2020年中考数学压轴题专题18 《创新型与新定义综合问题》

专题

18 创新型与新定义综合问题

【考点_{1】几何综合探究类阅读理解问题}

【例1】（2019·甘肃天水）如图 1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（_{1）概念理解：如图 2，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，问四边形 ABCD 是垂美四边形吗？请说} 明理由；

（2）性质探究：如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，AC⊥BD． 试证明：_{AB2+CD2=AD2+BC2；}

（3）解决问题：如图 3，分别以 Rt△ACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE， 连结_{CE、BG、GE．已知 AC=4，AB=5，求 GE 的长．}

【变式1-1】（2019·甘肃白银）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

例题：如图①，在等边△_{ABC 中，M 是 BC 边上一点（不含端点 B，C），N 是△ABC 的外角∠ACH 的平} 分线上一点，且_{AM=MN．求证：∠AMN=60°．}

点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE 与 NC 的延长线相交于点 E，得等边△BEC，连接 EM．易证：△ABM ≌△_{EBM（SAS），可得 AM=EM，∠1=∠2；又 AM=MN，则 EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+} ∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°． 问题：如图③，在正方形_{A1B1C1D1 中，M1 是 B1C1 边上一点（不含端点 B1，C1），N1 是正方形 A1B1C1D1} 的外角∠_{D1C1H1 的平分线上一点，且 A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．}

【变式_{1-2】（2019·湖北咸宁）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．} 理解：

（_{1）如图 1，点 A，B，C 在⊙O 上，∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D，连接 AD，CD．} 求证：四边形_{ABCD 是等补四边形；}

探究：

（_{2）如图 2，在等补四边形 ABCD 中，AB=AD，连接 AC，AC 是否平分∠BCD？请说明理由．} 运用： （_{3）如图 3，在等补四边形 ABCD 中，AB=AD，其外角∠EAD 的平分线交 CD 的延长线于点 F，CD=10，} AF=5，求 DF 的长． 【考点_{2】代数类新定义及阅读理解型问题} 【例_{2】（2019•自贡）阅读下列材料：小明为了计算 1+2+22+…+22017+22018 的值，采用以下方法：} 设_{S=1+2+22+…+22017+22018①，} 则2S=2+22+…+22018+22019②， ②–①得_{2S–S=S=22019–1，} ∴_{S=1+2+22+…+22017+22018=22019–1.} 请仿照小明的方法解决以下问题： （_{1）1+2+22+…+29=__________；} （2）3+32+…+310=__________； （_{3）求 1+a+a2+…+an 的和（a＞0，n 是正整数），请写出计算过程．} 【变式_{2-1】（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为 m，n，我们可将这个两位数记为}

mn

， 易知

mn

=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如

abc

=100a+10b+c． 【基础训练】

（_{1）解方程填空：} ①若

2x

+

x

3

=45，则 x=__________； ②若

7y

–

y

8

_{=26，则 y=__________；} ③若

t

93

₊

5 8

t

₌

13 1

t

，则_{t=__________；} 【能力提升】 （_{2）交换任意一个两位数}

mn

的个位数字与十位数字，可得到一个新数

nm

，则

mn

₊

nm

一定能被 __________整除，

mn

–

nm

一定能被_{__________整除，}

mn

•

nm

–_{mn 一定能被__________整除；（请从大} 于5 的整数中选择合适的数填空） 【探索发现】 （_{3）北京时间 2019 年 4 月 10 日 21 时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连} 光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不 相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数 减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用 532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排 列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”． ①该“卡普雷卡尔黑洞数”为_{__________；} ②设任选的三位数为

abc

（不妨设_{a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．} 【变式2-2】（2019•济宁）阅读下面的材料： 如果函数_{y=f（x）满足：对于自变量 x 的取值范围内的任意 x1，x2，} （_{1）若 x1<x2，都有 f（x1）<f（x2），则称 f（x）是增函数；} （_{2）若 x1<x2，都有 f（x1）＞f（x2），则称 f（x）是减函数．} 例题：证明函数_f（x）=

6

x

（_{x＞0）是减函数．} 证明：设_0<x1<x2， f（x1）–f（x2）=



2 1



2 1 1 2 1 2 1 2

6

6

6

6

6

x

x

x x

x

x

x x

x x











． ∵_{0<x1<x2，∴x2–x1＞0，x1x2＞0．} ∴



2 1



1 2

6 x

x

x x



＞_{0．即 f（x1）–f（x2）＞0．} ∴_{f（x1）＞f（x2），∴函数 f（x）═}

6

x

（_{x＞0）是减函数．} 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数_f（x）= 2

1

x

_{+x（x<0），}

f（–1）= 2

1

( 1)



_{+（–1）=0，f（–2）=} 2

1

( 2)



_{+（–2）=–}

7

₄

_． （_{1）计算：f（–3）=__________，f（–4）=__________；} （_{2）猜想：函数 f（x）=} 2

1

x

_{+x（x<0）是__________函数（填“增”或“减”）；} （3）请仿照例题证明你的猜想． 【考点_{3】函数类新定义综合型问题} 【例_{3】（2019·江西）特例感知} （1）如图 1，对于抛物线

y

1

   

x

2

x

1

_，

y

2

  

x

2

2

x



1

_，

y

3

  

x

2

3 1

x



_{，下列结论正确的序号} 是_________； ①抛物线

y

1_，

y

2_，

y

3_都经过点

C

(0,1)

_； ②抛物线

y

2_，

y

3_{的对称轴由抛物线}

y

1_{的对称轴依次向左平移}

1

2

个单位得到； ③抛物线

y

1_，

y

2_，

y

3_与直线

y 

1

_{的交点中，相邻两点之间的距离相等.} 形成概念 （_{2）把满足}

y

n

  

x

2

nx



1

_{（n 为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.} 知识应用 在（_{2）中，如图 2.} ①“系列平移抛物线”的顶点依次为

P

1_，

P

2_，

P

3_，…，

P

n_{，用含n 的代数式表示顶点}

P

n_{的坐标，并写出该顶} 点纵坐标y 与横坐标 x 之间的关系式； ②_{“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：}

