指標檢核表.............................................. 91 不同時間點「表達自己的數學想法和概念」能力值平均數與標準差.............................................................................................................. 表 4-2-3. 數學溝通能力 LGM 的參數估計結果(表達自己的數學想法和概念) ............................................................................................................ 93. 93. 表 4-2-4. 不同時間點「判斷他人的數學解法」能力值之平均數與標準差 .... 94. 表 4-2-5. 數學溝通能力 LGM 的參數估計結果(判斷他人的數學解法) ........... 94. 表 4-2-6. 不同時間點「轉化他人的數學想法」能力值之平均數與標準差 .... 95. 表 4-2-7. 數學溝通能力 LGM 的參數估計結果(轉化他人的數學想法) ........... 95. 表 4-2-8. 性別為預測變項之有條件 LGM 適配度指標檢核表.......................... 96. 表 4-2-9. 數學溝通能力二階 LGM 的參數估計結果（性別變項）.................. 97. 表 4-2-10 城鄉差距為預測變項之有條件 LGM 適配度指標檢核表.................. 99 表 4-2-11 數學溝通能力二階 LGM 的參數估計結果（城鄉差距變項）.......... 101 表 4-2-12 兄弟姐妹人數為預測變項之有條件 LGM 適配度指標檢核表.......... 103 表 4-2-13 數學溝通能力二階 LGM 參數估計結果（兄弟姐妹人數變項）...... 104 表 4-2-14 家庭狀況為預測變項之有條件 LGM 適配度指標檢核表.................. 106 表 4-2-15 數學溝通能力二階 LGM 的參數估計結果（家庭狀況變項）.......... 107 表 4-2-16. 是否參與課後數學補習為預測變項之有條件 LGM 適配度指標檢核表.......................................................................................................... 表 4-2-17. 數學溝通能力二階 LGM 的參數估計結果（是否參與課後數學補習變項）.................................................................................................. 109. 110. 表 4-2-18 父親教育程度為預測變項之有條件 LGM 適配度指標檢核表.......... 112. VII .

(10) . 表 4-2-19. 數學溝通能力二階 LGM 的參數估計結果（父親教育程度變項） .................................................................................................................. 114. 表 4-2-20 母親教育程度為預測變項之有條件 LGM 適配度指標檢核表 ......... 116 表 4-2-21. 數學溝通能力二階 LGM 的參數估計結果（母親教育程度變項） .................................................................................................................. 117. 表 4-2-22 父母出生地為預測變項之有條件 LGM 適配度指標檢核表 ............. 119 表 4-2-23 數學溝通能力二階 LGM 的參數估計結果（父母出生地變項） ..... 121 表 4-3-1. 數學學業成就與數學溝通能力 LGM 適配度指標檢核表 ................. 123. 表 4-3-2. 數學溝通能力與數學學業成就 LGM 的參數估計結果 ............124. . VIII .

(11) . 圖目錄圖 2-3-1 基本潛在成長模型.............................................................................................. 30. 圖 3-1-1 研究架構圖.......................................................................................................... 37. 圖 3-3-1 研究流程圖.......................................................................................................... 41. 圖 3-4-1 A 卷(表達自己的數學想法和概念)題型範例及其對應之評量細目 ............... 45. 圖 3-4-2 B 卷(判斷他人的數學解法)題型範例及其對應之評量細目 ........................... 46. 圖 3-4-3 B 卷(轉化他人的數學解法)題型範例及其對應之評量細目 ........................... 47. 圖 4-1-1 數學溝通能力之一階三因子假設模式因素路徑圖.......................................... 79. 圖 4-1-2 含標準化解的數學溝通能力一階三因子模式（三上）.................................. 81. 圖 4-1-3 含標準化解的數學溝通能力一階三因子模式（三下）.................................. 82. 圖 4-1-4 含標準化解的數學溝通能力一階三因子模式（四上）.................................. 82. 圖 4-2-1 本研究建構之國小中年級學童數學溝通能力 LGM........................................ 88. 圖 4-2-2 含未標準化解的「表達自己的數學想法和概念」之 LGM............................ 89. 圖 4-2-3 含未標準化解的「判斷他人的數學解法」之 LGM........................................ 89. 圖 4-2-4 含未標準化解的「轉化他人的數學想法」之 LGM........................................ 90. 圖 4-2-5 含未標準化解的「表達自己的數學想法和概念」向度之性別二層次 LGM. 98. 圖 4-2-6 含未標準化解的「判斷他人的數學解法」向度之性別二層次 LGM............ 98. 圖 4-2-7 含未標準化解的「轉化他人的數學想法」向度之性別二層次 LGM............ 99. 圖 4-2-8 含未標準化解的「表達自己的數學想法和概念」向度之城鄉差距二層次LGM.................... 102 圖 4-2-9 含未標準化解的「判斷他人的數學解法」向度之城鄉差距二層次 LGM... 102 圖 4-2-10 含未標準化解的「轉化他人的數學想法」向度之城鄉差距二層次 LGM... 102 圖 4-2-11 含未標準化解的「表達自己的數學想法和概念」向度之兄弟姐妹人數二層次LGM. 105. 圖 4-2-12 含未標準化解的「判斷他人的數學解法」向度之兄弟姐妹人數二層次LGM......................... 105. IX .

(12) . 圖 4-2-13 含未標準化解的「轉化他人的數學想法」向度之兄弟姐妹人數二層次LGM......................... 105 圖 4-2-14 含未標準化解的「表達自己的數學想法和概念」向度之家庭狀況二層次LGM.................... 108 圖 4-2-15 含未標準化解的「判斷他人的數學解法」向度之家庭狀況二層次 LGM ... 108 圖 4-2-16 含未標準化解的「轉化他人的數學想法」向度之家庭狀況二層次 LGM ... 108 圖 4-2-17 含未標準化解的「表達自己的數學想法和概念」向度是否參與課後數學補習二層次 LGM ................................................................................................ 111. 圖 4-2-18 含未標準化解的「判斷他人的數學解法」向度之是否參與課後數學補習二層次 LGM ........................................................................................................ 112. 圖 4-2-19 含未標準化解的「轉化他人的數學想法」向度之是否參與課後數學補習二層次 LGM ........................................................................................................ 112. 圖 4-2-20 含未標準化解的「表達自己的數學想法和概念」向度父親教育程度二層次 LGM ................................................................................................................ 115. 圖 4-2-21 含未標準化解的「判斷他人的數學解法」向度之父親教育程度二層次LGM......................... 115 圖 4-2-22 含未標準化解的「轉化他人的數學想法」向度之父親教育程度二層次LGM......................... 115 圖 4-2-23 含未標準化解的「表達自己的數學想法和概念」向度母親教育程度二層次LGM............... 118 圖 4-2-24 含未標準化解的「判斷他人的數學解法」向度之母親教育程度二層次LGM......................... 118 圖 4-2-25 含未標準化解的「轉化他人的數學想法」向度之母親教育程度二層次LGM......................... 119 圖 4-2-26 含未標準化解的「表達自己的數學想法和概念」向度之父母出生地二層次LGM............... 122 圖 4-2-27 含未標準化解的「判斷他人的數學解法」向度之父母出生地二層次 LGM 122 圖 4-2-28 含未標準化解的「轉化他人的數學想法」向度之父母出生地二層次 LGM 122 圖 4-3-1 含未標準化解的「表達自己的數學想法和概念」與數學學業成就 LGM ... 124 圖 4-3-2 含未標準化解的「判斷他人的數學解法」與數學學業成就 LGM ............... 125 圖 4-3-3 含未標準化解的「轉化他人的數學想法」與數學學業成就 LGM ............... 125. X .

