國小學童中文閱讀理解能力與數學文字題閱讀理解暨解題表現之研究

國立臺中教育大學數學教育學系

國小教師在職進修教學碩士班碩士論文

指導教授：謝闓如 教授

國小學童中文閱讀理解能力與數學文

字題閱讀理解暨解題表現之研究

研究生：王思佳 撰

中 華 民 國 九 十 九 年 六 月

國小學童中文閱讀理解能力與數學文字題

閱讀理解暨解題表現之研究

摘 要

本研究目的在於了解學童的中文閱讀理解能力與數學文字題的閱讀理 解及解題表現是否有顯著相關；以及閱讀理解能力不同學生，在數學解題表 現上的差異性。本研究採分層隨機抽樣方式蒐集問卷，以苗栗縣、臺中縣、 南投縣、彰化縣和臺中市十五所國小，共十五個班級合計 402 位九十七學年 度四年級學生為研究對象。資料採量化統計分析。 研究結果可歸納出五點結論，分述如下： 一、中文閱讀理解能力與數學文字題閱讀理解有顯著相關。中文閱讀理解能 力愈強之學童，其數學文字題閱讀理解情形愈佳。 二、不同中文閱讀理解能力學生在文字題閱讀理解上有顯著差異。其中高分 組學童表現優於中分組與低分組，中分組學童又優於低分組。 三、中文閱讀理解能力與數學文字題解題表現有顯著相關。中文閱讀理解能 力愈強之學童，其數學文字題解題表現愈佳。 四、不同中文閱讀理解能力學童在文字題解題表現上有顯著差異。其中高分 組學童表現優於中分組與低分組，中分組學童又優於低分組。 五、數學文字題閱讀理解與數學文字題解題表現有顯著相關。數學文字題閱 讀理解能力愈強之學童，其數學文字題解題表現愈佳。 關鍵字：中文閱讀理解能力、數學文字題、數學文字題閱讀理解、解題歷程

Reserch on the relationship of 4

th

Graders＇Chinese

reading comprehension and mathematics word

problems of reading and solving

Abstract

The purposes of this study were to investigate the correlations between reading comprehension and mathematics word problems of reading and problem solving, and the differences of the learners with different capabilities of reading comprehension on solving mathematics word problems. The participants in this study were selected by stratified random cluster sampling process. The participants were 402 fourth-grade (the 97th school year) students (15 classes) from 15 elementary schools in Miaoli, Taizhong, Nantou, Changhua Counties and Taichung City. Quantitative analyses were used.

The findings from the research results were as follows:

1. There was a significant relationship between students’ reading comprehension and mathematics word problems of reading comprehension. The students with better Chinese reading comprehension might have better understanding on mathematics word problems.

2. There were significant differences among different capabilities of reading comprehension for the students’ understanding on mathematics word problems.

The high-performed group did better than both the middle- performed and the low-performed groups. The middle- performed group did better than the low-performed one.

3. There was a significant relationship between reading comprehension and solving mathematics word problems. The students with better Chinese reading comprehension might did better on solving mathematics word problems. 4. There were significant differences among different capabilities of reading

comprehension for the students’ solving mathematics word problems. The high-performed group did better than both the middle- performed and the low-performed groups. The middle- performed group did better than the low-performed one.

5. There was a significant relationship between understanding on mathematics word problems and solving mathematics word problems. The students with better understanding on mathematics word problems might did better on solving mathematics word problems.

Keyword: Chinese reading comprehension, mathematics word problems, understanding on mathematics word problems, problem solving processes.

目 次

第一章 緒 論 ………1 第一節 研究動機與目的………1 第二節 名詞釋義………4 第三節 研究範圍與限制………5 第二章 文獻探討………7 第一節 數學解題………7 第二節 數學文字題與閱讀理解………17 第三節 數學文字題閱讀理解與解題表現之相關研究………22 第三章 研究設計與實施方法………27 第一節 研究架構………27 第二節 研究程序………28 第三節 研究問題………29 第四節 研究樣本………30 第五節 研究工具………31 第六節 資料處理與分析方法………40 第四章 結果與討論………43 第一節 樣本特質及敘述統計量分析………43 第二節 中文閱讀理解能力與數學文字題閱讀理解………45 第三節 中文閱讀理解能力與數學文字題解題表現………52 第四節 數學文字題閱讀理解與解題表現的相關性………56 第五節 綜合討論………57 第五章 結論與建議………61 第一節 結論………61 第二節 建議………64

參考文獻………67 中文部分………67 英文部分………71 附 錄 ………75 附錄一 專家及現場教學教師之「整數四則運算文字題」閱讀理解與解 題表現測驗意見調查表………75 附錄二 「整數四則運算文字題」閱讀理解與解題表現正式施測試題… 100 附錄三 原作者同意書（柯華葳）………111

表 次

表 3-4-1 本研究有效樣本人數分布………31 表 3-5-1 解題成份說明………33 表 3-5-2 整數四則兩步驟混合運算測驗題目類型………34 表 3-5-3 「解題計畫與監控」和「解題執行」測驗評分標準………36 表 3-5-4 數學試題難度及鑑別度分析………38 表 3-5-5 選取出的數學試題別………39 表 3-5-6 本測驗與期中國語、數學評量成績之相關係數………39 表 4-1-1 「閱讀理解困難篩選測驗」各題型答對率分析………44 表 4-1-2 數學文字題解題歷程測驗暨各分層面得分之表現………45 表 4-2-1 閱讀理解困難篩選測驗與文字題閱讀理解測驗之相關分析…………46 表 4-2-2 不同中文閱讀理解能力學生其文字題閱讀理解測驗及各分層面 之差異分析………48 表 4-2-3 閱讀理解能力低分組學生在問題轉譯及問題整合分層面答對率 之分析………49 表 4-2-4 閱讀理解能力低分組學生在部份問題轉譯題目作答上之表現分 析………50 表 4-2-5 閱讀理解能力低分組學生在部份問題整合題目作答上之表現分 析………51 表 4-3-1 閱讀理解困難篩選測驗與文字題解題表現測驗之相關分析…………53 表 4-3-2 不同中文閱讀理解能力學生其文字題解題表現測驗及各分層面 之差異分析………54 表 4-3-3 閱讀理解能力低分組學生在解題計畫與監控及解題執行分層面 答題表現之分析………55 表 4-4-1 數學文字題閱讀理解與解題表現各分層面間之相關分析………56

圖 次

圖 2-1-1 Mayer 的解題歷程………11

圖 3-1-1 研究架構………27

圖 3-2-1 研究流程………28

第一章 緒論

本研究旨在探討國小四年級學童，其不同閱讀理解能力對數學文字題的 閱讀理解與解題表現的相關性與差異情形。本章將說明研究動機、研究目的 與待答問題，並針對與本研究相關之特定名詞加以定義。最後則說明本研究 的範圍與限制。

第一節 研究動機與目的

一、研究動機 數學被稱為「科學之母」，在人類的生活中，不論食、衣、住、行、育、 樂，無不充滿著數學的痕跡。因此，數學能力也就成為一個人所應具備的重 要基本能力。「多元智慧論」（The Theory of Multiple Intelligences）把數理 邏輯（Logical-mathematical Intelligence）視為八大智慧之一（引自林奕宏， 2000）；而經濟暨合作發展組織（簡稱OECD）的「國際性學生評量計畫」 （簡稱PISA）更把「數學」能力視為重要的三大能力指標之一（引自王瑞壎， 2002）。可見隨著資訊時代的來臨，數學能力亦愈來愈受到重視。 然而從教學現場觀察，數學卻也常是「焦慮之源」, 是學生最感挫折與 困難的科目之一（石厚高，1997）；根據「臺灣學生學習成就評量資料庫」 2007 年 TASA 學生學科主觀喜愛程度與學習自信心與學習成就表現之相 關分析，從研究中發現在學習數學的自信心上，有隨著年段的增加卻漸漸下 降的現象。在TIMSS（Trend of International Mathematics and Science Study， 國際數學與科學教育成就趨勢調查研究）2003與TIMSS 2007有關數學學習自 信心與平均量尺分數之結果中發現，在十個數學表現較佳的國家中，我國學 生在高度數學學習自信心的人數百分比為次低，低度數學學習自信心的人數 百分比卻為次高（皆僅優於日本），可見我國學生學習數學的自信心明顯偏