C

1_，

C

2_，

C

3_，…，

C

n_{，其横坐标} 分别为：

 

k

1

，

 

k

2

，

 

k

3

，…，

 

k n

（k 为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若 相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由. ③在②中，直线

y 

1

分别交_{“系列平移抛物线”于点}

A

1_，

A

2_，

A

3_，…，

A

n_，连接

C A

n n_，

C A

n1 n1_，判断

C A

n n_， 1 1 n n

C A

  _{是否平行？并说明理由.}

【变式_{3-1】（2019•山东威海）（1）阅读理解} 如图，点A，B 在反比例函数 y=

1

x

的图象上，连接AB，取线段 AB 的中点 C．分别过点 A，C，B 作 x 轴 的垂线，垂足为E，F，G，CF 交反比例函数 y=

1

x

的图象于点D．点 E，F，G 的横坐标分别为 n﹣1，n， n+1（n>1）． 小红通过观察反比例函数_y=

1

x

的图象，并运用几何知识得出结论： AE+BG=2CF，CF>DF， 由此得出一个关于

1

1

n 

，

1

1

n 

，

2

n

，之间数量关系的命题： 若_{n>1，则__________．} （_{2）证明命题} 小东认为：可以通过“若_{a﹣b≥0，则 a≥b”的思路证明上述命题．}

小晴认为：可以通过“若a>0，b>0，且 a÷b≥1，则 a≥b”的思路证明上述命题． 请你选择一种方法证明（_{1）中的命题．} 【变式_{3-2】定义：如图，若双曲线}





k y k 0 x >  与它的其中一条对称轴y x 相交于两点_{A，B，则线段} AB 的长称为双曲线





k y k 0 x >  的对径．

（_{1）求双曲线} 1 y x  的对径_; （_{2）若某双曲线}





k y k 0 x >  对径是10 2 _{.求 k 的值;} （_{3）仿照上述定义,请你定义双曲线}





k y k 0 x <  的对径_. 【考点4】变换操作类阅读型问题 【例_{4】．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四} 边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边_. (1)写出你所学过的特殊的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 、 ； (2)如图 1，已知格点（小正方形的顶点）O0,0、A3,0、B0,4，点 C 为图中所给方格中的另一个格点， 四边形_{OACB 是以 OA 、OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形，求点 C 的坐标；} (3)如图 2，将ABC（ BC  AB ）绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60，得到DBE ，连接 AD 、DC ，四 边形 ABCD 是勾股四边形，其中 DC 、BC 为勾股边，求DCB 的度数. 【变式_{4-1】类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．} （_{1） 概念理解：} 如图_{1，在四边形}

ABCD

中，添加一个条件，使得四边形

ABCD

是_{“等邻边四边形”，请写出你添加的一个} 条件： ． （_{2） 问题探究：}

如图_{2，小红画了一个}

Rt

ABC

，其中



ABC

 

90

，

AB 

2

，

BC 

1

，并将

Rt

ABC

沿



B

的平分线

BB

方向平移得到



A

'

B

'

C

'，连结

AA

、

BC

．小红要使平移后的四边形

ABC A

 

是“等邻边四边形”，应

（_{3） 应用拓展：} 如 图 3 ， “等 邻 边 四 边 形 ”

ABCD

中 ，

AB AD



，



BAD

 

BCD

 

90

，

AC

、

BD

为 对 角 线 ，

2

AC



AB

_．试探究

BC

、

CD

、

BD

的数量关系． 【变式4-2】（2019•湖南长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四 边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． （_{1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”} 或“假”）． ①四条边成比例的两个凸四边形相似；（_{__________命题）} ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（__________命题） ③两个大小不同的正方形相似．（_{__________命题）}

（_{2 ）如图 1，在四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1 中，∠ABC= ∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1 ，}

1 1

AB

A B

_{= 1 1}

BC

B C

_{= 1 1}

CD

C D

_{．求证：四边形ABCD 与四边形 A1B1C1D1 相似．}

（_{3）如图 2，四边形 ABCD 中，AB∥CD，AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作 EF∥AB 分别交 AD，BC 于} 点_{E，F．记四边形 ABFE 的面积为 S1，四边形 EFCD 的面积为 S2，若四边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似，}

求

2 1

S

S

_的值．

1．（2019•湘西州）阅读材料：设

a

=（x1，y1），

b



=（x2，y2），如果

a

∥

b



，则_{x1•y2=x2•y1，根据该材} 料填空，已知

a

_{=（4，3），}

b



_{=（8，m），且}

a

∥

b



，则_{m=__________．}

2．（2019•白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若 等腰△_{ABC 中，∠A=80°，则它的特征值 k=__________．}

3.我们定义：对于抛物线y ax 2bx c a



0



，以

y

轴上的点

M



0,

m



为中心，作该抛物线关于点

M

对称 的 抛 物 线 y'， 则 我 们 又 称 抛 物 线y'为 抛 物 线

y

的_{“衍生抛物线”，点}

M

为_{“衍生中心”，若抛物线} 2

₂

₅

y

  

x

x



_关于点



0,m



_{的衍生抛物线为}y'_{，若这两条抛物线有交点，则}

_m

_{的取值范围是______.} 4.（2019•河北）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． 示例： 即_4+3=7． 则（_{1）用含 x 的式子表示 m=__________；} （2）当 y=–2 时，n 的值为__________． 5.（2019•湖北宜昌•3 分）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积 的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是_{a，b，c，记 p=}

2

a b c

 

，那么三角形 的面积为_S=

p p a p b p c

(



)(



)(



)

．如图，在△_{ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别记为 a，b，c，} 若_{a=5，b=6，c=7，则△ABC 的面积为（} ） A．6

6

B．6

3

C．18 D．

19

2

6.（2019•山东临沂）一般地，如果 x4=a（a≥0），则称 x 为 a 的四次方根，一个正数 a 的四次方根有两个．它 们互为相反数，记为±4

a

，若4

m

4 _{=10，则 m=__________．} 7.（2019•湖北十堰）对于实数 a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m ﹣3）=24，则 m=__________． 8．据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂 直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若_{M、N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），P 是二次函} 数y=

4

1

x2 的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线 y=－1 于点 Q，则四边形 PMNQ 是广义菱形．其 中正确的是_{__________．（填序号）}

9.（2019•浙江湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为 4 的正方形ABCD 可以制作一副如图1 所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形 EFGH 内拼成如图 2 所示的“拼搏兔”造型 （其中点_{Q、R 分别与图 2 中的点 E、G 重合，点 P 在边 EH 上），则“拼搏兔”所在正方形 EFGH 的边长} 是_{__________．} 10（2019•广西贵港）我们定义一种新函数：形如 y=|ax2+bx+c|（a≠0，且 b2﹣4a>0）的函数叫做“鹊桥”函数．小 丽同学画出了_{“鹊桥”函数 y=|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点} 为（﹣_{1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线 x=1；③当﹣1≤x≤1 或 x≥3 时，函数} 值_{y 随 x 值的增大而增大；④当 x=﹣1 或 x=3 时，函数的最小值是 0；⑤当 x=1 时，函数的最大值是 4．其} 中正确结论的个数是__________． 11.（2019·贵州安顺）阅读以下材料： 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617 年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前， 直到_{18 世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783 年）才发现指数与对数之间的联系．}

