數學溝通理論基礎

本節首先探討數學溝通的意義與內涵，接著介紹溝通的理論基礎。而溝 通的理論基礎可區分為二大部份：第一部分是皮亞傑(Piaget)個人認知的自我 中心語言；第二部分是維果斯基(Vygotsky)的社會建構理論。

壹、 數學溝通的意義與內涵

美國數學教師協會(NCTM)在其課程目標中明訂要「學生學習使用數學 語言來溝通」（NCTM, 1989）；再者，教育部於民國八十二年所公布的「國 民小學數學科課程標準」中，訂定「培養兒童以數學語言溝通、討論、講道 理和批判事物的精神」做為數學科學習總目標之一（教育部，1993）；同時，

柯政毅(2001)的研究也指出，數學領域的教與學已不再偏重於學生個人知識 與技能方面的學習而已，而是要藉由社會多元文化刺激的建構，並透過師生 或同儕彼此之間的溝通對話、質疑辯證、相互建構的歷程，來獲得個人有關 數學的知識與技能。最後，在目前民國九十二年所公佈的「國民中小學九年 一貫課程綱要」中，也明訂以「發展兒童以數學作為明確表達、理性溝通工 具的能力」為目標（教育部，2003）。

一、 數學溝通的定義與特徵

首先，張春興(1989）針對溝通的意義提出解釋，指溝通（communication）

是指經由語言的對話或其他的符號訊息傳遞，將自己的意見、感覺、概念、

情感…等傳送給對方知道。通常溝通都有著固定的對象，溝通管道則有可能 是雙向交流或單向傳遞。

數學溝通是指學生在表達或討論數學題目的理解過程中，就像是個小型 的數學學習社群，社群中每一位學生也如同是一個個小小的數學家，他們各

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自將自己的數學概念表達出來並與他人交流，透過溝通、討論與互動後，慢 慢建構出屬於個人有意義的數學概念（Cobb, et al., 1991）。

蔡文煥（1991）指出，透過數學溝通之後再進行解題的方法可能會有以 下兩種特徵：

(一) 在數學表達與討論理解的歷程中，個別學生的解題方法會受到同儕彼 此的挑戰與質疑，將大大地有助於學生自我的反省與思考。

(二)在數學表達與討論理解的歷程中，同儕之間彼此會提供自己所理解到的 題目訊息與解題方法，即使經過與其他同學的數學溝通之後，但仍有同學 無法理解題目中所蘊涵的題意或他們的解題方法。

幸而，藉由數學溝通可幫助學生們建立數學題意的理解與交流，將有助 於學生了解數學題目，進而掌握解題要素之間的關連性，以便找出解題的關 鍵。在同儕之間的互動學習上，在溝通的方式上通常具備以下的特性(Jones, et al., 1980）：

(一) 學生同儕之間的溝通學習，像是社會學習的小縮影，學生具備個人與眾 不同的學習特性。

(二) 學生同儕團體溝通或討論的原則，會因個人的社會、文化背景之不同而 有所差異。

(三) 學生同儕溝通互動時，是一種動態的互動歷程，會受到團體中每個互動 份子的內、外因素所影響。

二、語言與數學學習

語言是兒童用來與外界溝通最直接的方法之一，不但能夠建構出屬於個 人內心事件的抽象表徵，同時也是溝通內心思考的有效工具（Hicks,1996;

Vygotsky, 1978）。美國數學教師協會（NCTM, 1991）鼓勵兒童在數學學習 活動中能夠充分地運用語言來溝通數學（talk mathematics），雖然兒童僅能 運用簡單的語言來表達數學題目的解題過程，但就兒童本身的學習經驗而 言，言語的表達卻是最便利、也是最有效的方式之一。

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也有些學者曾明確地指出學生在溝通歷程中，會運用到多元且複雜的認 知活動中的運思與反運思動作，其中包含了下列二種活動（NCTM, 1991）：

推測解題方法，提出個人解題方法，並透過語言的辯論，評判其解題方 法是否合理、有效。

(一) 根據數學的基本原理、原則，提出基本證明來說明，或對個人無法理解 的數學概念加以修正與提出合理的解釋。

從認知發展的觀點來看，語言的表達是個人內在心智的想法和與外界溝 通的方式（Miller, 1989），也是人類智慧的另一種詮釋方式，更可以看待為 個人潛在概念認知的表現。根據 Piaget (1973)對語言與思考的關係研究，兒 童在感覺動作階段之後期，其使用語言來表達事物的能力已逐漸發展成熟。

欲使兒童從自我語言的初階使用，轉化其語言讓它成為具備溝通的能力的 話，那麼與他人利用具備溝通能力的語言對話、交流是非常重要的。

Vygotsky是俄國社會文化建構心理學家，他認為兒童的語言與思考發展 有著密切的關係。在發展的初期，語言與思考兩者之間是各自獨立的，但是 這種兩者獨立運作的時間只是短暫的而己，大約於兩歲上下，語言與思考兩 者會逐漸交互影響（Vygotsky, 1962; 1978）。Vygotsky 認為語言最初的功 能就是溝通，而且語言是社會互動首要的工具，也是個人表達意見和理解事 物的憑藉。Vygotsky 也認為，因為語言的使用使得人類得以發展出高層的 心智能力，也正因為語言的使用而促使人們的知覺能力全然的提昇，進而深 化為個人內在思想體系的一部分。因此，語言的運用使得社會經驗增加、同 時邏輯思考的能力也不斷地向上發展提升。