低（引自TASA臺灣學生學習成就評量資料庫網站電子報第7期，2010）；另 外1993年針對「國際數理成就評量」（IAEP）的報告指出，我國學生的演 算能力很強，在概念和計算上都得了高分，但在解題策略上略顯不足（楊榮 祥，1992；施淑娟，1999）。由以上觀之，在數學的學習上，我國學生表現 雖佳，但對數學學習的自信心普遍不足，且有隨年紀漸長而下降的現象；而 其中解題策略及能力不足的現象，尤其值得關注。 長久以來，有關數學解題能力的培養特別受到重視。美國數學督導學會 （National Council of Supervisors of Mathematics, NCSM,1977）指出「學習解 題是研讀數學的主要目的」；美國教師協會（National Council ofTeachers of Mathematics, NCTM）在1989年曾指出數學學習的核心是「問題解決」。同 時NCTM對改進學校數學教育的第一項建議，就是「解題活動應被視為學校 數學教育的主要課題」；且NCTM在1991、2000年所公佈的課程標準、教師 專業標準和評量標準，都延續1989年的精神，仍把「問題解決」列為重點之 一（NCTM, 2000）。 我國在九年一貫數學正式課程綱要（教育部，2003）中明確訂出課程理 念應以生活為中心，意即學生要能將「數學」運用在日常生活中，並具備「解 決問題」的基本能力，讓他們將來會使用這些基本技巧以及思考推理，去解 決生活中所面對的問題。而「文字題」（即應用問題）正是反映生活情境的 具體教材。課程綱要中具體的指出學習應用問題的解題方法為數學學習領域 的總體目標之ㄧ，其重要性更可見一斑。 在學校，我們常以解決文字問題作為培養問題解決能力的重要方式（翁 嘉英，1988）。學生在解文字題時需先整理題意，把「語文理解」轉換成「形 式數學」，也就是按題意列式，然後再進行運算過程，以求得解答（古明峰， 1998）。從此觀之，文字問題的解決涉及語文理解、數學概念與計算能力等 （葉家綺，2005）。解題者要能成功解題首先必須對題目文意做正確的轉譯，

形成適當的心理表徵（陳世杰，2005），若無足夠的閱讀理解能力，解題時 必會產生阻礙。 閱讀並理解題意的能力（即閱讀理解能力）是解題能否成功的重要關鍵 之一。諸多研究皆顯示，「閱讀理解能力」對於數學文字題解題具有相當的 重要性。如蘇宜芬（2004）指出閱讀理解能力是各學科學習的基礎；陳雅玲 （2004）、林明志（2009）認為應倡導注重閱讀能力的培養以提昇數學能力。 謝慧齡（2004）的研究，建議重視語文能力在數學解題中的重要性。陳亭君 （2004）建議研究者考量「閱讀理解能力」之因素，以探討讀題與解題之間 的關聯性。 研究者為國小教師，身為教學現場的一份子，深知「數學」對於培養學 童解決問題能力的重要性，也體會到學童面臨「數學文字題」時的困擾和焦 慮；證之諸多文獻，認為學童對於數學文字題的「閱讀理解能力」會影響其 對於數學解題的成敗，是非常重要的關鍵能力之一。因此，研究者嘗試以學 童的數學「閱讀理解能力」及「解題表現」進行研究，試圖找出其間之關聯 性，以做為教學上及後續研究之參考。 二、 研究目的 根據以上所述之研究動機，本研究探討的主題為「國小四年級學童不同 閱讀理解能力與數學文字題閱讀理解、解題表現」之相關性與差異情形，並 根據研究結果提出具體建議，希望能提供國小教師在數學和語文方面教學上 的參考，並增進學童學習的效益。據此，以下將敘明本研究之具體目的。 （一）探討國小四年級學童的中文閱讀理解能力和數學文字題閱讀理解及解 題表現上的相關性。 （二）分析不同中文閱讀理解能力的國小四年級學童在數學文字題閱讀理解 和解題表現上的差異情形。

（三）探討數學文字題閱讀理解能力和數學文字題解題表現之相關性。 （四）將研究結果綜合歸納後提出建議，以利國民小學教師與學生，在語文

和數學教學與學習方面的參考。

第二節 名詞釋義

一、中文閱讀理解能力（Chinese reading comprehension）

「閱讀理解能力」係指個體能從文章中獲得訊息，並結合許多個別的要 素成為一新的整體，它是個人利用既有的知識與作者所提供的訊息產生互 動，以便建構意義之歷程的能力。為與「數學文字題閱讀理解能力」有所區 別，遂以「中文閱讀理解能力」稱之。

二、數學文字題（mathematics word problems）

所謂數學文字題，過去通稱為「應用問題」，是指以語文的方式來描述 問題情境的數學問題，提供學生一種運用計算能力於各個情境的機會。本研 究所稱之「數學文字題」，係指依據2003年公布之國民中小學九年一貫數學 學習領域課程綱要編製之審定本教科書中「整數四則兩步驟混合計算」單元 的文字題。

三、數學文字題閱讀理解（understanding on mathematics word

problems）

數學文字題閱讀理解是指學生在接觸數學文字題時，能應用其先備知識 和早期閱讀指導中所發展的技能與策略，協助其閱讀前做預測，在閱讀中和 閱讀後建構數學文字題的意義，而達成數學文字題的理解。亦即Mayer(1987) 所提出數學解題理論中之問題轉譯和問題整合層面。

四、解題歷程（problem solving processes） 解題歷程是指解題者在解數學題目時，從看到題目至獲得答案所表現的 行為或運作。在本研究中，是以Mayer(1992)提出的解題四項成分：「問題 轉譯」、「問題整合」、「解題計畫與監控」、「解題執行」作為具體的判 斷準則。

第三節 研究範圍與限制

一、 研究對象

本研究以中部的苗栗縣、台中縣、彰化縣、南投縣、台中市等五縣市 為主要研究地區，從中抽取十五個班級的四年級學生做為研究對象。因施 測對象有限，故此研究結果並不能完全推論至其他年齡層和地區。 二、 研究工具 本研究主要是透過柯華葳（1999）編製之「閱讀理解困難篩選測驗」與 自編之「數學文字題閱讀理解與解題表現測驗」來探討中文閱讀理解能力與 數學文字題閱讀理解、解題表現的相關性。至於其他影響數學文字題閱讀理 解與解題表現的因素非常多，但不在本研究探討的範圍內。 三、 研究方法 本研究採用的方式是以學童紙筆測驗的分數表現進行統計分析，評分方 式對於未作答以及不同於正確選項（或計算結果）之反應均以零分計之，因 此無法完全了解學童錯誤概念的形成原因或迷思概念，故研究結果的推論宜 相當謹慎。

第二章 文獻探討

本研究的主要目的在探討國小四年級學生，其閱讀理解能力對解數學文 字題解題表現的相關性與影響。因此，本章第一節討論數學解題的相關研 究，著重數學問題解題之歷程及數學解題成敗因素之探討；第二節則針對閱 讀理解能力相關研究進行討論，深入研究閱讀理解能力影響國小學童數學文 字題解題能力的因子；第三節則綜合數學文字題的閱讀理解能力與數學解題 表現的相關研究進行探討。

第一節 數學解題

在人類的生活中，不論食、衣、住、行、育、樂，無不充滿著數學的痕跡。 因此，解決數學問題的能力也就成為一個人所應具備的基本重要能力。諸如： 哈佛大學認知心理學教授迦納博士（Howard Gardner）在1983年提出「多元智 慧論」（The Theory of Multiple Intelligences），把數理邏輯（Logical-mathematical Intelligence）視為八大智慧之一（引自林奕宏，2000）；而經濟暨合作發展組 織（Organization for Economic Cooperation and Development, 簡稱OECD）的「國 際性學生評量計畫」（International Program for Student Assessment, 簡稱PISA） 把「數學」能力視為重要的三大能力指標之一；根據OECD將數學能力定義為 「能夠定義、理解數學的能力，和對於數學所扮演的角色能做很好的發現與判 斷，以因應個人需要和未來私人生活、職業生涯、同儕和親屬的社會生活。」 換言之，數學能力是指能使用數學語言，應用數學技巧，將數學模式應用於生 活上的能力（引自王瑞壎，2002）。 我國教育部於2003年公布「國民小學九年一貫課程綱要」中，把「獨立思 考與解決問題」這一項列為十大能力指標之一（教育部，2003）。而學童可藉 由「數學解題」的邏輯思考訓練，以達成生活應用之目的。因此，「數學解題」