(13) . 第一章. 緒論. 本章旨在說明本研究之研究動機、研究目的、待答問題，釐清本研究之重要名詞，而後進一部闡術本研究之研究範圍與限制，以下分為五節以說明之。. 第一節. 研究動機. 數學溝通能力日益受到重視，國內外學者皆對數學溝通能力下了定義，並針對數學溝通能力對於數學學習上的意義和影響，以及數學溝通能力的培養與評量進行進行探究。九年一貫課程綱要中提到，「精鍊的數學語句，是人類理性對話最精確的語言」；九年一貫課程將數學溝通能力的培養視為數學教育當中極為重要的環節（教育部，2003）。全美教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，以下簡稱 NCTM）於 1989 年時，在其課程目標中明定「學生學習利用數學語言來溝通」 (NCTM ,1989) ，NCTM 更於 2000 年發表的「學校數學的原則與標準」 (Principle and Standards for School Mathematics) 中把溝通 (communication) 放入數學學習的五項過程標準中，與推理證明 (reasoning and proof)、問題解決 (problem solving)、連結 (connection)與表徵 (representation) 並列。國內外數學課程皆將數學溝通能力納入其中，由此可見數學溝通能力對於學童在數學學習上之重要性。數學溝通能力的重要性不容忽視，但囿於教育和升學考試型態的影響，臺灣學生的數學溝通能力表現普遍不佳，面對數學問題時，多數學生知道如何列算式、如何解答，卻不知道原理為何，也解釋不出自己的想法，只流於機械運算。 Curcio (1985) 認為學生對數學語言的不熟悉，會造成學習的困難。臺灣學生對於數學溝通能力的不足，連帶造成日後數學課程日益加深加廣時所產生的數學焦. . 1.

(14) . 慮，對數學的興趣也隨著年級的增加而愈來愈低落（蔣治邦，1994）。九年一貫課程實施多年，亦將數學溝通能力納入課程當中，但學生之數學溝通能力仍顯不足，主要的原因在於教師在授課時，受限於時間壓力和人力，仍以教師口述講授為主，缺乏讓學童針對數學概念與想法進行討論的時間。此外，培養數學溝通能力的研究有許多，如擬題、數學寫作、數學日記等，但對於數學溝通能力的檢核尚未有真正合宜的考評模式出現。數學溝通能力無法真正融入課程與評量中，自然沒有太大的進步空間。目前國內對於數學溝通能力之研究多採橫斷式 (cross-section) 研究居多，亦有部份探討數學溝通能力之研究是以質性的個案研究呈現，針對數學溝通能力以較大樣本進行縱貫研究 (longitudinal study) 來探討數學溝通能力表現與成長情形者付之闕如。此外，國內外對於個人背景變項（例如性別、父母社經地位、城鄉差距等）對數學學業成就造成之影響有相當多的研究，但這些個人背景變項是否會對學童之數學溝通能力造成影響則尚無太多相關研究。因此研究者乃欲嘗試對此做進一步探討。基於上述，本研究擬將數學溝通能力結合國小中年級數學課程，以此自編數學溝通能力測驗，並嘗試以比較大的樣本數進行數學溝通能力的縱貫研究。利用三波（三年級上學期、三年級下學期、四年級上學期）數學溝通能力測驗施測結果建構數學溝通能力潛在成長模式，並檢驗其適配度。之後分析並探究國小中年級學童的數學溝通能力起始點與發展情形，並進一步分析個人背景變項是否會對數學溝通能力的起始點與發展情形造成影響。. 第二節. 研究目的. 根據研究動機，茲將本研究之具體研究目的分述如下：一、以國小中年級數學課程內容為命題範圍，編製數學溝通能力測驗，並分析測驗之試題品質。. . 2.

(15) . 二、建構國小中年級學童數學溝通能力潛在成長模式，並分析模式之適配度。三、探討國小中年級學童數學溝通能力的起始點和成長率的模式適配情形。四、探討不同個人背景變項對於國小中年級學童數學溝通能力起始點與成長率之影響情形。五、探討國小中年級學童數學溝通能力與數學學業成績之相關情形。. 第三節. 待答問題. 根據上述之研究目的，本研究提出待答問題，茲臚列於下： 1.1 國小中年級數學溝通能力測驗之信度、效度、難度、鑑別度為何？ 2.1 國小中年級學童數學溝通能力潛在成長模式是否符合適配度指標之標準範圍內？ 3.1 根據國小中年級學童數學溝通能力潛在成長模式，國小中年級學童數學溝通能力之起始點與成長速率為何？有無達到顯著？ 4.1 根據有條件之國小中年級學童數學溝通能力潛在成長模式，性別變項對於數學溝通能力起始點與成長率之影響情形為何？ 4.2 根據有條件之國小中年級學童數學溝通能力潛在成長模式，兄弟姐妹人數變項對於數學溝通能力起始點與成長率之影響情形為何？ 4.3 根據有條件之國小中年級學童數學溝通能力潛在成長模式，城鄉差距變項對於數學溝通能力起始點與成長率之影響情形為何？ 4.4 根據有條件之國小中年級學童數學溝通能力潛在成長模式，家庭狀況變項對於數學溝通能力起始點與成長率之影響情形為何？ 4.5 根據有條件之國小中年級學童數學溝通能力潛在成長模式，是否參與課後數學補習變項對於數學溝通能力起始點與成長率之影響情形為何？ 4.6 根據有條件之國小中年級學童數學溝通能力潛在成長模式，父親教育成度變項對於數學溝通能力起始點與成長率之影響情形為何？. . 3.

(16) . 4.7 根據有條件之國小中年級學童數學溝通能力潛在成長模式，母親教育程度變項對於數學溝通能力起始點與成長率之影響情形為何？ 4.8 根據有條件之國小中年級學童數學溝通能力潛在成長模式，父母出生地變項對於數學溝通能力起始點與成長率之影響情形為何？ 5.1 國小中年級學童數學溝通能力之起始點能力值與總體成長率，和數學學業成就之相關情形為何？. 第四節. 名詞釋義. 壹、數學溝通能力本研究之數學溝通能力偏重於文字溝通的面向，參考相關文獻後，將數學溝通能力定義並細分為三大向度，其中每一向度都各有其對應之能力指標細目，說明如下：一、表達自己的數學想法和概念 (一) 了解題意：能確實了解數學題目的意義和題目提出的問題。 (二) 解題：能針對數學題目，利用數學符號進行解題。 (三) 表達溝通：能善用數學語言和各種表徵方式（例如：文字敘述、做圖等）來表達並闡述自己的數學想法。二、判斷他人的數學解法 (一) 判斷正確性：能思考並理解他人的數學想法，並判斷其正確性。 (二) 認同解析或質疑辯正：對於他人正確的數學想法，能夠提出有意義的說明；對於他人錯誤的數學想法，能夠提出有意義的質疑與提問、並說明理由。三、轉化他人的數學想法 (一) 轉化：能將他人對數學題目之想法以數學語言轉換成數學算式。. . 4.

