中學生通訊解題第104-105期題目參考解答及評註

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中學生通訊解題第

104-105 期題目參考解答及評註

臺北市立建國高級中學數學科

已知128 及 250 為某公比為有理數的等比數列中之兩項，則在這些等比數列中，可能出現的正整數除了128 及 250 之外還有哪些？簡答：160、 200 參考解答：設公比為有理數 d， 3 6 5 2 250 128 _dm_dm _{，其中} _{m 為非零整} 數，此數列之另一整數項為 k m k m k m m k _n d n ₃ 6 3 3 6 5 2 ) 5 2 ( 250 250         ，其中m,k 為非零整數，因為 n 為整數， 所以， k m k m m m n25 2 5  2 6 53 3

7 2 3 3 6          _mm

_



m_m k_k





，

方程式





2 



7

的非負整數解為 (1,3)，(3, 2)，(5, 1)，(7, 0)，所以可能的正整數 n 為2_53 _250_、 200 5 23_ 2 _ _、₂5_₅_₁₆₀_、₂7 _₁₂₈_。已知對於任意正整數 n，都有 3 1 2 n

a



a

 



a



n

，求 2 3 671 1 1 1 1 1 1 a  a    a  之值為何。（請化為最簡分數）簡答： 670 2013 參考解答：當

n

≥2 時，有 3 1 2 1

a

n

a







n



n



， 3 1 2 n 1

(

1)

a



a

 

_

a

_



n



，兩式相減，得

a

_n



3 n

2



3 n



1

，nN (驗算n1時亦成立) 所以

1 ),

1

1 (

3

1 )

1 (

3

1

1 n

n

a

_n













,

4 ,

3 ,

2 

n

因此 2 3 671 1 1 1 1 1 1 a  a    a  問題編號 10401 問題編號 10402

(2)

=1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 3 670 671  _  _ _ _{ } _        _ _{ } _ _ _    1 ₁ 1 670 3 671 2013    _  _   。【解題評析】 1.此題為簡易的遞迴試題，大部分同學可推得 ₃ 2 ₃ _1, ₂ n a  n  n n ，則 _{1 3} 2 ₃ _{3 (} ₁₎ n a   n  n n n ，接著取倒數後相加利用對消即可求得。 2. 少部分同學觀察a a a1, , ,2 3  後推出an的一般式an  1 6 1 2   



n1



。 3.極少數同學直接觀察出 1 1 1 1 3 ( 1) n a   n n 如圖，已知正 ABC 內接於圓

O

， 86  AB ，若點

E

在 AB邊上，過 E 點作 BC DG // 交圓O於點D, ，交 AC 於點G F，設 AE ,x DEy，如果 x,y都是正整數，則 y為何？簡答：

12

參考解答：由題設知 EF  AEx，由圓的對稱性知 y DE FG  ，由相交弦定理知 EG DE EB AE   ，即x(86x) y(xy)。如果

x

是奇數，則 x(86x)也是奇數，此時，y(xy)是偶數，所以，x 只能是偶數， y也是偶數，由_x(86__x)_ _y(_x__y)__x2_(_y_86)_x__y2_0 2 4 ) 86 ( 86 y y 2 y2 x      ， 0 4 ) 86 (  2 2    y y ，得0 y28。又因

x

是正整數，所以，



的值必須是一個完全平方數。由於(863y)(86y)，且 y2 ,4, ,28，因此驗證後，只有 y12時，



的值才是完全平方數，此時x2或72。【解題評析】本題是由圓冪性質出發，求出方程式 ) ( ) 86 ( x y x y x    ，其中 x, 為正整數。後y 問題編號 10403

(3)

