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國立交通大學
理學院科技與數位學習學程
碩 士 論 文
以「固定一邊找第三點」概念於國中三角形全等
性質教學之研究
A Study
of
Teaching Congruence Properties of Triangles by
" Finding the Third Point for a Given Side "
研 究 生
：
蔡淑貞
指 導 教 授
：
陳明璋 博士
黃大原 博士
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以「固定一邊找第三點」概念於國中三角形全等
性質教學之研究
A Study
of
Teaching Congruence Properties of Triangles by
" Finding the Third Point for a Given Side "
研 究 生 ： 蔡淑貞 Student ： Shu-Chen Tsai
指導教授 ： 黃大原
陳明璋
Advisor
： Tay-Yuan Huang
Ming-Jang Chen
國立交通大學
理學院科技與數位學習學程
碩 士 論 文
A Thesis
Submitted to Degree Program of E-Learning
College of Science
National Chiao Tung University
in partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of
Master
in
Degree Program of E-Learning
August 2013
Hsinchu, Taiwan, Republic of China
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以「固定一邊找第三點」概念於國中三角形全等
性質教學之研究
學生：蔡淑貞 指導教授：黃大原博士、陳明璋博士
國立交通大學理學院科技與數位學習學程
中文摘要
本研究以「固定一邊找第三點」對照「尺規作圖」之教學脈絡，旨在探討這 兩種教學脈絡在「SSS」、「ASA」、「AAS」、「SAS」以及「RHS」等五種判斷兩個三 角形全等性質的教學中，對於學生的學習表現以及認知負荷感受的影響。本實驗 採用準實驗研究法，以新竹市某國中八年級四個常態班共120位學生為研究對象， 實驗組之教學脈絡為「固定一邊找第三點」，對照組之教學脈絡為「尺規作圖」。 以二因子變異數進行實驗數據分析，自變項為教學脈絡與成就水準，依變項為後 測表現、延後測表現與認知負荷感受，後測與延後測均區分為總分、基本知識、 理解概念與應用說明四個部分進行分析；以認知負荷量表之花費心力檢測認知負 荷感受；另以學習效率與學習投入分數綜合判斷學習情形，以及對於高成就水準 學生是否發生專業知識反轉效應。研究結果顯示：(1) 以「固定一邊找第三點」 的教學脈絡對後測表現在總分、理解概念與應用說明有達到顯著;成就水準變項 對後測表現在總分、基本知識、理解概念與應用說明均達到顯著。(2)綜合學習效 率與學習投入分數判斷學習情況，實驗組為高投入高效率，對照組為低投入低效 率，兩組教材對於高成就水準學生均未產生專業知識反轉效應。 關鍵字：三角形全等、認知負荷、多媒體學習 i4
A Study
of
Teaching Congruence Properties of Triangles by
" Finding the Third Point for a Given Side "
Student : Shu-Chen Tsai Advisor : Tay-Yuan Huang, Ming-Jang Chen
Degree Program of E-Learning
National Chiao Tung University
Abstract
This study compares two teaching contexts – " Finding the Third Point
for a Given Side " and " Ruler" – to investigate their effects on students’
learning achievement and perceptions of cognitive load in "SSS", "ASA",
"AAS", "SAS "and" RHS " two triangles congruent determine the nature
of teaching
.Quasi-experimental in design, this study involves 120
participants from 4 8
th-grade classes in a junior high school in Hsinchu
city. The teaching context of the experimental group was based on "
Finding the Third Point for a Given Side " while students in the control
group were " Ruler " teaching context. The result was analyzed through
two-way ANOVA, with teaching context and achievement level being
independent variables and scores in post-test and delayed post-test and
cognitive load being the dependent variables. Scores in both post-test and
delayed post-test were analyzed as four individual parts, including total
scores, the basic knowledge, understanding of concepts, and application
of concepts. The participants’ perceptions of cognitive load were
measured through cognitive load measurement, while scores of
instructional efficiency and instructional involvement were used to
synthetically determine their learning achievement and whether the
expertise reversal effect had been observed in the high achievers. The
results showed that: (1) Total scores, understanding and application of
concepts are found to be siginifcant in the post test in the " Finding the
Third Point for a Given Side " teaching context; the variable of
achievement level had on scores in post test was found to be significant in
total scores, basic knowledge, understanding and application of the
concept. (2) Judging from the synthesis of instructional efficiency and
5
instructional involvement score, participants in the experimental group
belonged to learners of high involvement high achievement learning style
while participants in the control group were described as learners of low
involvement and low achievement learning style. Neither teaching
materials led to the expertise reversal effect in high achievers.
Keywords: triangles congruent, cognitive load, multimedia learning
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誌謝
三年前一個單純的念頭，希望能在教書 15 年後，再回校園重拾學生身份。 三年後終於能走出交大實現自己的夢想。一路走來雖然很辛苦，生病期間也曾多 次想放棄，還好有許多人的鼓勵，才能有現在的收穫! 首先最要感謝的是耐心指導我的教授陳明璋博士，不斷的鼓勵我不要放棄、 要我堅持下去，終於完成論文。 也感謝黃大原教授、袁媛教授、李俊儀教授、莊榮宏教授能在口試時給予寶 貴的意見，讓論文更加完整。 當然還有振順學長、敏惠、依萍、淑媛、世易、玫琪、建巖、駿碩、淳宇， 與學弟士立、天行、昭吉、蕙璐、威鈞和雅婷，謝謝有你們的陪伴與協助。 感謝淑敏姐姐在英文摘要上協助翻譯。感謝我的家人，總是在精神上支持我。 最後謝謝自己已經努力的熬過所有的苦痛與磨練，我終於畢業了! 淑貞 2013.09.09 iv7
目次
