第四章 系統相依性分析技術
5.2 關鍵基礎設施相依性模型發展
5.2.1 IIM 模式說明
Leontief 投入產出模型研究問題的核心偏向為資料整合的問題，關鍵基礎設 施的非地理上相依性，由於並非直覺地可從設施位置資訊求得，故目前一些學者 提出不同的學說。以下，我們採用 Haimes 等人（2005）所建議的作法，建構在 1973 年諾貝爾經濟獎得主 Wassily Leontief 教授的投入產出模型，最後並說明 為何採用此模型，與資料來源等議題。
原始的 Leontief 投入產出模型解釋如下：假設一經濟體有 n 個不同產業，每 個產業各自有需要的輸入品，也有輸出品，在一年的時間內假設達到靜態平衡，
亦即經濟體內自給自足，符號定義如下：
xj為第 j 個產業的產出，j=1,2,…n
ri為第 i 個輸入資源，i=1,2,…m
xkj為第 k 個產業的產出，用在第 j 個產業上
rij為第 i 個輸入資源，用在第 j 個產業上 Leontief 模型假設以下的變數：
x
kj = akjx
j， （式 5.1）亦即投入產出 xj的量(即 xkj)越多，xj真正的產出量就會多，akj是一係數
r
ij = bijx
j， （式 5.2）亦即投入產出 xj 的量(即 rij)越多，xj真正的產出量就會多，bij是一係數
j
k kj
k
x c
x
，k=1,2,…n， （式 5.3）亦即 xk的總量，會等於 xk用在各產業的總量，加上此經濟體的最後需求 ck 結合（式 5.1）與（式 5.3），產生（式 5.4）；同樣的道理，可產生（式 5.5）；
最後加上一限制式（式 5.6），亦即用在某產業的資源，不可大於資源的總量。
j
k j kj
k
a x c
x
，k=1,2,…n （式 5.4） r
ij b
ijx
j （式 5.5） b
ijx
j r
i，r >=0 （式 5.6）以上為原始 Leontief 投入產出經濟模型，應用在關鍵基礎設施非地理相依性 上，首先定義設施停止運作水準（Inoperability），當停止運作水準為 1 時，代表 此設施完全不運作，當停止運作水準為 0 時，代表設施正常運作。此外，Haimes 等人（2005）建議，停止運作水準應採用 Risk 的概念，亦即某設施的停止運作 水準事實上是期望值，含有機率的意義。其他假設說明如下：
xj為第 j 個設施的停止運作水準，j=1,2,…n
ri為第 i 個資源用以管理全部關鍵基礎設施的停止運作水準，i=1,2,…m，
例如所需人力、所需機具、所需資金、所需時間等等
akj為第 j 個關鍵基礎設施造成第 k 個關鍵基礎設施損毀的機率，若 akj=1，
表示當第 j 個設施損毀時，第 k 個設施也會完全損毀
ck為因外界因素，造成第 k 個設施的停止運作水準
bij為係數，表示第 i 個資源，用在管理第 j 個關鍵基礎設施上。
基 本 上 ， 每 個 關 鍵 基 礎 設 施 皆 需 要 一 個 以 上 的 資 源 因 此 ， 我 們 可 導 出 式 5.7-5.10。
x
kj = akjx
j，j、k=1,2,…n （式 5.7）r
ij = bijx
j （式 5.8）x
k = Σ xkj + ck （式 5.9）x
k = Σ akjx
j + ck （式 5.10）式 5.10 可以變成矩陣的型式，假設 X 為一向量，C 也是一向量，A 為一 n*n 矩 陣，I 為單位矩陣，則式 5.10 可轉變成式 5.11 與式 5.12：
X = A X + C
（式 5.11）(I-A) X = C
（式 5.12）若假設式 5.12 的（I-A）為 nonsingular，則上述式子求解 X 如下：
X= (I - A)
– 1C
（式 5.13）接下來，對式 5.8 作加總，得到式 5.14：
Σ rij = Σ bij
x
j （式 5.14）接下來考慮限制式，基本上用在第 j 個關鍵基礎設施的資源 i 不可能超過整體資 源 i 的數量，因此有式 5.15：
Σ bij
x
j < = ri （式 5.15）舉兩個例子如下：範例一，假設有兩設施，設施 2 完全毀壞會導致設施 1 變成
h>=0.357 時，銀行就完全停擺，當 h>=0.376 時，則醫院完全停擺，當 h>=0.641
時，則公路完全壞掉。由以上的說明可知，通常災害造成的關鍵基礎設施損害程度 C 向量較容易 估計，相依矩陣 A 是其中最困難估算的部分，然而，一旦有正確的相依矩陣，
Leontief 投入產出模型應用到關鍵基礎設施上，事實上相當準確地考量設施之間 的相依性，計算的部分亦非複雜，故本研究採用此模型。
此外 Dynamic Inoperability I-O Model 則是得到各個關鍵基礎設施在各個時 間點的狀態。要計算出各個時間點的狀態就需要知道設施受損後的服務狀態如何 變化，因此必須要有 的資訊，並可將此式稍作整理與給予 適當定義改寫為 。
Haimes 等人的研究，陸續刊登在 ASCE Journal of Infrastructure Systems 中，考量諸如範例二的 h 值，為一隨著時間變化的函數等等。但直至今日，Haimes