高二上第二次學藝競試數學3B題庫(40)

Ch1~Ch5

題庫

一、單選題

1. （　　）設 logx =1₃ ，則 log10x =　(A)₃₀1 　(B) 1　(C)4₃　(D)10₃ 　

解答 　C　

解析 　log10x = log10 + logx = 1 +1₃4₃

2. （　　）若 log10(x + 6) + log10(x − 6) = 1，則 x =　(A)3　(B)4　(C)5　(D)6　

解答 　B　 解析 　真數恆正，因此，x + 60且 x − 60 ⇒ x > 6_， 原式 ⇒ log10((x + 6)(x − 6)) = log1010 ⇒ x2 − 6 = 10 ⇒ x2 = 16 ⇒ x = ± 4（負不合）　 3. （　　）對任意實數 x 而言， ( 2 2) 3 27x 的最小值為何？　(A)3　(B)3 3　(C)9　(D)27　(E)81 3　 解答 　C　 解析 　因為底數 27 > 1，又x2 2₃ 2_{3，所以 (} 2 2₎ 2 2 3 2 3 3 3 27x 27 (3 ) 3 9 4. （　　）一份試卷共有10_{題單選題，每題有}5_{個選項，其中只有一個選項是正確答案。假設小明} 以隨機猜答的方式回答此試卷，且各題猜答方式互不影響。試估計小明全部答對的機率 最接近下列哪一選項？　(A)₁₀5 　(B)₁₀6 　(C)₁₀7 　(D)₁₀8 　(E)₁₀9 　 解答 　C　 解析 　因為答對一題的機率為1 5，所以答對10題的機率為 10 10 1 5 5         。 又因為log5 0.6990 ，即_{5 10} 0.6990，所以





10 10 0.6990 6.990 5  10  10 _。 因此，₅10 較接近₁₀7 5. （　　）設_{asin 3}，選出正確的選項　(A)0 1 2 a   _(B)1 2 2 a 2 　(C) 2 3 2  a 2 　(D) 3 1 2  a 　 解答 　A　 解析 　因為_{ 3.14}，所以5 3 6  _{ } 。

觀察ysinx的圖形，發現當5₆  x  時， sin y x為遞減函數，因此可得0 sin3 1₂ 6. （　　）關於兩函數_y2x與 1 2 x y  _{  }   圖形的敘述，下列哪一個選項正確？　(A)兩圖形不相交　 (B)_{兩圖形對稱於 x 軸 (C)兩圖形均在 x 軸上方} (D)_y2x的圖形恆在 1 2 x y  _{  }   的圖形上方　 解答 　C　 解析 　兩圖形如圖所示，觀察可得解 7. （　　）已知附圖中，a 為下列選項中的某一數， 那麼 a 應該是哪一個數呢？ (A)3　(B)3₂　(C)2₃　(D)1₃　 解答 　C　 解析 　從圖形可知道 0 < a < 1 且a1₂ 8. （　　）試問方程式 sinx = x2_{有幾個實數解？　(A)1　(B)2　(C)3　(D)4　(E)5} 解答 　B　 解析 　即 y = sinx 與 y = x2_{的圖形交點個數，}

如圖，y = sinx 與 y = x2_{的圖形交點有 2 個，即 sinx = x}2_{有2 個實數解}

9. （　　）聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特(W/m2_{)來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為} I0 = 10 − 12(W/m2)；噪音監測器量度的噪音 dB（分貝）則根據當地聲音的強度I，透過數 學式子 10 0 dB( ) 10 logI I I   _{計算得來。臺北市政府規定球場內噪音不得超過 65 分貝，而氣} 笛製造商製造一款低噪音氣笛，一支氣笛只會產生 45 分貝噪音。欲符合市政府噪音規定， 球場內最多能同時響起幾支氣笛呢？　(A)10 支　(B)20 支　(C)50 支　(D)100 支　 (E)1000支　 解答 　D　 解析 　設每支氣笛的強度為 w，同時可以響起的氣笛數為 a 支，則根據題意， 10 0 45 dB( ) 10 logw w I    _{， 10} 0 65 dB(a w) 10 log a w I      _。 y x O y=ax _y=2x