中文摘要... i Abstract... ii 誌謝... iv 目次... v 表次... viii 圖次... x 第一章 緒論... 1 1-1 研究背景與動機... 1 1-2 研究目的... 2 1-3 研究問題... 2 1-4 研究範圍與限制... 3 1-5 名詞解釋... 3 第二章 文獻探討... 5 2-1 認知負荷理論... 5 2-1-1 自然訊息處理系統與人類認知架構... 5 2-1-2 認知負荷類型... 7 2-1-3 認知負荷理論的教學設計原則... 9 2-1-4 專知識反轉效應... 11 2-1-5 認知負荷理論對本研究的影響... 14 2-2 多媒體學習理論... 15 2-2-1 多媒體學習理論的基本假設... 15 2-2-2 多媒體學習理論的認知負荷... 17 2-2-3 多媒體學習理論的教學設計原則... 17 v8 2-2-4 多媒體學習理論對本研究之影響... 19 2-3 注意力與視覺搜尋... 19 2-3-1 選擇性注意力... 19 2-3-2 視覺搜尋... 21 2-3-3 特徵整合理論... 22 2-3-4 注意力與視覺搜尋對本研究之影響... 23 2-4 幾何教學 ... 23 2-4-1 幾何圖形的認知理解... 22 2-4-2 數學符號表徵的轉化... 22 2-4-3 從表徵轉化看學習數學的困難... 26 2-5 三角形的全等性質... 27 2-5-1 九年一貫課程綱要中的三角形全等性質... 27 2-5-2 三角形全等性質相關研究... 29 第三章 研究方法... 31 3-1 研究流程... 31 3-1-1 準備階段... 32 3-1-2 實驗階段... 32 3-1-3 分析階段... 32 3-2 研究設計... 32 3-2-1 研究方法... 32 3-2-2 研究變項與假設... 33 3-2-3 實驗流程... 34 3-3 研究對象... 35 3-4 研究工具... 36 3-4-1 實驗教材... 36 vi 24 24
9 3-4-2 前測試卷... 41 3-4-3 後測試卷... 42 3-4-4 延後測試卷... 42 3-4-5 認知負荷量表... 42 3-5 資料分析... 43 第四章 結果分析與討論... 45 4-1 後測及延後測表現分析... 45 4-2 認知負荷分析... 64 4-3 學習效率與投入分數暨專業知識反轉效應分析... 66 4-3-1 整體學生之分析... 66 4-3-2 各學習成就學生之分析... 67 第五章 結論與建議... 69 5-1 研究結論... 69 5-2 建議... 70 5-2-1 對於教學之建議... 70 5-2-2 對於未來研究之建議... 71 參考文獻... 73 1. 中文文獻... 73 2. 英文文獻... 75 附錄一 前測試卷... 77 附錄二 後測試卷 ... 79 附錄三 延後測試卷... 81 附錄四 實驗組教材... 83 vii
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表次
表 1 認知負荷理論的十五項教學效應... 9 表 2 多媒體的設計原則... 18 表 3 教學實驗流程表... 34 表 4 研究對象班級人數及上學期數學科定期評量成績表... 35 表 5 受試學生高、低學習成就人數分配表... 35 表 6 兩組學生上學期數學科定期評量平均獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 35 表 7 兩組學生前測平均獨立樣本 t 檢定摘要表 ... 36 表 8 實驗組 SSS 全等性質教材... 37 表 9 對照組 SSS 全等性質教材... 40 表 10 後測及延後測描述性統計摘要表... 46 表 11 教學脈絡與成就水準在後測總分之平均數摘要表 ... 47 表 12 教學脈絡與成就水準在後測總分之二因子變異數分析摘要表... 47 表 13 教學脈絡與成就水準在延後測總分之平均數摘要表... 49 表 14 教學脈絡與成就水準在延後測總分之二因子變異數分析摘要表... 49 表 15 教學脈絡與成就水準在後測基本知識之平均數摘要表... 51 表 16 教學脈絡與成就水準在後測基本知識之二因子變異數分析摘要表... 51 表 17 教學脈絡與成就水準在延後測基本知識之平均數摘要表... 53 表 18 教學脈絡與成就水準在延後測基本知識之二因子變異數分析摘要表. 53 表 19 教學脈絡與成就水準在後測理解概念之平均數摘要表... 55 表 20 教學脈絡與成就水準在後測理解概念之二因子變異數分析摘要表... 55 表 21 教學脈絡與成就水準在延後測理解概念之平均數摘要表... 57 表 22 教學脈絡與成就水準在延後測理解概念之二因子變異數分析摘要表. 57 表 23 教學脈絡與成就水準在後測應用說明之平均數摘要表... 59 表 24 教學脈絡與成就水準在後測應用說明之二因子變異數分析摘要表... 59 viii11 表 25 教學脈絡與成就水準在延後測應用說明之平均數摘要表... 61 表 26 教學脈絡與成就水準在延後測應用說明之二因子變異數分析摘要表. 61 表 27 教學脈絡與成就水準在花費心力之平均數摘要表... 64 表 28 教學脈絡與成就水準在花費心力之二因子變異數分析摘要表... 65 表 29 兩組學生之學習效率與投入分數... 66 表 30 不同學習成就之學習效率與投入分數... 67 ix
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圖次
圖 1 學習效率圖... 15 圖 2 學習投入分數圖... 15 圖 3 綜合學習效率與學習投入分數圖... 15 圖 4 多媒體學習理論的認知模型... 15 圖 5 雙碼理論... 15 圖 6 聽覺通道處理過程... 12 圖 7 視覺通道處理過程... 13 圖 8 早期選擇理論處理流程... 20 圖 9 晚期選擇理論處理流程... 20 圖 10 序列搜尋和結合搜尋... 22 圖 11 平行搜尋和特徵搜尋 ... 22 圖 12 刺激數目與反應時間的關係... 22 圖 13 特徵整合理論... 23 圖 14 幾何視覺轉化－重新配置原圖... 22 圖 15 表徵轉換－代數表徵轉圖形表徵... 22 圖 16 表徵轉換－自然語言轉數學語言... 22 圖 17 視覺理的第一步－子圖需被辨別... 27 圖 18 研究流程... 31 圖 19 教材內容之目錄... 37 圖 20 學生後測及延後測平均分數折線圖... 63 圖 21 兩組學生學習效率與投入分數之視覺化圖像... 66 圖 22 不同學習成就之學習效率與投入分數視覺化圖像... 68 x 12 12 16 16 13 14 26 24 25 25 25 21 261
第一章 緒論
本章共有五節，分別說明研究背景與動機、研究目的、研究問題、研究範圍 與限制、名詞解釋。1-1 研究背景與動機
三角形的全等性質在整個國中幾何課程的教學來說，非常的重要。尤其在 此課程後面，特殊四邊形的幾何證明都需要用到三角形的全等性質來說明。學生 在此之前已學過的三角形性質包含三角形的內外角和與畢氏定理，要等到學完三 角形的全等性質教材後，才足以應付往後幾何性質的證明與推論。 確實有研究指出，在國中七、八年級的數學課程內容，學生的答題表現最差 的在於利用特殊三角形的性質，找出三角形全等的條件，證明出題目所要求的邊 或角(謝易達，2013)。更在探討三角形的全等錯誤類型之研究中，資料分析學生 產生錯誤類型的根源大多是未能完全理解五種全等性質的源由(黃昭智，2010)。 有鑒於此研究者發現在教科書與網路上有關的三角形全等性質的教材或多 媒體教學資源，它們常見的教學脈絡為先教尺規作圖步驟，然後說明所畫出的圖 形即為所要求的唯一的三角形圖形，用來告知學生三角形的全等性質有五種，如 果教師只是按照教科書的教學脈絡進行教學，容易造成學生不清楚每個作圖步驟 所代表的幾何意義，因此多數學生只好死背五種全等性質，對於成就水準較低的 學生來說，尺規作圖步驟就是沈重的負荷;甚至對少數中高程度的學生也無法清 楚分辨其性質，當然在證明的應用上就無法理解，舉一反三。如果這樣的課程安 排使用尺規作圖步驟的教學脈絡對於學生的負擔過重，是否有不同的教材設計能 用不同的教學脈絡帶給學生更好的學習成效。 我們都知道三角形有三個頂點與三個邊，而三定點就能決定唯一的三角形。 試著觀察五種全等性質「SSS」、「ASA」、「AAS」、「SAS」以及「RHS」，從符號來看 「S」代表邊，「A」代表角，然而五種全等性質皆與邊長「S」有關，只要有一個 邊長就有兩個端點，也就是說有了一個固定邊之後只要能找出第三點的位置，則 這個三角形就是唯一的三角形了。2
本研究嘗試透過數位教材設計不同的教學脈絡從邊長「S」去引導學生觀察 形成唯一三角形的成因，進而認識五種全等性質。依照多媒體學習認知理論 (Cognitive Theory of Multimedia Learning)、認知負荷理論(Cognitive Load Theory)、 Duval 的幾何理解理論、以及視覺搜尋(Visual search)等相關理論，運用國立交通 大學陳明璋博士所開發的 AMA（Activate Mind Attention）軟體呈現多媒體教 材，配合教師的口語引導學生搜尋訊息，進行選取(selection)與組織(organization) 訊息，降低認知負荷，避免不必要的注意力分散，使學生能專注在教材內容。進 而引導學生進行思考。實驗教材內容包含三角形性質中的全等性質「SSS」、「ASA」、 「AAS」、「SAS」以及「RHS」，以「固定一邊找第三點」為概念之教學脈絡，引導 學生學習「SSS」、「ASA」、「AAS」、「SAS」以及「RHS」等五種判斷兩個三角形全 等性質，期望能產生更好的學習成效，協助學生分辨五種性質，而不再只是死背 五個全等性質。
1-2 研究目的
本研究欲探討教學脈絡（以固定一邊找第三點為概念 vs 以課本常用之尺規 作圖）與不同成就水準的學生（高 vs 低）在學習表現與認知負荷方面的影響。 另外，透過學習效率與學習投入分數，觀察對於高成就水準學生是否產生專業知 識反轉效應。1-3 研究問題
本研究之研究問題如下： 1. 不同教學脈絡與不同成就水準對於後測的交互作用是否顯著? 2. 不同教學脈絡與不同成就水準對於延後測的交互作用是否顯著? 3. 不同教學脈絡與不同成就水準對於認知負荷的交互作用是否顯著? 4. 對於高學習成就學生是否產生專業知識反轉效應?3
1-4 研究範圍與限制
1. 研究範圍 本研究發展的教材內容以九年一貫八年級課本南一版為主，以三角形 性質中的全等性質「SSS」、「ASA」、「AAS」、「SAS」以及「RHS」為研 究範圍。 2. 主題限制 本研究僅針對三角形的全等性質中的「SSS」、「ASA」、「AAS」、「SAS」 以及「RHS」討論，因此對於不同的數學教學主題仍需設計不同的實驗與教 材加以印證，無法類推至其它單元。 3. 母群體限制 本研究受限於人力、物力、時間等因素，僅能以研究者服務學校之國 中八年級學生四個班做為施測母群體，因為樣本為便利抽樣且樣本數有限， 因此研究結果無法推論至與本研究樣本差異過大之背景學生。 4. 施測時間限制 為配合各班級上課狀況，受測班級的教學與施測時間點無法一致，可 能會間接影響研究結果的誤差。1-5 名詞解釋