續求x, ，五位同學就有些不同的巧思。y 說明如下： (1)新北市文山國中孫士明同學的作法同詳解。 (2)新竹市實驗國中曾元同學則是將方程式改寫成 2 2 )2 2 43 ( ) 43 2 (xy y  y 後，由於 y 是偶數， 再由畢氏三元數設y 2 mnk， k n m y ₍ ₎ 2 43_ _ 2_ 2 _{，其中}_{k ,}_,_m_n_{為整數。} 代回改寫式中得 12 ) 6 , 1 ( ), 1 , 6 ( ) 43 1,( , ) ( 2 2   m mn ky k mn 。 (3)臺北市天母國中余竑勳同學作法是將方程式改寫為y2xy(x286x)0，再利用D3x2344x為完全平方數，設其為k2Dx(3x344)， ) 344 , ( ) 344 3 , (x x  x ，又x86，故 43 , 2 , 2 , 2 , 1 ) 344 3 , (x x  2 3 。把一塊88個方格的棋盤分割成 p個矩形，使所分成的矩形滿足下列條件： (A)每個矩形的邊都是棋盤的網格線； (B)每個矩形中，白格與黑格個數相等； (C) 如果第

i

個矩形中白格數為

a

_i，則有 a a a  _ 。試問： (1)列出(a₁,a₂,_,a_p)所有可能的解。 (2)試在所有可能的分法中，求出 p的最大值。簡答：(1)(1,2,3,4,5,7,10),(1,2,3,4,5,8,9) ,(1,2,3,4,6,7,9),(1,2,3,5,6,7,8) (2)7 參考解答：由已知有a1a2ap32，由(C)又有a_ii,i1,2,,p，於是由(A)有12_p32，由(B)解得 p7。因為12_728，與32之差為4，故只須將4分配到各項中去且保持數列的遞增性。因而得到所有可能的數列為 (a)1,2,3,4,5,6,11(b)1,2,3,4,5,7,10(c)1,2,3,4,5,8,9 (d)1,2,3,4,6,7,9(e)1,2,3,5,6,7,8 因分割成的七個矩形中不會出現在22個格子的矩形，故(a)不會實現，其它四種情形均可實現。故知7是 p的最大值，(b)(c)(d)(e)是滿足題中要求的所有可能的數列。 1 3 2 1 2 3 8 7 4 7 6 5 10 5 問題編號 10404

(4)

1 8 5 3 2 9 4 1 7 3 2 6 9 4 在1，11，111，

_

， _{ }___ 1 11 111 個 n ，

_

中，是否有2013 的倍數？簡答：有參考解答：考慮2013 個數：1，11，111，

_

， _{ }___ 1 2013 11 111 個若它們都不是2013 的倍數，則它們除以2013 所得的餘數中至少有兩個是相同的，在不失去一般性的情況下，假設有 _{ }___ 1 11 111 個 a 和 _{ }___ 1 11 111 個 b 這兩個數除以 2013 所得的餘數是相同的，其中1ab2013，可得 _{ }___ _{ }___ 1 11 111 1 11 111 | 2013 個個 a b  a a b 10 1 11 111 | 2013    _{ }___ 個但(2013,10a)1_{，所以}     1 11 111 | 2013 個 a b  這與 1，11，111，

_

， _{ }___ 1 2013 11 111 個都不是 2013 的倍數矛盾，故在 1，11，111，

_

，     1 11 111 個 n ，

_

中，一定有 2013 的倍數。【解題評析】 1.本題屬於中等難易度的數論題，有的同學直接了當找一個數來說明「的確有這樣的數是 2013 的倍數」；也有同學引用費馬小定理(好厲害 )；大多數的同學則是用抽屜原理(亦稱鴿籠原理 )去論證其存在性，這也是所附詳解用的方法。但或許是現階段較少證明題的學習。就內容來看，普遍都還是有些細節需要再注意。譬如說： (1) 一開始應先回答「是」或「否」，然後再做論述支持你的答案(避免閱卷老師看了半天，還不知道你到底要證明「是」還是「否」)。 (2)論述中若有符號定義，應明確清楚。 (3) n 項數列與無限數列應清楚區分，若 用 n 項數列來論述，應對 n 的限制說明清楚。問題編號 10405

(5)

