5-2-2三角函數-三角函數的應用

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(1)2-2 三角函數的應用【目標】首先用三角函數的觀點解讀波動現象，說明正弦函數與餘弦函數的疊合，進一步解釋兩相同週期的正弦波疊合後仍是同樣週期的正弦波。其次利用三角函數探討二次曲線的參數式，特別著重在圓與橢圓的應用。【討論】 1. 波動：利用三角函數的一些性質，例如正弦定理、餘弦定理可以解三角形的邊角，進而解測量問題。就這個層面而言，三角函數中的角取銳角即可，至多取一般角(介於 0 到 180 之間)便足夠。然而，我們為何討論廣義角的三角函數呢？其中一個主要應用在於處理波動現象，特別是研究光及其他電磁波。要瞭解波動可從等速率圓周運動著手。在 x  y 坐標平面上，給定以原點 O 為圓心、 r 為半徑的圓 C (即 C：x 2  y 2  r 2 )，如圖，.  x  r cos 。  y  r sin . 圓 C 上的動點 P( x, y ) 落在廣義角  終邊上時， . 2.. 假設質點 P 從 A(r,0) 出發，以等角速度  (弧度／單位時間)在圓 C 上繞行，則 P 在圓 C 上作等速率圓周運動， P 的 x 坐標、 y 坐標都是時間 t 的函數，  x  r cost 由於轉角   t ，故  。  y  r sin t  x  r cos(t   0 ) 更一般化，質點 P 由圓 C 上一點 P(r cos 0 , r sin 0 ) 出發，則  ，  y  r sin(t   0 ) 其中 r ，  ，0 都是常數，而 x, y 同為 t 的函數，且兩者性質類似，我們就針對 y 討論。設點 P ' 是點 P 在 y 軸上的投影點(看圖)，則點 P' (0, y) 中， y  r sin(t  0 ) 。當點 P 在圓 C 上作等速率圓周運動時，點 P ' 在 y 軸上作往復運動，這種往復運動稱為簡諧運動，而此運動傳遞出去便是波動。正弦波：為了簡便且不失一般性，我們假設角速度   0 。在 t  y 坐標平面上，將正弦函數 y  sin t 的圖形左右移動 0 (正值右移，負值左移)，便得 y  sin[t  (0 )]  sin(t  0 ) 的圖形，再將它左右伸縮. 1. 倍，得到曲線  y  sin(t  0 ) ，最後上下伸縮 r 倍，就是曲線 y  r sin(t  0 ) 。基本上，它是正弦函數圖形平移、伸縮而成的圖形，這種曲線統稱為正弦波。習慣上，函數的變數常以 x 表示。在 x  y 平面上，正弦波就是函數 y  r sin(kx  c) 的圖形，其中 r ， k ， c 是常數。設 r ， k ， c 是常數，其中 r  0 ， k  0 ，則函數 y  r sin(kx  c) 的圖形可由正 2 弦函數 y  sin x 的圖形經平移、伸縮而得，其週期為，振幅為 r 。 k 18.

(2) 【問題】 1.. 試說明函數 y  4sin(2 x . 2 ) 的圖形如何由 y  sin x 的圖形經平移、伸縮而 3. 得？又該函數的週期、振幅為何？解答：可依下列步驟操作： 2 1 左移左右伸縮倍 2 3 2 y  sin x   y  sin( x . y  sin(2 x . 3. )  . 2 2 上下伸縮 4 倍 )   y  4sin(2 x  )。 3 3. 也可依下列步驟操作： 1 左右伸縮倍. 左移. . 3 2 y  sin x   y  sin 2 x    2 2 上下伸縮 4 倍 y  sin 2( x  )  sin(2 x  )   y  4sin(2 x  )。 3 3 3 2 該函數的週期為   ，振幅為 4 。 2. 【討論】若要你求出 y  a sin x  b cos x 的極值(最大值、最小值)，你應該如何求?若你是將 y  a sin x 與 y  b cos x 的圖形分別畫出來，然後將兩者的圖形疊合起來，你會發現並不容易觀察出圖形的性質，如最高點或最低點的位置，甚至圖形是否有規律等，這些都不容易馬上看出來，因此我們希望能夠有比較好的方法來解這個問題。 1. 在坐標平面上，利用 y  sin x 及 y  cos x 的圖形，經由疊合的概念，可以逐點描畫函數 y  sin x  cos x 的圖形，如圖，舉其中兩點為例，說明描點的方法：. x  x1 ， sin x1  P1 F1 ， cos x1  PG 1 1 ，. 取 H1 ，使 P1 H1  P1 F1  PG 1 1  sin x1  cos x1 ，則點 H1 在 y  sin x  cos x 圖形上。 x  x2 ， sin x2  P2 F2 ， cos x2   P2G2 ，取 H 2，使  P2 H 2  P2 F2  P2G2  sin x2  cos x2 ，則點 H 2 在 y  sin x  cos x 圖形上。觀察 y  sin x  cos x 的圖形，它似乎是正弦波。從圓周運動的觀點，在坐標平面上，設 O(0,0), A(1,0), B(0,1), C(1,1) ，如圖，. 19.