(17) . (二) 判斷正確性：能思考並理解他人的數學想法，並判斷其正確性。 (三) 認同解析或質疑辯正：對於他人正確的數學想法，能夠提出有意義的說明；對於他人錯誤的數學想法，能夠提出有意義的質疑與提問、並說明理由。. 貳、起始點為了估計時間變項對於因素之影響，在潛在成長模式當中，必須將時間變項視為潛在變項，並拆解成起始點 (initiative)與成長率 (growth rate)。其中起始點又稱為截距 (intercept)、初始狀態 (initial state)或水準 (level)；成長率又稱為斜率 (slope)、改變 (change)或型態 (shape)。本研究所稱之起始點，是指以自編數學溝通能力測驗施測資料建構之國小中年級學童數學溝通能力潛在成長模式中，不隨時間而改變的潛在變項，是一個常數，通常在進行參數估計時會被設定為 1。也就是在國小三年級上學期、三年級下學期與四年級上學期三波施測時間點中，不因時間發展而產生變化之數學溝通能力潛在變項。. 參、成長率因為本研究的三波施測時間點並非完全等距，所以本研究之國小中年級學童數學溝通能力潛在成長模式是採自由形式模式；而本文中所指之成長率，皆為跨三波施測時間點（三上、三下、四上）之總體成長率。. 肆、數學學業成就本研究所稱之數學學業成就，為受試樣本四年級上學期之數學學期總成績。. . 5.

(18) . 第五節. 研究範圍與限制. 本研究受限於時間、資源與人力，樣本之取得採立意抽樣的方式，僅針對 101 學年度臺中市與彰化縣兩所小學之三年級學童，進行長達三個學期（三上、三下、四上）的縱貫研究。因此，本研究所建構與探討之國小中年級學童數學溝通能力潛在成長模式，宜只針對上述研究對象，是否能進一步推論至其他地區或教育層級的學生，則尚待後續之研究。。. . 6.

(19) . 第二章文獻探討本研究旨在運用自編數學溝通能力測驗，以縱貫研究的方式來探討、追蹤國小中年級學童數學溝通能力的表現與發展情形，進而探討城鄉差距、學童的性別、家庭背景等因素在學童數學溝通能力的表現與發展情形上是否有顯著差異。因此本章就相關文獻加以探討，共分為三個部分，第一節說明數學溝通能力與相關研究、第二節進行國小中年級數學教材分析、第三節為縱貫研究與潛在成長模式。. 第一節. 數學溝通能力與相關研究. 在本節，研究者根據文獻將數學溝通能力分成四個部分加以說明：數學溝通的意義與內涵、國內外課程對於數學溝通的看法、數學溝通能力的評量、數學溝通能力的實徵研究。. 壹、數學溝通的意義與內涵 Piaget (1959)主張知識是由個體主動建構而產生，透過同化(assimilation)、調適 (accommodation)與平衡 (equilibration)等歷程來發展。當個體因為與外界互動而產生新舊知識的衝突時會造成不平衡狀態，個體便會進行協調而形成新概念的增長。Piaget 也認為同儕互動有益於認知發展，互動中交換彼此觀點可以產生衝突、引發失衡並藉由重新建構而增進彼此認知的成長，但必須是與個體地位對等的同伴，才能順利進行辯證、調適或同化，Piaget 反對由成人直接指導兒童來進行思考發展。(引自何欣玫，2004) Vygotsky (1986) 對於認知發展的論述中強調語言的地位，語言符號在思考發展上扮演重要地位。個體利用符號建構自己的意識，也影響他人的意識，這個過. . 7.

(20) . 程就是溝通。語言符號不但是個體思考的媒介，也有助於建立思考模式、釐定思考的範疇。 Vygotsky (1986)和 Piaget一樣強調在學習過程中個體的主動性，但不同的是，Vygotsky更強調社會文化環境之間交互作用對個體認知發展的影響。此外， Vygotsky 認為兒童獲得學習經驗不一定完全由衝突而來，由能力較好的成人或同伴在個體的進側發展區 (zone of proximal development)架設鷹架 (scaffolding) 更能增進個體發展。也就是說，由能力較佳的成人或是同伴帶領著兒童，藉由溝通與互動的過程給予兒童協助，使兒童能達到潛在發展水準中的最高水平。由Piaget (1959) 與Vygotsky (1986) 的理論中不難看出，兩位學者皆認為在學習的過程當中，「溝通」扮演著極重要的角色，因為知識是由學生在社會溝通的過程中主動建構出來的，透過有意義的溝通將有助於建構、整理並提升個體認知發展。張春興（1992）提出，溝通是指透過語言或非語言的管道，將某方的意見、態度、知識、觀念、情感等訊息傳達給對方的歷程。Ronald 和 Russell 所歸納出的「交流模式」觀點（黃素菲編譯，2007) 提到，溝通是一種互動的過程，傳達訊息給對方之後，也能收到對方的反應和回饋，所以參與溝通者不僅是訊息的傳送者，同時亦是訊息的接收者。在溝通的過程中，溝通者用合理且清晰的語言、真誠的情感去傳達自己的想法給對方知道。綜合上述，溝通是一種歷程、也是一種互動交流，溝通不只是理智的交流，同時也是情感的融合（孫明玉，2008）。溝通除了能幫助人們了解彼此之間的想法，在數學學習的過程中，溝通更扮演著極重要的角色。在數學課室當中，數學語言是學生學習的重要媒介。透過用數學語言的溝通除了可以使學生藉此釐清與整理自己的數學想法，也可以使學生與同儕、老師溝通、討論其思考的歷程與解題想法，更可以使教學者藉由師生之間、學生與學生之間的互動而了解學生的學習狀況。 Hoyles (1985) 認為言談在溝通的歷程中扮演了「認知」與「溝通」兩種功能，. . 8.

(21) . 而溝通有助於兒童對於數學的理解。認知的功能是指兒童能藉由語言的使用來描述出自己的內在思考模式，而溝通的功能則是指能利用語言來將自己的想法傳達給別人理解。此外，他也提出在數學課室中利用數學語言溝通可以使兒童形成自己對數學的觀點，在溝通的過程中可以促使兒童再次去檢視與反省自己和他人所提供的數學概念，並選擇將自己與他人的數學概念做連結或是合理的拒絕別人的觀念。周筱亭（1994）認為「數學符號是一種語言」，兒童在數學課室中透過表徵與說、讀、聽、寫等活動來進行數學溝通。在數學課室中，提供學童「說」數學的機會、讓學童「聽」教師或同儕對於數學解題的想法、藉由「寫」出解題的過程與想法讓學童更深入了解、「讀」教科書或是其他人的解題想法，這些都是數學溝通的一部份。因此，既然數學是一種語言，教師可以在營造教學環境時，用解題溝通為導向，帶領並引導學生去「做問題」、「談解法」、「說結果」和「寫心得」，以增進學生對數學的了解和思考，並且建構知識（何欣玫，2004）。數學語言是進行數學溝通時不可或缺的媒介（孫明玉，2008），但數學語言並不限定於口語方式，使用語言（文字或語句）、有助於理解的圖像或物件、數學符號等三種方式，皆可用來表達數學想法和概念。（Ferrie等人，2002）模仿的成功並不代表數學意義的獲得（羅友任，2003），在數學的學習過程當中，學童不應該只是被動的接收知識，然後有如影印機一般複製教師所提供的步驟去解題。教師單向的灌輸知識不但無法使學童真正理解數學，反而容易造成學童對開始對數學產生焦慮。在數學學習的過程中，利用數學語言進行溝通可以幫助兒童對數學產生意義 (Cai & Kenney , 2000)，數學溝通的重要性可見一斑。. 貳、中外課程對於數學溝通能力的看法近年來，數學溝通能力相當受到重視，中外課程也將數學溝通能力的培養逐. . 9.