(4)論述過程中有些細節雖很明顯，但卻不是明顯到不用寫出來的程度。導致作答內容看起來「該精簡的地方繁複冗長」、「該仔細的地方卻又簡略帶過」。至於哪些該仔細、哪些該精簡。建議同學可多做證明的練習，再請數學老師批改，疑問之處多跟數學老師討論。已知若干個正整數之和為 2013，求其乘積之最大值。簡答：3671 參考解答：設 x 、₁ x 、₁ … 、 x 均為正整數，且_n 1 2 n 2013 x x  _ x  使其乘積， 1 2 n Px x _{ 有最大值。}x (1)這幾個正整數必不含 1。否則設

x

₁



1

且 1 2 n 2013 x x  _ x  ，可發現 1 2 n (1 2) 3 n x x _x  x x_{ 且}x 2 3 (1x)x   xn 2013，因此乘積變大，不合。 (2)因為 4=2+2=2



2，所以 4 可以用兩個 2 取代，不改變和與乘積。 (3)對所有

i



1

、2、…、n，x_i  。否則4 存在xl  ，4 xl (xl  且2) 2 (xl   2) 2 xl (xl4) ，因此乘積變xl 大，不合。由(1)、(2)和 (3)知：_P_2r_{ ，其 r，s 為}3s 非負整數。因為 2+2+2=3+3 且₂3_₃2_{，故必有}_r_₂_。由於2013 671 3  ，_P_₃671_。設多項式 f( x ) 滿足 x ( x1 ) f ( x 2 ) = ( x3 ) ( x 4 ) f ( x ) ，且 f ( 3 ) =30，求 f ( x ) 。 簡答：f( x ) = 5 x ( x1 ) ( x 2 ) 參考解答： x( x1 ) f ( x 2 ) = ( x 3 ) ( x 4 ) f ( x ) ……[1] 由[1]式可知 f( 0 ) = f ( 1 ) = 0



x ( x1 ) 是 f( x ) 的因式。 令 f ( x ) = x ( x1 ) g ( x ) ，則 f ( x 2 ) = ( x2 ) ( x 3 ) g ( x 2 ) ，代回[1]式，即 x(x 1)(x  2)(x  3)g(x  2) = (x 3)(x  4) x (x  1)g(x)，兩側同除以 x(x 1)(x  3) ， 得 ( x2 ) g ( x 2 ) = ( x 4 ) g ( x ) ……[2] 由[2]式可知 g( 2 ) = 0



x2 是 g ( x ) 的因式。令 g( x ) = ( x2 ) h ( x ) ，則 g ( x 2 ) = ( x4 ) h ( x 2 )，代回[2]式，即 問題編號 10501 問題編號 10502

(6)

( x2 ) ( x 4 ) h ( x 2 ) = ( x 4 ) ( x 2 ) h ( x ) ， 兩側同除以(x 2)(x  4) ，得 h ( x2 ) = h ( x ) ……[3]。由[3]式可知 h(1) = h(3) = h(5) = h(7) = h(9) = h(11) = … ，即存在無限多個實數 x，使 h( x ) 為定值，而知 h(x)為常數多項式。 設 h(x) = a ，則 g( x ) = a( x2 ) ， f( x ) = a x ( x1 ) ( x 2 )，又 f ( 3 ) = 30，得 a = 5。綜上所述，可知 f ( x ) = 5x ( x1 ) ( x 2 ) 為所求。【解題評析】這個問題的核心概念有二，一是因式定理，二是代數基本定理的一個推廣。因式定理：已知多項式 f( x )，若 f ( c ) = 0， 則 x c 是 f ( x ) 的因式。 代數基本定理的推廣：n 次多項式方程式 最多有n 個根。 因式定理是餘式定理的特例，證明很容易，同學應該已經熟悉。代數基本定理的推廣，可重複使用因式定理推定，而用以判知滿足下列條件之兩多項式相等：「若兩多項式函數 F(x)、G(x) 之次數 皆不大於 n，但存在 n+ 1 個不同數值 αk， k= 1, 2,…, n + 1 ，使 F(αk) = G(αk) ，則 F(x) = G(x)。」 以上述題解為例，何以多項式 h(x)等 於常數多項式？補充說明如下： ∵ f (x) = x ( x1 ) g ( x ) ， g ( x ) = ( x2 ) h ( x ) ，f ( 3 ) = 30， ∴ f (3) = 3 × 2 × g(3) = 3 × 2 × 1 × h(3) = 30，得 h(3) = 5，因此，設多項式 h(x) 5 是 n 次多項式，n 為自然數，則方程式 h(x) 5 = 0 最多有n 個根，但是，已知 1, 3, 5, 7, 9, 11,… 都是它的根，根的個數多於 n，所以 h(x) 5 不是 n 次多項式，而知它是零多項 式，即h(x) 5 = 0 ，得 h(x) = 5 。 本題共有 13 位同學應徵答題，其中有 11 位同學找到了正確的多項式，1 人數值代入失誤，另有 1 位同學答：「x≦2 時， f(x) = 0；x≧ 3 時，f (x) = 5x3_15x2_{+10x」，看} 到這個答案，直觀上要問：「2＜ x＜ 3 時， f(x) 如何？」，根本而必須釐清的是「多項 式不能分段定義」。同學求解此題，大致上都可找到並將 x( x1 ) ( x 2 ) 為 f (x) 的因式 之事實說明清楚，但是對於 h(x) 為常數多 項式之原由，部分同學或未指明或少論述，是認知有不足？還是只是答題的疏忽？請再想想。在