(3) 令正方形 OACB 繞原點 O 旋轉，等角速度   1，則動點 A, B, C 的坐標是時間 t 的函數如下：   A ( cost ， sin t )， B (  sin t ， cost )，(即( cos(t  ) ， sin(t  ) )) 2. 2.   C ( 2 cos(t  ) ， 2 sin(t  ) )， 4. 4. 由 OA OB  OC 及向量加法的坐標表示，  其 y 坐標滿足 sin t  cos t  2 sin(t  ) 。 4.  將變數符號 t 改成 x ，則得 sin x  cos x  2 sin( x  ) 。 4. 因此， y  sin x  cos x 的圖形的確是正弦波，它可由 y  sin x 的圖形上下伸縮  2 倍，振幅成為 2 ，再左移而得，其週期仍為 2 ，比對圖便可印證。 4. 2.. 從另一方面考慮： y  sin x  cos x  2(. 1. sin x . 2. 1 2. cos x)  2(sin x cos. . .  cos x sin ) 。 4 4.  再由 sin 的和角公式 sin(   )  sin  cos   cos  sin  ，即得 y  2 sin( x  ) ， . 4. 亦可知 y  sin x 與 y  cos x 的圖形疊合會得到正弦波 y  2 sin( x  ) 。 4. 在坐標平面上，設 O(0,0), A(a,0), B(0, b),C(a, b) ，其中 a  0 ， b  0 ，如，. 令矩形 OACB 以等角速度  環繞原點 O 旋轉，則由 OA OB  OC 的 y 坐標可得 a sin t  b cos t  a 2  b 2 sin(t   ) ，其中  滿足 cos  . a a 2  b2. b. ， sin  . a 2  b2. 。. 將變數符號 t 改成 x ，則可得 a sin  x  b cos  x  a 2  b 2 sin( x   ) 。一般而言，設 a, b 是不皆為 0 的實數，  是正實數，則 a. a sin  x  b cos  x  a 2  b2 (. 此時， (. a a b 2. 2. )2  (. a b 2. b a b 2. 2. 2. sin  x . )2  1 。故點 P(. 20. b a  b2 a 2. a b 2. cos  x) ，. 2. ,. b a  b2 2. ) 在單位圓上，.