对数的定义：一般地，若_{ax=N（a>0 且 a≠1），那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x=logaN，比如指数式} 24=16 可以转化为对数式 4=log216，对数式 2=log525，可以转化为指数式 52=25． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： loga（M•N）=logaM+logaN（a>0，a≠1，M>0，N>0），理由如下： 设_{logaM=m，logaN=n，则 M=am，N=an，} ∴_{M•N=am•an=am+n，由对数的定义得 m+n=loga（M•N）} 又∵_{m+n=logaM+logaN} ∴_{loga（M•N）=logaM+logaN} 根据阅读材料，解决以下问题： （_{1）将指数式 34=81 转化为对数式；} （_{2）求证：loga}

M

N

_{=logaM﹣logaN（a>0，a≠1，M>0，N>0）} （3）拓展运用：计算 log69+log68﹣log62=． 12．定义：有一个角是其对角两倍的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角

.

已知四边形

ABCD 是圆美四边形

 

1

求美角



C

的度数；

 

2

如图1，若



O

的半径为

2 3

，求BD 的长；

 

3

_{如图2，若 CA 平分}

_

_BCD

_，求证：

_{BC CD AC}

_

_

_．

13.（2019•枣庄）对于实数 a、b，定义关于“⊗ ”的一种运算：a⊗ b=2a+b，例如 3⊗ 4=2×3+4=10． （_{1）求 4⊗ （–3）的值；} （_{2）若 x⊗ （–y）=2，（2y）⊗ x=–1，求 x+y 的值．} 14．在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质. 定义_{1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边} 形（如图_1）. （_{1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号）} ； ① ② ③ 定义_{2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图 2）.}

特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形_.

小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究_. 下面是小洁的探究过程，请补充完整：

（_{2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以} 证明；

（_{3）如图 2，在燕尾四边形 ABCD 中，AB=AD=6，BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四边形 ABCD 的面} 积（直接写出结果）_. 15．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的奇妙四边形. （_{1）如图①，已知四边形}

ABCD

是⊙

O

的奇妙四边形，若

AC 

6

，

BD 

8

则

S

四边形ABCD

=

_{_______；} （_{2）如图②，已知四边形}

ABCD

内接于⊙

O

，对角线交于点

E

，若

 

m

AD BC





180



_， ①求证：四边形

ABCD

是⊙

O

的奇妙四边形； ②作

OM BC



于

M

，请猜想

AD

与

OM

之间的数量关系，并推理说明_. 16．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解：

 

1

_{如图1，点}

_{A B C}

， ，

_在

_

_O

_上，

_

ABC

_{的平分线交}

_

_O

_于点

_D

_，连接

AD CD

，

．

_{求证：四边形}

ABCD

是等补四边形； 探究：

 

2

如图_{2，在等补四边形}

ABCD

中

，

AB AD

＝

，

连接

AC AC

，

是否平分



BCD

?

请说明理由． 运用：

 

3

如 图 _{3 ， 在 等 补 四 边 形}

ABCD

中 ， AB AD＝ ， 其 外 角



EAD

的 平 分 线 交

CD

的 延 长 线 于 点

10

5

F CD

，

＝ ，

AF

＝ ，

_求

_DF

_的长．

17．定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“准菱形”，利用该定义完成以下各题：

（1）理解：如图 1，在四边形 ABCD 中，若__________（填一种情况），则四边形 ABCD 是“准菱形”； （_{2）应用：证明：对角线相等且互相平分的“准菱形”是正方形；（请画出图形，写出已知，求证并证明）} （_{3）拓展：如图 2，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，将 Rt△ABC 沿∠ABC 的平分线 BP 方} 向平移得到△_{DEF，连接 AD，BF，若平移后的四边形 ABFD 是“准菱形”，求线段 BE 的长．}

18 ． 定 义 : 有 且 仅 有 一 组 对 角 相 等 的 凸 四 边 形 叫 做 “ 准 平 行 四 边 形 ”. 例 如 : 凸 四 边 形

ABCD

中 ， 若

,

A

C B

D

     

_{，则称四边形}

_ABCD

_{为准平行四边形.} （1）如图①，

A P B C

, , ,

是



O

上的四个点，



APC

 

CPB

 

60

，延长

BP

到

Q

，使

AQ AP



.求证: 四边形

AQBC

是准平行四边形； （_{2）如图②，准平行四边形}

ABCD

内接于



O

，

AB AD BC DC



,



，若



O

的半径为

5,

AB 

6

，求

AC

的长；

（_{3）如图③，在}

Rt ABC



中，

     

C

90 ,

A

30 ,

BC



2

，若四边形

ABCD

是准平行四边形，且

BCD

BAD



 

_{，请直接写出}

_BD

_{长的最大值.} 19．阅读理解并解决问题：一般地，如果把一个图形绕着一个定点旋转一定角度



（



小于

360

）后，能 够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心.



叫做这个旋转对称 图形的一个旋转角_{.请依据上述定义解答下列问题：} （_{1）请写出一个旋转对称图形，这个图形有一个旋转角是}

90

_{.这个图形可以是______；} （_{2）为了美化环境，某中学需要在一块正六边形空地上分别种植六种不同的花草，现将这块空地按下列要} 求分成六块：①分割后的整个图形必须既是轴对称图形又是旋转对称图形；②六块图形的面积相同.请你按 上述两个要求，分别在图中的三个正六边形中画出三种不同的分割方法（只要求画图正确，不写作法）_. 20．给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股 四边形． （_{1）以下四边形中，是勾股四边形的为} ．（填写序号即可） ①矩形；②有一个角为直角的任意凸四边形；③有一个角为60°的菱形．

①求证：△_{BCE 是等边三角形；} ②求证：四边形_{ABCD 是勾股四边形．}

21.（2019·黔东南州）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中 某些材料摘录如下：

对于三个实，数_{a，b，c，用 M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用 min{a，b，c}表示这三个数中最小的}

数，例如_{M{1，2，9}=}

1 2 9

3

 