將兩式相減得 10 10 10 10

0 0 0 0

65 45 10 log a w 10 log w 10 (log a w log w)

I I I I           　　　　　　　　　 10 0 10 0 10 log (a w I ) 10 log a I w       _。 故 loga = 2，a = 100，最多可以同時響起 100 支氣笛　 10. （　　）關於函數

 

1₂ x f x _{  }    ，下列哪一個選項正確？　(A)

 

1 2 x f x _{  }    的圖形和

 

1 2 x g x _{  }    的 圖形對稱於 y 軸　(B)

 

1₂ x f x _{  }    的圖形和_{h x}

 

_2x的圖形對稱於 y 軸　(C)

 

1 2 x f x _{  }    的圖形和_{k x}

 

_2x 的圖形對稱於 y 軸　(D) f



1000



 f



999



 解答 　C　 解析 　(A) ( ) 1 2 x f x _{  }    的圖形和

 

1 2 x g x _{  }    的圖形對稱於 x 軸　(B) 1 ( ) 2 x f x _{  }    的圖形和

 

2 x h x _  的圖形相同　(C) ( ) 1 2 x f x _{  }    的圖形和k x

 

2x的圖形對稱於 y 軸　(D)因為 1 ( ) 2 x f x _{  }    是嚴格遞減函數，又1000 999 ，所以 f



1000



 f



999



11. （　　）設 a = sin1，b = sin2，c = sin3，則 a、b、c 的大小關係為下列哪一個選項？　(A)a > b > c　(B)a > c > b　(C)b > a > c　(D)c > a > b　(E)c > b > a　

解答 　C　

解析 　作圖，

由圖可知 sin2 > sin1 > sin3，即 b > a > c　 二、多選題 1. （　　）下列關於度與弳的互換，請選出正確的選項　(A)5 300 6  _{ } 　(B)3 135 4  _{ } 　(C)π = 360° (D)π = 180°　(E)1 180     解答 　BDE　 解析 　(A)5 5 180 150 6 6         (B)3 =3 180 =135 4 4       (C)π = 180°　(D)π = 180°　(E)因為 π = 180° ⇒1 180    2. （　　）選出所有2₃ 弳的同界角。　(A)2₃ 弳　(B)4₃ 弳　(C)8₃ 弳　(D)10₃ 弳　 解答 　BCD　 解析 　利用同界角之間相差_2 的整數倍，分別計算如下：　(A)2₃弳 _ 2₃_弳4₃ 弳

(B)4₃ 弳 _ 2₃_弳2 弳 (C)8₃ 弳 _ 2₃ _弳 2 弳 (D)10 2 12 4 2 2 3 3 3  _{ }  _  _{   }     弳 弳 弳 弳 弳

3. （　　）對數函數 y = 3logx，y = alogx，y = blogx 的圖形如圖所示，

其中y3logx與y b logx的圖形對稱於 x 軸。選出所有正確的選項。 (A)_a0　(B)P 點坐標為

_{ }

1, 0 　(C)b1₃　(D)_{3 a} 　 解答 　ABD　 解析 　由圖形可知： (A)因為y a logx的圖形為嚴格遞增函數，所以a0 (B)P點坐標為

 

1, 0 (C)因為y3logx與y b logx對稱於 x 軸，所以b 3 (D)作直線x10分別與y a logx和y3logx 交於A(10, a)，C(10, 3)兩點，如圖所示， 因為C點在A點的上方，所以3 a

4. （　　）選出正確的選項：　(A)log215 = log27 + log28　(B)log20.3 = − log23　(C)log949 = log37　 (D)log38 × log83 = 1　