(4) 設廣義角  以 OP 為終邊(若限制 0    2 ，則  唯一)，得 cos   sin  . b a  b2 2. a a 2  b2. ，. 。. 於是，a sin  x  b cos  x  a 2  b 2 (sin  x cos   cos  x sin  )  a 2  b 2 sin( x   )。 2 因此，函數 y  a sin  x  b cos  x 的圖形都是以為週期的正弦波，振幅為  a 2  b2 。由此亦可知： x 是任意實數時，函數 y  a sin  x  b cos  x 的最大值 3.. 是 a 2  b2 ，而最小值是  a 2  b2 。正、餘弦函數的疊合：設 a, b 不皆為 0 ，   0 ，則 a sin  x  b cos  x  a 2  b 2 sin( x   ) 。其中  滿足 cos   2. a a b 2. 2. ， sin  . b a  b2 2. ，故 y  a sin  x  b cos  x 的圖形是週期為. 、振幅為 a 2  b2 的正弦波，而 y 的最大值是 a 2  b2 、最小值是.   a 2  b2 。. 4..  由於 cos  x  sin( x  ) ，當 a, b 都是正實數時， y  b cos  x 的圖形是正弦波，. 而週期同為. 2. . 2. 的正弦波 y  a sin  x 與 y  b cos  x 疊合得到. y  a sin  x  b cos  x  a 2  b 2 sin( x   ) ，（cos . 其圖形仍是週期為. a a b 2. 2. , sin  . b a  b2 2. ）. 2. 的正弦波。一般而言，兩個週期相同的正弦波疊合後  仍得到一個同樣週期的正弦波。換言之，給定正實數  ， r1 ， r2 ，及任意實數 1 ，  2 ，必存在正實數 r0 及實數 0 ，使 r1 sin(t  1 )  r2 sin(t  2 )  r0 sin(t  0 ) ，其中 t 是變數。以圓周運動觀點說明如下：在坐標平面上，設 O(0,0) ， A ( r1 cos1 ， r1 sin 1 )， B ( r2 cos2 ， r2 sin 2 )，令 OA OB  OC ，如圖，. 且 C ( r0 cos0 ， r0 sin0 )，將平行四邊形 OACB 以等角速度  繞原點 O 旋轉，則動點 A, B, C 的坐標是時間 t 的函數如下： A ( r1 cos(t  1 ) ， r1 sin(t  1 ) )， B ( r2 cos(t  2 ) ， r2 sin(t  2 ) )， C ( r0 cos(t  0 ) ， r0 sin(t  0 ) )。由 OA OB  OC 及向量加法的坐標表示，其 y 坐標滿足 r1 sin(t  1 )  r2 sin(t  2 )  r0 sin(t  0 ) 。. 21.

(5) 【問題】 1. 試說明函數 y  sin 2 x  3 cos 2 x 的圖形如何由 y  sin x 的圖形經平移、伸縮而得？又該函數的週期、振幅為何？解答： 1 3 y  sin 2 x  3 cos 2 x  2( sin 2 x  cos 2 x) 2 2  2(sin 2 x cos. . . .  cos 2 x sin )  2sin(2 x  ) ， 3 3 3. 故可依下列步驟操作：右移. . . 1 左右伸縮倍. 3 2 y  sin x   y  sin( x  )   3. . . 上下伸縮 2 倍 y  sin(2 x  )   y  2sin(2 x  ) ， 3 3 2 該函數的週期為   ，振幅為 2。 2. 2.. 分別求 y  sin x  cos x 及 y  3sin x  4 cos x 的極值。解答： (方法一) 利用兩個圖形的疊合如下： y y=sinx+cosx. y=cosx. 2 y=sinx. x. y y=3sinx+4cosx y=4cosx x 2 y=3sinx (方法二) y 2  (sin x  cos x) 2  1 2 sin x cos x  1 sin 2x  2   2  y  2 y 2  (3 sin x  4 cos x) 2.  9 sin 2 x  16 cos2 x  24sin x cos x  9  7 cos2 x  24sin x cos x. 22.

(6) 【思考】 (方法一)對於一般情形如求 y  sin x  cos x 或 y  3sin x  4 cos x 的極值時，不一定適用，可能連圖形長什麼樣子都猜測不出來。 (方法二)適用於 y  sin x  cos x ，但不適用於 y  3sin x  4 cos x 。基於以上原因，所以我們要想別種分法。【方法】 1. 如何求 y  a sin x  b cos x  c 的極值？ y  a sin x  b cos x  c  sin x  a  cos x  b  c a b  a 2  b 2 (sin x   cos x  )c a2  b2 a2  b2.  a 2  b 2 (sin x  cos  cos x  sin )  c b  sin   2 a  b2  ，  a 2  b 2 sin( x   )  c ，其中  a cos   a2  b2. 則  a 2  b 2  a 2  b 2  sin( x   )  a 2  b 2 。即  a 2  b 2  c  a 2  b 2  sin( x   )  c  a 2  b 2  c ，故 y 的最大值為 a 2  b 2  c ，最小值為  a 2  b 2  c 。【問題】 1. 可否將 y  a sin x  b cos x  c 化成 cos 的形式，然後再求極值？解答： y  a sin x  b cos x  c  cos x  b  sin x  a  c b a  a 2  b 2 (cos x   sin x  )c a2  b2 a2  b2.  a 2  b 2 (cos x  cos  sin x  sin )  c a  sin   2 a  b2  2 2 。  a  b cos(x   )  c ，其中  b cos   a2  b2. 則  a 2  b 2  a 2  b 2  cos(x   )  a 2  b 2 。即  a 2  b 2  c  a 2  b 2  cos(x   )  c  a 2  b 2  c ，故 y 的最大值為 a 2  b 2  c ，最小值為  a 2  b 2  c 。 2. 是否有幾何上的意義？解答：將圖形視為正弦函數圖形或餘弦函數圖形的平移伸縮皆可。註： 1. a sin x  b cos x 為一種正弦與餘弦之線性函數的關係。 2. 注意角度是否有範圍限制？ 3. 角度必須相同，才可利用疊合的方法。 4. 常將 sin x cos x 與 sin x  cos x 結合在一起求極值。 23.

