在民國九十二年的數學課程改革中，數學內容包含了「數與量」、「代數」、「統 計與機率」、「幾何」、「連結」，其中幾何課程在課程與教材中佔很大的比例，對 學童的生活應用也相當重要，由此可見其課程重要性。在圖形與空間的教材中，
學童在面積方面的學習常發生困難，在我們日常生活中常會接觸到「面積」的概 念，例如「桌子的大小」、「籃球場有多大」…等等，但再許多學童腦子裡的面積 不過是一連串的公式，其分別只代表兩個數量相乘的結果，即以為了解面積的基 本概念，其實卻不瞭解公式的意義，對面積的測量也有迷思（譚寧君，1995 a），
故本節針對面積概念、面積迷思概念進行探討，分述如下：
一、國小面積概念
「面積」指的是對某一特定區域的覆蓋程度，亦即被覆蓋面的大小（譚寧君，
1995a）。本研究中相關面積概念包括有面積保留概念、面積測量概念、面積估 測。譚寧君（1998b）指出面積概念之發展是由面積保留概念到面積測量概念，
而面積估測概念在面積教學中更是佔有一席之地，分別敘述如下：
（一）面積保留概念
保留概念指的是兒童面對物體時，對物體的轉換（例如：移動位置、改 變形狀、方向的轉動、切割活動等）了解其原有的特質（例如：量、數、長 度、大小）仍然保留不變的認知能力，如面積的大小不因切割後而有所改變
（譚寧君，民1995b）。
但是許多國內研究卻發現許多學生在面積保留概念卻存有迷思（Hutton, 1978；Hart, 1984；高敬文，1988；周武男，1988；譚寧君，1998a）。若不 具面積保留性概念，即使指導面積的求法，那是沒有意義的。 譚寧君（1995b）
指出面積保留概念包含了兩個層次，一是基本面積保留，一是互補面積保 留。基本的面積保留代表任何封閉的圖形內面的大小，不因位置的改變而有 所不同，如 與 雖然放置的方向不同，但面積不會改變的事實。又 如有些圖形會因為視覺的錯覺而產生錯誤，但亦可透過疊合活動的經驗，而 建立了面積的保留概念。互補面積保留是一種逆向的邏輯思考，表示在相同 的兩個面上，減去形狀不同但面積相同的二塊小平面，其所剩下的面積仍然 不變。
從上述的文獻中知道，面積保留概念對面積的教學具有舉足輕重的地位，假 若學生不具有保留概念，就指導面積的求法，則學生學到的只是公式的背誦與記 憶而已，以及機械式的反應練習，而無法真正的了解到面積的概念。
（二）面積測量概念
提到面積的測量，多數學生想到的是不同形狀的面積公式。其實，面積 公式的導出是經過一連串的操作、比較的過程，此時的面積公式才有意義。
如被問及黑板的面積有多大時，只會用直尺量出黑板的長與寬後再相乘，未 必是真正的了解面積概念，因為可能只是背公式而已，學生必須瞭解到，長 寬相乘是經過單位面積覆蓋所得的結果，如此才真正算是瞭解面積的概念。
測量面積的大小可透過不同的方法測量而得，但若未經過覆蓋、拼湊、添補、
複製與比較等活動，是無法真正了解到面積概念的（國立編譯館，1999）。
面積測量是從個別物件如課本描述桌子大小，到個別單位如用十張報紙 描述黑板大小，進而至普遍單位的使用如用平方公分板來記數，最後才察覺 面積公式的由來。譚寧君（1998b）曾對高年級面積教材進行分析提出面積測 量概念可包含三種：1.在給定的平方單位格內點數單位面積的個數；2.透過各 種不同單位量的覆蓋或拼湊來測量面積；3.抽象的推理層次，亦即面積公式 的由來。而Baturo和Nason(1996)的研究發現學生在比較面積大小時所採取的 方法有剪貼法、疊置法、覆蓋法、直線法四種。但是卻有許多研究（Kenney &
Kouby, 1997；Lindquist & Kouby, 1989；Simon & Blume, 1994）發現許多低 年級和中年級學生對於周長和面積概念的理解是很困難的，例如學生常會將 面積和長度概念相混淆、面積單位卻以周長單位呈現等（譚寧君，1998a；戴 政吉，2001）。
譚寧君（1995b，1998b）指出面積的測量可分成三個不同的層次：面積 的基本概念、單位面積概念、直線測量面積概念。茲分述如下：
1.面積測量的基本概念：
測量概念的形成是測量教材的重心，利用單位量的覆蓋與點數來了 解面積，從個別物件（如：用八本課本和四張圖畫紙可以蓋滿整個桌子，
來描述桌子的大小）到個別單位（如：用十個塌塌米大來描述房間的大 小），進而用普遍單位來表示大小，如在給定的平方單位內點數單位面 積的個數，以察覺面積公式的由來（如下圖2）。A表示斜線面積佔了2 個平方單位，b佔了5個平方單位，a與b可透過視覺直接點數，故較容易。