1. 三角形的全等 本研究的三角形全等性質包含「SSS」、「ASA」、「AAS」、「SAS」與 「RHS」等五種三角形全等判別方法。 2. 成就水準 成就水準是指學生經過學習後所獲得的知識。本研究的數學學習成就係 指學生在數學學習測驗上的得分。4
3. 專業知識反轉效應(Expertise Reversal Effect)
專業知識反轉效應(Expertise Reversal Effect)是指某一種教學設計方式對 於新手是有效的，對於高先備知識者則會失去效力甚至有負面的結果 (Kalyuga, 2009)。因此有益於初學者的教材，可能對專家學習者而言卻無太大 助益。而在此研究中，專家定義為高成就水準的學生。 4. 以「尺規作圖」為教學脈絡的教學 尺規作圖為「只利用直尺（沒有刻度）及圓規製作圖形之方法」作圖說 明五種判別三角形全等性質。 5. 以「固定一邊找第三點」為教學脈絡的教學 先分析只要有三定點就能畫出唯一的三角形。發現只要先固定一邊就有 兩端點產生，只要再找出最關鍵第三點即可得到唯一的三角形。藉以說明五 種判別三角形全等性質。
5
第二章 文獻探討
2-1 認知負荷理論
Sweller 等人所著的 Cognitive Load Theory(Sweller, Ayres, & Kalyuga, 2011) 一書中所述，認知負荷理論是一種在生物演化框架下，基於人類認知架構 發展而來的教學設計理論。根據認知負荷理論，至今已經產生許多認知負荷效應， 提供了許多教學設計建議，這些效應將於後文統整說明。
認知負荷理論的四個假設(Sweller, Merrienboer, & Paas, 1998) ： 1. 工作記憶區有限。
工作記憶區的容量平均只能儲存 7±2 個元素(Elements)，但真正進行操作 處理的，只有 20.4 個元素，且訊息如果沒有經過處理，如複誦、精緻化 等策略，大約 20 秒後就消失(Van Merrienboer & Sweller, 2005)。
2. 長期記憶區無限。
訊息經過處理後會進入長期記憶區(Long Term Memory)，長期記憶區儲 存著大量的、互動複雜的知識和程序性技能，其容量是無限的，同時也 是永久的。 3. 知識和技能是以基模（schema）形式儲存於長期記憶區。 人類的基模發展模式是由簡單到複雜的建構過程來處理知識及訊息，以 基模的形式將知識存在長期記憶中。 4. 基模運作自動化是建構基模的重要過程。 基模運作自動化後，可以節省許多工作記憶運作的認知資源，進而降低 工作記憶的認知負荷(Sweller,1988)。
2-1-1 自然訊息處理系統與人類認知架構
認知負荷理論認為人類認知系統類比為生物演化系統，遵循著自然訊息處理6 原則(Sweller, et al., 2011)：
1. 資訊儲存原則（the information store principle）
所有訊息必定儲存在一個容量無限的訊息儲存庫之中。在人類認知系 統中，長期記憶扮演訊息儲存庫的角色，教學的主要目標是將知識累積儲 存在長期記憶中。
2. 借用與重組原則（the borrowing and reorganizing principle） 學習新知識是由他人的訊息儲存庫借用而來，大多會與自身長期記憶 儲存庫中的相關訊息重整，形成新訊息再回存於訊息儲存庫中。而整合的 過程具有隨機性，有時會產生迷思概念。
3. 隨機生成原則（the randomness as genesis principle）
在人類認知系統中，當要解決問題時，如果缺乏可用的知識，則隨機 產生可能的解決方案，在工作記憶中執行，然後檢測是否有效，有效則儲 存以備未來再利用，無效則丟棄，重複上述步驟直到問題解決。
4. 改變狹隘限制性原則（the narrow limits of change principle） 在人類認知系統中，隨機生成與測試程序是在工作記憶中進行，而 工作記憶處理訊息元素的容量與持續時間有限，因此同時在工作記憶中 處理的元素數量必須受到限制，以免認知資源超載。
5. 環境組織與連結原則（the environmental organizing and link principle） 自然訊息處理系統最後是要在環境中適當的運作。透過環境組織與連 結原則，運用訊息儲存庫中的訊息，以應對環境中的各種狀況與問題。在 人類認知系統中，在工作記憶中處理提取自長期記憶的知識基模，以管理 人類在環境中的各種活動與問題解決。而工作記憶處理來自長期記憶的熟 悉訊息時，則容量與持續時間是不受限制的。
7 以上五個原則在人類認知系統中，透過訊息儲存原則將知識基模儲存於長 期記憶；透過借用與重組原則與隨機生成原則獲取新知識基模；透過改變狹隘 限制性原則與環境組織與連結原則，應用長期記憶中的知識基模，以應對環境 中的各種狀況與問題處理。 教學的主要目的在於增加長期記憶中的知識基模，如果長期記憶沒有變化， 則意味著沒有學習發生。從人類認知架構的角度，學習的目的是增加環境組織 與連結原則的效益，而此原則必須在長期記憶中有大量可用知識基模才有作用。 增加知識基模的最有效方式為透過借用與重組原則，此為教學應該強調的。如 果沒有可借用的來源，則透過隨機成因原則創造，但因為狹隘限制性原則，工 作記憶處理陌生的新訊息時是有限制的，因此創造新訊息的過程通常是緩慢的。 無論透過借用與重組原則或隨機生成原則獲得新訊息，皆受限於工作記憶的限 制。
2-1-2 認知負荷類型
根據 Cognitive Load Theory ，學習者必須在工作記憶中處理教學訊息， 這些工作記憶的負荷即為認知負荷，其類型如下(Sweller, et al., 2011)：
1. 內在認知負荷（Intrinsic Cognitive Load）
內在認知負荷一種來自於學習內容本身的內在結構(教材、先備知 識)，與教學程序無關。另一種是增生認知負荷（Germane Cognitive Load）， 是用於處理與學習內容有關的訊息時額外產生的工作記憶資源需求，同 樣產生一種內在認知負荷。用於處理內在認知負荷的認知資源稱為增生 資源（germane resources）。
2. 外在認知負荷（Extraneous Cognitive Load）
8 負荷是由所用的教學程序產生，在許多情況下是多餘的，應該盡量排除。 用於處理外在認知負荷的認知資源稱為外在資源（extraneous resources）。 學習材料的認知負荷總量由內在認知負荷與外在認知負荷累加而得。工作記 憶資源是有限的，一旦認知負荷總量超過可用的工作記憶資源，將不利於學習， 甚至導致無法學習。教學設計應該盡可能減少外在認知負荷，盡量提供工作記憶 資源用以處理與學習有關的內在認知負荷。 學習內容本身的複雜性即內容元素的交互性，決定了內在認知負荷。在低元 素交互性的情況下，元素之間的關連程度不強，內在認知負荷較低；反之，在高 元素交互性的情況下，元素之間的關連程度較高，內在認知負荷也較高。學習者 本身的先備知識水準較高時，因為基模的作用，原本是獨立的數個元素可以視為 一個單一元素，內在認知負荷因此降低。 高內在認知負荷的學習內容通常較難，但低內在認知負荷的學習內容並不代 表較簡單，如果內容元素交互性較低，但需處理大量元素時，仍可能超過工作記 憶負荷。當學習內容是高元素交互性時，若相關交互作用的訊息元素可以全部在 工作記憶中處理時，則訊息可以被理解。而理解有助於創造更高階的知識基模。 外在認知負荷可以透過改變教學程序而降低。若教學程序要求同時處理的訊 息元素少，則外在認知負荷較低；相反的，若教學程序要求同時處理的訊息元素 較多，則外在認知負荷較高。 認知負荷理論的目標主要是設計降低外在認知負荷的教學程序，對於內在認 知負荷則是要充分運用、妥善管理，並非總是降低，但全部的認知負荷仍不能超 過工作記憶的限制。
9
2-1-3 認知負荷理論的教學設計原則
Sweller 等人(1998)的認知負荷理論，其主要目標在於引導教學的設計。 教師有責任在設計教材時，應減低教材的負荷量，有效的展演教學教材。Sweller 等人(1998)於 2010 整理增修後，提出十四項教學設計原理，2011 年再新增一項 原則，共十五項分述如表 1。(Sweller, et al., 2011) 表 1 認知負荷理論的十五項教學效應 教學效應 內涵 1.開放目標效應 (Goal Free Effect) 教學應採開放目標的方式，以沒有明確目標的問題取代有 明確目標的問題，讓學生不受目標限制的自由思考，可以 多重的表達自己的思考過程，啟發創造力，不但能降低外 在認知負荷，基模的建構也更有效，學習者產生較好的學 習成效時，即產生了開放目標效應。 2.示例效應 (Worked Example Effect) 在教學時，提供了一個問題的逐步解題示範供學習者參 考，只要跟著例子循序解決問題，這些例子可以幫助學習 者建立解題的基模，有助於學生理解問題、建構完整的解 題基模，可以降低外在認知負荷，以減少學習者面對問題 與解題時產生的認知負荷。 3.完成問題效應 (Completion Problem Effect) 在進行學習時只呈現例子一半的解法，保留部分關鍵的解 題步驟，如此可以促使學習者對示例做較仔細的研讀，讓 學習者深入思考問題並注意關鍵訊息，有助於基模建構。 4.分散注意力效應 (Split Attention Effect) 當學習者面對多重訊息在分散的位置(例:圖形和文字解 說分開)或出現時間不一致，則會導致增加外在認知負 荷，學習者需花費心力將不同來源的資訊整合起來。 5.冗餘效應 (Redundancy Effect) 學習者接受到多餘且不必要的訊息，會出現冗餘效應，圖 片與文字以不同形式的相同訊息在空間或時間上同時出 現，此一現象不但不能加強學習效果，反而會造成認知負 荷。 6.專業知識反轉效應 (Expertise Reversal Effect) 專業知識反轉效應是指某一種教學設計方式對於新手是 有效的，對於高先備知識者則會失去效力甚至有負面的結 果(Kalyuga, 2007)。因此有益於初學者的教材，可能對 專家學習者而言卻無太大助益。10 7.引導漸減效應 (Guidance Fading Effect) 隨著學習者專業知識的增加，這些內在的交互元素已成為 長期記憶的一部分，應逐步抽離這些交互作用元素，使學 習者自行完整的解決問題，以免造成專業知識反轉效應。 8.隔離互動元素效應 (Isolated Interacting Elements Effect)