(7) 【討論】 1. 二次曲線的參數式：坐標平面上，直線 L 以 d  ( , m) 為方向向量，且通過點 ( x0 , y0 ) 時， L 的參  x  x0  t ，其中參數 t 是任意實數，它的意義是直線 L 上的點坐標  y  y0  mt. 數式為 . ( x, y) 都可表為 ( x0  t , y0  mt ) ，給定 t 值即可決定 L 上一點。而 r  0 時，圓 C : x2  y 2  r 2 上的點坐標 ( x, y) 都可表為( r cos  ， r sin  )，因此，圓 C 的參數  x  r cos 式為  ，其中參數  可為任意實數，但限制 0   <2 時，此參數表  y  r sin  示法唯一。 2. 圓的參數式：  x  r cos 以原點為圓心，r 為半徑的圓，其參數式為  ，參數  可為任意實數，  y  r sin  若取 0   <2 ，則此參數表示法唯一。【問題】 1. 設點 P( x, y) 在圓 x2  y 2  4 上，求 3x  4 y 的最大值及最小值。解答：解法一》  x  2cos  設 ，則  y  2sin  4 3 3x  4 y  6cos  8sin   10( sin   cos ) 5 5 4 3  10(sin  cos   cos sin  )  10sin(   ) ，其中 cos    ， sin   。 5 5 由於 sin(   ) 的最大值及最小值分別為 1 及 1 ，故 3x  4 y 的最大值為 10 ，最小值為 10 。. 解法二》 3 4. k 的直線，若 k 值變動，則 3 直線 3x  4 y  k 平行變動，當變動到與圓 x2  y 2  4 相切時， k 就有最大值與. 給定 k 值時， 3x  4 y  k 是斜率為，且 x 截距為. 最小值。由圓心 (0,0) 到切線距離等於半徑 2 ，可得 |k| 3  (4) 2. 2. 2，. |k|  2 ， | k | 10 ， k  10 ， 5. 故 3x  4 y 的最大值為 10 ，最小值為 10 。. 24.

(8) 【討論】 1. 將單位圓 C：x 2  y 2  1 在水平方向伸縮 a 倍( a  0 )、鉛直方向伸縮 b 倍，則可 x2 y 2  1。 a 2 b2 此時，圓 C 上的點( cos  ， sin  )變換成點( a cos  ， b sin  )， (a cos ) 2 (b sin  ) 2   cos 2   sin 2   1 。而 a2 b2 故橢圓  上的點坐標都可表為( a cos  ， b sin  )，  x  a cos 即  的參數式為  ，其中參數  可為任意實數，  y  b sin . 得橢圓  ：. 但限制 0    2 時，此參數表示法唯一。由橢圓的參數式可知給定橢圓  ：. x2 y 2   1 時，可用尺規作圖描畫出  上 a 2 b2. 的一些點，方法如下：以原點 O 為圓心，分別以 a 及 b 為半徑畫同心圓 C1 ： x 2  y 2  a 2 及 C2 ： x 2  y 2  b2。任取一廣義角  ，則  的終邊分別與圓 C1 及 C2 交於點 P1 ( a cos  ， a sin  )及 P2 ( b cos  ， b sin  )，過點 P1 作鉛直線、過點 P2 作水平線，設兩直線交於點 P ，則點 P 的坐標為( a cos  ， b sin  )，故點 P 落在橢圓  上。逐次改變  的方向並作出對應的點 P ，即可得到橢圓  的近似圖形，如圖所示。. 2.. (注意：  所指方向並非 OP 的方向) 橢圓的參數式：橢圓.  x  a cos x2 y 2  2  1 的參數式可表為  ， 2 a b  y  b sin . 參數  可為任意實數，若取 0    2 ，則此參數表示法唯一。. 25.