在教育部(2003)「國民中小學九年一貫課程綱要」中的「壹、基本理念」

裡，就開宗明義的指出「數學是一種語言」：簡單的數學語言，融合在人類 日常生活的諸多面向，宛如另一種母語。精鍊的數學語句，則是人類理性對 話最精確的語言。從科學的發展史來看，數學更是理性與自然界對話時最自 然的語言。

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數學語言除了本身是數學學習的重要目標之外，它亦是學習數學知識的重要 媒介。若將此觀念應用於數學的學習當中，教師能使用數學語言來提出問 題、導引學生的數學學習活動，而學生也使用適當的數學語言來表示自己的 想法或解答問題的話；那麼這時的數學語言除了本身即是數學的學習目標之 一外，也是學習數學知識的重要媒介（蔣治邦，1994）。

Vygotsky 認為兒童使用語言與他人對話時，同時也是在其內心再次與 自我對話，對解決問題的思考具有正面的幫助（黃幸美，2003）。所以，數 學語言在數學學習當中使用，不僅是溝通的橋樑，亦可幫助個體重新組織數 學知識、表達自我數學想法，其在數學溝通中有不可抹滅的重要性。透過精 鍊的數學語句，數學語言的存在目的就在於產生數學學習社群之間的數學溝 通，數學知識經由學習社群成員之間的對話（dialogue），可以轉化為分享 的、對個人有意義的數學知識。所以，對數學語言的理解與表達，對學生數 學知識的建構有著非常重要的影響（曾志華，1995）。綜上所述，在溝通的 學習過程中，語言應給予最高的重視，再者，透過數學語言的溝通，建構屬 於個人有意義的數學概念才是數學互動學習中不可或缺的關鍵因素。

三、數學表徵的意涵與功用

依據蔣治邦（1994）針對數學表徵問題的研究中，首先提出以下的概念：

(一)數學表徵(representation)的意涵

數學表徵是用一種特別的形態，是將自己對數學的看法或自我的想法 重新以數學語言或數學符號表現出來的一種形式，其主要功能是能夠達成 數學溝通的目的、表達自我的數學概念與想法。

Bruner(1966) 由運思觀點出發，區分三種被運思的材料（表徵）分別 為：1.動作表徵期（enactive）、2.圖像表徵期（iconic）、3.符號的表徵期

（symbolic）。利用實體的物品或具體物（如鉛筆、小塊積木），都是屬於 動作表徵期，它們都可以以實際的動作來操弄。然而，圖像的及符號的兩 種表徵期，則是屬於個人內心心智活動的產物，是屬於較抽象的敘述，所

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以無法以實際的具體物操弄來呈現。

Lesh（1979）改良Bruner運思表徵的類別，採溝通觀點發展，重新分 類表徵的類別：分別為1.實物情境（real-world situations）、2.操作具體物

（manipulative aids）、3.圖形（pictures）、4.口語符號（spoken symbols）、

及5.書寫符號（written symbols）。Lesh 認為學童能不能在不同的表徵類別 中自由的轉譯（translation），表示個體對自我概念意義的掌握程度。現在 如果以「5 支鉛筆」的實物情境來說明，使用「5 支鉛筆」來表示「5」的 意義，也可以用「五塊餅乾」、「ㄨˇ」的語詞、或「5」的符號來表示。

換言之，不論利用何種表徵方式，做為溝通的刺激時，接受訊息者皆能夠 轉譯，並使用自己的表徵模式重新呈現，仍可以不失去原先刺激的意義。

同樣地，實物情境的問題或活動的表徵，亦可用其他表徵型式(如口語符號 表徵)來重新描述，如此對等的轉譯過程，將有助於了解到問題或活動的意 義以及學習的轉化（Lesh, 1981）。在數學知識的學習演進歷程中，常會使 用某些具有特殊的表徵形式，並形成特殊的表徵符號系統，如阿拉伯數字 系統，是一種很容易溝通的數字表徵符號，它具備了十進位結構的基本性 質。但阿拉伯數字在形成系統的同時，也產生其他多重意義的困擾，例如：

數字符號就具有序數和基數的雙重意義。

(二)數學表徵的功能

在數學學習活動中，數學符號的表徵扮演著兩種極其重要的角色，那 就是溝通的媒介物，與思考的材料。在課堂中如果老師在黑板佈了一道為

「5+8＝（ ）」的題目，當學生一開始拿出5塊積木之後，接著拿出8塊積 木，數一數以後，說出答案是13。在此學習過程中，教師是利用書寫數學 符號的表徵來呈現數學問題，而學童能夠拿出5塊及8塊積木時，表示教師 書寫的數學符號已被學童理解後，學童改用具體物代替，做為解題思考的 材料，當他思考完畢做出解答後，再利用口語的溝通來表達經過思考之後

「5+8＝（ ）」的題目，當學生一開始拿出5塊積木之後，接著拿出8塊積 木，數一數以後，說出答案是13。在此學習過程中，教師是利用書寫數學 符號的表徵來呈現數學問題，而學童能夠拿出5塊及8塊積木時，表示教師 書寫的數學符號已被學童理解後，學童改用具體物代替，做為解題思考的 材料，當他思考完畢做出解答後，再利用口語的溝通來表達經過思考之後