的相關議題值得研究者重視。以下謹就數學解題的定義、數學解題的歷程及影 響學童數學解題成敗因素進行探討。

一、數學解題的定義

美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM）曾指出，數學學習的核心是「問題解決」。數學教學是要提昇學生 的數學信念，鼓勵學生發展解題策略及利用後設認知與特定數學概念的應用 來加強學習的效果，尤其重視學生是否主動探索、反省思考。同時美國數學 教師學會對改進學校數學教育的第一項建議，就是「解題活動應被視為學校 數學教育的主要課題」（NCTM, 2000）。 數學解題的定義很廣，過去許多學者專家們對解題也提出各種不同的看 法。例如Branca（1990）認為解題是數學教育上的一個重要目標；是運用先 前經驗處理不熟悉或新問題的過程；也是個人在未來社會中所需要的基本技 能。 Kilpatrick認為數學解題的意義可分為心理學、社會學、數學等三個層面 （引自楊瑞智，1994）。 （一）心理學的層面。數學解題被定義為一種情境；在此情境中，解題者欲 達到某一目標，但直接通往此目標的路徑被阻塞了，迫使解題者必須 運用一些數學概念、原理或方法來尋求答案。 （二）社會學的層面。把數學問題當作是老師給學生的一項任務。學生在接 受老師給予的任務過程中，可從老師的眼神或表情判斷自己的解題方 向是否正確，因此學生的解題行為表現，將受到師生間互動時雙方所 關注的焦點所影響。 （三）數學的層面。將數學問題當作是數學建構的基礎及數學思考的工具。

亦即透過數學解題的教學，學生可逐步建構自己的數學知識。畢竟， 數學這門學科的知識，都是數學家們在形成問題與解決問題過程中所 發展出來的。 國內學者張春興（1993）將「解題」定義為在問題的情境下，經由思考 與推理而達到目標的心理歷程。吳德邦、吳順治（1989）則認為解題係指個 人運用先前舊有的各種經驗、知識、 技巧與瞭解，滿足尚未解決之問題情 境的條件要求。 綜合國內外各學者對「解題」所提出的定義，研究者將數學解題定義為 「個體在遭遇到一陌生不熟悉的問題或情境時，無法直接從以往的經驗中獲 得解決之方法，而必須統合運用本身現有的數學先備知識、經驗或技巧，並 配合演繹、推理與歸納等思考方式，以求順利完成任務的一種心理歷程。」 二、數學解題之歷程 關於數學解題歷程的研究，一直以來有許多不同派別的數學學者抑或心 理學家，由自身研究之觀點發展出不同的理論。Polya 是最早提出數學解題 歷程模式的學者。他將解題歷程分為四個階段（蔡坤憲譯，2006）。 （一）了解問題。問題的文字敘述，必須是解題者所能理解的。解題者要能 指出問題中的已知、未知訊息，其間的關聯、條件等。 （二）擬定計畫。依據問題給定的資料，找出已知數與未知數之間的聯繫， 以擬定出解決問題的程序。 （三）執行計畫。解題者利用自身擁有的數學知識，逐步實行所擬定的解題 計畫。 （四）驗算與回顧。對執行計畫後所得到的解答，進行檢查和討論。回顧整 個解題過程，想想看是不是有不同的解題方法，以及解題的方法或結

果是否可以運用至其它的問題上。 Polya 希望教師進行解題教學時，能讓學生將一般性的數學問題變成其 思維習慣，最終成為一個獨立的解題者。然而此四個階段並非要解題者固定 地循序前進，而是啟發解題的方法，解題者是可以在此四階段中反覆來回的 （陳國雄，2006）。 另 一 位 學 者 Mason （ 1985 ） 則 認 為 數 學 的 教 學 應 著 重 數 學 性 思 考 （thinking mathematically）的培養。教師在教學的過程中，要能激發學習者 根據自己的經驗，主動且有意識的思考數學問題。學習者透過不斷的猜測、 質疑、挑戰、反省等行為，建構自己真正理解的數學知識。他同時認為數學 的 解 題 歷 程 主 要 有 兩 個 活 動 ， 即 ： 特 殊 化 （ specializing ） 和 一 般 化 （generalizing）。特殊化意指剛開始嘗試解題時，可從問題的特例著手，因 為特例通常較能啟發解題者運用和以往不同的解題方式，使問題能順利獲得 解決；而一般化則指解題成功後，能夠將此問題的類型擴充到適用一般情境。 在上述這兩個重要的解題活動中，Mason將解題分成三個階段（引自李 長柏，2002）。 （一）進入（entry）。在此階段中，解題者需要關注的焦點為「已知的訊息 為何？」「所要達成的目標是什麼？」「需要加入什麼訊息？」。 （二）攻擊（attack）。主要是在了解問題的情境後，提出解題的所有可能 臆測（conjecture），然後對所有可能的臆測，進行確認與驗證的工作。 （三）回顧（review）。這個階段主要是在驗證答案的正確性，針對解題過程 的關鍵點進行反思的工作，有利於將來能解決類似的問題。 Mayer（1992）根據其多年的研究，從認知心理學問題表徵及訊息處理 論的觀點，將解題歷程分為問題表徵（problem representation）與問題解決 （problem solution）兩個階段，而每個階段又包含兩項成分，如圖2-1-1所示。

（一）問題表徵階段 問題表徵階段包含問題轉譯（problem translation）與問題整合（problem integration）兩項成分。問題轉譯是指解題者能應用語言知識讀出並了解題 目中字詞的涵義；運用事實知識將題目陳述句轉化成個人可以理解的內在表 徵，以便了解題目中的已知條件和解題目標有何關聯，例如，正方形的四邊 等長、1公尺等於100公分等，皆屬事實知識，多與實際生活事實有關。問題 整合則是解題者根據文字敘述，以自身過往解決問題的經驗，來判斷這是屬 於何種類型的問題。此時須運用基模知識（schematic knowledge），統整問 題所給予的訊息，釐清題目中各條件間的關係，以辨認問題的類型，並決定 解題所需的資料。 （二）問題解決階段

問題解決階段包含解題計畫與監控（solution planning & monitoring）和 解題執行（solution execution）兩項成分。解題計畫及監控是指解題者需運 用策略知識，將問題的目標分成幾個次要的子目標，使用解題策略，逐步達 成解題的目標，並在此過程中監控自己，意識到自己在解題計畫裡的哪一個 步驟。解題執行則是解題者要能夠應用算術的法則，即所謂的程序性知識操 作數學規則，根據解題計畫以運算的程序求得解答。 解題歷程 問題表徵 問題解決 問題轉譯 問題整合 解題計畫與監控 解題執行 圖 2-1-1 Mayer 的解題歷程

Gagne, Yekovich和Yekovich (1993)認為一個問題解決的歷程在初始階 段，解題者會對該問題形成一個表徵，其表徵的組成可能包含在工作記憶中 活化的訊息，以及其它外在表徵。接著這些表徵會活化存在長期記憶中關於 文字問題的知識，例如辨識出該文字題的類型，並且從而形成可用於找出該 問題解決方法的線索。這個活化解決方法的歷程會被應用在當前的情境中。 最後人們還會對所使用的解決辦法是否成功做評估。 Marshall (1995)認為問題解決的歷程包括五個步驟： （一）情境描述(situation description)。將問題情境的基本架構作歸類、區別 出其特徵，以尋找合適的基模。

（二）現狀評估(status quo appraisal)。學生考慮自己已存在的知識結構及先 備知識。 （三）資源評估(source evaluation)。選擇適合的解決方法或理論架構。學生 是否經歷過類似問題，會影響到此評估過程所需要的時間。 （四）理論確認(theoretical verification)。精緻化(elaborate)所選擇的基模假 設，及確認(corroborate)其能符合該問題情境。 （五）實際檢核(practicality check)。實際執行策略，並檢核結果。 葉家綺（2005）根據各學者對解題歷程的看法，將解題的歷程分為五個 階段，分別為「理解題意」、「尋求模式」、「擬定解法」、「執行方法」 與「判斷」。 綜合以上文獻，研究者發現解題歷程有其共同特徵，包括了解題意和解 題目標、尋找解題的路徑、解題的執行等。回顧以往數學教材與數學成就測 驗的內容，常要求學生反覆練習運算程序，即 Mayer 所稱之解題執行，但對 於學生如何轉譯問題，如何有意義的表徵問題，以及如何擬定解題計畫卻缺