=4，min{1，2，–3}=–3，min（3，1，1}=1．请结合上述材料，解决下列 问题： （_{1）①M{（–2）2，22，–22}=__________，} ②min{sin30°，cos60°，tan45°}=__________； （_{2）若 min（3–2x，1+3x，–5}=–5，则 x 的取值范围为__________；} （_{3）若 M{–2x，x2，3}=2，求 x 的值；} （_{4）如果 M{2，1+x，2x}=min{2，1+x，2x}，求 x 的值．} 22．定义：如图 1，抛物线

y ax bx c



2





（

a 

0

）与

x

轴交于

A

， B 两点，点 P 在该抛物线上（ P 点 与

A

， B 两点不重合），如果



ABP

的三边满足

AP

2



BP

2



AB

2，则称点 P 为抛物线

y ax bx c



2





（

a 

0

）的勾股点_. （_{1）求证：点}

M

(0, 1)



是抛物线

y x



2



1

的勾股点_. （2）如图 2，已知抛物线

C y ax bx

:



2



（

a 

0

）与

x

轴交于

A

， B 两点，点

P 

(1,

3)

是抛物线

C

的 勾股点，求抛物线

C

的函数表达式_. 23．定义：若抛物线





2 2

:

0

L y mx nx m







与抛物线





2 1

:

0

L y ax bx a







的开口大小相同，方向相

反，且抛物线

L

2_经过

L

1_{的顶点，我们称抛物线}

L

2_为

L

1_{的“友好抛物线”．} （_1）若

L

1_{的表达式为}

y x



2



2

x

_，求

L

1_{的“友好抛物线”的表达式；} （2）已知抛物线 2 2

:

L y mx





nx

为 2 1

:

L y ax bx





的“友好抛物线”．求证：抛物线

L

1_也是

L

2_的“友好 抛物线_”； （_{3）平面上有点}

P

 

1,0

，

Q

 

3,0

，抛物线 2 2

:

L y mx





nx

_为 2 1

:

L y ax



_{的“友好抛物线”，且抛物线}

L

₂ 的顶点在第一象限，纵坐标为2，当抛物线

L

2_与线段

PQ

_{没有公共点时，求}

a

_{的取值范围．} 24．定义：由两条与 x 轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如 图，抛物线C1 与抛物线 C2 组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线 C1 与抛物线 C2 与 x 轴有相同的交点 M， N（点 M 在点 N 的左侧），与 y 轴的交点分别为 A，B 且点 A 的坐标为（0，﹣3），抛物线 C2 的解析式为 y ＝_{mx2+4mx﹣12m，（m＞0）．} （_{1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下．“月牙线”，直接写出两条抛物线的解析式；} （_{2）求 M，N 两点的坐标；} （_{3）在第三象限内的抛物线 C1 上是否存在一点 P，使得△PAM 的面积最大？若存在，求出△PAM 的面积} 的最大值；若不存在，说明理由． 25．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： 求解体验 (1)已知抛物线

y

  

x bx

2



3

经过点(-1,0),则

b

= ，顶点坐标为 ，该抛物线关于 点_{(0,1）成中心对称的抛物线的表达式是 .} 抽象感悟 我们定义：对于抛物线





2

₀

y ax bx c a









,以

y

轴上的点

M



0,

m



为中心，作该抛物线关于 点

M

对称的抛物线

y

'

_{,则我们又称抛物线}

y

'

为抛物线

y

的_{“衍生抛物线”，点}

M

为_{“衍生中心”.} (2)已知抛物线

y

  

x

2

2

x



5

关于点



0,m



的衍生抛物线为

y

'

，若这两条抛物线有交点，求

m

的取值 范围_. 问题解决 (3) 已知抛物线

y ax



2



2

ax b a







0



①若抛物线

y

的衍生抛物线为





2

₂

2

₀

y bx

 



bx a b





,两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求

a b

，

_{的值及衍生中心的坐标；} ②若抛物线

y

关于点





2

0,

k 

1

的衍生抛物线为

y

1 _{,其顶点为}

A

1_；关于点





2

0,

k 

2

的衍生抛物线为

y

2_， 其顶点为

A

2_{；…；关于点}





2

0,k n



的衍生抛物线为

y

n_{，其顶点为}

A

n_；…(

n

_为 正整数_).求

A A

n n1_{的长(用含}

n

_{的式子表示).}

【考点1】几何综合探究类阅读理解问题

【例_{1】（2019·甘肃天水）如图 1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．}

（_{1）概念理解：如图 2，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，问四边形 ABCD 是垂美四边形吗？请说} 明理由；

（_{2）性质探究：如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，AC⊥BD．} 试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；

（_{3）解决问题：如图 3，分别以 Rt△ACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，} 连结_{CE、BG、GE．已知 AC=4，AB=5，求 GE 的长．} 【答案】（_{1）四边形 ABCD 是垂美四边形．理由见解析.（2）见解析.（3）GE=}

73

． 【解析】（_{1）四边形 ABCD 是垂美四边形．理由如下：} ∵_{AB=AD，∴点 A 在线段 BD 的垂直平分线上，} ∵CB=CD，∴点 C 在线段 BD 的垂直平分线上， ∴直线_{AC 是线段 BD 的垂直平分线，} ∴_{AC⊥BD，即四边形 ABCD 是垂美四边形；} （_{2）如图 1，} ∵_{AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，} 由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2， ∴_{AD2+BC2=AB2+CD2；} （_{3）连接 CG、BE，}

∵∠_{CAG=∠BAE=90°，} ∴∠_{CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，} 在△_{GAB 和△CAE 中，}

AG AC

GAB

CAE

AB AE







 





_



_， ∴△_{GAB≌△CAE（SAS），} ∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°， ∴∠_{ABG+∠AME=90°，即 CE⊥BG，} ∴四边形_{CGEB 是垂美四边形，} 由（_{2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，} ∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=4

2

，BE=5

2

， ∴_{GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE=}

73

． 【名师点睛】（_{1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；} （_{3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．本题考查的是正方形的性质、全等三角} 形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题 的关键． 【变式_{1-1】（2019·甘肃白银）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：}

例题：如图①，在等边△_{ABC 中，M 是 BC 边上一点（不含端点 B，C），N 是△ABC 的外角∠ACH 的平} 分线上一点，且_{AM=MN．求证：∠AMN=60°．}

点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE 与 NC 的延长线相交于点 E，得等边△BEC，连接 EM．易证：△ABM ≌△_{EBM（SAS），可得 AM=EM，∠1=∠2；又 AM=MN，则 EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+} ∠_{5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．} 问题：如图③，在正方形_{A1B1C1D1 中，M1 是 B1C1 边上一点（不含端点 B1，C1），N1 是正方形 A1B1C1D1} 的外角∠_{D1C1H1 的平分线上一点，且 A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．}

【答案】见解析_.