隔離互動元素效應(Isolated Interacting Elements Effect)受到教學教材的內在認知負荷影響而非外在認知 負荷影響。如果教材含有許多高交互作用元素，有限容量 的工作記憶區要處理大量的訊息，就會造成認知負荷。因 此，將高交互作用元素獨立處理轉變為低交互作用，讓工 作記憶區的工作量不超載的情況下，降低學習者的認知負 荷並促進學習成效。 9 整體模組效應 (Molar Modular Effect) 將複雜的高互動元素分割成有意義的獨立元素，由此降低 內在認知負荷，增加學習成效。整體模組效應和隔離互動 元素效應之間主要的不同點，在隔離互動元素效應中，訊 息是由獨立元素所呈現的，而在整體模組效應中，訊息的 呈現是由於到每個獨立元素之間的互動情形而決定。 10 變化效應 (Variability Effect) 變化效應也是由於內在認知負荷中的元素之間的交互動 作用產生的效應，利用示例(Worked Example)來進行不同 的教學，一為相似於示例的問題，另一為經過轉換過的問 題，結果顯示經過轉換過的問題，表面上看來增加問題的 變化應該會造成更大的認知負荷，但是事實上卻是有助於 學習。 11元素交互作用效應 （Element Interactivity Effect） 當教學內容本身元素之間的交互作用是低的，其內在認知 負荷就是低的，也就是教學內容是簡單的，即使教材設計 不良，也不會影響學習，因此當教學者面對元素交互作用 高的教材內容時，也就是教學內容本身困難度高、內在認 知負荷較高時，教學者更應在費心設計教材，以降低外在 認知負荷。 12想像效應 （Imagination Effect） 教學者可以要求學習者運用「想像」來進行一個過程或概 念，會比要求學習者「研讀」同樣過程和概念的學習效果 更好。 13自我解釋效應 （Self-explanation Effect） 教學者在進行教學時可利用引導的方式引導學習者自行 解釋一個新的概念，可促使學習者將相關基模提至工作記 憶區進行處理，以降低負荷。 14.形式效應 形式效應中提到教材同時含有圖像與文字的情形下，文字
11 (Modality
Effect)
採用「口語文字」會比採用「書面文字」有更好的效果 (Mousavi, Low, & Sweller, 1995)。
15.瞬間轉換效應 (Transient Information Effect) 本來形式效應中提到教材同時含有圖像與文字的情形 下，文字採用「口語文字」會比採用「書面文字」有更好 的效果假如聽覺訊息是長時間、複雜的而且是陌生的，就 會產生瞬間轉換效應。例如遇到口語與文字的轉換，就像 是兩個子句互換，用寫的不需要太多記憶，如果用口語互 換的就需要很多的記憶及時間來處理，這就叫瞬間轉換效 應。
資料來源：整理自 Sweller et al., (1998)；Sweller, (2010)；Wayne L., Sweller J. (2011)
2-1-4 專業知識反轉效應
一般人認為對新手有效的教學程序對於專家學習者也會有效，但從認知負荷 的理論考量與實驗證據顯示，對於新手是必要的訊息，對於專家學習者可能是多 餘的，要求專家學習者處理這些訊息將消耗額外不必要的認知資源、增加外在認 知負荷，甚至可能會有負面影響。當訊息對於新手是必要的，但對於專家學習者 則是多餘時，即產生了專業知識反轉效應。此效應依賴於冗餘效應，也受到學習 者專業知識水準的影響。 隨著教學活動進行，學習者的專業知識水準逐漸提高，教學活動中的指引與 訊息或活動必須適時的調整。例如在教學初期，圖表整合額外的文字訊息是必要 的，因為新手還沒有單獨理解圖表訊息的能力，隨著學習者的專業知識水準逐漸 提高，初期必要的額外文字訊息可能變成多餘的，應該配合學習者的專業知識成 長而逐漸抽離。 是否發生專業知識反轉效應，可以透過學習效率(InstructionalEfficiency )與學習投入分數(Instructional involvement score)觀察。Paas 與 Merriënboer (1993) (Paas & Merriënboer, 1993) (Paas & Merriënboer, 1993) 認為考量學習過程的認知成本是重要的，因此提出了一種視覺化的學習效 率公式與效率圖（Efficiency Graph），作為評估學習效率的方式。
12 學習效率（E）的計算公式（1）如： 2 c p Z Z E （ 1） （
X X Z ；Zp = 學習成就表現 Z 分數 ； Zc = 認知負荷 Z 分數） 若 以 Zc 為 橫 坐 標 ， Zp 為 縱 坐 標 ， 便 能 在 直 角 坐 標 平 面 上 標 出 該 點 位 置 ， 學 習 效 率 圖 如 圖 1 所 示 (Paas, 2003)。 圖 上 三 個 區 域 代 表 意 義 如 下 ： 1、 A 區 ： 代 表 高 學 習 效 率 （ High Efficiency） ， 學 習 表 現 高 而 認 知 負 荷 低 ， 此時E > 0，即 Zp > Zc 。 2、 B 區 ： 代 表 中 學 習 效 率 ， 學 習 表 現 與 認 知 負 荷 相 當 ， 此時 E = 0，即 Zp = Zc 。 3、 C 區 ： 代 表 低 學 習 效 率 （ Low Efficiency） ， 學 習 表 現 低 而 認 知 負 荷 高 ， 此時E < 0，即 Zp < Zc 。 對於高學習成就學生，若發生專業知識反轉效應，則會因為外在認知負荷增 加而降低其學習效率。因此可以藉由學習效率觀察是否產生專業知識反轉效應 圖 1 學習效率圖資料來源：”Cognitive load measurement as a means to advance cognitive load theory.”by F. Paas, J. E. Tuovinen, H. Tabbers & P. W. M. Gerven, 2003, Educational
13
(Clark et al., 2006) (Clark, Nguyen, & Sweller, 2006) (Clark, Nguyen, & Sweller, 2006)
動機往往決定了學習者在學習過程中的投入程度，當學習者的動機越強，願 意投入的心智努力就越多，因此越容易有好的學習表現。基於動機、心智努力與 學 習 表 現 是 正 相 關 的 假 設 ， Paas 等 人 (2005) 提 出 了 學 習 投 入 分 數 (Instructional involvement score)，其計算公式（2）如下：
2 c p Z Z I （ 2 ） （
X X Z ； Zp = 學習成就表現 Z 分數 ； Zc = 認知負荷 Z 分數） 與學習效率圖的繪製方式相同，學習投入分數圖如圖 2，以直線 I = 0 為 界，直線右上方區域表示高投入區域，直線左下方區域表示低投入區域，可以藉 此了解學生的學習投入情形。對於高學習成就學生，若發生專業知識反轉效應， 則其投入情形會較差，因此投入分數也可用來觀察是否發生專業知識反轉效應。 由於學習效率圖與學習投入分數圖繪製所需的數據與兩坐標軸均相同，因此 圖 2 學習投入分數圖資料來源：”A motivational perspective on the relation between mental effort and performance : Optimizing learner involvement in instruction.”by F. Paas, J. E. Tuovinen, J. J. G. van Merriënboer, & A. Aubteen Darabi, 2005, Educational Technology Research
14 把兩個圖形重疊，如圖 3，即可同時觀察實驗對象之學習效率與學習投入分數， 藉此瞭解實驗對象於該學習單元之學習狀況，以及觀察是否發生專業知識反轉效 應。 圖 3 綜合學習效率與學習投入分數圖 上圖中直線 I = 0 與直線 E = 0 互相垂直，若以直線 E = 0 為橫軸，以 直線 I = 0 為縱軸，可將坐標平面分為四個象限。第一象限代表高效率高投入 區域，為最理想的學習狀況；第二象限代表高效率低投入區域；第三象限代表低 效率低投入區域，為最不理想的學習狀況；第四象限代表低效率高投入區域 (Kalyuga, 2009)。
2-1-5 認知負荷理論對本研究的影響
本研究之教材設計根據形式效應，將敘述性文字改為口語呈現；根據冗餘效 應，在畫面上去除與口語重複的敘述性文字；根據分散注意力效應，將相關視覺 訊息的呈現在空間上盡量接近，與口語對應的畫面元素在呈現時間上接近；在實 驗組教材的教學脈絡上，根據整體模組效應，以固定一邊找第三點為策略，降低 元素交互性與認知負荷。15
2-2 多媒體學習理論
Mayer 將多媒體(multimedia)定義為以文字(words)和圖像(pictures) 呈 現材料，其中「文字」包括靜態文字和語音文字，「圖像」包括靜態圖像和動畫 (Mayer, 2006)。Mayer(2009)將多媒體學習聚焦於使用文字和圖像兩種形式，更 精確的說，多媒體學習是雙編碼(dual-code)或雙通道(dual-channel)學習。 因此 Mayer 等人提出了多媒體學習理論的認知模型，如圖 4。 圖 4 多媒體學習理論的認知模型(Mayer, 2005)2-2-1 多媒體學習理論的基本假設
在多媒體學習理論下，有三個基本假設： 1、 雙通道（Dual channels）Mayer 以 Paivio(1986)的雙碼理論(Dual Coding Theory)為基礎提出多媒體學 習雙通道(Dual Channels)理論，認為人類視覺及聽覺訊息的兩個通道是獨立 分開的，就是說訊息可以使用文字或是圖像的形式進入聽覺或視覺通道。 圖 5 雙碼理論(Pavio, 1986) 圖像 眼睛 影像 圖像模型 先備 知識 多媒體呈現 感官 工作記憶 長期記憶 選取 文字 選取 圖像 組織 文字 組織 圖像 整合 文字 耳朵 聲音 語文模型
16
當訊息以聲音的形式展演則由耳朵接收，進入聽覺通道處理 ，如圖 6
圖 6 聽覺通道處理過程
資料來源：修改自 R. E. Mayer (2009) . Multimedia Learning (2nd ed.) (p.64),New York: Cambridge University Press.