乏關注。因此，研究者參考 Mayer 所提出的解題歷程來設計數學問題，一方 面可以瞭解學童解題的歷程，一方面可以測出學童究竟在哪一個階段出現解 題困難，使研究結果更能代表學童解題的真實狀況。 三、影響學童在數學解題上成敗因素之探討 除了解題的心理歷程以外，解題成敗亦為教學現場十分受到關注的議 題。影響數學解題成敗的因素很多，研究者根據國內外的相關研究，歸納為 四個不同的向度：（一）數學解題本質的因素；（二）解題歷程的因素；（三） 問題本身的因素；（四）解題者個人特質的因素。 （一）數學解題本質的因素 Lester（1980）認為有以下四個解題本質相關的因素： （1）問題本身，即工作變項（task variables）。指問題的型態、內容、結構 等。問題（工作）本身的特性，顯然會影響成功解題及解題的行為。 若要致力於問題特性如何影響數學解題的研究路線，應以問題作為測 量解題者能力的工具，且瞭解及分析工作本身的特性如何影響解題結 束。而且還需在問題的語法、內容或結構上稍作更動，以產生問題難 度的改變，藉以引誘出各種不同的解題行為。 （2）個人的特徵，即個人變項（subject variables）。顯然不同學生解題時有 個別差異。因此，研究學生變項，大部份是以獨立變項來考慮。一般 而言，對學生變項的分類是以組織解題者的特性，作為解釋或預估他 們的解題表現。包括：認知型態、先前的數學背景、緊張或壓力下的 反應，以及場地獨立等。 （3）解題的行為，即過程變項（process variables）。此變項緊緊維繫著解 題者和問題性質這二個特徵，牽涉了與個人解題有關的因素，包括組

織與處理訊息的方法、用來計畫和執行的認知策略，以及用來評鑑的 方法等。 （4）環境特徵，即教學變項（instruction variables）。是問題與解題者外在 之解題環境特色（由於外在壓力，解題者會感覺到被強迫去獲得一個 迅速的解法）。而教學變項正是環境特徵裡最重要的變項。 （二）解題歷程的因素 Mayer（林清山譯，1996）針對解題過程進行分析，將解題時所需的 知識分為：（1）語言知識（Linguistic knowledge）。亦即學童能讀出題目中 字詞的能力，藉以了解題目的條件及解題目標。（2）語意知識（Semantic knowledge）。指的是與生活中之事實和概念有關的知識。（3）基模知識 （Schematic knowledge）。例如能將問題訊息整合成「有意義的」整體； 有關問題型態的分類知識；或以具體事物、圖畫、符號表徵問題的能力等 皆是。（4）策略性知識（Strategic knowledge）。能利用不同型態的有效知 識來計畫和監控問題解答的技巧及執行的程序。（5）程序性知識（Procedure knowledge）。指關於如何使用演算法知識逼近問題答案的途徑

（approach）。Mayer 認為，解題歷程如同電腦中 input 和 output 的模式， 當「問題」訊息進入個體的人腦時，首要步驟是「注意」和「選擇」，亦 即選擇重要訊息到人腦的記憶庫中，再從記憶庫中找尋訊息間的內在連結 或整合，然後藉基本知識、問題類型、捷思策略和有效算則進行解題。 在蔡承哲（1996）所做的解題歷程分析研究中亦發現，解題成敗的關 鍵包括：（1）是否能了解題意；（2）是否能使用正確的基模知識並整合問 題；（3）是否有豐富的策略知識並能適時使用之；（4）是否有正確的程序 性知識；（5）是否能注意到題目中所有條件；（6）是否能畫出正確圖形來 幫助分析解題計畫；（7）是否能恰當的補助線；（8）是否能回憶相關知識

和方法，且能對學過的方法加以活用；（9）是否能隨時監控解題過程有無 錯誤；（10）是否能對最後答案進行檢驗。 （三）問題本身的因素 蔡培村（1994）指出文字問題中三個客觀因素會影響解題：（1）複雜性： 若問題是單純變項間的關係，或單一的對應關係，會比較容易解出。（2）潛 隱性：問題較為具體，或條件較易掌握時，較易被解出。（3）熟悉程度：問 題較為個人所熟悉，或解題者過去有遇過類似的問題，較易解出題目。

Leblanc, Proudfit 和 Putt（1980）認為影響數學問題之難度的因素有九 項：（1）問題中所使用的字彙之難易性；（2）問題中句子的結構與長度；（3） 問題中數字的大小。（4）問題的表達方式；（5）問題中所含數學原理之難易 及運算法則之複雜與否；（6）解決問題所須使用步驟的多寡；（7）問題中已 知條件之多寡及複雜與否；（8）解決問題所須使用之策略的難易；（9）問題 之答案的多寡。

Barnett（1984）（引自 Hiebert & Carpenter, 1992）整理先前研究，發現 語法（syntax）是影響文字問題難度的一個重要向度。文字問題的語法向度 指的是問題中出現的文字與符號的安排，以及這些文字、符號間的關係，例 如句子的長度、問句的位置、句子和數據的排列順序等。Barnett 的研究並發 現語法的改變和解題者的工作記憶負荷量有關，例如句子愈長、文法結構愈 難，則工作記憶的負荷量也愈重，對解題者而言，問題的難度也愈高。 （四）解題者個人特質的因素 葉家綺（2005）綜合許多學者的研究後發現，影響解文字問題的個人因 素可大致區分為三個部分。首先是學習者的知識部分，可再分為有關數學方 面的先備知識、及語文理解能力。第二是學習者的信念部分，例如是否具有 不屈不撓的精神等。最後是後設能力部分，例如是否具有自我監控能力，及

檢核最後答案等。 關於學習者的知識部分，在 Cardelle-Elawar（1992）的研究中指出，要 提升數學低成就學生的數學解題能力，就必須先改善這些學生的語文能力， 使學生能了解問題；Marshall（1995）根據基模理論（schema theory）所做 的研究發現，許多成人及兒童都不喜歡文字（或故事性的）問題，是因為他 們（1）語文理解能力不足，因此無法辨識（recognize）及理解（understand） 題目中的情境（situation）和關係（relation）。（2）數學先備知識不足，以致 無法應用適當的操作或運算；另外 Lawrence 和 Ronald（2001）以縱貫性研 究的方式，控制年紀與性別的因素，發現兒童在幼稚園時期的閱讀能力（不 論是言辭技巧或視覺轉換技巧），能夠有效預測四年級數學成就的表現。 在學習者的信念與後設能力方面，Whimbey 和 Lockhead (1981)的研究 認為，好的問題解決者的一個很重要的特質是對精確性的重視。亦即他們會 一再地檢核自己對問題中的目標及關係是否已完全及正確的了解。有時他們 會一再地重複讀問題的敘述，直到確定已完全了解問題為止。而這種重讀與 檢核過程，會使他們激發更多相關的訊息、精煉對問題的表徵，因此不但能 正確的解決問題，對領域特定知識的增進與組織也有很大幫助；Hart（1993） 則以質性研究的方法，觀察 12 位（分為 3 組）學生合作解題的歷程，並歸 納出妨礙及增進解題表現的因素。四個妨礙解題表現的因素包括了：(1)缺乏 經驗架構（lack of an experiential framework）。(2)受到題目未要求的限制 （imposition of unrequired restrictions）。(3)缺乏對認知活動的監控或辨識 （lack of individual monitoring orregulation of cognitive activity）。(4)非生產性 的信念（unproductive beliefs）。學生有時會有一些錯誤的觀念，這些觀念會 間接地影響上述三個因素。例如學生認為題目中的每一個數字都必須被用 上。而在合作模式下，三個有益解題表現的因素是經驗收集（collective

experience）、小組監控（group monitoring）及社會規範（social norms）。 數學解題成敗之因素雖經研究者縱觀國內外相關研究歸納為解題本 質、解題歷程、問題本身及解題者本身等四大向度的因素。然而就個別的因 子來看，語文的知識、能力或閱讀理解能力，不管在任何向度都具有相當的 影響力。如 Cardelle-Elawar （1992）認為要提升數學低成就學生的數學解 題能力，就必須改善這些學生的語文能力，使學生能了解問題；葉家綺（2005） 認為，影響解文字問題的個人因素分為有關數學方面的先備知識及語文理解 能力；蔡承哲（1996）的研究中亦指出，是否能了解題意，是解題成敗的關 鍵。 因此研究者認為，數學問題解題之成敗雖有不同的因素影響，然而其中 閱讀理解能力是其中非常重要的因子，如果能從出題的粹煉及加強學童閱讀 理解能力，應能增加學童解題成功的機率。

第二節 數學文字題與閱讀理解

在數學學習領域的有關研究裡，數學文字題，又稱應用問題，為當代數 學教育探討的重要主題之ㄧ（Lewis, 1989）。從小學開始，文字題便普遍存 在於數學課程中，是以日常的生活事件為材料且用語文型態來描述數學問題 情境（Cummins, 1991），比一般的計算題涉及更複雜的認知歷程。其主要目 的是希望學生運用課堂上所學到的數學知識和應用能力，以解決在日常生活 中實際所遭遇到的問題。 然而在教學現場上，數學常成為「焦慮之源」, 是學生最感挫折與困難 的科目之一（石厚高，1997）。其中最棘手的，無非就是「文字題」的解題 工作了，也因此近二、三十年來，有關數學解題能力的研究發展特別受到重