【解析】延长_{A1B1 至 E，使 EB1=A1B1，连接 EM1、EC1，} 如图所示：

则_{EB1=B1C1，∠EB1M1=90°=∠A1B1M1，} ∴△_{EB1C1 是等腰直角三角形，} ∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°， ∵_{N1 是正方形 A1B1C1D1 的外角∠D1C1H1 的平分线上一点，} ∴∠_{M1C1N1=90°+45°=135°，} ∴∠_{B1C1E+∠M1C1N1=180°，} ∴_{E、C1、N1 三点共线，} 在△_{A1B1M1 和△EB1M1 中，} 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

A B EB

A B M

EB

M

M

B M

B







 





_



_， ∴△_{A1B1M1≌△EB1M1（SAS），} ∴A1M1=EM1，∠1=∠2， ∵_{A1M1=M1N1，∴EM1=M1N1，∴∠3=∠4，} ∵∠_{2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5，} ∵∠_{1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，} ∴∠_{A1M1N1=180°﹣90°=90°．} 【名师点睛】此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形 的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的 性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键． 【变式_{1-2】（2019·湖北咸宁）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．} 理解：

（1）如图 1，点 A，B，C 在⊙O 上，∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D，连接 AD，CD． 求证：四边形_{ABCD 是等补四边形；}

探究：

（_{2）如图 2，在等补四边形 ABCD 中，AB=AD，连接 AC，AC 是否平分∠BCD？请说明理由．} 运用：

（3）如图 3，在等补四边形 ABCD 中，AB=AD，其外角∠EAD 的平分线交 CD 的延长线于点 F，CD=10， AF=5，求 DF 的长．

【解析】（_{1）如图 1，∵四边形 ABCD 为圆内接四边形，} ∴∠_{A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°，} ∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴

 

AD CD



，∴AD=CD， ∴四边形_{ABCD 是等补四边形；} （2）AD 平分∠BCD，理由如下： 如图_{2，过点 A 分别作 AE⊥BC 于点 E，AF 垂直 CD 的延长线于点 F，} 则∠_{AEB=∠AFD=90°，} ∵四边形_{ABCD 是等补四边形，∴∠B+∠ADC=180°，} 又∠_{ADC+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADF，} ∵_{AB=AD，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AE=AF，} ∴AC 是∠BCF 的平分线，即 AC 平分∠BCD； （_{3）如图 3，连接 AC，}

∵四边形_{ABCD 是等补四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，} 又∠_{BAD+∠EAD=180°，∴∠EAD=∠BCD，} ∵_{AF 平分∠EAD，∴∠FAD=}

1

2

∠_EAD， 由（_{2）知，AC 平分∠BCD，} ∴∠_FCA=

1

2

∠_{BCD，∴∠FCA=∠FAD，} 又∠AFC=∠DFA，∴△ACF∽△DAF， ∴

AF CF

DF



AF

，即

5

10

5

DF

DF





，∴DF=5

2

﹣5． 【名师点睛】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定， 相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等． 【考点_{2】代数类新定义及阅读理解型问题} 【例_{2】（2019•自贡）阅读下列材料：小明为了计算 1+2+22+…+22017+22018 的值，采用以下方法：} 设_{S=1+2+22+…+22017+22018①，} 则_{2S=2+22+…+22018+22019②，} ②–①得2S–S=S=22019–1， ∴_{S=1+2+22+…+22017+22018=22019–1.} 请仿照小明的方法解决以下问题： （_{1）1+2+22+…+29=__________；} （_{2）3+32+…+310=__________；} （3）求 1+a+a2+…+an 的和（a＞0，n 是正整数），请写出计算过程． 【答案】（_{1）210–1；（2）} 11

3

1

2



；（_{3）a=1 时，S=n+1；a≠1 时，S=} 1

₁

1

n

a

a



_



． 【解析】（_{1）设 S=1+2+22+…+29①，} 则2S=2+22+…+210②， ②–①得_{2S–S=S=210–1，} ∴_{S=1+2+22+…+29=210–1；} 故答案为：_210–1； （_{2）设 S=3+3+32+33+34+…+310①，} 则3S=32+33+34+35+…+311②， ②–①得_{2S=311–1，}

所以_S= 11

3

1

2



， 即_{3+32+33+34+…+310=} 11

3

1

2



； 故答案为： 11

3

1

2



； （_{3）设 S=1+a+a2+a3+a4+…+an①，} 则_{aS=a+a2+a3+a4+…+an+an+1②，} ②–①得：（_{a–1）S=an+1–1，} a=1 时，不能直接除以 a–1，此时原式等于 n+1； a≠1 时，a–1 才能做分母，所以 S= 1

₁

1

n

a

a



_



， 即_{1+a+a2+a3+a4+…+an=} 1

₁

1

n

a

a



_



_. 【名师点睛】根据题目给出的信息，提炼解题方法．认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是 解决这类问题的方法． 【变式2-1】（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为 m，n，我们可将这个两位数记为

mn

， 易知

mn

_{=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如}

abc

_{=100a+10b+c．} 【基础训练】 （_{1）解方程填空：} ①若

2x

₊

x

3

_{=45，则 x=__________；} ②若

7y

–

y

8

=26，则 y=__________； ③若

t

93

+

5 8

t

=

13 1

t

，则t=__________； 【能力提升】 （_{2）交换任意一个两位数}

mn

的个位数字与十位数字，可得到一个新数

nm

，则

mn

₊

nm

一定能被 __________整除，

mn

–

nm

一定能被__________整除，

mn

•

nm

–mn 一定能被__________整除；（请从大 于_{5 的整数中选择合适的数填空）} 【探索发现】 （_{3）北京时间 2019 年 4 月 10 日 21 时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连} 光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不 相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数 减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为_{325，则用 532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排}

列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”． ①该“卡普雷卡尔黑洞数”为_{__________；} ②设任选的三位数为

abc

（不妨设_{a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．} 【答案】（_{1）①2．②4．③7．（2）11；9；10．} 【解析】（_1）①∵

mn

_=10m+n， ∴若

2x

₊

x

3

_{=45，则 10×2+x+10x+3=45，} ∴_x=2， 故答案为：_2． ②若

7y

–

y

8

_{=26，则 10×7+y–（10y+8）=26，} 解得_y=4， 故答案为：_4． ③由

abc

_{=100a+10b+c，及四位数的类似公式得} 若

t

93

₊

5 8

t

₌

13 1

t

，则_{100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1，} ∴_100t=700， ∴_t=7， 故答案为：_7． （_2）∵

mn

₊

nm

_{=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n），} ∴则

mn

₊

nm

一定能被_{11 整除，} ∵

mn

–

nm

=10m+n–（10n+m）=9m–9n=9（m–n）， ∴

mn

–

nm

一定能被_{9 整除．} ∵

mn

•

nm

–_{mn=（10m+n）（10n+m）–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10（10mn+m2+n2）} ∴