ABC

中，已知 AB12， AC ，9 13 BC ，自A點分別作



B

,



C

平分線的垂線，垂足分別為N,M 點，試問AMN與 ABC  面積的比值為何。簡答： 2 13 問題編號 10503

(7)

參考解答：如下圖，延長 AM 與BC交於點 D，延長 AN 與BC 交於點E。則 ACD與 ABE都是等腰三角形。於是，BEAB12，CDAC 。 9 又BC13，則DE12 9 13 8   。故aADE:aABC 8:13，因為 M N, 分別為AD AE 的中點，所以, aAMN aADE 4 1 。因此， 13 2 528     ABC a AMN a 。

_A B C 12 _M _N D E 9 13 設S 為一個由11 個不大於 190 的相異正整數所構成的集合，試證明 S 必定存在兩個 子集合 S1與 S2，滿足 S1與 S2中的正整數均相異，且S1與 S2的整數和相同。參考解答： S 共有 211_－_{1＝2047 個非空子集合。} 任意一個子集合的整數和必小於或等於 190＋189＋188＋…＋180＝2035 依鴿籠原理(pigeonhole's principle)，必定有兩個相異子集合A1與A2的整數和相同。設 S1＝A1－A1



A2 與 S2＝A2－A1



A2 S1與S2中的正整數均相異， ∵A1與 A2的整數和相同 ∴S1與 S2的整數和相同，故得證。【解題評析】鴿籠原理(pigeonhole's principle)，又叫作 Dirichlet 抽屜原理，用鴿籠原理可以證明出許多神奇的結果，是應用廣泛又有威力的原理之一。鴿籠原理(pigeonhole's principle)：若有 n 個籠子和 n+1 隻鴿子，所有的鴿子都被關在鴿籠裡，那麼至少有一個籠子有至少 2 隻鴿子。另一種為：若有 n 個籠子和 kn+1 隻鴿子，所有的鴿子都被關在鴿籠裡，那麼至少有一個籠子有至少 k+1 隻鴿子。同學可以多加查閱鴿籠原理的應用，有許多生活上有趣、神奇的結果。定義在實數上的函數 f (x)滿足 f (0) = 0，f 問題編號 10505 問題編號 10504

(8)

(x) + f (1x) =1，f (_{5) =}x 1_{2 f (x)，且當} 0  x1 < x2  1 時，滿足 f (x1)  f (x2)，試求 f ( 2013 1 )之值。簡答：₃₂1 參考解答：首先令 x=1，則 f(1)+f(0)=1， f(1₅₎₌1_2f(1)，又因為 f(0) = 0f(1)=1， f(1₅₎₌1_{2 ，再令} x=1_{5，則 f(}1_5)+f(4_5)=1f(4₅₎₌1_2。



當 0x1<x21 時，f(x1)  f(x2) 1_{5  x } 4 5，f(x) = 1 2 ，由 f( x 5)= 1 2f(x)f(x)= 1 2f(5x)， 故 f(

中學生通訊解題第104-105期題目參考解答及評註