(22) . 步的納入課程編寫的重點之一。以下分別以國內數學課程以及全美教師協會 (National Council of Teachers of Mathematics，以下簡稱NCTM)為代表來分析中外課程對於數學溝通能力的看法。. 一、國內數學課程對於數學溝通能力的看法在六十四版的課程標準（教育部，1975）中提到數學教育的目標是輔導兒童從日常生活經驗中獲得數學相關知識，進而培養有效運用數學方法來解決實際問題的態度與能力。其課程重點著重於使學童獲得數、量、形的基本知識技能，但並未強調數學溝通在數學學習上的重要性（許淑珠，2005）。我國教育部在八十二年國民小學數學科課程標準當中明定以『培養兒童以數學語言溝通、討論、講道理和批判事物的精神』為其總目標之一（教育部，1993）。八十二年版的國民小學數學課程主張學生在社會溝通活動當中建構數學知識，而教室中的主要教學活動就是進行溝通（游麗卿，1999），證明了學生的數學溝通能力與數學學習有著密不可分的關係。民國九十二年公布之九年一貫課程綱要基本理念當中提到，數學之所以被納入國民教育的基礎課程，其原因之一便是『數學是一種語言。簡單的數學語言，融合在人類生活世界的諸多面向，宛如另一種母語。精鍊的數學語句，則是人類理性對話最精確的語言，從科學的發展史來看，數學更是理性與自然界對話時最自然的語言。』因此，九年一貫課程綱要數學學習領域的教學總目標為：（教育部，2003）（一）培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。（二）學習應用問題的解題方法。（三）奠定下一階段的學習基礎。（四）培養欣賞數學的態度及能力。從上述總目標中可以發現，九年一貫課程將數學溝通能力的培養視為數學教. . 10.

(23) . 育當中極為重要的環節，而在九年一貫課程綱要中對數學溝通能力之定義如下：溝通包括理解與表達兩種能力。所以，數學溝通一方面要能了解別人以書寫、圖形，或口語中所傳遞的數學資訊；另一方面，也要能以書寫、圖形，或口語的形式，運用精確的數學語言表達自己的意思。（教育部，2003）為達成上述目標，九年一貫課程將數學內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」和「連結」等五大主題。在「連結」這項主題當中包含了五項能力的培養，分別為察覺、轉化、解題、溝通、評析（教育部，2003）。從我國數學課程的演變，可以清楚看出數學教育不再只是培養學童的運算能力即可，我國的數學課程愈來愈重視在課堂之中培養學童的數學溝通能力，期望學童能利用數學語言來與同學、師長溝通自己的數學想法，同時也能聆聽、判斷他人的數學想法，數學溝通能力成為一種重要的能力指標，也是一種可以帶著走的能力。二、NCTM對於數學溝通能力的看法 NCTM於1989年時，在其課程目標中強調要『學生學習使用數學語言來溝通』，口語、寫作均能作為溝通的形式，其目的是要提升學童的數學理解能力 (NCTM，1989)。而後在1991年更進一步提出學生在進行數學溝通時之表現包含了多元的運思活動：能提出解題策略並且針對他人的觀點提出關於有效性與合理性之辯論或批判；能根據數學事實之原理原則來證明、修正甚至放棄不合理之意見；團體討論時，能尊重並且聆聽他人的意見；專注於數學概念的推理和理解 (NCTM，1991)。在1998年時，NCTM提出在數學課室裡應利用溝通方式來加速學生對於數學的理解。學生使用數學語言做為數學表達的一種正確方法，在溝通過程中，學童除了可以藉由發表來組織、整理自己的數學想法，也可以利用與同儕、教師討論、聆聽他人的解題想法來擴展自己的數學知識 (NCTM，1998)。 NCTM (2000) 發表的「學校數學的原則與標準」(principle and standards for. . 11.

(24) . school mathematics)中提到數學學習的五項過程標準分別為推理證明 (reasoning and proof)、問題解決 (problem solving)、溝通(communication)、連結 (connection) 與表徵 (representation)。由此可見溝通是數學學習過程中極為重要的一環，這是一種表達、理解和澄清想法的方式。表達自己數學想法時，可以使學童對所學的數學內容有更深入了解：聆聽他人的意見能夠培養學童的理解能力。此外，NCTM針對數學溝通的標準提出看法：從學齡前到12年級的教育課程應使所有的學童都能夠透過溝通來組織、整合與強化他們的數學想法，能有條理並清楚的與他人溝通自己的數學想法，能分析與評價其他人的數學想法和策略，能精確的使用數學的語言來表達自己的數學想法 (NCTM，2000)。國內外共同的教育趨勢皆認為數學教學的重點應逐漸由「教」轉向「學」，師生與同儕之間藉由溝通、討論、質疑、辯證等過程來獲得有關數學知識的部份，這種方式逐漸受到重視（房昔梅、鍾靜，2005）。因此，本研究將針對國內中年級學童數學溝通能力表現與發展情形進行探討。. 參、數學溝通能力的評量在學童學習數學的過程中，數學溝通能力的重要性已無庸置疑，有鑑於評量是數學教育中的重要環節，評量對於數學學習亦有重要貢獻 (NCTM，2000)，所以針對如何去評量學童的數學溝通能力，將相關文獻資料整理如下。一、數學溝通能力的評量方式 Kennedy & Tipps (1997)在綜合整理 NCTM 近年來之出版文獻後，提出在數學領域的學習上，問題解決（problem solving）、溝通(communication）、推理 (reasoning）、連結 (connections）等四種能力是所有學生所應該要學習的，同時也是數學學習上應該涵蓋的標準。在數學溝通能力的評量方式中，Kennedy & Tipps 提出了五種評量方法：. . 12.

(25) . (一)觀察法 (observation)：老師可藉由觀察學生在群體中的工作情形來了解學生的學習態度、傾向、性情等抽象行為。學生在討論過程中能否清楚陳述自己的數學想法、和群體達成共識並綜合整理、完整呈現群體共識，這些都可以是觀察的細項。 (二)訪談法 (interviews)：教學者可以藉由訪談來了解學生的基本特質、思考模式、學習方式，同時也在訪談過程中了解學生是否會使用數學語言來表達想法、數學語言的使用是否精通。訪談法分為結構性與無結構性兩種方式，且不管是使用何種方式，都必須包含以下三步驟，才能夠達到診斷性的目的：(1)選擇欲診斷之議題與事件、(2)確立明確的提問方式及問題、(3)分析訪談結果。 (三)寫作回應 (written responses)：「寫作回應」其實就是利用我們一般常用的紙筆測驗形式，設計以問題解決為導向的題目讓學生作答，從學生回饋的作答反應當中，可以蒐集資訊，用以評價學生轉譯問題以及使用適當策略之能力。 (四)卷宗評量 (portfolios assessment)：卷宗評量資料夾當中，應該保有學生與老師上課時之相關資料。學生方面，包括學生的電子文件、獎狀、檢核表、具體操作物、圖畫、表格、個人或團體的文字記錄等；而教師方面，則留存對學生個人或團體的課室觀察紀錄、活動評量、晤談紀錄等，除了文字記錄外，也可利用照片、錄音或錄影等多媒體形式來保存學生的學習歷程。利用卷宗評量的方式，不只教師可藉以了解學生的學習態度、推理能力、問題解決策略、觀察學生在數學溝通方面的學習和成長等；學生也能從資料夾的紀錄中了解自己的學習歷程。 (五)學生自我評鑑 (self-assessment)：學生透過自我反思的過程，可以使其更深刻了解數學的學習內容、自己的學習過程與使用的解題技巧。數學日記 (journals) 便是一種常用的學生自. . 13.

