結論:三角形任意兩邊的差必須小於第三邊

A 

B  a C 

c  b

a  b 

c  a+b<c 

a  b 

c  a+b=c 

a  b 

c  a+b>c 

a 

c  a+b>c  b 

c 

b  a 

a  b 

c 

a+b=c 

在前面我們知道三角形是由三個邊及三個角所構成的，且三個角之和為 180 ⁰ ，反過來我 們問，是否任意的三個線段都可以構成三角形？所以在此我們就來探討三角形的邊角關係吧!

假設三個線段其長度為

a

、

b

、

c

，假設

c 

為最長，利用尺規作圖，我們來看看以下三種 情況吧!

【情況一】當

a+b<c 

無法形成三角形！

【情況二】當

a+b=c 

無法形成三角形！

【情況三】當

a

+

b

>

c 

可以形成三角形！

∴我們可以知道：三角形任意兩邊的和必須大於第三邊。

如右圖若三角形△ABC 中三邊長分別為 a、b、c，則：

（1）  a＋b＞c  （2）a＋c＞b  （3）b＋c＞a 

接著來看看任意兩邊的差的情況：

若任意兩邊的差大於第三邊，就無法形成三角形。

結論:三角形任意兩邊的差必須小於第三邊。

如右上圖若三角形△ABC 中三邊長分別為 a、b、c 則

（1） 

a - b 

＜c （2） 

b - c 

＜a （3） 

c - a 

＜b 我們將上面兩個的結論合併為下面的定理。 

a 

b  c

A 

B  C 

c 

a  b 

A 

B 

C  D  16 

5 

10  7 

X 

【定理】：給任一△ABC，如圖 a、b、c 為其三邊長，則任意一邊 c，必須在任意兩 邊的和（a＋b）與任意兩邊的差（a－b）之間，即 

a - b 

＜  c  ＜  a＋b 

【範例】下列何者可作為三角形的三邊長？

(A) 2，2，4 (B) 2，3，6 (C) 1，2，3 (D) 0.4，0.8，1.1

【解說】(A) ∵2＋2 £ 4 ∴不可作為三角形的三邊長 (B) ∵2＋3＜6 ∴不可作為三角形的三邊長 (C) ∵1＋2＝3 ∴不可作為三角形的三邊長

(D) ∵0.4＋0.8＞1.1 ∴可作為三角形的三邊長 故選(D)

【範例】若 4、8、X 是三角形的三邊長，求 X 的範圍？

【解說】

8 4 -

＜ X ＜ 8＋4 ∴4 ＜ X ＜ 12

【範例】如圖，四邊形ABCD中， AB ＝10、 BC ＝7、 CD ＝5、 AD ＝16，則：

(1)x的範圍為何？

(2)若x為正整數，那麼x的可能值為何？

【解說】 △ABC中，10－7＜x＜10＋7 Þ 3＜x＜17……(1)

△ABD中，16－5＜x＜16＋5 Þ 11＜x＜21……(2)

∵x需同時滿足(1)、(2) ∴11＜x＜17

∵x為正整數 ∴x的可能值為12、13、14、15、16

【範例】設三角形之三邊長是 2，4， 

x  -  1

，則 

x - 2 

＋ 

x - 9 

＝?

【解說】4－2 < x －1< 4+2， \2 < x －1 < 6

3 < x < 7 \ 

x - 2 

＋ 

x - 9 

＝ x －2＋9－ x  ＝7

A 

B  7 C 

10  5

1  2 

A 

B  D  C 

A 

B 

C  x 

x  M 

東 北

60 ⁰ 甲

乙 99m

三角形大邊對大角，大角對大邊

【定理】△ABC 中， AB 為最大邊，則其對應的∠C 為最大角。(如圖示)

【證明】右圖若△ABC 中， AB ＞ AC ，則∠C＞∠B。

取 AD = AC

Þ △ADC 為等腰三角形 Þ ∠1＝∠2

∵∠1＞∠B；∠C＞∠2 ∴∠C＞∠B 

【定理】△ABC 中，∠A＞∠C＞∠B Þ  BC 為最大邊。

【證明一】在△ABC 中，將∠C 分為兩個角，

其中∠x＝∠B 且此角分線交 AB 於 M(如圖) 在△ACM 中，

Þ AC ＜ AM ＋ MC 

＝ AM ＋ MB (因為△MBC 為等腰三角形) 

＝ AB 

同理對於∠A＞∠C，我們也可得到 BC ＞ AB  因此 BC ＞ AB ＞ AC 。

【證明二】假設∠A＞∠C，而 BC ＜ AB 

由上一個定理我們得知大邊對大角，

當 AB ＞ BC  可得∠C＞∠A (此與∠A＞∠C 矛盾)  故可得大角也對大邊。

【範例】△ABC 中，若 AB ＝10 公分， BC ＝7 公分， CA ＝5 公分，則：

(A) ∠C＞∠A＞∠B (B) ∠B＞∠A＞∠C (C) ∠A＞∠B＞∠C (D) ∠A＞∠C＞∠B 

【解說】∵ AB ＝10 公分＞ BC ＝7 公分＞ CA ＝5 公分

∴∠C＞∠A＞∠B  故選(A)

【範例】甲、乙兩人在同一水平面上溜冰，且乙在甲的正南方 99 公尺處。已知甲、乙 分別以東偏南 60 ^o 、正東方的方向直線滑行，而後剛好相遇，因而停止滑行。

問何者滑行的距離較長？長多少？

【解說】99×sec60 ^o ＝66  3 ；99×cot60 ^o ＝33  3 

66  3 －33  3 ＝33  3  答:甲滑行的距離較長，長 33  3 公尺

距離 (公尺)

甲到乙 乙到丙 丙到甲  1.5  7.5 

A(5,6) 

B(7,­1)  C(­2,­2) 

x  y 

【範例】如圖，甲、乙兩人在同一水平面上溜冰，且乙在甲的 正東方 200 公尺處。已知甲、乙分別以東偏北 70 ^o 、西偏北  60 ^o 的方向直線滑行，而後剛好相遇，因而停止滑行。對於兩 人滑行的距離，下列敘述何者正確？ 

(A)  乙滑行的距離較長  (B)  兩人滑行的距離一樣長 

(C)  甲滑行的距離小於 200 公尺  (D)  乙滑行的距離小於 200 公尺

【解】大角對大邊

Q  70 ^o ＞60 ^o ，利用三角形中，大角對大邊的性質

\可知乙滑行的距離較長。 答案選（A）

【範例】如下圖，玲玲、淳淳、崇崇分別站在座標平面上 A( 5 , 6 )、B( 7 , -1 )、

C( -2 , -2 )三點上，兩手張開拉著繩子圍成

D

ABC，預備圍起來給媽媽種菜，

請問:(1) AB 、 BC 、 CA 之長為何?(單位長:公尺)(2)三人之兩手所張角度哪 一個最大?

