數學解題

在人類的生活中，不論食、衣、住、行、育、樂，無不充滿著數學的痕跡。

因此，解決數學問題的能力也就成為一個人所應具備的基本重要能力。諸如：

哈佛大學認知心理學教授迦納博士（Howard Gardner）在1983年提出「多元智 慧論」（The Theory of Multiple Intelligences），把數理邏輯（Logical-mathematical Intelligence）視為八大智慧之一（引自林奕宏，2000）；而經濟暨合作發展組 織（Organization for Economic Cooperation and Development, 簡稱OECD）的「國 際性學生評量計畫」（International Program for Student Assessment, 簡稱PISA）

把「數學」能力視為重要的三大能力指標之一；根據OECD將數學能力定義為

「能夠定義、理解數學的能力，和對於數學所扮演的角色能做很好的發現與判 斷，以因應個人需要和未來私人生活、職業生涯、同儕和親屬的社會生活。」

換言之，數學能力是指能使用數學語言，應用數學技巧，將數學模式應用於生 活上的能力（引自王瑞壎，2002）。

我國教育部於2003年公布「國民小學九年一貫課程綱要」中，把「獨立思 考與解決問題」這一項列為十大能力指標之一（教育部，2003）。而學童可藉 由「數學解題」的邏輯思考訓練，以達成生活應用之目的。因此，「數學解題」

的相關議題值得研究者重視。以下謹就數學解題的定義、數學解題的歷程及影 響學童數學解題成敗因素進行探討。

一、數學解題的定義

美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM）曾指出，數學學習的核心是「問題解決」。數學教學是要提昇學生 的數學信念，鼓勵學生發展解題策略及利用後設認知與特定數學概念的應用 來加強學習的效果，尤其重視學生是否主動探索、反省思考。同時美國數學 教師學會對改進學校數學教育的第一項建議，就是「解題活動應被視為學校 數學教育的主要課題」（NCTM, 2000）。

數學解題的定義很廣，過去許多學者專家們對解題也提出各種不同的看 法。例如Branca（1990）認為解題是數學教育上的一個重要目標；是運用先 前經驗處理不熟悉或新問題的過程；也是個人在未來社會中所需要的基本技 能。

Kilpatrick認為數學解題的意義可分為心理學、社會學、數學等三個層面

（引自楊瑞智，1994）。

（一）心理學的層面。數學解題被定義為一種情境；在此情境中，解題者欲 達到某一目標，但直接通往此目標的路徑被阻塞了，迫使解題者必須 運用一些數學概念、原理或方法來尋求答案。

（二）社會學的層面。把數學問題當作是老師給學生的一項任務。學生在接 受老師給予的任務過程中，可從老師的眼神或表情判斷自己的解題方 向是否正確，因此學生的解題行為表現，將受到師生間互動時雙方所 關注的焦點所影響。

（三）數學的層面。將數學問題當作是數學建構的基礎及數學思考的工具。

亦即透過數學解題的教學，學生可逐步建構自己的數學知識。畢竟，

數學這門學科的知識，都是數學家們在形成問題與解決問題過程中所 發展出來的。

國內學者張春興（1993）將「解題」定義為在問題的情境下，經由思考 與推理而達到目標的心理歷程。吳德邦、吳順治（1989）則認為解題係指個 人運用先前舊有的各種經驗、知識、 技巧與瞭解，滿足尚未解決之問題情 境的條件要求。

綜合國內外各學者對「解題」所提出的定義，研究者將數學解題定義為

「個體在遭遇到一陌生不熟悉的問題或情境時，無法直接從以往的經驗中獲 得解決之方法，而必須統合運用本身現有的數學先備知識、經驗或技巧，並 配合演繹、推理與歸納等思考方式，以求順利完成任務的一種心理歷程。」

二、數學解題之歷程

關於數學解題歷程的研究，一直以來有許多不同派別的數學學者抑或心 理學家，由自身研究之觀點發展出不同的理論。Polya 是最早提出數學解題 歷程模式的學者。他將解題歷程分為四個階段（蔡坤憲譯，2006）。

（一）了解問題。問題的文字敘述，必須是解題者所能理解的。解題者要能 指出問題中的已知、未知訊息，其間的關聯、條件等。

（二）擬定計畫。依據問題給定的資料，找出已知數與未知數之間的聯繫，

以擬定出解決問題的程序。

（三）執行計畫。解題者利用自身擁有的數學知識，逐步實行所擬定的解題 計畫。

（四）驗算與回顧。對執行計畫後所得到的解答，進行檢查和討論。回顧整 個解題過程，想想看是不是有不同的解題方法，以及解題的方法或結

果是否可以運用至其它的問題上。

Polya 希望教師進行解題教學時，能讓學生將一般性的數學問題變成其 思維習慣，最終成為一個獨立的解題者。然而此四個階段並非要解題者固定 地循序前進，而是啟發解題的方法，解題者是可以在此四階段中反覆來回的