(26) . 我評鑑方法，學生在課堂上或是課後將自己在數學學習過程中的想法、感受、疑問或是評論用文字或畫圖方式記錄下來，數學日記的格式不拘，但建議盡量以開放式提問來引導學生寫作，可以提高數學日記的有效性，有助於教師的資料蒐集與評量。本研究所欲測量之數學溝通能力主要偏重於文字溝通的面向，且需要蒐集大量樣本資料，因此採取寫作回應法來進行學童數學溝通能力之評量。除了 Kennedy & Tipps (1997) 整理出的五種評量方式之外，國內學者對於如何進行數學溝通評量也有以下看法：李清韻 (2003) 認為數學溝通評量方法為：觀察並記錄學生在數學教室中的數學溝通活動、師生對話式的評量、透過學生的數學日誌來評量、小組活動的評量、學生自我評鑑、問題解決歷程的分析性紙筆式測驗等。何欣玫 (2004) 將數學溝通能力評量方式整理歸類為六種模式：觀察法、小組合作、問題導向紙筆測驗、活動演示、師生結構對話、學生自我評量。教師在訓練學生數學溝通能力時，可靈活、彈性的使用不同的評量方法與教學模式相配合，有助於更周延、全面化的診斷學生的數學溝通能力。綜合上述各種評量方法，其實大多是以口語或是書寫兩種方式來呈現，且主要都在記錄、評量學童表達自己數學想法、傾聽及閱讀他人想法、評價或質疑他人想法的能力。評量方法愈來愈多元，但不論使用哪種評量方式，最重要的是應該對學生充分說明評量規範，使其清楚評量的內涵與重點，才能達到評量的意義，提升學生的數學學習。基於本研究屬於縱貫性研究且需要蒐集大量樣本資料，因此採用問題導向紙筆測驗的形式來進行數學溝通能力之評量。二、數學溝通能力的評量標準與內容數學溝通能力的重要性已受到學界一致認同，但如何去評量數學溝通能力、數學溝通能力的評量標準和內容又該怎麼訂定則尚未有一致性的看法。關於國內外學界對於數學溝通能力的評量標準與內容，茲整理於表 2-1-1。. . 14.

(27) . 表 2-1-1 國內外學界對於數學溝通能力的評量標準與內容之整理表研究者數學溝通能力評量標準與內容 NCTM  可藉由說、寫、論證與視覺性敘述來表達自己的數學想法。 (1989)  能理解、解釋並評價以文字、口語或視覺形式呈現的數學想法。  能使用數學語言、記憶來呈現數學想法的結構關係、描述關係以及模擬情境。  能解釋或描述解題歷程，並用圖徵說明解題歷程。 Lane (1993)  針對特定對象溝通並提出解題想法。  提出支持自己解題方式的想法與符合其論點的正例與非例。曹郁玲  表達自己的數學概念或想法 (2000)  理解他人的數學概念或想法  澄清與連結柯政毅  說出自己的想法與做法 (2001)  澄清自己的想法與做法  辯護自己的想法與做法  質疑他人的想法或問題  解讀他人的想法或問題  補充他人的想法或問題  聆聽他人的想法或問題李清韻  表達自己的數學概念或想法(理解題意、解題、表達溝通) (2003)  理解他人的數學算式(判斷正確性、認同說明、質疑辯證)  理解他人的數學想法(轉化、判斷正確性、認同說明、質疑辯證) 何欣玫  表達自我概念(理解題意、符號表徵、解題、表達溝通) (2004)  理解他人想法(轉化、判斷、認同、質疑)  評價他人想法(辨別、澄清與補充、評價) 李婉鳳  表達自己的數學想法和概念(了解題意、解題、表達溝通) (2006)  判斷、轉化他人的數學解法(判斷他人的數學解法、轉化他人的數學解法)  質疑解析(質疑分析、認同解析) 林晶珮  表達自我概念(理解題意、符號表徵、解題) (2007)  理解他人想法(轉化、判斷)  評價他人想法(認同與質疑、澄清與補充) （續下頁）. . 15.

(28) . 表 2-1-1 國內外學界對於數學溝通能力的評量標準與內容之整理表（續）研究者孫明玉 (2008). 數學溝通能力評量標準與內容 . 外顯向度 1.表達說明：呈現、提問、說明 2.質疑辯證：支持、質疑、辯證  內引向度 1.理解應用：理解、應用(數學語言) 2.分析評價：分析、評價 3.連結發明：連結、發明. 依據上述關於數學溝通能力評量標準與內容，本研究將數學溝通能力的評量向度區分為表達自己的數學想法和概念、判斷他人的數學解法、轉化他人的數學想法三個向度，並發展出評量數學溝通能力的具體指標（詳見表 2-1-2），以此進行研究工具「數學溝通能力測驗」的編製工作。. 表 2-1-2 本研究數學溝通能力評量向度與標準評量向度. 評量標準 1. 了解題意. 表達自己的數學想法和概念. 2. 解題 3. 表達溝通. 判斷他人的數學解法. 1. 判斷正確性 2. 認同解析或質疑辯正 1. 轉化. 轉化他人的數學想法. 2. 判斷正確性 3. 認同解析或質疑辯正. . 16.

(29) . 肆、數學溝通能力的相關實徵研究近年來，數學溝通能力愈來愈受到重視，而數學溝通能力的培養更是中外數學教育的潮流，如何評量數學溝通能力、如何培養與提升學童的數學溝通能力是學界所關心的議題。茲摘要整理國內外學者關於數學溝通能力方面之相關研究，並整理如表 2-1-3。. 表 2-1-3 國內外對於數學溝通能力之相關實徵研究研究者研究主題研究摘要（年代） Huggins Communication 研究者針對三、四年級學童進行研究。當代數學課程大 Maiste (1999). in Mathematics. 都較重視計算能力而忽略溝通能力，因此學童在口語和寫作方面的溝通經驗較少，數學溝通表現不佳。研究者提出學童習寫數學日記、小組合作學習、佈題與強調數學詞彙 (mathematical vocabulary）的重要性等數種策略，研究發現增加學童口語和寫作方面的數學溝通機會，可以提升三四年級學童的數學溝通能力。. 游麗卿（1999）. 教室溝通活動的實施：老師如何運用小組成員的互動培養學生溝通知能. 研究者透過課室情境觀察來了解國小一年級學童所表現出的數學溝通能力。研究結果發現全班約有四分之ㄧ的學童具備有數學溝通能力，可以和別人說明與溝通解題想法，但一年級學童因注意力易分散，所以在傾聽別人數學想法方面的表現較差。此外，一年級學童尚未發展出如質疑、辯證等較高階的數學溝通能力。. 曹郁玲（2000）. 國小六年級學生乘法概念數學解題溝通之表現分析. 研究者以自編的數學解題溝通測驗為研究工具，以了解六年級學生在乘法概念上的數學解題溝通表現。研究結果發現，學生的數學解題溝通表現會因乘法概念的不同而有所不同；不同數學能力的學生其數學解題溝通表現上又以高能力者表現較好，低數學能力者表現較需加強；由數學溝通類型的分析結果之下，發現多數只能正確解題或判斷事情的合理性，但未能提出理由或有力的數學觀點支持其想法；學生只能正確說出他人想法錯誤，但未能提出任何有意義的質疑的數學溝通類型，仍存在多數。（續下頁）. . 17.