視。提昇學童的數學解題能力也是被十分關注的議題之一。 如前節所述，要提昇學童的解題能力，便要知道解題成敗的因素後加以 修正和調整，而其中在文字題的部分，尤以加強學童閱讀理解能力為其首要 任務。近年來，也有許多報導大力提倡閱讀能力的培養以提昇數學能力（陳 雅玲，2004；林明志，2009），就是其中最重要的依據。 一、數學文字題 Polya（1962）從教學的層面將數學問題分為四種： （一）例行的問題。把正在學的運算規則，拿來作機械式的應用就能解決的 問題。 （二）有選擇的應用題。要應用以前學過的規則或步驟才能解決，但以前學 過的不只一種，所以解題者需要作一些判斷以選擇適用的規則或步 驟。 （三）選擇一種組合。要求解題者把二個以上的學過的規則或例子組合起來 才能解出來的題目。 （四）接近研究級的題目。這種題目要求解題者把二個以上的規則或例子作 有創意的組合才能解題，但此種組合會有許多分支，且要求相當高層 次的獨立思考，以及使用到擬真推理。 葉家綺（2005）指出，學校中的數學問題，一般可分為算術問題（arithmetic problem）與文字問題（word problem）。其中算術問題只需要熟練數學的基 本運算規則即可解題。然解答文字問題不僅要熟悉數學計算過程，亦要能閱 讀題目的語意部分，理解問題的要求及文字中所提供之條件，將自然語言 （ordinary or natural language）轉譯成算術語言（arithmetic language）之後， 才能依照數學的運算程序獲得答案（Mayer, 1992）。這種數學文字題在我國 的中小學裡，也稱為「應用問題」。

古明峰（1998）進一步指出，所謂文字題是結合數學知識與語文技巧的 問題，解題者必須先閱讀過題目，再結合數學概念，按照題意進行解題的運 算過程。Marshall認為文字題最大特色在於題目中不直接陳述需要用到哪一 種計算過程來解決問題，而是解題者必須能從自己的記憶中提取相關經驗， 對這個問題加以判斷後以產生了解（引自詹士宜，1992）。Cummins（1991） 認為文字題是將日常生活中所發生的事件，以語文型態所描述出的數學問題 情境，它比一般算術題涉及更複雜的認知歷程。Mayer（1987）認為文字題 是藉由文字來敘述的一種計算題型式，學生在解數學文字題時，不僅要熟悉 計算的過程，同時也要能閱讀問題的語意部分，並理解問題要問什麼及所提 供的條件，然後才能進行運算的工作。 數學問題有多種形式存在，其中文字題是以語文的敘述方式，要求解題 者結合數學概念進行運算解題的一種數學問題形式。因為文字問題的解決歷 程需要運用語文理解、數學概念、計算能力，是促進高層次思考的途徑。因 此，文字問題在數學課程中佔有重要的地位，亦即本研究所關注的焦點。研 究者認為所謂數學文字題，過去通稱為「應用問題」，是指以語文的方式來 描述問題情境的數學問題，提供學生一種運用計算能力於各個情境的機會。 本研究所稱之「數學文字題」，係指依據我國教育部於2003年公布之國民中 小學九年一貫數學學習領域課程綱要編製之審定本教科書中「整數四則兩步 驟混合計算」單元的文字題。 二、閱讀理解 閱讀是人類社會的一種重要活動（張必隱，1992），人類的知識與文化 可藉由文字的記載與閱讀而得以傳承。所謂閱讀，王淑嬌（2006）指出閱讀 可以說是閱讀者依據現有的知識，使用足夠可用的線索去讀懂文章，從本身 具有的概念來建構文章意義的過程，在閱讀的過程中，讀者建構出的意義未

必會與作者相同，而不同的讀者亦會對相同作品建構出不同的意義。換言 之，個人對閱讀的體會將有所不同，同樣一篇文章或一本書，在不同的讀者 手中， 就會有不同的詮釋與感受。 「閱讀理解」根據 Pearson 和 Johnson（1978）的定義，為讀者依其先前 知識解釋和建構他自己所閱讀的內容，是讀者和作者之間的對話。它可以泛 指閱讀時，讀者運用已具有的文字再認技巧，區辨印刷符號，繼而轉譯成有 意義的形式，即產生了理解。所以，理解是一種行為，也是一種能力。藍慧 君（1991）認為讀者在從事閱讀理解行為的歷程，亦即將其本身已知事物和 未知事物架起一座橋樑。理解的產生是歷經讀者以其具有的語言知識和經驗 為基礎，經由語言為工具，讀者進行思考，運用已有的概念對問題做一假設 性的預測，而後檢驗方獲得理解。閱讀理解過程中，讀者主動投入文章情境， 結合他們具有的知識基模、本身的概念結構，以貫通文章內容並獲得理解。 陳明彥（2002）指出，若從行為主義的觀點，閱讀理解能力是一組技能的總 和；但若從認知心理學的觀點而言，閱讀理解則是一種彈性運用策略的歷 程。再者，心理語言學與認知心理學的觀點亦認為閱讀理解是由閱讀材料與 讀者間的交互作用而產生，較為重視認知的歷程與結果。陳世杰（2005）則 指出閱讀理解是閱讀者依其先備知識和基模，透過策略知識及後設認知知識 進行文字解碼、字義理解及文意推論理解，以預測、驗證、推論和建構文章 之意義，並監控自己對文章內容理解之歷程。閱讀理解的內容包含字義理 解、推論理解、評鑑理解與批評理解。並強調閱讀理解是建立已知到未知間 的橋樑，亦是高度主動的歷程。本研究綜合各研究之觀點，將「閱讀理解能 力」定義為係指個體能從文章中獲得訊息，並結合許多個別的要素成為一新 的整體，它是個人利用既有的知識與作者所提供的訊息產生互動，以便建構 意義之歷程的能力。

深入探討有別於「閱讀理解能力」的思惟，數學閱讀理解似乎更需要某 些數學閱讀的特殊技能。Wakefield（2000）即指出數學是一種語言，因其具 有以下之特性。（1）以語言或書寫的符號等形式進行概念（ideas）或圖像 （images）表徵的溝通；（2）具有固定的符號和規則；（3）以線性（linear） 或序性（serial）方式表達；（4）練習能增進理解；（5）學習成功需熟記符號 與規則。（6）生手（novice learners）需要轉譯（translation）與解釋；（7） 符號的次序會影響意義；（8）溝通需具備編碼（encoding）與譯碼（decoding）； （9）流暢的閱讀須具備直觀（intuition）、洞察力（insightfulness）與自動化 技能（speaking withoutthinking）；（10）兒童時期習得的經驗提供將來發展之 基礎；（11）算式（expressions）具有無限可能性。 秦麗花、邱上真（2004）指出數學閱讀理解的技能包括數學該單元的先 備知識、數學圖示閱讀理解、數學詞彙與符號閱讀理解、和數學程序知識的 閱讀理解。而基本的語文理解與數學閱讀特殊技能是影響學生數學閱讀理解 的兩大關鍵性因素，但數學教材或題目設計不良也會影響學生的閱讀理解。 陳世杰（2005）指出數學閱讀是一個完整的心理活動過程，其內容包括語言 符號（文字、數學符號、術語、公式、圖表等）的感知和認讀、新概念的同 化和調適、閱讀材料的理解和記憶等各種心理活動因素，也是一個不斷假 設、證明、想像、推理的積極活動的認知過程。林麗華（2006）亦從多位學 者歸納出先備知識、數學詞彙符號理解、數學語言、操作經驗、語文能力等 皆會影響數學閱讀理解的能力。 Mayer（1992）提出數學問題在表徵階段（亦即數學閱讀理解階段）， 包含問題轉譯（problem translation）與問題整合（problem integration）兩項 成分。問題轉譯是指解題者能應用語言知識讀出並了解題目中字詞的涵義； 運用事實知識將題目陳述句轉化成個人可以理解的內在表徵，以便了解題目

中的已知條件和解題目標有何關聯，問題整合則是解題者根據文字敘述，以 自身過往解決問題的經驗，來判斷這是屬於何種類型的問題。此時須運用基 模知識（schematic knowledge），統整問題所給予的訊息，釐清題目中各條 件間的關係，以辨認問題的類型，並決定解題所需的資料。 本研究關注閱讀理解能力與數學文字題解題表現間之關係，定義數學文 字題閱讀理解是指學生在接觸數學文字題時，能應用其先備知識和早期閱讀 指導中所發展的技能與策略，協助其閱讀前做預測，在閱讀中和閱讀後建構 數學文字題的意義，而達成數學文字題的理解。