（陳國雄，2006）。

另 一 位 學 者 Mason （ 1985 ） 則 認 為 數 學 的 教 學 應 著 重 數 學 性 思 考

（thinking mathematically）的培養。教師在教學的過程中，要能激發學習者 根據自己的經驗，主動且有意識的思考數學問題。學習者透過不斷的猜測、

質疑、挑戰、反省等行為，建構自己真正理解的數學知識。他同時認為數學 的 解 題 歷 程 主 要 有 兩 個 活 動 ， 即 ： 特 殊 化 （ specializing ） 和 一 般 化

（generalizing）。特殊化意指剛開始嘗試解題時，可從問題的特例著手，因 為特例通常較能啟發解題者運用和以往不同的解題方式，使問題能順利獲得 解決；而一般化則指解題成功後，能夠將此問題的類型擴充到適用一般情境。

在上述這兩個重要的解題活動中，Mason將解題分成三個階段（引自李 長柏，2002）。

（一）進入（entry）。在此階段中，解題者需要關注的焦點為「已知的訊息 為何？」「所要達成的目標是什麼？」「需要加入什麼訊息？」。

（二）攻擊（attack）。主要是在了解問題的情境後，提出解題的所有可能 臆測（conjecture），然後對所有可能的臆測，進行確認與驗證的工作。

（三）回顧（review）。這個階段主要是在驗證答案的正確性，針對解題過程 的關鍵點進行反思的工作，有利於將來能解決類似的問題。

Mayer（1992）根據其多年的研究，從認知心理學問題表徵及訊息處理 論的觀點，將解題歷程分為問題表徵（problem representation）與問題解決

（problem solution）兩個階段，而每個階段又包含兩項成分，如圖2-1-1所示。

（一）問題表徵階段

問題表徵階段包含問題轉譯（problem translation）與問題整合（problem integration）兩項成分。問題轉譯是指解題者能應用語言知識讀出並了解題 目中字詞的涵義；運用事實知識將題目陳述句轉化成個人可以理解的內在表 徵，以便了解題目中的已知條件和解題目標有何關聯，例如，正方形的四邊 等長、1公尺等於100公分等，皆屬事實知識，多與實際生活事實有關。問題 整合則是解題者根據文字敘述，以自身過往解決問題的經驗，來判斷這是屬 於何種類型的問題。此時須運用基模知識（schematic knowledge），統整問 題所給予的訊息，釐清題目中各條件間的關係，以辨認問題的類型，並決定 解題所需的資料。

（二）問題解決階段

問題解決階段包含解題計畫與監控（solution planning & monitoring）和 解題執行（solution execution）兩項成分。解題計畫及監控是指解題者需運 用策略知識，將問題的目標分成幾個次要的子目標，使用解題策略，逐步達 成解題的目標，並在此過程中監控自己，意識到自己在解題計畫裡的哪一個 步驟。解題執行則是解題者要能夠應用算術的法則，即所謂的程序性知識操 作數學規則，根據解題計畫以運算的程序求得解答。

解題歷程 問題表徵

問題解決

問題轉譯

問題整合

解題計畫與監控

解題執行

圖 2-1-1 Mayer 的解題歷程

Gagne, Yekovich和Yekovich (1993)認為一個問題解決的歷程在初始階 段，解題者會對該問題形成一個表徵，其表徵的組成可能包含在工作記憶中 活化的訊息，以及其它外在表徵。接著這些表徵會活化存在長期記憶中關於 文字問題的知識，例如辨識出該文字題的類型，並且從而形成可用於找出該 問題解決方法的線索。這個活化解決方法的歷程會被應用在當前的情境中。

最後人們還會對所使用的解決辦法是否成功做評估。

Marshall (1995)認為問題解決的歷程包括五個步驟：

（一）情境描述(situation description)。將問題情境的基本架構作歸類、區別 出其特徵，以尋找合適的基模。

（二）現狀評估(status quo appraisal)。學生考慮自己已存在的知識結構及先 備知識。

（三）資源評估(source evaluation)。選擇適合的解決方法或理論架構。學生 是否經歷過類似問題，會影響到此評估過程所需要的時間。

（四）理論確認(theoretical verification)。精緻化(elaborate)所選擇的基模假 設，及確認(corroborate)其能符合該問題情境。

（五）實際檢核(practicality check)。實際執行策略，並檢核結果。

葉家綺（2005）根據各學者對解題歷程的看法，將解題的歷程分為五個 階段，分別為「理解題意」、「尋求模式」、「擬定解法」、「執行方法」

與「判斷」。

綜合以上文獻，研究者發現解題歷程有其共同特徵，包括了解題意和解 題目標、尋找解題的路徑、解題的執行等。回顧以往數學教材與數學成就測 驗的內容，常要求學生反覆練習運算程序，即 Mayer 所稱之解題執行，但對 於學生如何轉譯問題，如何有意義的表徵問題，以及如何擬定解題計畫卻缺

乏關注。因此，研究者參考 Mayer 所提出的解題歷程來設計數學問題，一方 面可以瞭解學童解題的歷程，一方面可以測出學童究竟在哪一個階段出現解 題困難，使研究結果更能代表學童解題的真實狀況。

三、影響學童在數學解題上成敗因素之探討

除了解題的心理歷程以外，解題成敗亦為教學現場十分受到關注的議

除了解題的心理歷程以外，解題成敗亦為教學現場十分受到關注的議