(30) . 表 2-1-3 國內外對於數學溝通能力之相關實徵研究（續）研究者（年代）. 研究主題. 研究摘要. 柯政毅（2001）. 數學歷程檔案評量實施下學生數學溝通的能力—以六個個案探討. 主要探討在以數學日記為歷程檔案評量內容的教學下，六位四年級學童數學溝通能力的表現情形。研究結果顯示，大多數學童能說明自己解題的想法與思考歷程、有能力去澄清別人對自己發表所提出的質疑、對自己的想法與作法進行辯護、去質疑他人的想法或作法，但是低數學能力的兒童則不一定可以做到。在課堂上的專心聆聽程度會影響學童在數學溝通能力的表現。. 李清韻（2003）. 國小六年級學生數學溝通能力與後設認知能力之相關性研究. 研究者採用自編的「數學溝通及後設認知測驗」為研究工具，以評量學生的數學溝通能力及後設認知能力。研究結果顯示，學生在「表達自己數學概念或想法」的表現優於「理解他人數學算式或想法」；在「了解題意」、「解題」、「判斷正確性」、「轉化」等數學能力表現較好，「表達溝通」、「認同說明」、「質疑辯證」等溝通能力表現較差。後設認知能力和數學溝通能力有高相關。數學溝通能力愈高者其後設認知能力亦高。. 羅友任（2003）. 國小高年級學生機率解題的後設認知與溝通表現之相關研究. 研究採用自編的「機率解題測驗」為研究工具，探討高年級學生機率解題能力、後設認知能力與解題溝通能力之相關，並分析學生在機率問題上所表現的答題類型，藉以了解學生機率解題的理解情形。研究結果顯示隨著後設認知能力與解題溝通能力愈高，表現亦越好。五、六年級學生在「部分—全體機率大小判斷」、「大數法則」及整體機率試題之後設認知表現和解題溝通表現上，均達顯著差異，六年級高於五年級。機率解題與後設認知、解題溝通表現均達顯著相關。. 何欣玫（2004）. 國小六年級學生因數與倍數之數學解題溝通能力研究. 本研究編製因數與倍數解題溝通能力測驗，以分析六年級學生因數與倍數的解題溝通能力。整體而言，溝通層次中，「表達自我想法」與「理解他人想法」優於「評價他人想法」；「因數」的溝通能力優於「倍數」溝通能力。溝通類型分為內向表達型、外向理解型、全能優越型及多層障礙型；其中多層障礙型人數百分比最高，全能優越型最少。錯誤類型分析可分為語言概念錯誤、認知概念錯誤、策略概念錯誤、個人態度錯誤。（續下頁）. . 18.

(31) . 表 2-1-3 國內外對於數學溝通能力之相關實徵研究（續）研究者研究主題研究摘要（年代）許淑珠國小二年級學透過行動研究探討國小二年級學童數學溝通能力的呈（2005）生數學溝通能現，包括「口語的理解與表達」及「書寫和圖形的理解與力之行動研究表達」兩部分。本研究發現，學生在「口語的理解與表達」方面呈現七種現象：傾聽能力不佳、勇於表達自己的意見、針對老師或同學問題能提出質疑、普遍無法提出概念相關問題、學生之間的對答仍需透過老師引導、聲音太小或模糊不清楚、斷斷續續的回答或沉默不回答的情況。在「書寫和圖形的理解與表達」方面呈現四種現象：學生會根據黑板上的算式記錄檢查自己的解題錯誤、檢查別人的解題錯誤、對別人的解題記錄提出質疑、看得懂別人的記錄又可替當事者說明想法的情況。李婉鳳透過課室討論本研究探討「課室討論文化的教學」和「一般教學模式」（2006）文化的教學促對於四年級學童數學溝通能力的影響。在數學溝通能力整進四年級學童體表現方面，結果顯示實驗組學童得分表現優於控制組，數學溝通能力兩者的差異達顯著性。而實驗組在「表達自己的數學想法表現之研究和概念」、「質疑解析」等向度上的表現上均優於控制組。林晶珮（2007）. 透過探究教學培養七年級學生數學解題與溝通能力之行動研究. 探討在七年級數學課程中實施「探究教學」，對於學生在數學解題能力及溝通能力的影響，並從行動研究中，反思實施探究教學時所遭遇到的困難和解決方法。研究結果發現，探究教學對不同程度的學生，在解題能力及溝通能力上都有正面的影響，其中對於低數學成就學生的影響更為顯著。透過探究式教學，不但可培養及提升學生數學解題及溝通的能力外，更可培養學生進行高層次的數學思考。. 孫玉明（2008）. 透過社會建構觀點提升國小學童數學溝通能力之研究 ──以四年級課後數學社團為例. 探討透過社會建構觀點，藉由課後數學社團的實施，探討提升國小四年級學童數學溝通能力之可行方案與成效。結果顯示，社會建構的可行方案有以「迴圈式」流程進行社會建構、以同質性高的小組進行溝通討論、以「加廣」問題進行溝通討論、使用「關鍵問話」、「虛擬假設」、「簡化策略」、「自由聯想」來催化學童溝通與思考等四種。在提升學童數學溝通能力成效方面，外顯型、高平均型學童進步最為明顯，低平均型學童逐漸願意試著了解題意，也漸能應用數學語言、內隱型學童進步最不顯著。（續下頁）. . 19.

(32) . 表 2-1-3 國內外對於數學溝通能力之相關實徵研究（續）研究者研究主題研究摘要（年代）羅幸宜強化數學溝研究者在高年級數學課室中，透過強化數學溝通活動教學來（2008）通的教學對觀察學生的數學學習行為、學習態度的變化，以及對其數學高年級學童成就的影響。結果顯示，數學溝通活動融入教學能降低學生數學成就及對數學學習的恐懼，使學生獲得成就感與自信心，提升學生態度影響之對學習數學的興趣；數學溝通活動能將學生的數學學習態度探討轉變為較正向的態度；數學溝通活動的融入教學對於中低學習成就學生影響較大，對於高學習成就學生能減緩其對於數學的恐懼和壓力；數學溝通活動對於學生的概念釐清有幫助。紀詩蕙透過數學寫探討將數學寫作活動融入國小六年級數學教學當中對學童數（2009）作活動對國學表達能力之影響。以研究者的班級為教學對象，並隨機抽小六年級學取低中高三個程度的學生各兩名做為分析對象。研究發現數童在數學表學寫作活動對於高成就的學生影響並不大；中成就學生若對達能力影響寫作活動有興趣，才會有較顯著的進步情形；影響最大的是之研究低成就的學生，數學表達能力進步最多。. 從相關文獻可知，數學溝通能力的探討受到重視，針對數學溝通能力之培養與評量的研究不少，但多侷限於橫斷式研究，只能一窺各階段學童在數學溝通能力上的表現，卻看不出學童在身心智能發展時，數學溝通能力是否也跟著有所進展。此外，由文獻當中可知，數學學業成就表現受到性別、城鄉差距、兄弟姐妹人數、家庭狀況、是否參與課後數學補習、父親教育程度、母親教育程度、父母出生地等背景變項所影響（林枝旺，2005；謝進昌，2008；邱姵瑜，2011），但對於這些個人背景因素對於數學溝通能力起始點與發展影響之縱貫性研究更是付之闕如。因此，本研究採用縱貫研究來探討國小中年級學童數學溝通能力之發展情形，以問題導向之紙筆測驗形式作為學生進行數學溝通時的表徵方式，進而探討性別、城鄉差距、兄弟姐妹人數、家庭狀況、是否參與課後數學補習、父親教育程度、母親教育程度、父母出生地對於數學溝通能力起始點與發展情形上是否有顯著差異，期望能有所發現，有助於提升學童之學習成效。. . 20.