解答 　CD　

解析 　(A)因為 log27 + log28 = log256 ≠ log215，所以原式不正確　(B)因為

1

2 2 2 2

1

log 3 log 3 log log 0.3 3      _{，所以原式不正確　(C)因為} 2 2 9 3 3

log 49 log 7 log 7，所

以原式是正確的　(D)因為 log38 × log83 = 1，所以原式是正確的　 5. （　　）如圖為函數 y = 3sin(ax − b)的部分圖形， 其中 a > 0，則下列各項敘述何者正確？ (A)B(0, − 3)　(B)b_{6 　(C)} (5 ,0) 6 C  _{(D)y 的週期為}2 3  　 (E)其圖形可由 y = 3sin3x 往右平移₆ 單位_而得 解答 　ACDE　 解析 　(A)○：點( ,0) 6  為圖形的對稱中心，所以( ,3) 3  對( ,0) 6  的對稱點(0, − 3)亦在函數圖形上， 故 B 點坐標為(0, − 3)　(B)╳：b 有無限多個解　 (C)○：週期 2( ) 2 2 6 3       _{⇒ C 的 x 坐標} 1 2 5 2 2 3 6        _，即 (5 ,0) 6 C 

(D)○：週期 2( ) 2 2 6 3      

(E)○：2₃ 2_a ⇒ a = 3，即原函數 y = 3sin(3x − b)可經由 y = 3sin3x 平移而得之，又 y = 3sin3x 的圖形在 y 軸右方第一個最高點坐標為( ,3) 6  ，所以將( ,3) 6  往右平移₆ 單位_得點 ( ,3) 3  在原函數圖形上，故將 y = 3sin3x 往右平移₆ 單位，可得原函數圖形　 6. （　　）右圖是 Γ：y = asinbx 的部分圖形， 其中 a > 0，b > 0，則下列哪些敘述正確？ (A)a = 3　(B)b = 3　 (C)Γ的圖形可經由 y = sinx 的圖形先垂直方向伸縮為 3 倍，再水平方向伸縮為1₆倍而得 (D)Γ_{的圖形可經由 y = sinx 的圖形先垂直方向伸縮為 3 倍，再水平方向伸縮為}1_3倍而得 (E)Γ的圖形可經由 y = sinx 的圖形先水平方向伸縮為1₆倍，再垂直方向伸縮為 3 倍而得 解答 　ACE　 解析 (A)○：振幅為 y = sinx 的 3 倍，所以 a = 3（因為 a > 0）　 (B)╳：x 的係數為 b（b > 0）⇒週期為2_b  ₃ ，所以 b = 6　 (C)○：y = sinx3 垂直方向 伸縮為倍 y = 3sinx 1₆ 水平方向 伸縮為倍 y = 3sin6x　 (D)╳：因為 b = 6，所以不真　

(E)○：y = sinx 1 6

水平方向

伸縮為倍 y = sin6x_伸縮為倍垂直方向₃ y = 3sin6x　

7. （　　）選出所有正確的選項　(A)sin1 > sin1°　(B)sin10 > sin10°　(C)sin3 > 0　(D)sin4 < 0　

解答 　ACD　

解析 　(A)○：sin1 ≈ sin57° > sin1°　(B)╳：sin10 ≈ sin570° = sin210° < 0 < sin10°　 (C)○：sin3 ≈ sin171° > 0　(D)○：sin4 ≈ sin228° < 0　

三、填充題

1. 已知 log2 ≈ 0.3010，log3 ≈ 0.4771，比較 a = log23、b = log2030、c = log200300的大小關係：______ ______。