mn

•

nm

–_{mn 一定能被 10 整除．} 故答案为：_{11；9；10．} （_{3）①若选的数为 325，则用 532–235=297，以下按照上述规则继续计算，} 972–279=693， 963–369=594， 954–459=495， 954–459=495，… 故答案为：_495． ②当任选的三位数为

abc

时，第一次运算后得：100a+10b+c–（100c+10b+a）=99（a–c）， 结果为_{99 的倍数，由于 a＞b＞c，故 a≥b+1≥c+2，}

∴_{a–c≥2，又 9≥a＞c≥0，} ∴_a–c≤9， ∴a–c=2，3，4，5，6，7，8，9， ∴第一次运算后可能得到：_{198，297，396，495，594，693，792，891，} 再让这些数字经过运算，分别可以得到： 981–189=792，972–279=693，963–369=594，954–459–495，954–459=495…， 故都可以得到该黑洞数_495． 【名师点睛】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体中等难度 略大． 【变式_{2-2】（2019•济宁）阅读下面的材料：} 如果函数_{y=f（x）满足：对于自变量 x 的取值范围内的任意 x1，x2，} （_{1）若 x1<x2，都有 f（x1）<f（x2），则称 f（x）是增函数；} （2）若 x1<x2，都有 f（x1）＞f（x2），则称 f（x）是减函数． 例题：证明函数f（x）=

6

x

（x＞0）是减函数． 证明：设_0<x1<x2， f（x1）–f（x2）=



2 1



2 1 1 2 1 2 1 2

6

6

6

6

6

x

x

x x

x

x

x x

x x











． ∵_{0<x1<x2，∴x2–x1＞0，x1x2＞0．} ∴



2 1



1 2

6 x

x

x x



＞0．即 f（x1）–f（x2）＞0． ∴_{f（x1）＞f（x2），∴函数 f（x）═}

6

x

（_{x＞0）是减函数．} 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数f（x）= 2

1

x

_{+x（x<0），} f（–1）= 2

1

( 1)



_{+（–1）=0，f（–2）=} 2

1

( 2)



_{+（–2）=–}

7

₄

_． （_{1）计算：f（–3）=__________，f（–4）=__________；} （2）猜想：函数 f（x）= 2

1

x

_{+x（x<0）是__________函数（填“增”或“减”）；} （_{3）请仿照例题证明你的猜想．} 【答案】（_1）–

26

9

，–

63

16

；（_{2）增；（3）见解析．} 【解析】（_{1）∵f（x）=} 2

1

x

_{+x（x<0），}

∴_f（–3）= 2

1

( 3)



_–3=–

26

₉

_{，f（–4）=} 2

1

( 4)



_–4=–

₁₆

63

_， 故答案为：–

26

9

，–

63

16

； （_{2）∵–4<–3，f（–4）＞f（–3），} ∴函数_f（x）= 2

1

x

_{+x（x<0）是增函数，} 故答案为：增； （_{3）设 x1<x2<0，} ∵_{f（x1）–f（x2）=} 1 2 2 2 1 2

1

_x

1

_x

x

 

x



_{=（x1–x2）（1–} 12 22 1 2

x x

x x



） ∵_{x1<x2<0，∴x1–x2<0，x1+x2<0，} ∴_{f（x1）–f（x2）<0，∴f（x1）<f（x2），} ∴函数_f（x）= 2

1

x

_{+x（x<0）是增函数．} 【名师点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意， 找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答． 【考点3】函数类新定义综合型问题 【例_{3】（2019·江西）特例感知} （_{1）如图 1，对于抛物线}

y

1

   

x

2

x

1

_，

y

2

  

x

2

2

x



1

_，

y

3

  

x

2

3 1

x



_{，下列结论正确的序号} 是_{_________；} ①抛物线

y

1_，

y

2_，

y

3_都经过点

C

(0,1)

_； ②抛物线

y

2_，

y

3_{的对称轴由抛物线}

y

1_{的对称轴依次向左平移}

1

2

个单位得到； ③抛物线

y

1_，

y

2_，

y

3_与直线

y 

1

_{的交点中，相邻两点之间的距离相等.} 形成概念 （2）把满足

y

n

  

x

2

nx



1

_{（n 为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.} 知识应用 在（_{2）中，如图 2.} ①_{“系列平移抛物线”的顶点依次为}

P

1_，

P

2_，

P

3_，…，

P

n_{，用含n 的代数式表示顶点}

P

n_{的坐标，并写出该顶} 点纵坐标_{y 与横坐标 x 之间的关系式；} ②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：

C

1_，

C

2_，

C

3_，…，

C

n_{，其横坐标}

分别为：

 

k

1

，

 

k

2

，

 

k

3

，…，

 

k n

（k 为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若 相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由. ③在②中，直线

y 

1

分别交_{“系列平移抛物线”于点}

A

1_，

A

2_，

A

3_，…，

A

n_，连接

C A

n n_，

C A

n1 n1_，判断

C A

n n_， 1 1 n n

C A

  _{是否平行？并说明理由.} 【答案】（_{1）①②③} （_2）① 2 , 1 2 4 n n n P _  _  _{，y x} 2_1 ． ②相邻两点之间的距离相等，相邻两点距离为 1 k 2 ． ③不平行，直线C An n_{的斜率（比例系数）为}k n _，与n 取值有关(若两直线平行，则斜率会相等). 【解析】（_{1）①当 x=0,}y1 y2 y3 1_{，所以正确；} ②y y y1, ,2 3_{的对称轴分别是直线} 1 1 2 x   ，x  2 1_， 3 3 2 x   ，所以正确； ③y y y1, ,2 3_与y 1_{交点（除了点}C）横坐标分别为–1，–2，–3，所以距离为 1，都相等，正确． （_2）① 2 ₂ 2 ₁ 4 2 4 n n n y   x nx  _x _     _{，所以顶点} 2 ₄ , 2 4 n n n P_  _  _， 令顶点Pn_横坐标 2 n x   ，纵坐标 2 ₄ 4 n y  ， 2 2 2 4 _{1 1} 4 2 n n y   _ _  x    _， 即：Pn_{顶点满足关系式}y x 21. ②相邻两点之间的距离相等． 理由：根据题意得；





2

,

1

n

C

   

k n k

nk



，





2 1

1,

1

n

C



    

k n

k

nk k

 

_， ∴_{CnCn–1 两点之间的铅直高度=}





2

₁

2

₁

k

nk k

k

nk

k

 

    

 