【解】(1)  AB ＝  ( 7 - 5 ) ² + ( - 1 - 6 ) ² ＝  4 + 49 ＝  53 

BC ＝ 

( - 2 - 7 ) ² + ( - 2 + 1 ) ² ＝  81 + ＝  82 1 

CA ＝ 

( - 2 - 5 ) ² + ( - 2 - 6 ) ² ＝  49 + 64 ＝  113  (2)Q  CA ＞ BC ＞ AB \

Ð

B＞

Ð

A＞

Ð

C

故淳淳兩手所張角度最大

【範例】小薰想在花園中，圍出一塊土地重玫瑰花，他以自己的位置為中心找出與他 等距的甲、乙、丙三點，並測量此三點間的距離，紀錄如右表。表中有部份 為水漬所弄髒，使得丙到甲的距離無法辨識。已知弄髒的部份為一整數，則 此數字可能是下列哪一個?

【解】由題意可知甲、乙、丙三點可圍成一個三角形乙丙

甲乙

乙丙 甲丙

甲乙

乙丙 -  < < + 1.5  7.5  1.5 

7.5 - < 甲丙  < + 9 

6 < 甲丙 < \ 甲丙

可能 

=  7  、 8 

60 

^o 

70 

^o  甲 乙 

200公尺 

50 

^o 

60 

^o 

70 

^o 

甲

乙

A 

B  C 

I 

3 2 

4  1 

A(­3,3) 

B(5,12) 

O  x  y 

O  x  y 

A 

B 

D 

C 

P  P' 

O  B  C  D  A 

9 

8 

7  6 

5 

4 

3 

2 

1  O  x  y 

A 

D  C 

P 

B(5,12) 

A(­3,3) 

(­3,3) 

【範例】

D

ABC 中， AB ＞ BC ＞ AC ，

Ð

A、

Ð

B 和

Ð

C 的角平分線交於 I，若有甲、乙、

丙三隻螞蟻分別由 A、B、C 三點同時出發，沿 AI 、 BI 、 CI 前進，且前進速 度相同，請問哪一隻螞蟻先到達 I 點?

【解】\ AB ＞ BC Þ

Ð

BCA＞

Ð

BAC

\

Ð

1＞

Ð

2 Þ IA ＞ IC 

又Q  BC ＞ AC Þ

Ð

CAB＞

Ð

CBA

\

Ð

3＞

Ð

4 Þ IB ＞ IA

\ IB ＞ IA ＞ IC Þ IC 最短

【範例】如下圖，A 點座標為( -3 , 3 )，B 點座標為( 5 , 12 )，

今欲在 x 軸上找一點 P，使 PA ＋ PB 為最小值，則 (1)P 點座標為? (2)  PA ＋ PB 的最小值為?

【說明】 Þ PA ＋ PB £ 

P'  ＋  B  A  P'

Q 中垂線上任一點到兩端點等距離。

\ PA ＝ PC , 

P'  ＝  C  A  P' 

在

D

BCP＇中，因三角形兩邊和大於第三邊

\ PA ＋ PB ＝ PC ＋ PB ＝ CB 

A 

P'  ＋  B  P'  ＝  C  P'  ＋  B  P'  ＞ CB

Þ PA ＋ PB £ 

P'  ＋  B  A  P' 

【解】(1)作 AC

^  x 軸於 D，

且 AD ＝ CD

\C 點座標為( -3 , -3 )

通過 C、B 兩點的直線方程式為 

y

＝ 

8  5  x ＋ 

8  21 

令

y

＝0 \ x ＝- 

5 

7

\P(- 

5 

7 

, 0 ) (2)  PA ＋ PB 最小值

＝ BC ＝

[

5 - ( - 3 ) 

] [

² + 12 - ( - 3 ) 

] 

² ＝17

【範例】下圖是一個 3×3 的正方形，求圖中

Ð

1＋

Ð

2＋

Ð

3＋……＋

Ð

9＝?

【解】Q

D

OAB @

D

DOC(SAS)

\

Ð

9＝

Ð

COD，又

Ð

OCD＝90 ⁰

\ Ð 1＋ Ð 9＝90 ⁰ 

同理 Ð 4＋ Ð 8＝90 ⁰ ， Ð 2＋ Ð 6＝90 ⁰  又 Ð 3＝ Ð 5＝ Ð 7＝45 ⁰

\ Ð 1＋

Ð

2＋

Ð

3＋……＋

Ð

9

＝3×90 ⁰ ＋3×45 ⁰ 

＝405 ⁰

A  B 

P 

Q  R 

D

G  C  F 

E  A 

B  P 

Q  R  D

C  G 

F  E 

4 

5  1 

2  3 

A 

B  C 

D 

E  F 

A 

B  C 

D 

E  F 

大

大 小 

A 

B  C 

D  1  2 

【範例】如右圖，

Ð

A＋

Ð

B＋

Ð

C＋

Ð

D＋

Ð

E＋

Ð

F＋

Ð

G＝?

【解】

Ð

A＋

Ð

B＋

Ð

C＋

Ð

D＋

Ð

E＋

Ð

F＋

Ð

G

＝(

Ð

1＋

Ð

2＋

Ð

3)＋(

Ð

4＋

Ð

5＋

Ð

F)

＝360 ⁰ ＋180 ⁰ 

＝540 ⁰ 

【範例】三角形的邊長為 2、4、 x －1，且 A＝ 

x 

²

-  x  4  + 4 

＋ 

64  - 16  x + x 

² ，則 A?