解答 　a > b > c　

解析 　a log3_{log 2}，

log30 log3 log10 log3 1 log 20 log 2 log10 log 2 1

b       ， x y O 2 3 1 -2 -1 -3 3 － 6 －

log300 log3 log100 log3 2 log 200 log 2 log100 log 2 2

c       ， 因為log3_{log 2}為假分數，所以分子、分母同加一正數，其值變小，故 a > b > c。　 2. 解方程式 2 2 1 2 8x _4 x ，得 x = ____________。 解答 　1₃或 1　 解析 　 2 2 1 2 8x _4 x ₃2 _{4 1} 2x 2 x   ⇒ 3x2 = 4x − 1 ⇒ 3x2 − 4x + 1 = 0 ⇒ (3x − 1)(x − 1) = 0， 所以x1_{3或 x = 1。} 3. 解下列不等式： (1)log3x > − 1 = ____________。 (2) 1 2 2 log x 0 = _____________。 解答 　(1)x1₃ (2)x > 1或 x < − 1　 解析 　(1) 因為真數必須為正數，所以x0

原不等式log_log3x  1 logx log3 logxlog1₃  x 1₃ 綜合以上可知：x1₃ (2)因為真數必須為正數，所以_x2_0 ，故x_{為非零實數，} 原不等式 2 2 2 2 log log

0 0 log 0 log log1 1 _{log 2} log 2 x x x x          2 ₁ 2 _{1 0} x x      (x1)(x 1) 0  x 1_{或x 1，} 綜合以上可知：x1_或x 1_。 4. 解不等式 10 1 log 2 (x + 1) + 2 log100(x − 2) > 1，得 x 的範圍為____________。 解答 　x > 4　 解析 　因為真數必須為正數，所以x 1 0_且x 2 0_，故x2

原不等式log(_{2log 10}x1) 2log( _log100x2) 1 log(_log10x1) 2log( ₂x2)1

log(x 1) log(x 2) 1      log(x 1)(x 2) log10 (x 1)(x 2) 10         2 _{12 0 ( 4)( 3) 0} x x x x         _{ x 4或x 3} 綜合以上可知x4_。

數 y = 2x_{的圖形往右平移 h 單位，再往上平移 k 單位後可得函數} 1 _{(2 16)} 8 x y   _{的圖形，則數對(h,k) =} ____________。 解答 　(3,2)　 解析 　 1(2 16) 1 2 2 2 3 2 2 8 8 x x x y         ⇒ y = 2x − 3 _{+ 2可由 y = 2}x_{往右移 3 單位，再往上移 2 單位可得到，} 故(h,k) = (3,2)。　 6. 求下列各三角函數值： (1)cos2₃ ____________。 (2)cos( 11 ) 6   _{____________。} (3)tan5 3  _ ____________。 解答 　(1)1₂ (2) ₂3 (3)_{ 3}

解析 　(1) cos2 cos( ) cos 1 3 3 3 2

 

        _。

(2)cos( 11 ) cos11 cos(2 )

6 6 6   _      cos 3 6 2    。　

(3)tan5 tan(2 ) tan 3

3 3 3  _{ } _{ }  _{ } 。　 7. 化簡下列各式： (1) 10 10 10 4 9 3 log log log

5 8 10 ____________。 (2) 10 100 2 log 8 log 25 3  ____________。 (3)log29 × log34 = ____________。 解答 　(1)log103　(2)1　(3)4　 解析 　(1) 10 10 10 4 9 3 log log log

5 8 10 10 10 10 4 9 3 4 9 10

log log log 3 5 8 10 5 8 3

     _   _ _   _

(2)因為 3 21 32

10 10 10

2 2 2

log 8 log (2 ) log 2 3 3 3 2 3 ₃ 2 10 10 log 2  log 2  _{ }    ， 100 10

log 25 2log5 log5

log 25 log 5 log100 2log10 log10

    _，

所以 10 100 10 10

2

log 8 log 25 log 2 log 5

3    log10



2 5 



log 10 110  。　

(3) 2 3

log9 log 4 2log3 2log2 log 9 log 4

log 2 log 3 log2 log3     

2 2 4

   。　

8. 二圖形 Γ1：y = 2x，Γ2：y = 3x與直線 y = 6 交於 A(a,b)、B(c,d)兩點，則

b d a c ____________。 解答 　6　 解析 　2a _{= 6 ⇒ a = log} 26，即 A(log26,6)； 3c _{= 6 ⇒ c = log} 36，即 B(log36,6)。 2 3