． CnCn–1 两点之间的水平距离=

     

k n

1 (

k n

) 1



．

∴由勾股定理得_{CnCn–12=k2+1，} ∴_CnCn–1=

k 

2

1

_. ③C An n_与C An1 n1_不平行． 理由： 根据题意得：





2

,

1

n

C

   

k n k

nk



，





2 1

1,

1

n

C



    

k n

k

nk k

 

_，



,1



n A n _，An₁



 n 1,1



_． 过_{Cn，Cn–1 分别作直线 y=1 的垂线，垂足为 D，E，} 所以_{D（–k–n，1），E（–k–n+1，1）.} 在_{Rt△DAnCn 中，} tan∠DAnCn=



2



₂

1

1

(

)

n n

k

nk

C D

k

_{nk k n}

A D

n

k n

k

  



_





 

   

_， 在_{Rt△EAn–1Cn–1 中，} tan∠EAn–1Cn–1=



2



₂ 1 1

1

1

1

1 (

1)

n n

k

nk k

C E

k

_{nk k k n}

A E



n

k n

k

  

 

_

_





  

     

_， ∵

k n

 

1

_≠

k n



， ∴_{tan∠DAnCn≠tan∠EAn–1Cn–1，} ∴C An n_与C An1 n1_不平行． 【变式3-1】（2019•山东威海）（1）阅读理解 如图，点A，B 在反比例函数 y=

1

x

的图象上，连接AB，取线段 AB 的中点 C．分别过点 A，C，B 作 x 轴 的垂线，垂足为_{E，F，G，CF 交反比例函数 y=}

1

x

的图象于点_{D．点 E，F，G 的横坐标分别为 n﹣1，n，}

n+1（n>1）． 小红通过观察反比例函数_y=

1

x

的图象，并运用几何知识得出结论： AE+BG=2CF，CF>DF， 由此得出一个关于

1

1

n 

，

1

1

n 

，

2

n

，之间数量关系的命题： 若_{n>1，则__________．} （_{2）证明命题} 小东认为：可以通过“若_{a﹣b≥0，则 a≥b”的思路证明上述命题．}

小晴认为：可以通过“若_{a>0，b>0，且 a÷b≥1，则 a≥b”的思路证明上述命题．} 请你选择一种方法证明（1）中的命题． 【解析】（1）∵AE+BG=2CF，CF>DF，AE=

1

1

n 

，BG=

1

1

n 

，DF=

1

n

， ∴

1

1

n 

₊

1

1

n 

_>

2

n

．故答案为：

1

1

n 

₊

1

1

n 

_>

2

n

． （_{2）方法一：∵}

1

1

n 

₊

1

1

n 

﹣

2

n

₌ 2 2

₂

2

₂

( 1)(

1)

n

n n n

n

n n

n

 

 







₌

2

( 1)(

1)

n n



n



_， ∵n>1，∴n（n﹣1）（n+1）>0， ∴

1

1

n 

₊

1

1

n 

﹣

2

n

_>0，∴

1

1

n 

₊

1

1

n 

_>

2

n

． 方法二：∵

1

1

1

1

2

n

n

n







= 2 2

₁

n

n 

_>1，∴

1

1

n 

₊

1

1

n 

_>

2

n

． 【名师点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，反比例函数的图象等知识，解题的关键是理解 题意，灵活运用所学知识解决问题．

【变式3-2】定义：如图，若双曲线





k y k 0 x >  与它的其中一条对称轴y x 相交于两点A，B，则线段 AB 的长称为双曲线





k y k 0 x >  的对径． （_{1）求双曲线} 1 y x  的对径_; （_{2）若某双曲线}





k y k 0 x >  对径是10 2 _{.求 k 的值;} （3）仿照上述定义,请你定义双曲线





k y k 0 x <  的对径. 【答案】（_1）2 2 ；（_{2）25；（3）定义见解析.} 【解析】 试题分析：过A 点作 AC⊥x 轴于 C，（1）解方程组 k y= x y=x     _{，可得到A 点坐标为(1，1)，B 点坐标为(－1，} －_{1)，即 OC＝AC＝1，由勾股定理可求 AB，于是得到双曲线} 1 y= x 的对径；

（_{2）根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为}10 2，即_AB＝10 2，_OA＝5 2，根据_OA＝ 2 _OC

＝ 2_{AC，则 OC＝AC＝5，得到点 A 坐标为(5，5)，把 A(5，5)代入双曲线}

k y= x _{(k＞0)即可得到 k 的值；} （_{3）双曲线} k y= x _{(k＜0)的一条对称轴与双曲线有两个交点，根据题目中的定义易得到双曲线} k y= x （_k＜0) 的对径_. 试题解析：如图，过A 点作 AC⊥x 轴于 C，

（_{1）解方程组} k y= x y=x     _，得 11 22 x =1 x = 1 y =1 y = 1      _  ， _{，∴A 点坐标为(1，1)，B 点坐标为(－1，－1).}

∴_{OC＝AC＝1，∴OA＝} 2_OC＝ 2_{. ∴AB＝2OA＝2} 2_.

∴双曲线

1 y=

x的对径是₂ 2 _.

（_{2）∵双曲线的对径为}10 2，即_AB＝10 2，_OA＝5 2_. ∴_OA＝ 2_OC＝ 2_{AC，∴OC＝AC＝5. ∴点 A 坐标为(5，5).}

把_{A(5，5)代入双曲线} k y= x _{(k＞0)得 k＝5×5＝25，即 k 的值为 25.} （_{3）若双曲线} k y= x _{(k＜0)与它的其中一条对称轴 y＝－x 相交于 A、B 两点，则线段 AB 的长称为双曲线} k y= x _{(k＜0)的对径.} 考点：_{1.新定义；2.反比例函数综合题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.勾股定理.} 【考点_{4】变换操作类阅读型问题} 【例_{4】．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四} 边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边. (1)写出你所学过的特殊的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 、 ； (2)如图 1，已知格点（小正方形的顶点）O0,0、A3,0、B0,4，点 C 为图中所给方格中的另一个格点， 四边形_{OACB 是以 OA 、OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形，求点 C 的坐标；}