第三節 數學文字題閱讀理解與解題表現之相關研究

數學文字題比一般演算涉及更複雜的認知歷程，學生在解文字題時首先 需整理題意，把「語言理解」轉換成「形式數學」，符號化以後再進行演算。 在轉換過程中解題者本身的一般知識和相對應的數學概念，均扮演著重要的 角色。而這種「從文字題中探索」的能力，能夠對文字脈絡作解碼、觸發、 並理解題意，形成問題模式或情境模式（problem model or situational model） 的問題脈絡。然後再將這些脈絡經由自然語言轉譯到數學語言，並執行運 算，才能正確解題（Mayer, 1992）。換言之，數學文字題正確解題的關鍵在 於對數學文字題閱讀理解的能力，包括如何把自然語言理解轉譯為形式數學 語言，進一步整合理解題意並達成執行運算的目的。 本研究探討數學文字題之閱讀理解，涵蓋Mayer（1987）所提解題歷程 理論中之問題轉譯和問題整合層面。關於學童在數學文字題表徵階段的閱讀 理解能力為何，以及如何影響其解題表現，將於本節進行探究。 一、數學文字題之閱讀理解 本研究在第一節已針對影響數學解題的成敗因素做過分析，並推論認為

閱讀理解能力為是否能成功解題因素之一。現針對數學文字題之閱讀理解進 行討論，以探究閱讀理解能力在文字題解題上之重要性為何。 有一些可觀的實證（Chase , 1960；Linville, 1970）認為閱讀能力直接與 解文字題的表現有關。其中 Muth（1991）的研究指出，學生對於數學文字 題的解題能力會因文字題中無關訊息的干擾而無法解決問題。學生們的觀念 中都認為文字題中的所有訊息都應被使用，因而造成學生問題整合上的困 難。亦有學者（Davis- Dorsey, Ross, & Morrison, 1991）指出學生在解數學文 字題時，應將問題的字句重述，以形成自己生活經驗中的事情。對於同類型 的題目，還可加上一些關鍵字，將問題轉變成為自己所熟悉的程序來解題。 這種程序可能會與原先的文字題上的順序不同，但卻有助於個人的解題策 略。因此，問題個人化的方式較能引起學生的學習動機，持續注意力於問題 情境中，問題個人化就是將文字題中的關鍵處與個人生活中熟悉的編碼相 連，以喚起舊有的基模知識來產生策略並解決問題。 例如 Greeno（1987）在針對小學算術文字題的教學研究時發現，要理 解學童如何學習某一數學題材，就要察看學童如何將其中的語意知識建構為 語意網路。研究中發現，有些學童在建構語意網路時發生困難，是因欠缺數 學內容之外的知識，而非與數學知識相關的概念。例如題材中含有大量的影 像知識與情節知識，這種隱藏性知識常被數學教師忽略，而使得教師有『會 的人不教即會，不會的人教也教不會』的迷思，也是學生學習的障礙所在。 研究者分析上述的研究結果後認為，「閱讀理解」的概念對數學文字題 有幾個重要的意義： （一）閱讀理解是數學文字題解題行為上非常重要的階段，了解題意才有可 能成功解題。 （二）閱讀理解的能力很可能是學童在解決文字題上的障礙。

（三）經由閱讀理解能力的加強，透過語言活動，有助於問題的解決。 （四）閱讀能力和語意網絡與文字題的表現有關。 由以上的歸納，研究者認為閱讀理解能力是數學文字題解題非常重要的 一環，值得教學現場的教師重視。張景媛（1994）建議數學研究者要特別注 意以下問題。（1）學生在讀寫數學時，會遭遇到一些由數學語言的特質所產 生的問題，特別是從第一種形式的語言轉換到另一種形式時；（2）語言理解 在問題解決時扮演何種角色；（3）問題的陳述如何影響學生的解題；（4）語 言溝通在數學學習上扮演的角色；（5）如何教才能引導學生發展數學閱讀能 力或理解能力。 二、數學閱讀理解的困難原因 學童對於文字題的閱讀理解能力為何，可從學童經常答錯的態樣進行分 析。Yancy（1981，引自古明峰，1998）分析學生對解決文字題感到困難之 原因，主要是由於文字題包含十項特徵所造成的。 （一）題目中並未將需要計算的資料依次列出。 （二）有許多無關資料夾雜在題目中。 （三）題目呈現時，並未伴隨輔助圖表出現。 （四）必要的資料，需從題目中推論出來。 （五）需藉由許多計算步驟，才能得到答案。 （六）有許多線索字，需要特別注意。 （七）使用的字彙通常不適合於或高於學生的閱讀理解程度。 （八）問題情境通常不為學生所熟悉。 （九）計算過程較複雜與沉悶。 （十）題目中，通常不用「數字」表示觀念。例如，用「一半」或「兩倍」 等字眼，而不用「1/2」或「2 倍」。

此外，尚有 Christen 和 Murphy（1991）及 Baker（1995）研究數學閱讀 理解失敗的原因（引自 Fuentes，1998）。 （一）讀者已具有相當的先備知識，但是缺少部分與主題相關的訊息，以致 無法和文字題的線索做連結。 （二）讀者本身解釋的訊息與作者所欲傳達的不同。數學文字題與一般閱讀 比較，不僅要了解文句字面上的意思，還要更深一層了解作者的意涵。 陳世杰（2005）綜合各項研究後發現，學生對數學文字題閱讀的困難主 要在於： （一）數學詞彙理解困難影響閱讀理解。 （二）先備知識不足，影響理解與類推。 （三）程序性知識的理解影響實作表現。 （四）數學圖示理解困難影響閱讀。 （五）數學文字題題意的難度影響閱讀理解。 （六）一般語文能力影響數學閱讀理解。 由此可見，影響學童閱讀理解的能力的原因有兩大方面，一為包含了文 字題的表達方式，諸如詞彙、圖示、難度及情境表達等；二則為學童本身的 原因，像先備知識、程序性知識、題目轉譯及整合的能力等。 三、數學閱讀理解與解題表現的相關研究 許多研究顯示，數學閱讀理解能力與解題表現是有相關的。例如 Jordan 和 Montani（1997）曾探討兩類型數學學習困難學生，在問題解決與算術技 巧方面的表現差異。研究結果顯示，閱讀理解能力是數學學習的基礎，透過 閱讀理解的方式，數學學習的困難只需花時間去消弭。 曹宗萍（1988）以國小六年級學童為對象進行四則問題的解題表現與相

關因素之研究，發現語文能力與閱讀理解能力越強的兒童，在文字題解題表 現上越好；唐淑華（1989）以74名國一學生，探討數學理解能力與解答應用 問題能力間之關係，發現學生數學理解能力與文字題解題各項能力達顯著相 關；黃俊仁（2003）以267名國小五年級學生為對象，探討數學文字題解題表 現的相關因素，發現學生的閱讀理解能力愈好，對解有情境的數學文字題表 現愈佳；李俊彥（2004）研究93名國三學生，探討不同題目表徵型式（圖示 題、文字題、情境題）的面積問題及相關因素（國語文能力、數學能力、學 生性別）對解題表現的影響，發現不同國語文能力的學生在數學文字題解題 表現上有顯著差異；秦麗花（2004）以國小三、四、五年級各兩位不同程度、 不同性別的兒童為對象，進行角度單元臨床晤談（clinical interview），其前 導研究中發現，語文能力會影響數學閱讀理解；陳世杰（2005）以660名學童 為對象進行研究，發現國小四年級學生「問題整合」能力與「問題轉譯」能 力，共可解釋「數學文字題解題表現」41%的變異量，故數學文字題閱讀理 解對其數學文字題解題表現有顯著的預測力；林麗華（2006）以84位不同數 學成就國小三年級學生為對象，進行數學文字題中閱讀理解表現情形之研 究，發現「中文閱讀理解測驗」與「數學文字題閱讀理解測驗」達顯著相關。 王淑嬌（2006）研究394位國小四年級學生，發現閱讀理解能力與文字題解題 表現有顯著正相關，同時閱讀理解能力對數學解題表現有顯著的預測力。 綜合前人諸多研究顯示，學童的閱讀理解能力與其數學解題表現有十分 密切的關係。本研究根據此一結果，進一步將數學理解能力以Mayer的解題歷 程理論分為問題轉譯與問題整合構面，進行分析探討，以期更進一步了解學 童解題表現與數學閱讀理解上的關聯。