【解】Q 4－2＜ x －1＜4＋2

\2＜ x －1＜6 3＜ x ＜7

\A＝ 

x 

²

-  x  4  + 4 

＋ 

64  - 16  x + x 

² 

＝  ( - 

x 

2 ) ² ＋  ( 8 -

x

) ² ＝ 

x - 2  + 8  - x 

＝ x －2＋8－ x  ＝6

三角形的樞紐定理

【定理】△ABC 與△DEF 中， AB ＝ DE ， AC ＝ DF ，∠A＞∠D，則 BC ＞ EF 

若兩個三角形有兩邊對應相等，但其夾角不相等，則夾角較大的三角形的第三邊大 於夾角較小的三角形的第三邊。

【範例】已知△ABC 與△DEF 中， AB ＝ DE ， AC ＝ DF ，在下列空格填上＞、＝或＜

（1）若∠A＝∠D，則 BC  ____  EF 

（2）若∠A＞∠D，則 BC  ____  EF 

【解說】 （1）根據 SAS 全等性質 ∴ BC ＝ EF 

（2）由樞紐定理 ∵∠A＞∠D  ∴ BC ＞ EF 

【範例】如右圖，△ABC 中， BD = CD ，且∠2＞∠1，求 AB 與 AC 之關係。

【解說】在△ABD 與△ACD 中∵ AD ＝ AD ， BD ＝ CD  且∠2＞∠1 ∴ AB ＞ AC (樞紐定理)

A 

B  C 

D 

A 

B  C 

A 

C 

B  D 

【範例】如圖，△ABC 中， AB ＞ AC ， AD 為 BC 上中線則(1) Ð BDA 與 Ð CDA 誰大？

(2) Ð BAD 與 Ð CAD 誰大？ (3) AB ＋ AC 與 2 AD 誰大？

【解】(1) 在△BAD 與△CAD 中， BD ＝ CD ， AD ＝ AD  且 AB ＞ AC 

∴ Ð BDA＞ Ð CDA（逆樞紐定理）

(2) 在 AD uuur

上截取 AD ＝ DE ，則△ACD @ △EBD (∵ AD ＝ DE ，

BD

＝

DC 

， Ð ADC＝ Ð BDE) 在△ABE 中  AB ＞ BE  ( AB ＞ AC  =  BE ) 故 Ð E＞ Ð BAD。(大邊對大角)

又 Ð E = Ð CAD (∵△ACD @ △EBD)，因此 Ð CAD＞ Ð BAD。

(3) 在△ABE 中 AB  +  BE  =  AB ＋ AC >  AE  = 2 AD 。

特殊直角三角形的邊長比例

【30 ⁰ －60 ⁰ －90 ⁰ 三角形的三邊比例】

如圖，△ABC 中，∠A＝30 ⁰ ，∠B＝60 ⁰ ，∠C＝90 ⁰ ， 則△ABC 三邊的長度比： 

BC ： AC ： AB ＝1：  3 ：2。

【證明】（1）在 BC 的延長線上取 CD ＝ BC ，連接 AD 。

（2）在△ABC 與△ADC 中

∵ CD ＝ BC ，∠ACB＝∠ACD＝90 ⁰  且 AC ＝ AC 

∴△ABC @ △ADC（SAS 全等性質） 。 故∠D＝∠B＝60 ⁰  即△ABD 為正三角形。

（3）設 BC ＝a，則 AB ＝ AD ＝2a 

由商高定理可知 AC ² ＝ AB ² － BC ² ＝3a ² 

∴ AC ＝  3 a 

故 BC ： AC ： AB ＝1：  3 ：2 

A 

B  D  C 

E

30 ⁰ 

60 ⁰  A 

B  C 

D 

E 

30 ⁰ 

60 ⁰  A 

B  C 

D 

E 

A 

B  C 

A  D 

B  E  C 

F 

【45 ⁰ －45 ⁰ －90 ⁰ 三角形的三邊比例】

如圖，△ABC 中，∠A＝45 ⁰ ，∠B＝45 ⁰ ，∠C＝90 ⁰ ， 則△ABC 三邊的長度比： 

BC ： AC ： AB ＝1：1：  2 。

【證明】∵∠A＝∠B  ＝45 ⁰  ∴設 BC ＝ AC ＝a  由商高定理可知 AB ² ＝ AC ² ＋ BC ² ＝2a ² 

∴ AC ＝  2 a  故 BC ： AC ： AB ＝1：1：  2 

【範例】如右圖，將邊長為 4 的正方形 ABCD 剪去 一個直角三角形，則剩下的面積為多少?

【解說】連接 CD ，則△CDE 為一 30 ⁰ －60 ⁰ －90 ⁰ 的直角三角形 且 CD ＝4 Þ DE ＝2， CE ＝2  3

Þ △CDE＝2×2  3 ÷2＝2  3 

∴剩下的面積＝正方形 ABCD－△CDE 

＝4×4－2  3 ＝16－2  3 

【範例】如圖，將△ABC中的B點沿著摺痕 AE 疊合到D點，且 AC 剛好是 DE 的中垂線， 

AB ＝ AE ，∠B＝60 ⁰ ，則∠C是幾度？

【解說】△ABE中 AB = AE 且∠B＝∠ABE＝60 ⁰ ， 故∠AEB＝60 ⁰ (等腰三角形)

△AED中 AB = AD 且∠B＝∠D＝60 ⁰ ， 故∠AED＝60 ⁰ (等腰三角形)

故∠CEF＝180 ⁰  -∠AEB - ∠AED = 60 ⁰ 

AC 為 DE 的中垂線，即∠EFC＝90 

⁰ 

∠C＝180 ⁰ －90 ⁰ －60 ⁰ ＝30 ⁰

A 

B  C 

P 

A 

B 

D 

C 

A 

B 

D 

C  E 

B 

A 

C 

D  H 

G  F 

E 

1 

2 

B 

A 

C 

D  H 

G  F 

E 

1 

2  3 

4 

A 

B  C 

D  F 

A

E 

D

F

B ^{50 0} E C

50 ⁰

65 ⁰ 50 ⁰

65 ⁰ 50 ⁰

【範例】如圖，將△ABC中的B點沿著摺痕 AE 疊合到D點，且 AC 剛好是 DE 的中垂線， 

AB = BE ，∠B=50 

⁰ ，則∠C是幾度？

【解說】△ABE中 AB = BE 且∠B＝∠ABE＝50 ⁰ ，

故∠AEB＝(180 ⁰ -50 ⁰ )/2 = 65 ⁰  (等腰三角形)