6 6 6 6 6log 2 6log3 6(log 2 log3) log 6 log 6

log 6 log 6 log 6 log 6 log 6 log 2 log3 b d a c          6log 6 6 log 6   。　 9. 如圖，正六邊形 ABCDEF 的邊長為 2 公分，今以各頂點為圓心，邊長為半徑畫圓弧於正六邊形內 部，試求： (1)塗色部分的面積為____________平方公分。 (2)塗色部分的周長為____________公分。 解答 　(1)812 3 (2)8π　 解析 　(1) 弓形 面積 = (扇形 ) − (三角形 ) 　　　　　　　 1 22 1 22 sin 2 3 2 3 2 3 3            _， 所以所求 12(2 3) 8 12 3 3  _     _{（平方公分）。} (2)周長 12 2 8 3  _     _{（公分）。}

上二 點 P(cos1,sin1)，Q(2cos3,2sin3)，且n PQ n  1_{，其中 n 為非負整數，則 n = ____________。} （用計算機） 解答 　2　 解析 　∠POQ = 3 − 1 = 2， 所以由餘弦定理 ⇒_PQ2_{ 1}2 ₂2_{   2 1 2 cos 2 5 4cos 2 } ⇒PQ 5 4cos 2  6.7_， 所以n = 2。

Ch6

題庫

一、單選題 1. （　　）已知AB



(4,3)_、BC



(0, 6) _{，則△ABC 的周長為　(A)11 97　(B)16　(C)11 18} (D) 61　(E) 158　 解答 　B　 解析 　|AB



| 5 _、|BC



| 6 _， (4,3) (0, 6) (4, 3) AC

  

AB BC      _，即|AC



| 5 _， 因此，周長為AB BC AC  16 2. （　　）如圖，OABCDE 為坐標平面上一正六邊形，其中 O 為原點，A 點坐標為(2 , 0)，則向量 DE



的坐標表示法為 (A)(1, 3)_(B)( 1,  3)_(C)( 3,1)_(D)( 3, 1) _(E)( 1, 3)  解答 　B　

作EF OA



於 F。 因為 O (0 , 0)、A (2 , 0)，且∠AOE = 120°， 所以在△OEF 中，OE OA 2、OF1、EF  3。推得E( 1, 3) _。 又因為OD2EF_，所以OD2 3_。推得D(0,2 3)_。 故DE



 ( 1, 3) (0,2 3) ( 1,    3) 3. （　　）若三向量



a 

 

5,1 _、



b 



1, 2



_、



c 



18,8



_{滿足m a}

  

_{n b  c ，其中}m n、 為實數，則 2 m n_{的值為　(A)}8_(B)4_{(C)0　(D)4　(E)8} 解答 　C　 解析 　因為m a

  

n b  c ，即m

 

5,1 n



1, 2 

 

18,8



_， 所以_{  }5_mm n _2n 18₈ ，解得_{m4、n 2}。因此，_{m2n    4 2}

_{ }

_{2 0} 4. （　　）在正六邊形 ABCDEF 中，下列哪一個向量的長度最短？ (A)AB BC

 

 　(B)AB BC CD

  

  　 (C)AB AF

 

 　(D)AB AE

 

 　(E)AC AE

 

 　 解答 　C　 解析 　如圖， (A)AB BC

  

 AC (B)AB BC CD

     

  AC CD AD (C)AB AF

  

  AO (D)AB AE

  

 EB (E)AC AE EC

  

  因為_AO



的長度最短，故長度最短的為

 

AB AF 5. （　　）如圖，已知 P、Q 為AB的三等分點，選出與PQ



相等的向量 (A)_AB



　(B)_AP



　(C)BQ



　(D)_PB



　

B　 解析 　因為AP



與PQ



的長度相等、方向相同， 所以AP PQ

 