第三章 研究設計與實施方法

本研究主要目的在了解中文閱讀理解能力與數學文字題閱讀理解、解題 表現的相關性及差異情形。本章共計六節：第一節為研究架構；第二節為研 究程序；第三節為研究問題；第四節為研究樣本；第五節為研究工具；第六 節為資料處理與分析方法。

第一節 研究架構

根據第二章理論及相關文獻之探討，以及第一章所述本研究之目的，擬 定本研究有關各變項間之關係，進而建構本研究基本架構，如圖3-1-1所示： 圖3-1-1 研究架構 中文閱讀理解能力 1.高分組 2.中分組 3.低分組 數學文字題 閱讀理解 1.問題轉譯 2.問題整合 數學文字題解題表現 1.解題計畫及監控 2.解題執行

本研究目的在於了解學童的中文閱讀理解能力與數學文字題的閱讀理 解是否有顯著相關；以及閱讀理解能力不同學生，在數學解題表現上的差異 性。

第二節 研究程序

本節主要說明本研究的程序及時間分配之詳細情形。研究流程如圖 3-2-1 所示： 圖 3-2-1 研究流程 數學解題歷程、數學閱讀理解模式、閱讀理解能力等相關文獻探討 編製「數學文字題閱讀理解與解題 表現測驗」為研究工具 選取「閱讀理解困難篩選測驗」為 研究工具 進行第一次預試與建立評分標準 第一次預試結果分析與選題 進行第二次預試，並完成試題信度與效度分析 選取受試樣本與正式施測 進行資料分析 形成結論與提出建議

自 2008 年 2 月起，即進行蒐集有關數學文字題閱讀理解與數學文字題 解題表現等相關文獻之工作，經由國家圖書館、國立教育資料館、各大學圖 書館、全國博碩士論文資訊網、臺灣期刊文獻資訊網等，尋找相關書籍、報 導、文獻期刊，並利用 CONCERT 和 PQDT 來檢索國外相關文獻。 本研究進行之初，先彙集國內外關於數學解題歷程、數學閱讀理解模 式、閱讀理解能力等相關文獻後，隨即選取柯華葳（1999）所編製之「閱讀 理解困難篩選測驗」為研究工具之一，並選定四年級數學領域「整數四則兩 步驟混合運算」單元，自編試題做為研究工具之二。 研究工具選編完成後，為了解其可行性，乃進行預試。施測對象為台中 縣市各1所學校，共抽取3班四年級學生計91名。第一次預試在2009年四月下 旬實施，先建立初步的評量標準及評量方式。再根據試題難易度、鑑別度的 分析結果來篩選題目，在兩週後亦即五月中旬進行第二次預試。預試工作完 成後，隨即回收問卷進行信度分析與效度分析，經修訂後成為正式問卷。 正式問卷完成後，於2009年6月上旬正式施測，委由抽測班級導師利用 時間進行施測，作答時間為兩節課。整個正式施測活動於2009年6月中旬結 束。 正式問卷回收後，剔除作答不完整者，計得有效問卷402份。隨即將問 卷資料輸入電腦，所有的資料於2009年7月下旬輸入完畢，隨即使用統計套 裝軟體體SPSS 12.0 for Windows 分析所得資料。所有資料在2009年8月下旬 分析完成後，隨即進行研究論文的撰寫。

第三節 研究問題

依據第一章所述之研究目的，以及第二章的理論與文獻探討，訂定本研

究所探討之問題，如下所述。 一、探討國小四年級學生在「閱讀理解困難篩選測驗」和自編「數學文字題 閱讀理解測驗」（含「問題轉譯」、「問題整合」兩層面）得分之相關性。 二、探討不同中文閱讀理解能力（「閱讀理解困難篩選測驗」高分組、中分 組、低分組）學生在自編「數學文字題閱讀理解測驗」（含「問題轉譯」、 「問題整合」兩層面）答題表現之差異情形。 三、探討國小四年級學生在「閱讀理解困難篩選測驗」和自編「數學文字題 解題表現測驗」（含「解題計畫與監控」、「解題執行」兩層面）得分之 相關性。 四、探討不同中文閱讀理解能力（「閱讀理解困難篩選測驗」高分組、中分 組、低分組）學生在自編「數學文字題解題表現測驗」（含「解題計畫 與監控」、「解題執行」兩層面）答題表現之差異情形。 五、探討「數學文字題閱讀理解測驗」和「數學文字題解題表現測驗」（含 「問題轉譯」、「問題整合」、「解題計畫與監控」、「解題執行」四層面） 得分之相關性。

第四節 研究樣本

正式施測時，研究者選取中部五縣市的國小四年級學生為母群體，以分 層隨機抽樣方式，先分別從苗栗縣、台中縣、台中市、彰化縣、南投縣等五 縣市中各抽取三個不同鄉鎮市區，再從每個鄉鎮市區中隨機抽取一所學校為 樣本，同時於抽樣學校的四年級班級中，隨機抽取一班學生，做為本研究施 測的對象。 本研究計抽取十五所國小，合計十五個班級，共412名學生。正式問卷

412份，實際回收412份，回收率為100％。問卷經回收後，剔除作答不完整 者（作答題數未超過二分之一），共得有效樣本402人，問卷可用率為97.57 ％。茲將有效樣本人數的分布情形列表如3-4-1。 表3-4-1 本研究有效樣本人數分布 縣市別 鄉鎮市區別 男生人數 女生人數 合計 三義鄉 14 9 23 苗栗市 19 10 29 苗栗縣 卓蘭鎮 9 7 16 太平市 16 14 30 豐原市 12 13 25 台中縣 龍井鄉 15 13 28 西區 14 15 29 北區 13 15 28 台中市 北屯區 15 14 29 彰化市 13 15 28 溪湖鎮 17 16 33 彰化縣 福興鄉 15 15 30 草屯鎮 12 15 27 水里鄉 10 18 28 南投縣 名間鄉 10 9 19 總 計 204 198 402

第五節 研究工具

一、閱讀理解困難篩選測驗

本研究採用柯華葳（1999）所編製之「閱讀理解困難篩選測驗」做為評 量學童中文閱讀理解能力的工具，適用於國小四至六年級學童。內容包括四 種類型的理解題目：字義理解、句義理解、命題組合（以指示代名詞出題） 及短文理解。 二、「整數四則兩步驟運算文字題」解題歷程測驗 （一）測驗的編製 研究者根據九十二年國民中小學九年一貫數學學習領域課程綱要，參考 現行教科書版本（南一書局，2008；康軒文教事業，2008；翰林出版，2008）， 選取四年級數學領域「整數四則兩步驟混合運算」的教材內容，並以 Mayer （1992）的問題表徵及解題歷程模式為架構，把每組題目的解題成分細分為 「問題轉譯」、「問題整合」、「解題計畫及監控」、「解題執行」四個層 面（見圖 3-5-1 及附錄一）。其中，「問題轉譯」包含「辨認問題的已知條 件」與「辨認問題的解題目標」兩項。「問題整合」包含「辨認與解題有關 及無關條件」和「辨認問題的類型」兩項（詳見表 3-5-1）。 數學文字題 解題歷程測驗 閱讀理解測驗 解題表現測驗 問題轉譯分層面 問題整合分層面 解題計畫及監控分層面 解題執行分層面 圖 3-5-1 數學文字題解題歷程測驗成分

例題：小玲生日要在家裡舉辦慶祝會，媽媽用彩帶佈置客廳。其中紅色 彩帶用掉 3158 公分，綠色彩帶用掉 2694 公分，黃色彩帶用掉 1976 公分， 剩下 2507 公分的藍色彩帶沒用到。請問媽媽共用去多少公分的彩帶？ 表 3-5-1 解題成份說明 解題 成份 測驗目的 問題內容 辨認問題的已知 條件 1.（ 4 ）下面哪一項是題目所給的資料？ 藍色彩帶用掉 2507 公分。 紅色彩帶用掉 2694 公分。 綠色彩帶用掉 3158 公分。 黃色彩帶用掉 1976 公分。 問 題 轉 譯 辨認問題的解題 目標 2.（ 2 ）這個問題要你算出什麼？ 媽媽共準備了幾公分的彩帶？ 媽媽佈置客廳，共用了幾公分的彩帶？ 媽媽佈置完客廳後，還剩下幾公分的彩帶？ 用掉的彩帶比剩下的彩帶多幾公分？ 辨認與解題有關 及無關條件 3.（ 4 ）在計算的過程中，下列哪一項條件是用不到的？ 紅色彩帶用掉 3158 公分。 綠色彩帶用掉 2694 公分。 黃色彩帶用掉 1976 公分。 剩下 2507 公分的藍色彩帶沒用到。 問 題 整 合 辨認問題的類型 4.（ 1 ）要解答這個題目需用到的方法中，下列哪一個選 項是正確的？ 連加法。 連減法。 連乘法。 連除法。 解題 計畫 與監 控 決定解題的步驟 與策略 解題 執行 評量計算的能力 5.請把你的做法和計算過程寫下來： 答：（ ）