(9) 【問題】 1.. x2 y 2   1 ，已知 A(5,0), B(0,4) 是  上的定點， P 是  上的動 25 16 點，求 △ APB 面積的最大值，並求有最大值時的 P 點坐標。. 設橢圓  ：解答：. ：. x2 y 2   1 ，可令 P ( 5cos  ， 4sin  )。 52 4 2. AB  (5,  4) ， AP  (5cos  5, 4sin  ) ，. △ APB   10 |. 5 4 1 | | 2 5cos   5 4sin . 1 |  10 | sin   cos  1| ， cos  1 sin  1. 其中， 1. sin   cos  1  2(  2(sin  cos. .  4. 1 2. cos )  1. . .  cos sin )  1  2 sin(  )  1 ， 4 4 4.  2  1  2 sin( . 故取  . 2. sin  . . 4. ) 1  2 1。. 時， | sin   cos  1| 有最大值 2 + 1，. 即 APB 的面積有最大值 10( 2  1) ，此時 P 點坐標為( 5cos 2..  4. ， 4sin. . )，即 (. 5 2 , 2 2) 。 2. 4 x2 y 2 設點 F 及 F ' 是橢圓  ：   1 的焦點，已知第一象限中，點 P 在  上， 25 9 且 FPF' 是直角，求 P 點坐標。. 解答：橢圓  ：. x2 y 2   1 的半長軸 a  5 、半短軸 b  3 ，故焦點到中心的距離 52 32. c  a2  b2  52  32  16  4 。. 可令 F (4,0), F ' (4,0) ，又設 P ( 5cos  ， 3sin  )，其中 0   .  2. ，則. PF  (4  5cos ,  3sin  ) ， PF'  (4  5cos ,  3sin  ) ，. 已知 FPF' 是直角，即 PF  PF' ，故 PF  PF'  0 ，即 (4  5cos )(4  5cos )  (3sin  )(3sin  )  0 ， 25cos2   16  9sin 2   0 ， 25(1  sin 2  )  16  9sin 2   0 ， 9  16sin 2   0 ， 9  3 ， sin   ，( 0    , sin   0 )， sin 2   16. 2. 4. 3 4. 又 cos  1  sin 2   1  ( ) 2 . 7 5 7 9 ，故 P 點坐標為 ( , )。 4 4 4. 26.

(10) 【性質】 1. 正弦波：設 r, k , c 是常數，其中 r  0 ， k  0 ，則函數 y  r sin(kx  c) 的圖形可由 y  sin x 2 的圖形經平移、伸縮而得，其週期為，振幅為 r 。 k. 2. 正、餘弦函數的疊合：設 a, b 不皆為 0 ，   0 ，則 a sin  x  b cos  x  a 2  b 2 sin( x   ) ，其中  滿足 cos  . a a b 2. 2. ， sin  . b a b 2. 2. ，故 a sin  x  b cos  x 的最大值為 a 2  b2 ，最. 小值為  a  b 。 3. 兩個週期相同的正弦波疊合：給定正實數  ， r1 ， r2 及任意實數 1 ，  2 ，必存在正實數 r0 及實數 0 ，使 r1 sin(t  1 )  r2 sin(t  2 )  r0 sin(t  0 ) 。 4. 圓的參數式：  x  r cos 圓 x 2  y 2  r 2 的參數式為  ， 0    2 。  y  r sin  5. 橢圓的參數式：  x  a cos x2 y 2 橢圓 2  2  1 的參數式為  ， 0    2 。 a b  y  b sin  2. 2. 27.

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