(3)如图 2，将ABC（ BC  AB ）绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60，得到DBE ，连接 AD 、DC ，四 边形 _{ABCD 是勾股四边形，其中 DC 、BC 为勾股边，求DCB 的度数.} 【答案】（1）矩形，正方形（答案不唯一）；（2）C（3,4），（4,3）；（3）∠DCB=30°. 【解析】 【分析】 （_{1）根据矩形与正方形的性质可得答案；} （_{2）利用勾股定理可得 AB=5，然后在格点中找满足 OC=5 的点即可；} （3）连接 CE，根据旋转的性质可得△ABC≌△DBE，则 BC=BE，因为∠CBE=60°，所以△BCE 是等边三 角形，则_{BC=CE，∠BCE=60°，根据勾股四边形的定义与勾股定理的逆定理可得∠DCE=90°，则可得∠DCB} 的度数_. 【详解】 解：（_{1）矩形；正方形（答案不唯一）；} （2） ， 则_{C 点坐标如图为：（3,4），（4,3）；} （_{3）连接 CE，} 由旋转的性质得：△_{ABC≌△DBE，则 BC=BE，AC=BD，} ∵∠_CBE=60°， ∴△BCE 是等边三角形， ∴_{BC=CE，∠BCE=60°，} ∵四边形_{ABCD 为勾股四边形，其中 DC、BC 为勾股边，} ∴ ， ∴ ， ∴∠_DCE=90°， ∴∠_{BCD=∠DCE﹣∠BCE=90°﹣60°=30°.}

【点睛】 本题主要考查勾股定理及其逆定理，全等三角形_{-旋转，等边三角形的判定等，解此题的关键在于准确理解} 题中勾股四边形的定义，利用勾股定理及其逆定理进行证明.与计算. 【变式_{4-1】1．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．} （_{1） 概念理解：} 如图_{1，在四边形}

ABCD

中，添加一个条件，使得四边形

ABCD

是_{“等邻边四边形”，请写出你添加的一个} 条件： ． （_{2） 问题探究：}

如图_{2，小红画了一个}

Rt

ABC

，其中



ABC

 

90

，

AB 

2

，

BC 

1

，并将

Rt

ABC

沿



B

的平分线

BB

方向平移得到



A

'

B

'

C

'，连结

AA

、

BC

．小红要使平移后的四边形

ABC A

 

是“等邻边四边形”，应 平移多少距离（即线段

BB

的长）？ （_{3） 应用拓展：} 如 图 3 ， “等 邻 边 四 边 形 ”

ABCD

中 ，

AB AD



，



BAD

 

BCD

 

90

，

AC

、

BD

为 对 角 线 ，

2

AC



AB

_．试探究

BC

、

CD

、

BD

的数量关系． 【答案】（_{1）DA=AB（答案不唯一）；}（_{2）应平移 2 或}

5

或

2

或

14

2

2



的距离；（_{3）BC2+CD2=2BD2．} 【解析】 试题分析：（_{1）由“等邻边四边形”的定义易得出结论；} （2）①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论； ②由平移的性质易得_{BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=} ，再利用_{“等邻边四边} 形_{”定义分类讨论，由勾股定理得出结论；} （_{3）由旋转的性质可得△ABF≌△ADC，由全等性质得∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，} 利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD，由相似的性质和四边形内角和得∠CBF=90°，利用勾股定理，等量 代换得出结论．

解：（_{1）AB=BC 或 BC=CD 或 CD=AD 或 AD=AB（任写一个即可）；} （_{2）①正确，理由为：}

∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形， ∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等， ∴这个_{“等邻边四边形”是菱形；}

②∵∠_{ABC=90°，AB=2，BC=1，} ∴_AC= ，

∵将_{Rt△ABC 平移得到△A′B′C′，}

∴_{BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=} ， （_{I）如图 1，当 AA′=AB 时，BB′=AA′=AB=2；}

（_{II）如图 2，当 AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=} ； （_{III）当 A′C′=BC′=} 时， 如图_{3，延长 C′B′交 AB 于点 D，则 C′B′⊥AB，} ∵_{BB′平分∠ABC，} ∴∠ABB′= ∠ABC=45°， ∴∠_{BB′D=′∠ABB′=45°} ∴_B′D=B， 设_{B′D=BD=x，} 则C′D=x+1，BB′= x， ∵在_{Rt△BC′D 中，BD2+（C′D）2=（BC′）2} ∴x2+（x+1）2=（ ）2， 解得：x1=1，x2=﹣2（不合题意，舍去）， ∴_{BB′= x=}

（Ⅳ）当_{BC′=AB=2 时，如图 4，与（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+（C′D）2=（BC′）2，} 设_{B′D=BD=x，} 则_{x2+（x+1）2=22，} 解得：_x1= ，_x2= （不合题意，舍去）， ∴_{BB′= x=} ； （_{3）BC，CD，BD 的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图 5，} ∵_AB=AD， ∴将△_{ADC 绕点 A 旋转到△ABF，连接 CF，} ∴△_{ABF≌△ADC，} ∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD， ∴∠_{BAD=∠CAF， = =1，} ∴△_{ACF∽△ABD，} ∴ _{= =} ，∴ _BD， ∵∠_{BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，} ∴∠_{ABC+∠ADC﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD）=360°﹣90°=270°，} ∴∠_{ABC+∠ABF=270°，} ∴∠_CBF=90°， ∴BC2+FB2=CF2=（ BD）2=2BD2， ∴_{BC2+CD2=2BD2．} 考点：_{1．阅读理解题；2．平移，旋转的图形变换性质；3．三角形全等、相似的判定与性质；4．勾股定} 理的运用． 【变式4-2】（2019•湖南长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四 边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．

（_{1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”} 或“假”）．

①四条边成比例的两个凸四边形相似；（__________命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（_{__________命题）} ③两个大小不同的正方形相似．（_{__________命题）}

（_{2 ）如图 1，在四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1 中，∠ABC= ∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1 ，}

1 1

AB

A B

₌ 1 1

BC

B C

₌ 1 1

CD

C D

_{．求证：四边形ABCD 与四边形 A1B1C1D1 相似．}

（_{3）如图 2，四边形 ABCD 中，AB∥CD，AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作 EF∥AB 分别交 AD，BC 于} 点_{E，F．记四边形 ABFE 的面积为 S1，四边形 EFCD 的面积为 S2，若四边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似，}

求 2 1

S

S

_的值． 【解析】（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等． ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例． ③两个大小不同的正方形相似．是真命题． 故答案为假，假，真． （_{2）如图 1 中，连接 BD，B1D1．} ∵∠BCD=∠B1C1D1，且 1 1

BC

B C

_{= 1 1}

CD

C D

_， ∴△_{BCD∽△B1C1D1，∴∠CDB=∠C1D1B1，∠C1B1D1=∠CBD，} ∵ 1 1

AB

A B

_{= 1 1}

BC

B C

_{= 1 1}

CD

C D

_{，∴ 1 1}

BD

B D

_{= 1 1}

AB

A B

_， ∵∠ABC=∠A1B1C1，∴∠ABD=∠A1B1D1，∴△ABD∽△A1B1D1，