測驗的題型則依據 Nesher、Hershkovitz（1994）「部份－整體/結合類」 以及 Marshall、Pribe 和 Smith（1987）提出以運算步驟區分，將試題分為四 個類型（詳見表 3-5-2）： 表 3-5-2 整數四則兩步驟混合運算測驗題目類型 題目類型 編製試題所 選取之運算型式 例 題 加、減兩步 驟問題 A-B-C A-B+C A+B+C 小英每個月有零用錢 200 元。有一天，她 和媽媽一起逛百貨公司。媽媽買了一套衣 服 1980 元和一雙鞋子 890 元。媽媽付了 3000 元，應找回多少元？ 加（減）、乘 兩步驟問題 (A+B)×C (A-B)×C A+(B×C) A-(B×C) (A×B)-C (A×B)+C 四年甲班的班費在用去 3785 元後，還剩 下 1966 元。後來全班 29 位同學每人再交 40 元的班費，請問現在班費共有多少元？ 加（減）、除 兩步驟問題 (A+B)÷C (A-B)÷C A+(B÷C) A-(B÷C) (A÷B)-C (A÷B)+C 小東有一條 236 公分的繩子，他剪掉 68 公分後，把剩下的繩子圍成一個正方形， 請問這個正方形的邊長是多少公分？ 乘、除兩步 驟問題 A×B×C A×B÷C A÷B÷C 王伯伯到果園採收橘子，一連工作 14 天，每天工作 6 小時，總共採收了 2016 個橘子，每個橘子預計可賣 8 元。請問王 伯伯平均 1 小時可採收多少個橘子？ 「加、減兩步驟問題」和「乘、除兩步驟問題」依其運算形式，各編製 2 題。「加（減）、乘兩步驟問題」及「加（減）、除兩步驟問題」依其運算形 式，各編製 1 題。每類型編製 6 題，完成後共計 24 組題。 測驗初稿擬定後，研究者請 3 位不同程度之國小四年級學童接受施測， 將語意不清及過於艱澀的題目修正後，請指導教授檢核，最後再請 5 位專家 （1 位大學教授、2 位台中教育大學數學教學碩士班畢業的國小教師、2 位教 學年資 20 年以上的資深國小教師）就測驗目的來審核試題的內容是否合宜。

（二）預試的實施 預試實施時，為了避免答題時間過長，影響測驗結果的效度，故將 24 組數學文字題閱讀理解與解題表現測驗題目分為兩份，各包含 12 組題，請 老師在一週內將兩份問卷施測完畢。施測對象為台中縣市各 1 所學校，共抽 取 3 班四年級學生，計得有效問卷 91 份。 （三）填答與計分方式 本「數學文字題閱讀理解與解題表現測驗」共有 24 組題目，每組題目 皆包含「問題轉譯」、「問題整合」、「解題計畫與監控」和「解題執行」 四個層面，目的在了解四年級學生「整數四則兩步驟混合運算」文字題之閱 讀理解與解題表現的能力。其中，「問題轉譯」、「問題整合」主要在測驗 學生對數學文字題的閱讀理解能力，每組題目皆有 4 題選擇題（問題轉譯 2 題、問題整合 2 題），答對 1 題得 1 分。受試者得分越高，表示其理解情形 越佳；反之，得分越低則表示理解情形越差；「解題計畫與監控」和「解題 執行」則是要測驗出學生對於文字題的解題能力，請學生將算式列出（不一 定要併式），並寫出計算過程據以評分。「解題計畫與監控」和「解題執行」 每一題滿分為 2 分，部份答對給 1 分，全部答錯或空白則給零分。評分標準 如表 3-5-3，作答時間以兩節課為限。

表 3-5-3 「解題計畫與監控」和「解題執行」測驗評分標準 兩步驟算式列式均不正確（運算符號選擇 錯誤或數據不正確） 0 分 兩步驟算式列式時，有其中一個步驟錯誤 （運算符號選擇錯誤或數據不正確） 1 分 解題計畫與監控 兩步驟算式列式均正確 2 分 兩步驟算式的答案均不正確 0 分 第一步驟算式的答案正確，但第二步驟算 式的答案不正確 1 分 解題執行 兩步驟算式的答案均正確 2 分 （四）試題分析 因本測驗中有部份給分之計分方式，因此試題難度與鑑別度的分析採用 陳英豪與吳裕益（1990）所提出之論文題難度與鑑別度計算公式。分析前先 將所有受試者分數輸入電腦後，選取最高分與最低分各 27％為高、低分組。 本測驗試題難度之分析採用陳英豪與吳裕益（1990）所提出之論文題難 度計算公式： P = 上式中的 RH是高分組學生在該題的總得分，RL是低分組學生在該題的 總得分，XMAX 是學生在該題所可能獲得之最高分，NH是高分組人數，NL是 低分組人數。難度指數可以知道這份試卷是否適合四年級的學童，過於簡單 （P >.8）或過於艱澀（P <.3） 的題目應加以修正或刪除。 XMAX ‧( NH＋NL) RH ＋ RL

本測驗試題鑑別度的分析採用陳英豪與吳裕益（1990）所提出之論文題 鑑別度公式： D = － 由於 NH＝NL，故原式亦可寫為： D = 本研究採用 Ebel(1972)提出的鑑別力標準來做為選取試題的依據。當鑑 別指數大於.4，表示試題非常優良；若鑑別指數介於.30 至.39 間，表示試題 優良，但可能需修改；若鑑別指數介於.20 至.29 間，表示試題尚可，但通常 需修改；若鑑別指數低於.19，表示試題需淘汰或修改。 選題的標準為：難度介於.3 至.8 之間，同時鑑別度需大於.3。然而第一 份試卷 1 至 12 題與第二份試卷 1 至 12 題的題型是相同的，因此選題時將選 取難度與鑑別度較優的試題。其中，第一份試卷第 7 題與第二份試卷第 7 題 皆因未通過難度與鑑別度的標準，故將該題型予以刪除。各試題的難度與鑑 別度如表 3-5-4 所列。 XMAX ‧NH RH－ RL XMAX‧NL RL XMAX‧NH RH

表 3-5-4 數學試題難度及鑑別度分析 試卷別 題號 難度 鑑別度 1 .83 .30 2 .78 .42 3 .76 .43 4 .81 .31 5 .79 .32 6 .75 .47 7 .87 .19 8 .83 .24 9 .77 .41 10 .68 .61 11 .75 .33 第 一 份 試 卷 12 .68 .61 1 .78 .42 2 .60 .61 3 .83 .28 4 .58 .62 5 .89 .19 6 .67 .53 7 .87 .19 8 .77 .44 9 .66 .53 10 .76 .46 11 .63 .31 第 二 份 試 卷 12 .71 .56 依前頁選題標準所選取出的題目如表 3-5-5 所列。

表 3-5-5 選取出的數學試題別 試卷別 題號 難度 鑑別度 第二份 1 .78 .42 第二份 2 .60 .61 第一份 3 .76 .43 第二份 4 .58 .62 第一份 5 .79 .32 第二份 6 .67 .53 第二份 8 .77 .44 第二份 9 .66 .53 第一份 10 .68 .61 第一份 11 .75 .33 第一份 12 .68 .61 本測驗採用重測法來做信度分析。第一次預試（有兩份問卷，在一週內 施測完畢，共計 24 個文字題題組）結束後相隔兩週，以選取出的題目進行 第二次預試（有 11 個文字題題組）。將兩次測驗取其相同的題目計算總分 後進行分析，相關係數為.89，顯示本試題有良好的重測信度。 本測驗的效度分析，以效標關聯效度之同時效度為主，並以受試學生九 十七學年度四年級下學期國語和數學期中評量成績為效標，經轉換為Z分數 後加以比較。 表 3-5-6 本測驗與期中國語、數學評量成績之相關係數 國語期中評量成績 數學期中評量成績 （n=91） 相關 係數 顯著性 相關 係數 顯著性 第一次預試數學文字題閱讀理解測驗 .68 p<.001 - - 第二次預試數學文字題閱讀理解測驗 .63 p<.001 - - 第一次預試數學文字題解題表現測驗 - - .72 p<.001 第二次預試數學文字題解題表現測驗 - - .70 p<.001