若訊息以圖像的方式展演則由眼睛接收，進入視覺通道處理 ，如圖 7
圖 7 視覺通道處理過程
資料來源：修改自 R. E. Mayer (2009) . Multimedia Learning (2nd ed.) (p.64),New York: Cambridge University Press.
2、有限容量（Limited capacity） Mayer 認為每個通道同時處理的訊息量是有限制的，因為工作記憶的容量有 限，所以限制了可以同時處理的訊息量。因此教材設計應避免將注意力投注 在不相關的訊息，造成無效益的認知程序。 3、主動處理（Active processing） 面對訊息，人們會主動的進行認知處理，處理過程包含注意訊息、組織選取 的訊息、將訊息與過去經驗及既有的知識基模進行整合來進行主動學習。 文字 耳朵 聲音 語文模型 圖像 眼睛 影像 圖像模型 先備 知識 多媒體呈現 感官 工作記憶 長期記憶 選取 文字 選取 圖像 組織 文字 組織 圖像 整合 文字 耳朵 聲音 語文模型 圖像 眼睛 影像 圖像模型 先備 知識 多媒體呈現 感官 工作記憶 長期記憶 選取 文字 選取 圖像 組織 文字 組織 圖像 整合
17
2-2-2 多媒體學習理論的認知負荷
Mayer（2009）根據多媒體學習的認知理論和 Sweller 的認知負荷理論，認 為在學習的過程中有三種認知的處理方式，皆會佔用有限的認知資源，即為多媒 體學習理論的三種認知負荷:（R. E. Mayer, 2009）。
1、 外在的認知處理（Extraneous Cognitive Processing）
學習過程中與學習目標無關的認知處理，源於教學設計不良，如相關的圖 文分隔過遠，因此造成視覺搜尋的負擔。如果外在的認知處理佔用過多認 知資源，則真正可用於學習的認知資源可能無法滿足學習的認知處理的需 要，因而造成學習成效不佳，反應出較差的記憶與遷移表現。
2、 本體的認知處理（Essential Cognitive Processing）
是指選取學習內容的訊息到工作記憶的認知處理，會受到學習內容本身的複 雜性影響。如果學習者在學習過程中只專注於本體的認知處理，則表現出來 的可能是偏向死背的學習，所以記憶表現較佳，但遷移表現可能較差。 3、 衍生的認知處理（Generative Cognitive Processing）
指的是在組織與整合訊息時，藉由其他方式的認知處理，讓學習者更瞭解學 習內容的意義，例如提供適當情境以提高學習動機。若學習者能夠專注在本 體與衍生的認知處理，則很可能產生有意義的學習，表現出來的是較佳的記 憶與遷移表現。
2-2-3 多媒體學習理論的教學設計原則
上述三種認知處理皆會佔用有限的認知資源，對於學習產生的影響各有不同， 因此 Mayer 提出了十二個多媒體教材的設計原則，以減少外在的認知處理、管理 本體的認知處理以及增加衍生的認知處理。如表 2。 1. 減少外在認知處理的五個設計原則:18 連貫原則、信號原則、重複原則、空間接近原則、時間接近原則。 2. 管理本體認知處理的三個設計原則: 分割原則，預先訓練原則，形式原則。 3. 增加衍生認知處理的四個設計原則: 多媒體原則、個人化原則、聲音原則、圖像原則。 表 2 多媒體的設計原則 設計原則 說 明 多媒體原則 Multimedia Principle 教材設計採用文字與圖像並用的學習效果會比只 有用文字好。 連貫原則 Coherence Principle 與主題不相關的文字、圖像或聲音若能加以排除， 學習效果較好。 信號原則 Signaling Principle 多媒體教材，若含有可強調教材內容組織結構與重 點的提示，學習效果比較好。 累贅原則 Redundancy Principle 學習者在具有動畫與口述文字的教材比具有動 畫、口述文字與字幕的教材的學習效果較好。 空間接近原則
Spatial Contiguity Principle
相關文字與圖像在畫面中位置接近會比位置遠離 能得到更好的學習效果
時間接近原則 Temporal Contiguity Principle
相關的文字與圖像可以同時呈現比先後呈現的效 果好。 分割原則 Segmentation Principle 當多媒體教材被分割成數個小段落，並且能讓使用 者自己控制段落的呈現，會比連續播放的方式，學 習效果較佳。 事先訓練原則 Pre-training Principle 學習者若能夠事先知道主要概念的名字和特徵，學 習效果較佳。 形式原則 Modality Principle 文字訊息以口述的方式呈現會比印刷文字有更好 的效果。 個人差異原則 Individual Difference Principle
多媒體學習設計效果對先備知識較少的學習者影 響較大，對先備知識較多的學習者影響較小；並 且，對心像能力較佳者影響較大，對心像能力較差 者影響較小。
19
2-2-4 多媒體學習理論對本研究之影響
本研究之實驗組與對照組教材設計上，根據連貫原則，去除與教學內容無關 的素材；根據信號原則，運用信號引導學生的注意力至必要訊息，降低視覺搜尋 的負擔；對應之元素在空間與時間上接近，符合空間接近與時間接近原則；敘述 性文字以口語呈現，符合形式原則與聲音原則。2-3 注意力與視覺搜尋
視覺的輸入凌駕所有的感官，若輸入越能視覺化，則以後的再認和回憶會越 好(Medina、洪蘭（譯）, 2009)。注意力(Attention)是影響學習的重要關鍵。 教學者如何讓學生在教材設計中注意到當下最關鍵的訊息，才有機會進一步在腦 中處理學習，這樣的教材對學生學習成效才有影響。我們從注意力來看視覺搜 尋。2-3-1 選擇性注意力
我們眼觀四方、耳聽八方接到大量訊息，我們個體內處理這些訊息的資源有 限，我們只能從獲得的感官訊息中注意到其中一部份。少數訊息做更進一步處理， 其他僅作粗略處理或不處理，這種取捨的機制即為選擇性注意力 (李仁豪、葉素 玲，2004、2005) 。 選擇性注意力相關理論主要有早期選擇理論、晚期選擇理論與折衷的濾器減 弱理論，分述如下： 1. 早期選擇理論 (Broadbent, 1958) 認為注意力容量有限，需經由過濾器來篩選訊息，所有 感官刺激必須先經過一個濾器才能進入知覺系統分析，未通過得過濾器的刺 激即被捨棄不處理，如圖 8。圖中粗箭頭代表注意力作用的階段。20 圖 8 早期選擇理論處理流程
資料來源：修改自葉素玲(1999)。視覺空間注意力，載於李江山（主編），視覺 與認知-視覺知覺與視覺運動系統（頁 296）。台北市：遠流。
2. 晚期選擇理論
Deutsch,J.A 與 Deutsch,D. (Deutsch & Deutsch, 1963) (Deutsch & Deutsch, 1963)認為注意力容量無限，所有感官刺激都會進入知覺分析歷程，由知覺系 統進重要性評估，以決定反應最重要的訊息，不重要的訊息很快被忘掉。如 圖 9，圖中粗箭頭代表注意力作用的階段。 圖 9 晚期選擇理論處理流程 資料來源：修改自葉素玲(1999)。視覺空間注意力，載於李江山（主編），視覺 與認知-視覺知覺與視覺運動系統（頁 296）。台北市：遠流。 3. 濾器減弱理論 (Treisman, 1964) 認為多重刺激都會經過過濾器來篩選訊息。刺激強度高 於門檻值才能通過過濾器，進入知覺分析歷程。而各管道的敏感度決定了其 門檻值，越敏感者其門檻值越低，越容易讓刺激進入。敏感度又受注意力程 度的影響，注意力所在的管道最敏感，其餘管道的敏感度因缺乏注意力而下
21 降。標準值(Criterion)也會影響偵測，標準值越低，即刺激強度雖不高仍然 容易被偵測到，例如與個人有關的訊息，其標準值是較低的。 濾器減弱理論相當於結合了早期選擇與晚期選擇理論的精神，為兩階段的選 擇歷程。第一階段決定刺激通過後的強度，第二階段決定可達反應標準，只有通 過兩階段的刺激才能引起反應。
2-3-2 視覺搜尋