△AED中 DE = AD 且∠B＝∠D＝50 ⁰ ， 故∠AED＝65 ⁰ (等腰三角形)

故∠CEF＝180 ⁰ －∠AEB－∠AED = 50 ⁰ 

AC 為 DE 的中垂線，即∠EFC＝90 

⁰ 

∠C＝180 ⁰ －90 ⁰ －50 ⁰ ＝40 ⁰ 

【範例】如圖，∠A＝90 ⁰ ， BP 為∠B的角平分線， PD 垂直 BC ，且∠C＝36 ⁰ ， AP ＝5 公分， BC ＝18公分，則：

(1) ∠BPC＝ˉˉˉˉ

(2) △BPC的面積是ˉˉˉˉ平方公分

【解說】(1)∠ABD＝180 ⁰ －90 ⁰ －36 ⁰ ＝54 ⁰ 

∠BPC＝180 ⁰ －∠PBC－∠C＝180 ⁰ － 

¹ 

2 

×54 ⁰ －36 ⁰ ＝117 ⁰ 。 (2)△BPC＝ BC × PD × 

¹ 

2 

∵ PD ＝ PA  故18×5× 

¹ 

2 

＝45(平方公分)。

【範例】如圖，有一長方體的盒子， AC = BC =  2 ， AD = 2  3 ，其對角線 之夾角∠ABD =？度。

【解說】 AB = 2 

BD  = 2  DE  + ²  BE ² 

= DE  + ²  AD  + ² 

AC 

² 

=2 + 12 + 2 = 16  BD  = 4

△ ABD 的邊長比為；  AB ： AD ： BD ＝ 2：2  3 ：4＝1：  3 ：2，

故∠ABD =60 度

【範例】如圖，四邊形 ABCD、EFGH 皆為平行四邊形，若∠1 =60˚，∠2 =70˚，且

∠H =80˚，則∠ABC = 度。

【解說】∠B = ∠D，

∠F = 80˚ = ∠H，

∠3 = 180˚ - ∠1 = 180˚ - 60˚= 120˚

∠4 = 180˚ - ∠2 = 180˚ - 70˚= 110˚

∠D ＋∠F＋∠3＋∠4 = 360˚，故∠B = ∠D = 50˚

A 

B 

C  D 

A 

B 

C  D 

【範例一】 【練習一】

在△ABC 中，已知∠A、∠B、∠C 的對應邊長 分別為 a、b、c，且(a－3) ² ＋(b－4) ² ＋(c

－x) ² ＝0，x 為正整數，則 x 可能的值為何？

在△ABC 中，若 15、7、x－2 表三角形的三邉 長，則 x 可能的正整數解有幾個？

【範例二】 【練習二】

如附圖， AB = 29， BC = 19， AD = 20， 

CD ＝16，若 AC ＝X，且 X 是整數，則 X

有______個。

如附圖， AB ＝4， BC ＝7， AD ＝3， 

CD ＝2，若 AC 為整數，則 AC ＝？

【範例三】 【練習三】

在△ABC 中，AB ＝  2 ＋2、BC ＝4、CA ＝  3 

＋1，請比較∠A、∠B、∠C 的大小關係。(由 大至小排列)

在△ABC中，若4∠A：5∠B＝10：15，∠B：2

∠C＝1：6，則 AB 、 BC 、 AC 的大小關係為 何？

A 

B  C 

60 

⁰ 

A 

B  60 

⁰ 

C 

A  D 

B  E  C 

F 

A  E  D  B 

C 

30 ⁰  130 ⁰ 

【範例四】 【練習四】

△ ABC 中， AB ＞ BC ，∠A＝60 ⁰ ，試比較 

AB 、 BC 、 AC 之大小。

△ ABC 中，∠B＝60 ⁰ ，∠A＞∠C，試比較 

AB 、 BC 、 AC 之大小。

【範例五】 【練習五】

如下圖，將△ABC中的B點沿著摺痕 

^AE 

疊合到 D點，且 AC 剛好是 DE 的中垂線， 

^AB 

＝ 

^AE 

，∠B＝65 ⁰ ，則∠C是幾度？

如下圖，以 AB 為底邊，摺出底邊上的高 

CD ，B 點的對應點為 E，並連接 CE 

(1)若已知∠ACB＝130 ⁰ ，∠B＝30 ⁰ ，則∠ACE

＝ˉˉˉˉ度

(2) 若已知 

_AD 

＝10公分， BD ＝5公分，CD 

＝6公分，則△AEC的面積＝ˉˉˉˉ平方 公分

A 

B 

C 

………

一、選擇題：

1. （ ）△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的平分線相交於O點，若 AB ＞ BC ＞ CA ，則 OA、OB 

、 OC 的大小順序為何？

(A) OA ＞ OB ＞ OC ˉ (B) OC ＞ OB ＞ OA ˉ (C) OB ＞ OA ＞ OC ˉ (D) OA ＞ OC ＞ OB 

2. （ ）在△ABC中，若∠A的外角為140 ⁰ ，且∠B－∠C＝20 ⁰ ，則下列何者正確？

(A) AB ＞ BC ＞ AC ˉ (B) AC ＞ AB ＞ BC ˉ (C) AB ＞ AC ＞ BC ˉ (D) AC ＞ BC ＞ AB 

3. （ ）如圖，小琪想利用尺規作圖，在△ABC內找到一點P，使得P點到B、C兩點等距離，

且P點到 BC 、 AB 也等距離，則小琪可以下列哪一種方法求得？

(A)作 BC 與 AB 中垂線的交點ˉ (B)作∠A與∠B平分線的交點ˉ

(C)作 BC 中垂線與∠B平分線的交點ˉ (D)作∠C的平分線與 AB 中垂線的交點 4. （ ）如圖，請問∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋

∠F是多少度？ 

A  B 

C 

D 

E  F 

(A)180 ⁰ ˉ(B)360 ⁰ ˉ(C)540 ⁰ ˉ(D)720 ⁰

A  B  C  O 

60 

⁰ 

60 

⁰ 

70 

⁰ 

65 

⁰ 

160 

⁰ 

125 

⁰ 

145 

⁰ 

1  2 

3

5. （ ）如圖，在斜角錐OABC中，∠OAB＝70 ⁰ 、∠AOB＝60 ⁰ 、∠BOC＝60 ⁰ 、∠OBC＝65 ⁰ 。請 問在 OA 、 AB 、 BC 、 OC 四個邊中哪一個最長？ˉ

