Fuzzy DEA 排序模式 - 國際觀光旅館績效評估模式

第三章國際觀光旅館績效評估模式

第五節 Fuzzy DEA 排序模式

另外 DMU 在第 t 期至第t

+ 1

期的追趕效能(catching-up in effectiveness, CIE) 定義如下：

1 1

t t+1 t+1 1

CIE RE

RE

t t

OZ OZ

+ +

→

= =

方程式(58)表示 DMU 在第 t 期至第t

+ 1

期相對效能的比值，當CIE^t^→^t+1的值大於 1 時，表示 DMU 在t

+ 1

期的相對效能將優於 t 期。最後，將SIE^t→^t+1與

t t+1

CIE^→ 相乘可以衡量第 t 期至第t

+ 1

期的總效能變動(total effectiveness change, TEC)：

t+1 t t+1 t

t+1 t t+1 t t+1

t t t t+1 t+1

t+1 t+1 t

t t t+1

RE RE IEI TEC =CIE SIE

RE IEI RE RE IEI

RE IEI

→ → →

→

× = ×

在方程式(59)中，當TEC^t+1_t 值大於 1 時，表示 DMU 在第 t 期至第t

+ 1

期的相對效能有進步，且值越大表示進步越多；反之，當TEC^t+1_t 值小於 1 時，表示

DMU 在第t 期至第t

+ 1

期的相對效能退步，且值越小表示退步越多；當TEC^t+1_t 值 等於 1 時，表示 DMU 在第 t 期至第t

+ 1

期的相對效能沒有變化。

延伸謝玲芬與徐仕明(2009)所提出之 Fuzzy DEA 排序模式，以「效能」的觀點建構出 Fuzzy DEA 排序模式，以下針對所修正的 Fuzzy DEA 排序模式進行說明。

由於模糊 DEA 排序模式乃是應用α-cut 與擴張定理的觀念將模糊數轉換成明確區間，因此當效能評估準則為模糊資料時，可以將

( )

zij _α^L,

( )

zij ^U_α分別表示

DMU 在效能準則j r 的達成程度依不同α-cut 下的下限值與上限值，在

0 ≤ ≤

1

的限制下，DMU 效能值會隨_j

( )

zij _α^L,

( )

zij ^U_α的變動而改變，以建構DMU 效能值_j 模糊數，由於模糊 DEA 排序模式允許效能值大於 1，使得DMU 的模糊效能值_j 區間可以精確呈現，因此將能夠對所有的 DMUs 進行排序，使排序結果更為正確。

為避免模式中的非阿基米德數值在運算時影響精確值，因此模糊 DEA 排序模式以三階段進行求解，第一階段求解模糊效能值區間最佳解，使得DMU 的_k 模糊效能值區間可以精確呈現；第二階段計算最大鈍量解(Max-Slack Solution)，

用以判斷DMU 為強效能或弱效能，並提供各 DMU 提升效能之改善方向；第_k 三階段為效能值排序。三階段之詳細說明如下：

階段一：求解模糊效能值區間最佳解

首先為了精確呈現各 DMU 的模糊效能區間，本文將DMU 從參考集合中_k 刪除，使得DMU 的效能值可能大於 1，因此模糊效能值計算如方程式(60)-(60)： _k

1 . .

1 0, 1,... , 1,...,

k k n

j ij k ik

j j k

n j j j k

Max g

s t Z Z

i s j n

θ λ θ

λ λ

=≠

=

≥

≤

≥ = =

∑

% %

其中方程式(60)中g_k = 1θ_k表示為DMU 的效能值最佳解，在方程式(61)與_k (62)中，將DMU 從參考集合中刪除，若_k DMU 為有效能時，則_k DMU 的效能值_k (60) (61)

(62) (63)

g 將大於 1。 k

由於模式中效能評估準則Z%_ij為模糊數值，因此可以利用α-cut 與擴張定理來求解，其中

( )

^Z^ij _α^{為效能評估準則}^Z%^ij在α-cut 的明確集合(crisp set)，且z% 之α_ij -cut 可以定義如下：

( )

^Z^ij α

= {

^z^ij

∈

^Z^ij μ^z_%^ij

⁽

^z^ij

⁾ ≥

} ^, ∀

^{i j}

^,

由於方程式(64)中

( )