(33) . 第二節. 國小中年級數學教材分析. 由於本研究採用問題導向紙筆測驗做為評量數學溝通能力的方式，且本研究之研究對象為國小中年級學童，評量工具之命題範圍必須配合國小中年級學童的現行數學課程內容，因此本節將針對九年一段數學課程對應數學溝通能力的指標來進行分析。. 壹、九年一貫數學課程中對應數學溝通能力之指標教育部在 2003 年所公布之九年一貫數學課程綱要中，將數學教育區分為四個階段：階段一（一到三年級）、階段二（四、五年級）、階段三（六、七年級）與階段四（八、九年級）。此外，九年一貫數學課程綱要也將數學學領域課程內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連結」等五大主題，其中「連結」主題中強調要培養察覺 (R)、轉化 (T)、解題 (S)、溝通 (C)、評析 (E) 等五項能力，由此可見在九年一貫數學課程當中強調數學溝通能力的培養。在九年一貫數學課程綱要當中，前四項主題有針對能力指標加以分段，而「連結」則沒有，各階段四個主題的能力要與「連結」的能力相互培養，而「連結」的能力經過各階段之後會愈來愈強。茲將國民小學階段對數學溝通能力相關之能力指標彙整於表 2-2-1。. 表 2-2-1 九年一貫數學課程綱要「連結」主題之能力指標彙整表 ◎察覺 C-R-01 C-R-02 C-R-03 C-R-04. 能察覺生活中與數學相關的情境。能察覺數學與其他領域之間有所連結。能了解其他領域中所用到的數學知識與方法。能察覺數學與人類文化活動相關。（續下頁）. . 21.

(34) . 表 2-2-1 九年一貫數學課程綱要「連結」主題之能力指標彙整表（續） ◎轉化 C-T-01 C-T-02 C-T-03 C-T-04 ◎解題. 能把情境中與問題相關的數、量、形析出。能把情境中數、量、形之關係以數學語言表出。能把情境中與數學相關的資料資訊化。能把待解的問題轉化成數學的問題。. C-S-01 C-S-02 C-S-03. 能分解複雜的問題為一系列的子題。能選擇使用合適的數學表徵。能熟悉解題的各種歷程：蒐集、觀察、臆測、檢驗、推演、驗證、論證等。能運用解題的各種方法：分類、歸納、演繹、推理、推論、類比、分析、變形、一般化、特殊化、模型化、系統化、監控等。能了解一數學問題可有不同的解法，並嘗試不同的解法。能用電算器或電腦處理大數目或大量數字的計算。. C-S-04 C-S-05 C-S-06 ◎溝通 C-C-01. 能了解數學語言（符號、用語、圖表、非形式化演繹等）的內涵。. C-C-02 C-C-03 C-C-04 C-C-05 C-C-06. 能了解數學語言與一般語言的異同。能用一般語言與數學語言說明情境與問題。能用數學的觀點推測及說明解答的屬性。能用數學語言呈現解題的過程。能用一般語言及數學語言說明解題的過程。能用回應情境、設想特例、估計或不同角度等方式說明或反駁解答的合理性。能尊重他人解決數學問題的多元想法。能回應情境共同決定數學模型中的一些待定參數。. C-C-07 C-C-08 C-C-09 ◎評析 C-E-01 C-E-02 C-E-03 C-E-04 C-E-05. 能用解題的結果闡釋原來的情境問題。能由解題的結果重新審視情境，提出新的觀點或問題。能經闡釋及審視情境，重新評估原來的轉化是否得宜，並做必要的調整。能評析解法的優缺點。能將問題與解題一般化。. 註：連結的能力指標用三碼表示，第一碼表連結（C)，第二碼表察覺(R)、轉化(T)、解題(S)、溝通(C)、評析(E)，而第三碼則是流水號。灰底加註之文字代表溝通能力指標。. . 22.

(35) . 貳、國小中年級數學課程教材分析因為九年一貫課程中針對連結指標並沒有分年段，而是分散在各個單元中，所以本研究測驗工具的命題內容仍然針對國小中年級之數學課程範圍進行命題。因為研究者服務的學校在國小三、四年級階段是使用康軒版本的數學教科書，所以選擇以康軒版本數學教材作為自編數學溝通能力測驗的出題單元參考，並針對施測的三個時間點（三上、三下、四上）之數學教材做分析。在分析康軒版國小三上、三下、四上之數學教材後發現，國小中年級數學課程當中，與「數與量」主題有關之教材內容佔的比重較重，而「幾何」、「代數」等主題之相關教材內容所佔比重次之（詳見附錄一）。從附錄一中可發現，所有的單元皆與「連結」主題相對應，「連結」主題中的溝通 (C) 能力更是與每一單元緊緊相扣，顯示九年一貫數學課程相當重視數學溝通能力。而在溝通 (C) 的九項能力指標當中，發現 C-C-06（能用一般語言及數學語言說明解題的過程）並無對應到任何數學單元，若要加強學童用一般語言及數學語言說明解題過程的能力，只用數學教科書是不夠的，必須依賴教師在數學課室中營造討論氣氛，讓學童在討論的過程之中增進相關能力。（詳見表 2-2-2）本研究為使自編之數學溝通能力測驗能更貼近中年級教材內容與教學目標，三年級上學期之施測內容選擇分數（數與量）、四位數的加減（數與量）、乘法（數與量）、加減法的應用（數與量、代數）、周長與面積（幾何）等五個單元；三年級下學期選擇分數（數與量）、小數（數與量）、乘與除（數與量、代數）、周長與面積（數與量、幾何）等四個單元；四年級上學期選擇分數（數與量）、一億以內的數（數與量）、整數的乘法（數與量）、整數四則計算（數與量、代數）、公里（數與量）、角度（數與量、幾何）等六個單元（詳見表 2-2-3）。. . 23.

(36) . 表 2-2-2 溝通能力指標與單元對應表能力指標. 三下. 四上. C-C-01. 一萬以內的數/ 四位數的加減計算周長與面積/乘法重量/加減法的應用除法（一）、（二）圓與角/分數. 乘法/小數/除法/容量時間/乘與除/重量分數/長度. 一億以內的數/角度整數的乘法/公里垂直與平行/分數整數的除法/時間整數四則計算三角形/小數. C-C-02. 一萬以內的數四位數的加減計算乘法/重量加減法的應用除法（一）、（二）. 乘法/小數/長度周長與面積除法/容量時間/乘與除重量/分數. 整數的乘法/小數垂直與平行/分數整數的除法公里/時間整數四則計算. C-C-03. 一萬以內的數/乘法周長與面積/重量加減法的應用除法（一）、（二）. 乘法/小數/周長與面積除法/容量/時間乘與除/重量分數/長度. 整數的乘法/公里垂直與平行/分數整數的除法/小數整數四則計算/時間. C-C-04. 圓與角分數. 整數的乘法/公里垂直與平行/分數整數的除法/時間整數四則計算. 四位數的加減計算乘法/重量加減法的應用. 乘法除法乘與除. 一億以內的數/公里整數的乘法/三角形垂直與平行/分數. 除法（一）、（二）. 重量. 整數的除法/小數整數四則計算/時間. C-C-06. 無對應單元. 無對應單元. 無對應單元. C-C-07. 四位數的加減計算乘法/重量加減法的應用除法（一）、（二）. 乘法/小數除法/乘與除/重量. 整數的乘法/公里垂直與平行/分數整數的除法/時間整數四則計算. C-C-08. 四位數的加減計算加減法的應用除法（一）、（二）. 乘法乘與除. 整數的乘法/公里/分數垂直與平行/整數除法整數四則計算/時間. C-C-09. 加減法的應用除法（一）、（二）. 無對應單元. 無對應單元. C-C-05. . 三上. 24.