(A) OA  ˉ(B) AB ˉ(C) BC  ˉ(D) OC 

6. （ ）如圖所示，求∠1＋∠2＋∠3＝？

(A)60 ⁰ ˉ(B)70 ⁰ ˉ(C)80 ⁰ ˉ(D)90 ⁰ 

7. （ ）在△ABC中，3∠A＝∠B，6∠A＝∠C，則∠C＝？

(A)36 ⁰ ˉ(B)72 ⁰ ˉ(C)108 ⁰ ˉ(D)144 ⁰ 

8. （ ）△ABC中，∠A＞∠B，∠B的外角小於120 ⁰ ，則下列敘述何者正確？

(A) AB 最長， BC 最短ˉ (B) AC 最長， AB 最短ˉ (C) AB 最長， AC 最短ˉ (D) BC 最長， AB 最短

9. （ ）已知△ABC@△DEF，其中A與D、B與E、C與F為對應頂點，且 AB ＝10、 BC ＝6、∠C

＝∠F＝90 ⁰ ，則 DF ＝？(A)6ˉ(B)8ˉ(C)10ˉ(D)12 10.（ ）設三角形有相異兩外角和為270 ⁰ ，則此三角形為何？

(A)直角三角形ˉ(B)銳角三角形 (C)鈍角三角形ˉ(D)以上皆非

A  B  C 

6 

10 

D  E 

F 

A 

B  C 

D  2  1 

A 

B  C 

D  E 

F  G  H  1 

二、填充題：

1. 如圖，已知△ABC@△DEF，若∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F為對應角，且∠A＝90 ⁰ ， 

AB ＝6， EF ＝10，則：

(1) DF ＝ˉˉˉˉ。

(2)△DEF的面積＝ˉˉˉˉ。

2.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的外角分別為∠1、∠2、∠3，若 CA ＞ BC ＞ AB ，則∠1、∠2

、∠3的大小關係為ˉˉˉˉ。

3.填入適當的邊、角、三角形，完成下列證明。

已知：如圖，∠BAD＝∠CDA，且∠1＝∠2。

求證： AC ＝ BD 。 證明：在△ABD與△DCA中

∵∠BAD＝∠CDA ˉˉˉˉ(已知) ˉ 

AD ＝ AD ˉ(公共邊)

∴△ABD@△DCA (ˉˉˉˉ全等性質)

∴ AC ＝ BD 

4.三原利用摺紙，摺出一個蛙形圖案，如圖所示，若∠1＝92 ⁰ ，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E

＋∠F＋∠G＋∠H＝ˉˉˉˉ度。

A  D 

B  E  C 

F 

A 

B  C 

D  40 

⁰ 

20 

⁰ 

x 

⁰ 

A 

B  C 

P 

5.△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C且∠A＝80 ⁰ ，則∠B的範圍為何？ˉ

6.△ABC中，∠A的外角為95 ⁰ ，∠B＝25 ⁰ ，則∠C＝ˉˉˉ度。

三、計算證明題：

1.如右圖，將△ABC中的B點沿著摺痕 

^AE 

疊合到D點，且 AC 剛好是 DE 的中垂線， 

AB 

＝ 

^AE 

，∠B＝60 ⁰ ，則∠C是幾度？

2.右圖△ABC中， 

_AD 

＝ BD ＝CD ，那麼x是多少？

3.如右圖，∠A＝90 ⁰ ， BP 為∠B的角平分線， PD 垂直 BC ，且∠C＝36 ⁰ ， AP ＝5公分， 

BC ＝18公分，則：

(1) ∠BPC＝ˉˉˉˉ

(2) △BPC的面積是ˉˉˉˉ平方公分

A  E  D  B  C 

40 

⁰ 

110 

⁰ 

A 

B  C 

D  1 

80 ⁰  55 ⁰ 

A  B 

C  D 

E 

4.如右圖，以 AB 為底邊，摺出底邊上的高 CD ，B 點的對應點為 E，並連接 CE  (1)若已知∠ACB＝110 ⁰ ，∠B＝40 ⁰ ，則∠ACE＝ˉˉˉˉ度