^Z^ij _α為明確區間，經由不同α-cut 所得到的明確區間表示如下：

( ) ( ) ( )

{ ( ) } { ^{( )} }

min , max

ij ij ij ij

L U

ij ij ij

z ij ij z ij z ij ij z ij

Z z z

z Z z z Z z

α α α

μ α μ α

⎡ ⎤

= ⎢⎣ ⎥⎦

⎡ ⎤

=⎢⎣ ∈ ^% ≥ ∈ ^% ≥ ⎥⎦

由於效能評估準則為模糊數，且為凸性模糊集合(convex fuzzy set)，

所以隸屬函數(membership function)中左側函數與右側函數分別為非遞減 (non-decreasing)與非遞增 (non-increasing)函數，當0≤

α

₁<

α

₂≤ 時，效能1 評估準則區間值為

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2

, ,

L U L U

ij ij ij ij

Z Z Z Z

α α α α

⎡ ⎤⊇⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦。

將所求得的效能評估準則在α-cut 下之上限與下限代入方程式(60)至 (63)中，可求得 (g_k)_α =⎡⎣(g_k) , (1_α^L (g )_k _α^U⎤ ⎡⎦ ⎣= θ_k) , (1_α^L θ_k)^U_α⎤⎦，其數學模式表示如方程式(66)至(73)：

效能值下限

( )

gk _α^L：

( ) ^{( )}

1 . .

1 0, 1,... , 1,...,

k k

n U L

j ij k ik

j j k

n j j j k

Max g

s t Z Z

i s j n

α α

λ θ

λ λ

=≠

=

≥

≤

≥ = =

∑

(65) (64)

(66) (67)

(68)

(69)

效能值上限

( )

gk ^U_α：

( ) ^{( )}

1 . .

1 0, 1,... , 1,...,

k k

n L U

j ij k ik

j j k

n j j j k

Max g

s t Z Z

i s j n

α α

λ θ

λ λ

=≠

=

≥

≤

≥ = =

∑

其中方程式(67)表示當DMU 之效能評估準則均為下限_k

( )

Zik _α^L，而其他 DMUs 之效能評估準則均為上限

( )

^Z^ij ^U_α 時，此時方程式 (66) 所求得的

k 1 k

g = θ 為DMU 的效能值下限_k

( )

gk _α^L；反之，方程式(71)則表示當DMU 之_k 效能評估準則均為上限

( )

Zik ^U_α，而其他 DMUs 之效能評估準則均為下限

( )

Zij _α^L時，此時方程式(70)所求得的g_k =1θ_k 為DMU 的效能值上限_k

( )

gk ^U_α 。因在方程式(67)、(68)、(71)與(72)中，由於DMU 從參考集合中被刪除，_k 因此方程式 (66) 與方程式 (70) 所求得的效能值 g_k^∗ 可能大於 1 。由於

0 ≤ ≤

1

，藉由不同的α 值將可以正確的建構出DMU 的效能值模糊數，_k 以利作為排序的依據。

若階段一方程式(66)與(70)所求出的效能值g_k^∗大於或等於 1 時，則表示DMU 為有效能；若所求出的效能值_k g_k^∗小於 1 時，則DMU 為無效能。_k 若所求出的效能值g_k^∗為 1 時，則可進一步以階段二判斷DMU 為強效能或_k 弱效能，並可提供各 DMU 提升效能之改善方向。

階段二：計算最大鈍量解，提供各 DMU 提升效能之改善方向

將階段一所求得之模糊效能區間

( ( ) ( )

θ^k^* α^L^, θ^k^* ^Uα

)

之上限

( )

^θ^k^* ^U_α ^及下限

( )

^θ^k^* _α^L

分別代入階段二之數學模式的θ_k^∗，以求最大鈍量解，該數學模式表示如下：

(70) (71)

(72)

(73)

s.t.