所謂視覺搜尋（visual search）作業，指在一群文字、數字或圖形中搜尋 特定之目標物。通常目標物只有一個，呈現在數目不等的非目標物（干擾物）之 間。若目標物與非目標物之差別需要注意力序列地逐一掃描每一物體才能偵測出 差別，則非目標物數量越多，搜尋到目標物所須之時間越長，因此反應時間與刺 激總數之函數必定為一斜率大於零之直線，如此稱為「序列搜尋（serial search）」，如圖10-a 所示 (葉士豪，2005，頁14)。 要找出目標物R 則必須一一進行P、Q 之間的比對，而P 與R 所相差的特徵 斜線，剛好又是Q 所具備的特徵，因此需要將兩種特徵以注意力連結（又稱為結 合搜尋「conjunction search」），如圖10-b所示。如此作業自然較為困難，所 需時間也會隨刺激物數量增加而增加 (葉士豪，2005，頁14)。 圖 10-a 序列搜尋 圖 10-b 結合搜尋 資料來源：葉士豪，陳一平(2005)。作業範圍大小對視覺注意力之影響。頁14。 反之，若目標物與非目標物之差別在前注意階段便可看出，則此函數則會 為一斜率等於或近似於零之直線，意即非目標物數量多寡並不會影響反應時間的22 快慢，如此稱為「平行搜尋（parallel search）」。下圖11-b 中刺激物數量雖 較圖11-a 多，但仍不會影響反應時間，如此只差一種基本特徵的搜尋作業又稱 為特徵搜尋「feature search」 (葉士豪，2005，頁14) 。 圖 11-a 平行搜尋 圖 11-b 特徵搜尋 資料來源：葉士豪，陳一平(2005)。作業範圍大小對視覺注意力之影響。頁14。 因為「資源有限」之理論，視覺系統無法同時處理大量進入的資訊，導 致在序列搜尋狀況下，刺激物數量越多則所需反應時間越長；而在平行搜尋狀況 下，反應時間並不會受到刺激物數量的影響；進而造成兩者之間的差異 (葉士豪， 2005，頁 14)。故序列與平行搜尋的函數斜率示意圖可以下圖 12-a 與圖 12-b 所 示（葉素玲，1999)。 視覺基本特徵並不多，主要有四種：線段走向、顏色、大小（粗細、長度、 空間頻率等）、運動（速率、方向）。 圖12-a 圖12-b 圖 12 刺激數目與反應時間的關係 資料來源：葉士豪，陳一平(2005)。作業範圍大小對視覺注意力之影響。頁15。
2-3-3 特徵整合理論
Treisman 於 1980 年代提出特徵整合理論（Feature Integration Theory）， 認為在前注意力階段時，所有的刺激被自動登錄在特徵圖（Feature Map）上， 當注意力投注在某個位置時，此時為注意階段，將該位置上的所有特徵整合起來，
23 而形成一個完整的物體表徵(陳一平，2011)，如圖 13 所示。 圖 13 特徵整合理論 資料來源：”視覺心理學”，陳一平著，2011，頁 211 。
2-3-4 注意力與視覺搜尋對本研究之影響
注意力在認知能力中扮演著不可或缺的角色，此項能力將影響其他基本認知能力的 習得與發展，甚至影響後設認知能力的執行。注意力對於學習過程中的工作記憶也 會有所影響。工作記憶是指在心理保存訊息的容量，所保存的訊息可用於引導一 個人目前或接下來的行動。訊息過多或缺乏醒目重點之設計將使觀察者的注意力 無所適從(陳一平，2011)。幾何教材中如何讓學生能即時辨識出教師當下提及的 圖形、文字，對於學生的學習是相當重要的。本研究的教材中，配合教師的口語 運用了顏色、標記等信號，將學生的注意力引導到當下畫面中的關鍵處。預期如 此將可有效減少視覺搜尋上的負擔，有助於課程進行中師生間的溝通以及學生的 學習成效。24
2-4 幾何教學
2-4-1 幾何圖形的認知理解
Duval 認為每個人學習幾何的認知理解方式不一定相同，因此提出四種幾何 圖形的認知理解類型： 1. 知覺的理解 (Perceptual apprehension) 指個體初看見幾何圖形時的各種感覺與認知，例如圖形中的子圖、元件、形狀、 大小、方向、表徵等，並將這些訊息整合成一個整體性的心像。而心像可能與 所看到的圖形相異，原因在於除視覺所見之外，整個辨識的過程包含了與既有 基模、知識的交互作用，所以設計不當的訊息容易造成誤解（黃建欽，2009）。 2. 循序的理解 (Sequential apprehension) 當需要作圖或描述圖形結構時，就需要循序的理解。圖形的構成是有順序的， 學生對圖形的認知並非憑藉知覺的規則和提示，而是繪圖工具（例如：尺、圓 規等）的限制與數學性質。學生必需透過數學知識經驗及瞭解數繪圖工具的使 用方法與限制，才能依序完整繪出圖形。 3. 論述的理解 (Discursive apprehension) 是指個人能使用語言或文字表徵描述圖形的性質，進行推理活動。沒有命名或 假設的圖形是模糊的表徵，並非每個人都能看到相同的性質或有相同的解讀， 而個人對圖形的論述能力愈好，代表對圖形的理解程度愈高。 4. 操作的理解 (Operative apprehension) 操作性理解是個體將實體圖像及心像進行互相轉換的認知歷程，可在心理或實 體世界中作轉換 (Duval, 2002)。轉換後的圖像，其知覺辨識與原來的圖像不 同，例如圖像的轉換可以是分解、重組、放大、縮小、鏡射、平移、旋轉等等， 這個過程在啟發中相當重要。 Duval (1998) 提出在進行幾何學習活動時，所經歷的認知歷程有三種，說明 如下： 1. 視覺化 (Visualization) 視覺化過程是關於空間表徵的認知歷程，包含簡略概要地看過、主觀的視察與 確認、圖形的說明、複雜圖形的啟發及探索。25 2. 建構 (Construction) 藉由工具完成建構過程，根據觀察結果操作繪圖工具（例如尺規、幾何軟體） 進行建構、再製、重組的歷程，能幫忙建構所呈現的數學物件。 3. 推理 (Reasoning) 與增長知識的推論過程、演繹證明、解釋有關。 這三個歷程彼此間關係密切又可獨立執行，也有可能互相配合才能處理幾何題目， 在認知上三者間的合作對於幾何方面的精熟是必須的。
2-4-2 數學符號表徵的轉化
Piaget 認為表徵可以是個人的看法、迷思或概念，透過個人言辭或圖式的產 物而獲得，表徵也是深層心智結構運作的表面結果（引自 Duval, 2006, p.104)。 表徵也是標誌和其複雜的關聯，根據規則所產生，並允許描述一個系統、一個過 程、或一組現象 (Duval, 2006)。符號和符號表徵的轉化是數學活動的中心，從 一個表徵改變到另一個表徵系統的能力，往往是學習進步和問題解決的關鍵。 Duval提出在數學活動的範圍內從本質上來講，符號表徵的轉化有兩種完全 不同的類型： 1. 處理 (Treatment) 主要於符號學的轉化。在進行數字運算的程序時，同一個數字的小數標記及分 數標記，演算法是不同的，例如 0.20 + 0.25 及 1/5 + 1/4，但人們在計算時可能 會改變標記系統以執行「處理」。在幾何中，「處理」常是純粹的形狀視覺轉 化，透過重新配置原圖的操作，猶如益智遊戲的拼圖，如圖 14 所示的翻轉、 切割位移、複製翻轉等，不需依賴任何數學屬性，可以直觀地視覺操作，並直 觀地解釋某些數學結果。 圖 14 幾何視覺轉化－重新配置原圖資料來源：”A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics,” by R. Duval, 2006, Educational Studies in Mathematics, 61(1-2), p.112. doi: 10.1007/s10649-006-0400-z
26 2. 轉換 (Conversion) 比「處理」更為複雜的表徵轉化，首先需要在兩個內容相異的表徵之間，去 識別相同的代表物件。例如將一個方程式的代數標記轉換到圖形表徵，或將 自然語言陳述的關係轉換到標記使用的文字，如圖 15 及圖 16。 圖 15 表徵轉換－代數表徵轉圖形表徵
