X 光反射率量測法

當一個電磁波通過兩相異物質的界面時，會因為與兩介質內帶電粒子不同的交互作 用，而發生折射的現象。對大部分材料而言，其對於X 光電磁輻射的折射率可以表示成 下式

其中λ為入射X 光波長，e 為電子電量，m 為電子質量，c 為光速，Na為材料內部 單位體積所含原子數目，fa(0)則為該原子的散射因子，μ為材料對 X 光線吸收係數。因 為大部分材料對於X 光的折射率會略小於 1(空氣的折射率)，而當 X 光經由空氣進入材 料內部時，由於是由高折射率介質進入低折射率介質，故X 光若以一非常小的入射角進 入表面時，會被材料表面完全反射(total external reflection)，而在臨界角以上時，X 光反 射率會下降的很迅速，假設一完美平整合很陡峭的界面時，基本上在臨界角以上時X 光 反射率會與(2θ)^-4成正比。而實際上表層或界面並不是一完美的界面，而是有具有一定 的粗糙度，此一情況下，X 光反射率會降的更快。如果所測的樣品基板有一層薄膜時，

其X 光反射率曲線就會呈現所謂的 Kiessig 干涉條紋，基本上而言，兩層材料間的密度 差異越大，所呈現的 Kiessig 干涉條紋之振幅就越大，且其週期與薄膜的厚度成反比。

利用此方式非常適合用於薄膜厚度在 10~2000Å 的量測，而且其厚度的精準度可達 Å 級，是決定薄膜厚度最精準的方法之一，X 光反射率對於所測的樣品型態，並未有特別 的限制，不論是多晶、單晶或非晶質材料，甚至於液體材料皆可測量。

對於一個多層薄膜的X 光反射率，可以使用 Parratt 於 1954 年利用 Maxwell 方程式 所導出的公式，假設一陡峭的介面層第n-1 及 n 層的電場振幅(Rn-1,n)，是與理想介面層 的第n 及 n-1 層的電場振幅(Rn,n+1)有關，如下圖示，可以表示如下列式子：

此處an是與X 光穿過厚度為 dn之第n 層的相位因子有關，an則可以表示如下：

對於第n 層其臨界角為θc(n)，則fn可以表示為：

物質對於X 光會有吸收，應加以考慮吸收係數，則使用一複數形式加入 fn，使得fn

成為

此處

和

此處μn為薄膜第n 層的線性吸收係數(linear absorption coefficient)，θc(n)則為第 n 層的X 光全反射臨界角，λ為入射光的 X 光波長，單位為 Å。ρe(n)則代表第 n 層的電 子雲密度，單位採用 electron/cm³。而θ則為 X 光的入射角，以上的公式是假設每一層 的材料界面都是理想陡峭的界面，但是實際上的薄膜表面及界面並不是陡峭的，它通常 具有某種程度的粗糙度而且界面間的電子雲密度也會有梯度的分布，這電子雲密度梯度 的影響跟理論上陡峭的界面所模擬出來的X 光反射率之形狀和強度有很大的差異，所以 一般都利用一高斯(Gaussian)(ref)函數的電子雲分布來取代陡峭的界面。則反射率可利用 下列式子表示：因此 fn 則被修正為

此處q(=4π×sinθ/λ)是所謂的散射向量，而δn-1,n表示位於第n-1 及 n 層界面粗糙

度的方均根值(root-mean-square value)。而臨界角θc則是約等於

θc = 0.3x10^-14×λ×ρe(n)^1/2

λ是入射的X 光波長，單位為 Å，ρe(n)為第 n 層的電子雲密度，單位為 electron/cm³， 在單純基板粗糙度改變下，模擬反射率隨 Q(動量變化量)變化的結果，如圖 A-1。可以 發現X 光以掠角入射至表面沒有薄膜沉積的矽基板，可以明顯的發現當粗糙度增加，由 於表面的不平整，造成光易被散射，反射率曲線下降的比較快，反射光強度會隨著入射 角度變化，同時基板可視為無限厚，因此沒有干涉現象。

圖A- 1 理想表面與粗糙表的 X 光反射率理論圖