(37) . 表 2-2-3 自編數學溝通能力測驗施測單元與五大主題分析表三上三下數與量分數分數四位數的加減小數乘法乘與除加減法的應用周長與面積代數幾何. 加減法的應用周長與面積. 乘與除周長與面積. 四上分數一億以內的數整數的乘法整數四則計算公里整數四則計算角度. 註：「統計與機率」在三上、三下、四上教材當中所佔比率極少，所以不列入施測出題單元範圍。「連結」主題貫串所有單元內容，所以不再另外列舉於表格當中。. 因本研究為縱貫性研究，自編數學溝通能力測驗分三波時間點施測，施測時間分別為三年級上學期、三年級下學期與四年級上學期，為利於後續測驗等化之進行，所以必須設定定錨題，定錨題則採「分數」、「乘與除」這兩個國小中年級學童較容易有迷思概念產生之單元來出題。. . 25.

(38) . 第三節. 縱貫研究與潛在成長模式. 本節將針對潛在成長模式在縱貫研究上的論述與應用加以說明。內容分為兩部份，分別是簡介縱貫研究之內涵，再介紹潛在成長模式之論述與應用。. 壹、縱貫研究之內涵縱貫研究 (longitudinal study)，又稱貫時性研究，是一種「在先後不同的時間點進行多次調查的研究策略」。此種研究策略可以用來觀察與檢視所欲調查的人或事物在一個以上的時間點所展現出來的特性，有如攝影機一般，可以描述觀察對象長期且動態的演變過程（吳齊殷、張明宜與陳怡蒨，2008）。因為縱貫研究費時費力且成本高、研究分析也較複雜，基於經費以及可行性考量，許多研究計畫都會採用「以一次調查為限」的橫斷研究 (cross-section research)來進行。橫斷研究的優點為較簡便省時、較節省經費、資料分析與處理較容易，且因橫斷研究可以處理大量樣本，所以順理成章的成為最常被使用的資料蒐集方法。雖然橫斷研究被大多研究所採用，但橫斷研究只能反映出「事件之間的共變關係」，至於事件「如何發生」、「如何發展」，橫斷研究則無法提供任何訊息。橫斷研究無法捕捉所欲觀察對象的變遷歷程、無法提供歷史時間面向來讓研究者確認時間點的先後順序，只能用基本邏輯來解釋當中的關聯（吳齊殷等人，2008）。此外，由於縱貫研究同時具有人、變項、時間等之資料型態，除了可以看出受試者的變動的歷程軌跡，亦可用來討論橫斷面向的問題（溫福星， 2006）。基於此縱貫研究所蒐集到資料的質和量，皆遠勝過橫斷研究，所以，雖然縱貫研究有耗時費力的缺點，但仍為學界所重視。縱貫研究依其研究對象多寡、是否重複追蹤同一研究對象，又可以分為四種不同的策略：（吳齊殷等人，2008）一、時間序列 (time series)：所關注的研究對象唯一(N=1)，為經濟學者最. . 26.

(39) . 常使用之分析策略。研究者可以長期追蹤檢視某一國家、單一產業之某些特定屬性之穩定性或變動性。二、趨勢分析 (trend analysis)：在不同的時間點，以類似或是相同的研究議題，針對不同的研究對象(N>1)進行長期研究。三、世代分析 (cohort analysis)：世代分析與趨勢分析相近，其明顯區分在於世代分析一般會鎖定特定年齡層的研究對象進行長期研究。四、固定樣本貫時追蹤研究 (panel study)：針對固定的研究對象(一群人、一個團體或一個組織)，在多個時間點上進行長期且重複的追蹤調查。. 本研究旨在探討國小中年級學童數學溝通能力的表現與成長情形，因為需要追蹤受試樣本在多個時間點上的數學溝通能力成長情形，所以採用縱貫研究法當中的固定樣本貫時追蹤研究策略來進行資料之蒐集。. 貳、與數學能力相關之縱貫研究誠如上述，縱貫研究雖然有費時、費力、高成本的缺點，但因為使用縱貫研究所能蒐集到的資料不論質或量，都是橫斷研究無法完全取代的，因此縱貫研究仍至今仍被各領域的研究者所重視。本研究將對數學溝通能力進行縱貫研究，但因缺乏與數學溝通能力有關之縱貫研究資料，因此退而求其次，搜尋與數學相關之縱貫研究實徵資料，整理如表 2-3-1 所示。. . 27.

(40) . 表 2-3-1 數學能力相關之縱貫研究研究者研究主題（年代）. 研究摘要. 盧銘法國小中高年級學（1996）生幾何概念之分析研究：以 Van hiele 幾何思考水準與試題關聯結構分析為探討基礎. 研究者以 Van Hiele 幾何思考水準為基礎，國小四年級、六年級共 406 名學生為樣本，利用自編「國小學生幾何圖形概念測驗」進行施測，探討學生的四邊形幾何概念。研究發現，六年級的學生四邊形概念優於四年級學生，男女之間則無顯著差異；學生對於圖形題的平均分數高於文字題：Van Hiele 水準層次上的人數分布於年級的不同上有顯著差異，但性別上則無。. 楊肅棟原漢族別與學業（1999）成績關聯性之追蹤調查研究─以臺東地區國小學童為例. 研究者針對 790 名臺東縣五年級學童進行追蹤，研究對象包含學生、家長、老師和學校。利用問卷(學生、家長、老師)和學生的瑞氏文字推理能力測驗，來分析學生、教師、家長及學校變項對原漢學童國語、數學成績之影響，並推論文化資本、家庭財務資本、家庭社會資本、學校社會資本、學童教育抱負、對於學業成績影響之可能的因果順序。. 王正信國小學童數學解（2002）題及整合認知能力之縱貫研究. 運用實作評量的方式，透過縱貫研究探討學生數學解題與整合認知能力發展情形與相關性。此外，研究者進而探討不同性別與學習動機之學童在數學解題與整合認知能力上之發展是否有顯著差異。研究者在六個月內針對 391 位五年級學童進行三波施測。結果顯示，學童之數學解題與整合認知能力隨著時間顯著進步，並且個別成長率差異顯著。不同性別學童之間發展情形無顯著差異，不同學習動機學童之間發展情形則有顯著差異。. Jordan, Kaplan, Hanich (2002). Achievement growth in children with learning difficulties in mathematics: Findings of a two-year longitudinal study. 將 180 名學生預先分為「僅數學困難」、「數學和閱讀均困難」、「僅閱讀困難」、「數學與閱讀均正常」等四組，在小二與小三兩年內進行共四波的施測。在控制智力、收入、種族與性別等因素下，發現「僅數學困難」暫數學學業成就上的成長率比「數學和閱讀均困難」者快，閱讀能力會影養數學學業成就之成長率，但數學能力則不會影響其閱讀成長率。（續下頁）. . 28.