但當斜線部分非整數格時，即形成面積的補償作用。如圖c中，合起來是 2平方單位，此補償作用的關係是建立在面積保留概念上的。此時1格代 表一平方公分，透過平方公分板的覆蓋與點數活動，說出X格即表示X平 方公分。
圖2 點數單位面積圖 2.單位面積概念
此時面積的測量是透過各個不同單位量的覆蓋或拼湊而成（譚寧 君，1995b、1998b），例如一個正方形可用四個小正方形□蓋滿，即表 示這個正方形是4個平方單位，但假若改成[覆蓋，則需要8個單位。此 時雖為同一個正方形，但由於單位量的不同（一個為□，一個為[）所 以單位數也會不同（一個為4個，一個為8個）。皮亞傑曾設計一個實驗 用來測驗學童了解單位面積概念的形成與比較二個面積的大小（如圖 3），給學童一些較小的測量紙卡，包括正方形、直角三角形和長方形，
且這些圖卡的數量正好可以覆蓋於圖形上，二個正方形圖卡相當於一個 長方形圖卡的大小，二個直角三角形圖卡等於一個正方形圖卡。此活動 可檢驗出二個重要的概念：
（1）測量紙卡的合併使用，使三個不同等級的單位量可以合併成一 個單位量以利測量活動的進行。
（2）二個圖形如果均被相同單位量的紙卡所覆蓋，則此二個圖形的 面積相等，此為數學上相當重要的遞移關係（譚寧君，1998b）。
圖3 疊置法面積測量概念實驗圖（Piaget et al.,1960）
單位面積概念除了利用覆蓋活動，亦可透過疊合與切割的活動來比較二個圖 形的大小（如圖4）。
圖4 單位測量面積概念實驗圖（Piaget et al.,1960）
3.直線測量面積概念
基本面積與單位面積只是在單位數的累加與單位量的比較，而直線 測量屬於比較抽象的推理層次，包括單位在數學上的相乘關係（譚寧君，
1998b）。一般所謂的面積公式如長方形面積等於長乘以寬，三角形的面 積為底乘以高除以二，均屬於直線測量面積的概念。
譚寧君（1995b）指出此階段除了一些特定圖形的面積公式外，還包 括作圖、單位量的測量與轉換、及面積的包含關係。
（1）面積公式
面積公式應由學生自己發展出來，發展公式與瞭解公式的相互 關係，比盲目的提供學生一系列的圖形公式更重要且更具意義。學 童必須了解二維的相乘關係，如一平方公分大小的面積即代表長和 寬均為1公分的正方形面積，此一平方公分即為一個普遍單位，再透 過覆蓋的經驗，知道長為6公分、寬為4公分的長方形的面積是由一 排有6個一平方公分有4排而得到24個1平方公分，而得到長方形的面 積單位數為：長的長度單位數乘以寬的長度單位數；而平行四邊形 和三角形，甚至於梯形均可透過切割、拼湊的方式而得出面積。例 如一個長方形從對角線剪成二個全等的三角形，可得知三角形的面 積為長方形面積的一半，再引入底和高的觀念，讓學生明瞭三角形 面積的公式為底乘以高除以二。透過切割活動而發現了面積公式的 一般通則，此時面積公式是透過推演的過程，而非只是靠記憶，如 此，各公式間的關聯性才能掌握，公式的教學才有意義（譚寧君，
1995b）。
（2）面積作圖
譚寧君（1995b）指出實作部分在國小課程教學中，一直是較不 被重視的，故可於教學中，利用釘板或方格圖讓學童於實際的操作 中作圖，以此來檢驗學生的面積概念。
（3）單位量的轉換
個別單位是測量的基本單位，在不同的單位量間的轉換活動是 有效掌握單位量與單位數關係的主要概念（譚寧君，1995b）。此時，
面積的測量是透過各種不同的單位量去覆蓋或拼湊，例如，一個長 為8公分寬為6公分的長方形，可以利用不同的單位量去描述面積的 大小，如用邊長為1公分的正方形要48個才能蓋滿，即表示此正方形 面積為48平方公分，但如用兩股長為一公分的直角三角形[為單 位，則需96個單位量，由此可知當邊長為一公分的正方形為單位量 去覆蓋一個長方形時，學生通過的情形會較好，但當覆蓋物不是長 方形，則通過率會降低，若單位量不是學生所熟悉的一平方公分，
如採邊長為0.5公分的正方形□或是兩股長為0.5公分的直角三角形 [時，則學生對兩個單位量的轉換則感到困難。
（4）面積的包含關係
如要計算面積為多少時，可透過切割後形成獨立的封閉區域，
則可個別算出其面積後再組合（如圖5A），但如果是某一封閉區域 為二個封閉區域所交集的部分形成的（如圖5B），則學童需先了解 集合的包含關係，再透過面積測量公式才能解題。
圖5 圖形的合成
（三）面積的估測
測量在實測中佔有相當重的成分，量感的培養也是教學的重點，所以估
測的活動是教學中不可或缺的一部份。Hall（1984）認為：「估測是一種可以
測的活動是教學中不可或缺的一部份。Hall（1984）認為：「估測是一種可以