資料來源：修改自”A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics,” by R. Duval, 2006, Educational Studies in Mathematics, 61(1-2), p.113. doi: 10.1007/s10649-006-0400-z
圖 16 表徵轉換－自然語言轉數學語言
資料來源：”A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics,” by R. Duval, 2006, Educational Studies in Mathematics, 61(1-2), p.113. doi: 10.1007/s10649-006-0400-z
2-4-3 從表徵轉化看學習數學的困難
學生在學習數學常發生符號表徵轉化的困難，造成無法理解課程內容，以下 分述兩種轉化類型的迷思： 1. 處理 (Treatment) 的複雜性 當專注在視覺化時，視覺處理的第一步是子圖需要被辨別，學習者 是否能比較藉重新配置而得的某些可能的子圖，及在原圖快速辨別他們y = 2x
27
的能力。如圖 17 ，比較圖中上層梯形裡兩個灰色的三角形面積，解題 關鍵在是否能看到梯形圖中下層的兩個大灰色三角形，或看到其他的子 圖。
圖 17 視覺處理的第一步－子圖需要被辨別
資料來源：修改自”A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics,” by R. Duval, 2006, Educational Studies in Mathematics, 61(1-2), p.117. doi: 10.1007/s10649-006-0400-z 2. 表徵的轉換 (Conversion) 表徵的轉換容易限制學生運用已知的知識能力及在數學上獲取新知 識的能力，這也阻礙了理解的進步和學習 (Duval, 2006)。例如：甲的錢 是乙的兩倍少 30 元、9 是 3x + 5 的正平方根，當學生在做這類型的題 目時，無論數學內容為何，將簡單的「轉換」文字問題的詞成為符號表 達，所遇到的障礙，往往是無法克服的差距。 本研究教材為三角形全等性質，教學內容中會將圖像的表徵轉成代數的表徵， 圖與文字間有密切的相關性，整個過程以圖為中心，以圖像引導文字，產生幾何 意義。
2-5 三角形的全等性質
2-5-1 九年一貫課程綱要中的三角形全等
教育部九年一貫數學學習領域的課程綱要，是由下列四個原則界定(教育部， 2009a)：28 1. 參考施行有年且有穩定基礎的傳統教材。 2. 採用國際間數學課程必備的核心題材。 3. 考慮數學作為科學工具性的特質。 4. 現有學生能夠有效學習數學的一般能力。 數學學習領域將九年國民教育分為四個階段，分別為： 1. 第一階段：國小一至二年級。 2. 第二階段：國小三至四年級。 3. 第三階段：國小五至六年級。 4. 第四階段：國中七至九年級。 三角形全等性質屬於八年級下學期的課程，根據教育部 100 學年度實施之 97 年國民中小學九年一貫數學學習領域課程綱要中(教育部，2009a)關於三角形 全等性質的能力指標如下： S-4-9 能理解三角形的全等定理，並應用於理解和推理。 能力指標是依照主題與階段的學習能力而訂定，因多數指標需採分年教學方 能達成教學目標，因此課程綱要中依據能力指標演繹出更細緻的分年細目及詮釋， 以明確掌握分年教學的目標(教育部，2009a)。其中八年級與三角形全等性質有 關的分年細目如下： 8-s-07 能理解三角形全等性質。 其中分年細目 8-s-07 的詮釋說明整理如下： (1) 如果兩個平面圖形經過平移、旋轉或翻轉可以完全重疊在一起，他們 就是兩個形狀與大小都相同的圖形，我們稱他們是兩個全等圖形。 (2) 如果兩個三角形 △ABC 與 △DEF 可以完全重疊在一起，我們就稱
△ABC 與 △DEF 為兩個全等三角形，記為△ABC＝△DEF。
(3) 如果兩個三角形可以完全重疊在一起，重疊在一起的頂點稱為對應點， 重疊在一起的邊稱為對應邊，重疊在一起的角稱為對應角。
~
29 (4) 一般而言，符號△ABC＝△DEF 不一定表示 A，B，C 的對應點分別為 D， E，F。 (5) 能理解兩多邊形全等，則其對應邊、對應角相等。反過來，若對應邊、 對應角相等，則兩多邊形全等。 (6) 能理解 SAS、SSS、ASA、AAS、RHS 全等性質。 (7) 能以三角形的全等性質作簡單幾何推理。
2-5-2 三角形全等的相關研究
黃昭智(2010)探討三角形的全等錯誤類型之研究----以國中三年級學生為 例，施測樣本為彰化縣四所國中共 340 人，從中抽取 13 人面談，具有代表性錯 誤的受試者;其研究結果發現 23 種主要錯誤類型，歸納出四大類:1、定義認知方 面的錯誤(6 種);2、混淆相似概念的錯誤(9 種);3、猜測或無根據的推論(3 種); 4、粗心疏忽的錯誤(5 種);另外造成錯誤類型的原因可分為七點:1、對定義及公 式的概念不清;2、先備知識的不足; 3、學習經驗之間的互相干擾;4、由題目敘 述或圖形進行猜測或無據推論;5、解題的細心程度不夠;6、計算能力不足或計算 上的粗心大意;7、學習者缺乏信心與意願。 謝易達(2013) 探討新北市九年級的學生在七、八年級的數學課程內容上， 有哪些解題上的差異。實驗設計 15 題計算題，並隨機抽樣新北市五所學校九年 級學生進行施測，經統計答題結果並輸入統計軟體 TESTER for Windows 2.0 版 與 SPSS 15.0 中文版，得出結論歸納中與三角形全等相關的有:在國中七、八年 級的數學課程內容，學生的答題表現最差的課程為利用特殊三角形的性質，找出 三角形全等的條件，證明出題目所要求的邊或角，還有同樣都是幾何的題目，學 生們對勾股定理的答題表現，會比利用特殊三角形的性質求角度，以及利用三角 形全等求邊或角這兩種題目，表現得更好。 李春生（2005）探討以「GSP電腦輔助教學」與「傳統講述式教學」兩種 不同的教學法，在學習三角形全等單元成效之研究。發現在兩組學生，在數學學30 習成就上，有顯著的差異，但在數學學習態度上，並沒有顯著的差異。再者而中 分群與低分群學生在數學學習成就上，有顯著的差異，且實驗組中分群與低分群 學生，在「與同學互動」方面，是明顯優於對照組中分群與低分群學生。 李佑宗(2009)三角形的全等性質的先導概念。覺得課本直接以尺規作圖說 明三角形的全等有些唐突，忽略掉單一三角形本身的結構問題，所以在正式介紹 三角形的全等性質之前先加強此部份的概念，將有助於學生日後的學習及概念上 的加深。在教學的後半段部份，也就是例題講解部份，學生普遍缺乏空間概念， 例如大部分例題所給予的兩個三角形在擺放的角度上不會相同，一定要利用自身 的空間概念將一個三角形固定不變，另一個三角形轉換成可對應到另一三角形的 角度，可是有不少的學生在這方面缺乏概念，導致全等性質判斷錯誤。所以日後 教師在教學上可以單獨加強三角形旋轉與翻轉的概念，將有助於學生學習。 從文獻中可以發現學生學習「三角形全等性質」單元，學生學習時易混淆、 概念不甚清楚，且只會計算，而大多數老師常用課本的方法尺規作圖來說明兩個 三角形的全等，效果並不理想; 隨著資訊的進步，如今可以電腦軟體來作輔助教 學將教材作標準、精緻的呈現，觀察五種全等性質「SSS」、「ASA」、「AAS」、「SAS」 以及「RHS」皆與邊長「S」有關，可以嘗試透過設計相關的數位教材從邊長「S」 引導學生觀察形成唯一三角形的成因，只要有三定點就能畫出唯一三角形，藉以 說明五種三角形的全等性質。故選取本單元為研究單元，希望對學生有所助益。
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第三章 研究方法
本章共分五節，包含：研究流程、研究設計、研究對象、研究工具、資料分 析。3-1 研究流程