1 0, 0, 0, 1,..., , 1,...,

m i i

i j ij k ik

j n

j j

j i

Max s s

s Z Z

s s i s j n

λ θ

λ λ

− +

= +

−

− +

+

= −

≥ ≥ ≥ = =

∑

其中θ_k^∗為第一階段所求得之最佳解， s⁻與s_i⁺分別表示差額變數，方程式(74)

至(77)表示在第一階段所求得之最佳解θ_k^∗在維持不變的情況下，求得最大差額變數的總和。因此所求得的最佳解

(

^λ^*

^,

^s⁻^*

^,

^s⁺^*

)

稱之為最大鈍量解，當最大鈍量 解 s^+∗與 s^−∗均為 0 時，則稱 DMU 具有零鈍量(Zero-Slack)。當DMU 最佳解_k

(

^{θ λ}^k^∗^, ^∗^,^s^−∗^,^s^+∗

)

^滿足^θ^k^∗為 1 且具有零鈍量時，則DMU 為有效能（強效能）_k ；當

DMU 最佳解k

(

^{θ λ}^k^∗^, ^∗^,^s^−∗^,^s^+∗

)

^滿足^θ^k^∗為 1 但不具有零鈍量時，則DMU 為弱效_k 能；若θ_k^∗大於 1 時，則效能值g_k^∗小於 1，表示DMU 為無效能，且當_k

λ

≠ 0

_時，

DMU 即為無效能之j DMU 的改善參考集合，此時無效能之_k DMU 可以做以下_k 的調整以達到有效能：

* *

ik k ik i

Z = θ Z − s

^+∗

階段三：效能值排序

由於模糊 DEA 排序模式所求得的效能值是以模糊數表示，因此 DMUs 將無法依傳統的 DEA 模式之效能值排序方式進行排序，所以將以模糊數值排序法對模糊效能值進行排序。根據 Delgado, Verdegay, and Vila (1988)之整理，模糊排序之方法可分為兩大類，一種是將模糊數解模糊化(de-fuzziness)再以實數進行排序；另一種是發展比較指標(comparison index)再以模糊關聯(fuzzy relation)比較模糊數與參考集合的相對關係後，利用比較指標排序。

(74) (75)

(76) (77)

(78)

本文採用 Chen and Klein (1997) 所提出的模糊數值排序法，將DMU 在α_j

-cut 下模糊效能值g% 的下限與上限分別表示為_j

( )

^g^j _α^L^與

( )

^g^j ^U_α，且 h(x)表示為模糊數g% 的最大高度，並假設 h(x)被等分為 m 個區間，且 m 趨近於無窮大，使得_j

m 0,..., i

, =

=ih m

αi 。Chen and Klein (1997) 的模糊數值比較指標(comparison index)表示如下：

( ) ( )

0 0

, ⁱ ,

i i

m U

j i

j m m

U L

j j

i i

g c

I g R m

g c g d

α α

= =

⎡ − ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

= → ∞

⎡ − ⎤− ⎡ − ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑

∑ ∑

% % 且

其中 ^min^,

{ } ( )

i j j

c= g _α ， ^max^,

{ } ( )

i j j

d = g _α ，而參考矩形 (referential rectangle)R~

為模糊數g% 的高 h(x)與最大、最小屏障(barrier)(d,c)所組成的矩形模_j 糊數。若模糊數值比較指標(comparison index) ^{I g R%}

(

^%^j^,

)

^{值越大，表示該模糊數}

值越大。

(79)

在文檔中中華大學博士論文 (頁 47-53)

Fuzzy DEA 排序模式

第三章 國際觀光旅館績效評估模式

第五節 Fuzzy DEA 排序模式

+ 1

CIE RE

RE

= =

+ 1

+ 1

+ 1

+ 1

+ 1

+ 1

( )

( )

0 ≤ ≤

1

( )

( )

1

. .

1

0, 1,... , 1,...,

=

≥

≤

≥ = =

∑

∑

% %

( )

( )

= {

∈

(

) ≥

} , ∀

,

( )

( ) ( ) ( )

{ ( ) } { ( ) }

α

α

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

1

. .

1

0, 1,... , 1,...,

=

≥

≤

≥ = =

∑

∑

( )

( ) ( )

1

. .

1

0, 1,... , 1,...,

=

≥

≤

≥ = =

∑

∑

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0 ≤ ≤

1

( ( ) ( )

)

( )

( )

第三章國際觀光旅館績效評估模式

⁽

⁾ ≥

} ^, ∀

^,

{ ( ) } { ^{( )} }

( ) ^{( )}

( ) ^{( )}

^,

^,