(2)若已知 

_AD 

＝8公分， BD ＝3公分，CD ＝4公分，則△AEC的面積＝ˉˉˉˉ平方公分

5.用兩塊相同大小的直角三角形拼成一個新的三角形，如上圖所示，請問：

(1) 它是個什麼三角形？

(2) 如果新三角形的底角是30 ⁰ ，那麼它的頂角是幾度？

6.如右圖，△ABC中， 

_AD 

是∠BAC的角平分線，且∠C＝55 ⁰ ，∠ADB＝80 ⁰ ，則：

(1) ∠1＝ˉˉˉˉ度 (2) ∠B＝ˉˉˉˉ度

7.如右圖，△ABC為直角三角形，∠C=90，若將B點對摺到A點，得摺痕 DE ，如果 AB ＝12㎝

， BC ＝9㎝， AC ＝5㎝，求△ADC的周長？

1 

35 

⁰ 

15 

⁰ 

A 

B  C 

D 

C 

B 

A  D 

1  2 

3  4 

8.如圖，△ABC中， AD ＝ BD ＝ CD ，那麼∠1為幾度？

9 小清跟同學去泛舟，船順著河道走，如圖所示，其中 Ð 1＝123 ⁰ ，∠2＝141 ⁰ ，∠3＝105 ⁰ 。 請問由甲地到乙地，小清共轉了幾度？

10.設△ABC 三邊長為 4 公分、7 公分、a 公分，則 a 的整數值有那幾個？

11.已知：四邊形 ABCD 中， AB 最短， CD 最長 求證：(1) Ð A＞ Ð C

(2) Ð B＞ Ð D

A  B  C 

P  L  A 

B  C 

D 

1  2 

A

B  C 

D 

65 

⁰ 

55 

⁰ 

1  2  3 

E 

A 

B  D  C 

P 

A 

L 

B  C 

D  E 

85 ⁰ 

………

一、選擇題：

1.（ ）如圖，△ABC中，若 AB ＝ AC ，∠A＝44 ⁰ ，∠1＝∠2，

則∠BDC＝？(A)100 ⁰ ˉ(B)112 ⁰ ˉ(C)115 ⁰ ˉ(D)120 ⁰ 

2.（ ）如圖，若△ABC與△BCD均為直角三角形，則下列何者正確？

(A)∠1＝100 ⁰ ˉ(B)∠2＝25 ⁰ ˉ (C)∠3＝45 ⁰ ˉ (D)∠DEC＝70 ⁰ 

3.（ ）如圖，L垂直平分 BC ，∠A＝90 ⁰ ， PC ＝5， AP ＝3，則四邊形PDCA面積為多少？

(A)11ˉ(B)12ˉ(C)14ˉ(D)15

4.（ ）如圖，試求：∠B＋∠D－∠A－∠C－∠E＝？

(A)10 ⁰ ˉ(B)20 ⁰ ˉ(C)30 ⁰ ˉ(D)40 ⁰ 

5.（ ）△ABC中，已知∠A＝75 ⁰ ，∠B＝30 ⁰ ，則下列四個選項中，哪一個是正確的？

(A) AB ＞ BC ˉ(B) AB ＞ AC ˉ(C) AC ＝ BC ˉ(D) AB ＝ AC 

6.（ ）已知等腰三角形的頂角和一腰長，則利用下列哪一個全等性質作圖，可畫出所求的 等腰三角形？

(A)SASˉ(B)SSSˉ(C)RHSˉ(D)AAS

7.（ ）在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，則∠B最大不超過幾度？

(A)30 ⁰ ˉ(B)45 ⁰ ˉ(C)60 ⁰ ˉ(D)90 ⁰  8.（ ）關於等腰三角形的敘述，何者錯誤？

(A)其頂角角平分線會垂直平分底邊 (B)其底邊中垂線必通過頂點

(C)兩腰上的中線不一定等長 (D)兩腰上的高等長

9.（ ）如圖，L為 AB 的垂直平分線，且交 AC 於P，若 BC ＝8， AC ＝10， 

PC ＝6，則 BC － PB ＝？

(A)1ˉ(B)2ˉ(C)3ˉ(D)4

A 

B  C 

D 

A 

B  C 

D  E 

F  A 

B 

C 

D 

E 

A 

B  C 

D 

10.（ ）△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：7，請問△ABC是何種三角形？

(A)銳角三角形ˉ(B) 直角三角形ˉ(C)鈍角三角形ˉ(D)等腰三角形 二、填充題：

1.如圖，若∠E＝30 ⁰ ，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝？

2.如圖，△ABC中，∠B是直角， AB ＝5， BC ＝4，四邊形ACDE是正方形，試求：

(1) BD ＝_______ˉ (2) BE ＝________

3.如圖，在△ABC中，∠A＝80 ⁰ ，∠B和∠C的平分線交於O，求：

(1)∠B＋∠C＝__________

(2)∠1＋∠2＝__________

(3)∠BOC＝___________ 

A 

B  C 

O 

1  2 

4.在直角三角形中，兩個銳角的外角和是ˉˉˉˉ度。

5.如圖，△ABC中，∠A＝30 ⁰ ，且 AB ＝ AC ， BC ＝ BD ，則∠ABD＝ˉˉˉˉ度。

6.一正多邊形每一內角為140 ⁰ ，則此多邊形共有對角線ˉˉˉˉ條。

7.如圖所示，在△ABC中，若 AB ＜ AC ， AD ⊥ BC ，則 BD ˉˉˉˉ CD 。

A 

B  C 

D  1  2 

A 

B  C 

D 

E  F  P 

8.如圖，P為正三角形ABC內部任一點，PD ⊥ AB 、PE ⊥ BC 、PF ⊥ AC ，△ABC面積是25  3  平方公分，則 PD ＋ PE ＋ PF ＝ˉˉˉˉ公分。

9.(1) △ABC 與△PRQ 中，若 AB ＝ PR ， BC ＝

RQ

，∠B＝∠R，則△ABC @ △PRQ 是根據____

全等性質。

(2) 承(1)若∠A＝( 4

x

+3) ⁰ ，∠B＝( 3

x

+14 ) ⁰ ，∠C＝( 5

x

+ 13 ) ⁰ ，則∠

P

=______度。

三、計算證明題：

1.欲測量一山 AB 的高度，在平直的 CA 路上測得 Ð BCA＝45 ⁰ ，而後向山的方向前進 200 公尺，在 D 處測得 Ð BDA＝60 ⁰ ，則山高 AB 為多少公尺？

2.如上圖，△ABC中， 

^AD 

是∠BAC的角平分線，且∠C＝70 ⁰ ，∠ADB＝100 ⁰ ，求：

(1)∠1＝？

(2)∠B＝？ 

A  B 

C  D 

60 

⁰ 

45 

⁰ 

200

A 

B  C 

P 

Q 

A 

B  C 

D  F 

E 

A  B 

C  D 

E 

3. △ABC， Ð B＝45 ⁰ ， Ð C＝30 ⁰ ， AC ＝6，求：(1) △ABC 周長 (2) △ABC 面積

4.△DBF、△CEF 均為等腰三角形，∠A＝120 ⁰ ，求∠DFE。

5. 如圖，在△ABC中，∠B=55 ⁰ ，∠C=70 ⁰ ，P為 AB 上一點，Q為 AC 上一點，則:

(1)小欣由P點出發，經過B點、C點最後抵達Q點，則小欣一共轉了ˉˉˉˉ度。

(2)小文由P點出發，經過A點、Q點、C點、B點再回到P點，則小文一共轉了ˉˉˉˉ度。

6.如圖，將△ABC中的B點沿著摺痕 AE 疊合到D點，且 AC 剛好是 DE 的中垂線， AB = BE 

，∠B=50 ⁰ ，則∠C是幾度？

7.如右圖，△ABC為直角三角形，∠C=90，若將B點對摺到A點，得摺痕 DE ，如果 AB ＝12㎝

， BC ＝9㎝， AC ＝5㎝，求△ADC的周長？ 

45 

⁰ 

30 

⁰ 

A 

B  C 

6 

D

………

一、選擇題：

（ ）1.若使用兩塊全等的三角形紙板可緊密拼出一個大三角形，則原來的小紙板須是何 種圖形？（A）等腰三角形（B）鈍角三角形（C）銳角三角形（D）直角三角形

【95 年第一次基測】

（ ）2.如右圖，△ ABC 中， 

Ð ACB = 102 

^o ， 

AF = AC

、 

BE = BC

，求  ECF Ð = ？  (A) 34°        (B) 39°        (C) 45°        (D) 56°  【94 年第二次基測】

（ ）3.如右圖，四邊形 ABCD、APQR 為兩全等正方形， CD 與

PQ

相交於 E 點。

若∠BAP = 20°，則 ÐPEC  ？【94 年第二次】 = (A) 60°      (B) 65°      (C) 70°      (D) 75° 

（ ）4.如右圖是

A

、

B 

兩片木板放在地面上的情形。圖中 

Ð 1

、 

Ð 2

分別為

A

、

B 

兩木板 與地面的夾角，  3 Ð 是兩木板間的夾角。若 

Ð 3 = 100 

^o ，則

Р 2  - Ð 1  =

？ 

(A) 

55 

^o  (B)  80 ^o  (C) 

90 

^o  (D) 

110 

^o 

（ ）5.如右圖，將△ ABC 以  C Ð 為支點，依順時針方向旋轉 

115 

^o ，使

B 

、 C 、 

A  ' 

三點剛 好成一直線，已知 

ÐABC  = 50

^o ，則 Ð

B  ' 

'

A  C 

的度數為下列何者？ 

(A) 

45 

^o  (B) 

55 

^o  (C) 

65 

^o  (D) 

75 

^o 

（ ）6.在△ ABC 中，如果 

Ð B

的外角是

120  ° 

，且 3 Ð 

C

= 2 Ð

A 

，試求

ÐA  =

？  (A)

36  ° 

(B)

48  ° 

(C)

60  ° 

(D)

72  ° 

（ ）7.如右下圖，△ ABC 中， 

ÐB  = 85

^o ，試求 

Ð 1 + Ð 2  + Ð 3 

的度數和是多少度？ 

(A) 

75 

^o  (B) 

8  5 

^o  (C) 

9  5 

^o  (D) 

10  5 

^o 

A  E  F  B 

C 

20 ^o  A 

R  D 

Q  E

C  B  P 

3 

1  2 

A 

B 

地面 

115 ^o  50 ^o 

A 

B  C  A' 

B' 

A 

1 

（ ）8.如右圖，多邊形 ABCDE 為五邊形。若∠AED=130°，∠EDC=120°，∠DCB=110°，

則∠1 +  ∠2 +  ∠3 +  ∠4 = ﹖ 

(A) 360°      (B) 310°      (C) 240°      (D) 180° 

（ ）9.如右圖，△ABC 中，D 點在 BC 上，F 點在直線 AB 上，

DF 

交 AC 於 E 點。

若∠B

=

40°，∠C= 55°，∠DEC = 43°，則∠F = ﹖  (A) 40°  (B) 42°      (C) 43°      (D) 55° 

（ ） 10.如右圖是兩全等的正方形 ABCD 與

APQR

重疊情形。若 

ÐBAP  = 30

^o ，

AB 

= 6 3 ， 則圖中灰色部分面積為何？ 【95 年第二次】 

(A) 48  (B) 54  (C) 81 - 18 3  (D) 108 - 36 3 

（ ）11.如附圖， 

AM 

為  ABC Δ  的中線， Ð

C Ð

>

B 

。將

A

點摺向

M 

點，使得

A

、

M 

兩點 重疊，出現摺線 

DE 

，如下圖中。若展開，如下圖右所示，則對於 

DE 

的敘述，

下列哪一個選項是正確的？ 【95 年第二次】 

(A) 

DE 

平行 

BC 

(B) 

DE 

垂直 

AM 

(C) 

DE 

平分 

AB 

(D) 

DE 

平分 

AC 

（ ）12.甲、乙、丙、丁四位同學分別想依列下列的條件作出一個與△ABC 全等的三角形，

如右圖所示。已知四人所用的條件如下：

甲： 

AB 

=  3 公分， AC = 1 公分， 

ÐB  = 30

^o  乙： 

AB 

=  3 公分， BC = 2 公分， 

ÐB  = 30

^o  丙： 

AB 

=  3 公分， AC = 1 公分， BC = 2 公分 丁： 

AB 

=  3 公分， BC = 2 公分， 

ÐA  = 90

^o 

若發現其中一人作出的三角形沒有與上圖的△ ABC 全等，則此人是誰？ 

(A)  甲  (B)  乙  (C)  丙  (D)  丁

（ ）13.在直徑為 a 的圓上依逆時針方向取 A、B、C、D 四點。已知 

AB

// 

DC ，  AB

¹

DC

，且 AC 與

BD

交於 P 點。請問下列哪一個選項是正確的？ 

(A)  AC= 

BD

(B)  AP= 

CP

(C)  AC= 

a

(D) 

(  AB +  CD  )  = a  2 

1 

2 

1 

3 

4  130 

110  120 

^{o  o} 

o 

B 

E 

C  D 

A 

B  D  C 

E  A 

F 

A 

B  P 

R 

D 

Q  C 

30 ^o 

A 

M  C 

B  B  M (A)  C 

A 

M  C  B 

D  E 

3  1公分 

30  60 

2公分 

o  o 

A 

B  C 

公分

（ ）14.已知有長 3 公分、6 公分之兩線段，下列敘述何者錯誤？ 【94 年第一次】 

(A)  若另有一長為 3 公分的線段，則此三線段可構成等腰三角形  (B)  若另有一長為 6 公分的線段，則此三線段可構成等腰三角形  (C)  若另有一長為 3  3 公分的線段，則此三線段可構成直角三角形  (D)  若另有一長為 3  5 公分的線段，則此三線段可構成直角三角形