本研究之流程分為準備、實驗、分析三個階段部份，研究流程如圖 18。 圖 18 研究流程 確定研究主題 文獻探討 規劃研究方法 確定研究對象 發展研究工具 預試 一 、 準 備 階 段 前測 教學實驗 認知負荷量表 後測 延後測 二 、 實 驗 階 段 整理實驗數據 資料分析 撰寫研究結果 三 、 分 析 階 段32
3-1-1 準備階段
以新竹市某國中八年級四個常態班為研究對象，分為實驗組與對照組各兩個 班。將上學期三次段考之數學科平均分數及前測成績，利用獨立樣本t 檢定，確 定兩組成績無顯著差異。 實驗教材之編製則依據多媒體學習理論、認知負荷理論、視覺搜尋、幾何教 學設計實驗教材。另以同校的兩個九年級常態班學生進行試題預試，並根據預試 結果修正測驗內容。3-1-2 實驗階段
於教學實驗前對實驗組與對照組進行前測，以了解研究對象的起點程度。接 著以研究者編制之實驗教材進行教學實驗。於教學實驗後，請研究對象依據自身 上課感受填寫認知負荷量表與回饋單，以了解研究對象的上課感受。之後進行後 測，以了解研究對象的學習成效，並於教學實驗結束一個月後實施延後測，延後 測試卷內容與後測試卷大致相同，以了解研究對象之學習延續情形。3-1-3 分析階段
整理與分析實驗所得之數據資料，以驗證假設並撰寫研究結果。3-2 研究設計
3-2-1 研究方法
本研究旨在研究不同的教學脈絡，對於學生學習三角形全等性質單元的後測、 延後測以及上課感受是否有所影響。本研究採用準實驗研究設計，以課堂授課為 主，盡可能減少其它干擾因素。33
3-2-2 研究變項與假設
1. 研究變項 (1)自變項:包含教學脈絡與成就水準，分述如下： ○1 教學脈絡 實驗組與對照組之主要教學內容皆為三角形全等性質，但教學脈絡不 同，實驗組教材以固定一邊找第三點概念為教學脈絡，對照組教材則 以尺規作圖概念為教學脈絡。 ○2 成就水準 實驗組與對照組分別依照上學期三次段考數學科成績，分為高成就水 準（前 50%）與低成就水準（後 50%）。 (2) 依變項:包含後測、延後測與認知負荷感受，分述如下： ○1 後測 在教學實驗結束之後，使用後測試卷檢視兩組研究對象的後測成績， 藉以評估學習成效。 ○2 延後測 延後測於教學實驗結束一個月後實施，藉以觀察兩組研究對象的學習 延續情形。 ○3 認知負荷感受 在教學實驗結束之後，填寫認知負荷量表與回饋單，藉由量表與回饋 單了解兩組研究對象感受到的認知負荷程度，以及上課感受情形。 (3) 控制變項:包含授課教師、授課環境、教學單元與測驗問卷，分述如下： ○1 授課教師 授課教師皆為研究者本人，研究者為研究班級的數學科授課教師，對 於研究者的授課風格與表達方式皆已熟悉。 ○2 授課環境 授課地點均在教室進行，授課環境條件一致。34 ○3 教學單元 兩組之主要教學單元與授課時間均相同，研究對象為八年級學生，而 教材內容為八年級下學期的內容。 ○4 測驗問卷 兩組研究對象的前測試卷、認知負荷量表與回饋單、後測試卷以及延 後測試卷，內容、施測時間長度與計分標準皆相同。 2. 研究假設 本研究之假設如下： 假設 1：不同教學脈絡與不同成就水準對學生的後測表現有顯著的交互作 用。 假設 2：不同教學脈絡與不同成就水準對學生的延後測表現有顯著的交互作 用。 假設 3：不同教學脈絡與不同成就水準對學生的認知負荷感受有顯著的交互 作用。 除了以上假設之外，本研究將探討對於高成就水準學生是否產生專業知識反 轉效應。
3-2-3 實驗流程
本研究之實驗步驟、內容與時間分配如表 3： 表 3 教學實驗流程表 步驟 內容 時間 階段 I A 前測 10 分鐘 B 課程教學實驗 80 分鐘 C 認知負荷量表問卷與回饋單 10 分鐘 D 階段學習成就測驗（後測） 40 分鐘 階段 II E 延後測 40 分鐘35
3-3 研究對象
本研究採用準實驗研究法，從新竹市某國中八年級班級中，依便利取樣方式 取樣四個常態班級為研究對象，但排除資源生。依據上學期三次定期評量數學平 均成績，將前 50 % 設定為高成就水準學生，後 50 % 設定為低成就水準學生。 三次定期評量數學成績如表 4，人數分配如表 5。 表 4 研究對象班級人數及上學期數學科定期評量成績表 班級 人數 定期評量 平均 組別 一 二 三 A 班 31 78.74 71.77 73.03 74.52 實驗組 B 班 29 86.20 79.72 77.41 81.11 實驗組 C 班 29 79.21 71.52 70.82 73.83 對照組 D 班 31 83.13 77.13 77.81 79.36 對照組 表 5 受試學生高、低學習成就人數分配表 組別 班級 高成就 低成就 總計 實驗組 A 班、B 班 30 30 60 對照組 C 班、D 班 30 30 60 總計 60 60 120 利用獨立樣本t 檢定，檢驗實驗組與對照組上學期三次定期評量數學成績， 兩樣本的平均數分別為 77.73 和 76.63，變異數相等的 Levene 檢定未達顯著 ( F = 0.277，p = .600 )，即表示兩組成績的離散情形無顯著差別。由假設變異數 相等，其 t 值= 0.302、df = 118、p = .763＞ .05，檢驗結果未達顯著，因此兩 組的程度可視為相當，檢定資料摘要如表 6。 表 6 兩組學生上學期數學科定期評量平均獨立樣本t 檢定摘要表 實驗組 對照組 ( n = 60 ) ( n = 60 ) 變項 M SD M SD t ( 118 ) p 定期評量平均 77.73 19.28 76.63 20.62 0.302 .76336 利用獨立樣本 t 檢定，檢驗兩組前測成績，前測總分為 25 分，兩組前測平 均分別為 13.30 和 14.82，變異數相等的 Levene 檢定未達顯著 ( F = 0.035，p = .852 )，即表示兩組前測成績的離散情形無顯著差別。由假設變異數相等，其 t 值= -1.371、df = 118、p = .173 > .05，檢驗結果未達顯著，因此兩組的程度 可視為相當，檢定資料摘要如表 7。 表 7 兩組學生前測平均獨立樣本t 檢定摘要表 實驗組 對照組 ( n = 60 ) ( n = 60 ) 變項 M SD M SD t ( 118 ) p 前測 總分(25 分) 13.30 6.00 14.82 6.12 -1.371 .173 綜合以上所述，利用獨立樣本t 檢定檢驗兩組學生的上學期三次數學定期評量以 及前測成績，檢驗結果均未達顯著，可視為兩組學生程度相當。
3-4 研究工具
本研究所用之研究工具有實驗教材、前測試卷、後測試卷、延後測試卷、認 知負荷量表與回饋單共五項，分述如下：3-4-1 實驗教材
本研究使用之教材均為自製教材，教材主要內容為「三角形全等性質」，包 含「SSS」、「ASA」、「AAS」、「SAS」與「RHS」等五個判斷三角形全等性質。製作 平台為 PowerPoint 2003 搭配 AMA 外掛增益集，教材設計及課堂上的展演運用了 視覺搜尋、認知負荷理論教學設計原則、多媒體學習設計原則以及幾何學習原理 以安排教材內容元素。實驗組與對照組之教材均以步驟化方式編製，盡量減少動 畫的使用，過程中不斷與指導教授以及數位平均任教十年以上之數學教師討論編 修而成。 實驗組與對照組教材均使用雙通道模式呈現，畫面上敘述性文字盡量減少， 只保留重要文字訊息，敘述性文字盡量以口語方式呈現；畫面中凸顯當下希望學37 生注意的主要訊息，同時其它次要訊息採取淡化而非隱藏，可以有效引導學生的 注意力，並且在必要時仍可以看見整體訊息。各種符號、標示與訊息採用「空間 接近原則」，盡量接近對應元素，以減少視覺搜尋負擔，亦可避免分散注意力。 兩組教材中較簡單的部分內容，如先備知識中全等符號與對應點、對應邊、 對應角等的基本概念介紹，內容均相同，只針對五種全等性質的教學脈絡產生差 異性，如圖 19。 圖 19 教材內容之目錄 以下以「SSS」全等性質之教學教材為例，說明實驗組與對照組教材之差異， 如表 8 與表 9，實驗組完整教材畫面請見附錄五。 表 8 實驗組 SSS 全等性質教材 階 段 畫面 引 導 階 段