 6. （　　）如圖所示，O_{為正六邊形之中心。} 試問下列哪個向量的終點P_落在△ODE_{內部（不含邊界）？} (A)_{OP OC OE}

  

_{ } 　(B)OP

  

₄1OC₂1OE (C)OP

  

 1₄OC1₂OE_(D) 1 1 4 2 OP

  

 OC OE (E)OP

  

 1₄OC1₂OE 解答 　B　 解析 　如圖。令OP xOC yOE

  

  ， P_落在直線OE_{右側的條件為}x0_， P_落在直線OD_{左側的條件為}x y 0_， P_落在直線DE_{下方的條件為}y1 7. _{（　　）設}



a (5 , 10)_，



b = ( − 3 , − 4)，



c (5 , 0)_，若

  

c l a k b ，l、k 為實數，求 2l + k =　(A)0　(B)9　(C) − 9　(D)10　(E) − 10　 解答 　C　 解析 　因為

  

c l a k b ， 所以(5 , 0) = l(5 , 10) + k( − 3 , − 4)，即 (5 , 0) = (5l − 3k , 10l − 4k)_，即 5 3 5 10 4 0 l k l k     _{ }  ，解得 2 5 l k        ， 因此，2l + k = − 9　 二、多選題 1. （　　）如圖，選出選項中的向量與另兩個向量 PO



、QO



的和等於零向量。 (A)OA



　(B)PC



　(C)DA



　(D)PB



　(E)AE



　 解答 　AB　

因為PO





 

1,2 _、QO



 



3,1



_，PO QO

 

 

  

1,2  3,1

 

 2,3



_， 所以向量



2, 3



_{與兩個向量PO}



_、QO



的和等於零向量。　(A)OA







2, 3



(B)PC







2, 3



(C)DA



 



2,3



(D)PB







4, 2



(E)AE







3, 2



2. （　　）如圖，O 為正方形 ABCD 對角線的交點， 且 E，F，G，H 分別為線段OA_，OB_，OC_，OD 的中點。選出正確的選項： (A)OB

 

2OH 　(B)OA

 

 2OG　(C)AD CB

  

  0 　 (D)OA AB BC

  

  　(E)AB BC DB

  

  　 解答 　BCE　 解析 　(A)因為OB



的長度為OH



的二倍，且兩向量方向相反，所以OB

 

 2OH (B)因為OA



的長度為OG



的二倍，且兩向量方向相反，所以OA

 

 2OG (C)AD CB

    

 AD ( AD) 0 (D)OA AB OB BC

   

   (E)AB BC

      

 AB CB AB DA DB    3. （　　）關於正六邊形 ABCDEF，下列何者為真？ (A)(AB BC

    

 ) ( CD DE ) AE　(B)AC AF CF

  

  　 (C)(AC CE

   

 )CB CD 　(D)(AD CF

   

 )DCAF 　 (E)AD

    

AB BD BD BA   　 解答 　ACDE　 解析 　(A)(AB BC

      

 ) ( CD DE )AC CE AE (B)AC AF

    

 AC CD AD  (C)(AC CE

        

 )CB AE CB   AE EF AF CD (D)(AD CF

        

 )DC(AD DC )CF AC CF AF (E)

  

_{AB BD AD}，BD BA BD

      

   ( AB)AB BD  AD

）如圖所示，兩射線OA



與OB



交於 O 點，若以 O 為始點，則下列選項中哪些向量的終點 會落在陰影區域內？ (A)_OA

 

_2OB　(B)₄3OA

 

1₃OB_(C)3 1 4OA

 

3OB　(D) 3 1 4OA

 

5OB　(E) 3 1 4OA

 

5OB　 解答 　AB　 解析 　(A)由平行四邊形法則（如圖）知，終點會落在陰影區內 (B)因為3₄OA

 

1₄OB_{的終點落在} AB上，所以當 3 4OA tOB

 

 的終點落在陰影區內時， 1 4 t (C)同(B)的解析　(D)同(B)的解析　(E)同(B)的解析