（ ）15.如右下圖，

AB

為一條拉直的繩子，M 為此繩子的中點。若以

AB

為周長，A 為頂 點，將繩子圍成△

AXY 

，如右下圖所示，則關於 M 點在△ 

AXY 

上的位置，下列 敘述何者正確？ 【94 年第二次】 

(A)  在

XY 

的中點上 

(B)  在

AX 

上，且距 X 點較近，距 A 點較遠  (C)  在

XY 

上，且距 X 點較近，距 Y 點較遠  (D)  在

XY 

上，且距 Y 點較近，距 X 點較遠

（ ）16.在△ ABC 中， 

AB < AC 

， 

AH ^ BC 

且

H 

在 

BC 

上，下列哪一個選項是正確 的？  (A) Ð 

B Ð

=

C 

(B) Ð 

B Ð

<

C 

(C) Ð 

BAH Ð

=

CAH 

(D) Ð

BAH Ð

<

CAH 

（ ）17.如右圖，在斜角錐 OABC 中， 

ÐOAB  = 70

^o 、 

ÐAOB  = 60

^o 、 

ÐBOC  = 60

^o 、 

65

o 

=

ÐOBC 

。請問在 

OA 

、 

AB 

、 

BC 

、 

OC 

四個邊中哪一個最長？ 

(A) 

OA 

(B) 

AB 

(C) 

BC 

(D) 

OC 

（ ）18.△ ABC 中，已知

Р A  = 70  °

，

Р B  = 40  °

，則下列四個選項中，哪一個是正確的？ 

(A) 

AB >  BC 

(B) 

AB >  AC 

(C) 

AC =  BC 

(D) 

AB = AC 

（ ）19.阿俊拼裝完成了直角柱形的燈架，如右圖所示。他共用了 9 支鋼管，其中 30  公分長的有 4 支，40 公分長的有 3 支，50 公分長的有 2 支。請問此燈架的三角 形底面三邊長分別為多少？ 

(A) 30 公分、30 公分、50 公分  (B) 30 公分、30 公分、40 公分  (C) 30 公分、40 公分、50 公分  (D) 40 公分、40 公分、50 公分

（ ）20.如右圖，有兩個直角三角形 ABC、BDE，三內角分別為 

30

^o 

- 60 

^o 

- 90 

^o 、 

o  o 

o 

45  90 

45 - -

。已知

BD

=  BC ，求 ÐDEC  ？ = (A) 90°      (B) 105°      (C) 135°      (D) 150° 

A  (B) 

Y 

25 

^o 

X  35 

^o 

120 

^o 

A  M  B 

C 

B  A 

O 

70  65 

60 ^o  60 ^o 

o  o 

70 ^o 

40 ^o  70 ^o 

A 

B  C 

鋼管 

A 

E 

B  C 

D 

30 

45 ^o 

o

（ ）21.如右圖，將△ ABC 中的

B 

點沿著摺痕 

AE

疊合到

D

點，且 

AC 

剛好是 

DE 

的中垂 線，

AB = AE

， 

Ð = B 60 

^o ，則  C Ð 是幾度？(A) 

30 

^o  (B) 

40 

^o  (C) 

50 

^o  (D) 

60 

^o 

（ ）22.如圖，有一長方體的盒子， 

AC

=

BC

= 2 ， 

AD =

2 3 ，其對角線之夾角 

ABD

Ð =

？  (A) 

30 

^o  (B) 

40 

^o  (C) 

50 

^o  (D) 

60 

^o 

（ ）23.如右圖，四邊形 ABCD 為一平行四邊形，P 在直線 CD 上，且 

PD

= 2 

DC

。甲、

乙兩人想過 P 點作一直線，將平行四邊形分成兩個等面積的區域，其作法如下：

甲：取

AD

中點 E，作直線 PE，即為所求。

乙：連接

BD

、 AC 交於 O，作直線 PO，即為所求。

對於甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？ 【94 年第一次】 

(A)甲、乙皆正確  (B)甲、乙皆錯誤  (C)甲正確，乙錯誤  (D)甲錯誤，乙正確

（ ）24.如右圖，梯形 ABCD 中，

AD

// BC ， CD ⊥ BC ，其中 

AD

= 1、 BC = 4、 CD = 8。

今自 B 點剪出 BN ，使得 BN 將梯形分成兩塊面積相等的圖形。若 N 在 CD 上，則 

DN

= ﹖(A) 1      (B) 3      (C) 4  (D) 5 

（ ）25.如右圖，四邊形 ABCD 為一正方形，E、F、G、H 為四邊中點。若 M 為

EH 

中點， 

MF

= 4，則△MFG 面積為何﹖ 

(A)  2  3  (B)  4  3  (C) 

5 

32 

(D) 

9  32 

（ ）26.如右圖

ABCD

為一梯形， 

AB //  CD 

，若

E

、

F 

分別為兩腰 

AD 

、 

BC 

之中點， 

GH 

為此梯形的一高，則下列哪一個選項可表示梯形

ABCD

的面積？ 

(A) 

AB ´  GH

(B) 

EF ´  GH

(C) 

( AB + CD )  ´  GH

(D) 

( AD + BC )  ´  GH

B  E  C 

F  D  A 

C 

B  A  D 

P 

A  D 

C  B 

1 

8 

4  B 

C  D  A 

N 

1 

8 

4  B 

C  D  A 

F  C 

G  H  D 

A 

E 

B  M 

A  B 

C  D 

E  F 

G 

H

（ ）27.如右圖， 

AE  //  BD 

，C 在 

BD 

上。若 

AE  =  5

， 

BD  =  8

，△

ABD

的面積為 24，

則△ ACE 的面積為多少？ 

(A) 10  (B) 12  (C) 15  (D) 18 

（ ）28.如右圖中，直線

PH 

是△

PQR

的對稱軸，

PQ 

≠

RQ

，

M 

是

PQ 

中點。下列哪一個選 項是錯誤的？ 

(A)

MH  =  HQ 

(B) 

MH 

//

PR 

(C)

MH  =  MP 

(D)  △

PQH @

△

PRH 

（ ）29.如圖(一)，△ ABC 為等腰三角形，

AB =  AC  13 ， 

= 

BC 

= 10

(1)將 

AB 

向 

AC 

方向摺過去，使得 

AB 

與 

AC 

重合，出現摺線 

AD

，如圖（二)。 

(2)將 

CD 

向 

AC 

方向摺過去，如圖(三)，使得 

CD 

完全疊合在 

AC 

上，出現摺線 

CE 

，如圖(四)。則△ AEC 的面積為何？ 

(A)15  (B)  4 

65  (C) 20  (D)  3  65 

E 

D 

C  B  A 

P 

M 

R  Q 

H 

A 

B  D  C 

A

D  C 

A

D  C 

A 

D  C 

E  D  E 

圖(四) 圖(三)

圖(二) 圖(一)