5-2-4平面上的坐標變換-二次曲線的標準化

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(1)5-2-4 平面上的坐標變換-二次曲線的標準化【問題】 1. 由前面的討論可以知道有心二次曲線先移軸(去 x, y 項),再轉軸(去 xy 項)，無心二次曲線先轉軸(去 xy 項),再移軸(去 x, y 項)比較簡便，但是問題在於我們一開始並不知道圖形為何種形狀？是否有判別方法？【結論】 1.. 有心二次曲線 Γ : ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 (δ = b 2 − 4ac ≠ 0) 的標準式先移軸再轉軸。先移軸：方程式. Γ : ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 由方程組. ⎧2ah + bk + d = 0 (δ = b 2 − 4ac ≠ 0) ⎨ ⎩bh + 2ck + e = 0 解出唯一解 O' = (h, k ) 移軸得新方程式. Γ': a' x'2 +b' x' y '+c' y '2 + f ' = 0 其中. a' = a b' = b c' = c d ' = 2ah + bk + d = 0 e' = bh + 2ck + e = 0 f ' = ah 2 + bhk + ck 2 + dh + ek + f 註： g (h, k ) = f'. = ah2 + bhk + ck 2 + dh + ek + f =. 1 1 1 (2ah + bk + d ) + (bh + 2ck + e) + (dh + ek + 2 f ) 2 2 2.

(2) =. 1 (dh + ek + 2 f ) 2. 2a b d 1 又 ∆ = b 2c e 2 d e 2f 2a b 2ah + bk + d 1 = b 2c bh + 2ck + e 2 d e dh + ek + 2 f 2a b 0 1 = b 2c 0 2 d e dh + ek + 2 f. =. 2a b 1 (dh + ek + 2 f ) b 2c 2. 1 (dh + ek + 2 f )(−δ ) 2 故得 ∆ = f ' (−δ ) =. 即 f'=−. ∆. δ. 得移軸後的方程式為. Γ' : a' x' 2 +b' x' y '+c' y ' 2 =. ∆. δ. 再轉軸：將坐標軸旋轉銳角 θ (0 < θ <. π 2. ) ，其中 cot 2θ =. 旋轉得新方程式 Γ' ': a' ' x' '2 +c' '2 y ' '2 + f ' ' = 0 其中. b' ' = 0 a' '+c' ' = a'+c' b' '2 +(a' '−c' ' ) 2 = b'2 +(a'−c' ) 2. b' '2 −4a' ' c' ' = b'2 −4a' c' f ''= f ' a' '−c' ' = ± b'2 +(a'−c' ) 2 ( ± 與 b' 同號). a'−c' (b' ≠ 0) b'.

(3) 證明：. a' '−c' ' = a(cos 2 θ − sin 2 θ ) + 2b sin θ cos θ + c(sin 2 θ − cos 2 θ ) = (a − c) cos 2θ + b sin 2θ = b cot 2θ cos 2θ + b sin 2θ = b sin 2θ (cot 2 2θ + 1) = b sin 2θ csc 2 2θ = b csc 2θ 當 θ 為銳角時， sin 2θ > 0 ，即 csc 2θ > 0 ，故 a' '−c' ' 與 b' 同號.

(4) 圖形的討論：對於二次曲線 Γ' ': a' ' x' ' 2 +c' ' 2 y ' ' 2 =. ∆. δ. 而言，. 因為 δ , H 為不變量，又 a' '+c' ' = a'+c' = a + c = H 且 0 2 − 4a ' ' c' ' = b' 2 +(a'−c' ) 2 = b 2 + (a − c) 2 (1) δ = b 2 − 4ac > 0 ⇒ a' ' c' ' < 0 (a) ∆ ≠ 0 時. Γ' ': a ' ' x' ' 2 + c' ' 2 y ' ' 2 =. ∆. δ. 可化為. x' ' 2 ∆ a ''δ. +. y' '2. +. y' '2. ∆ c ''δ. = 1，. 所以 Γ 為雙曲線。 (b) ∆ = 0 時， Γ 為兩相交直線。 (2) δ = b 2 − 4ac < 0 ⇒ a' ' c' ' > 0 (a) ∆ ≠ 0 時. Γ' ': a ' ' x' ' 2 + c' ' 2 y ' ' 2 =. ∆. δ. 可化為. x' ' 2 ∆ a ''δ. H × ∆ = (a' '+c' ' )∆ = (a + c)∆. (i) H × ∆ < 0 ⇔ a' ' 與 ∆ 異號、 c' ' 與 ∆ 異號 ∆ ∆ > 0且 <0 a' 'δ b' ' δ 故 Γ 表示一個橢圓或圓。 ⇔. (ii) H × ∆ > 0 ⇔ a' ' 與 ∆ 同號、 c' ' 與 ∆ 同號 ∆ ∆ < 0且 <0 a' 'δ b' ' δ 故 Γ 無圖形。 ⇔. ∆ c ''δ. = 1，.

(5) 2.. 無心二次曲線 Γ : ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 (δ = b 2 − 4ac = 0) 的標準式先轉軸再移軸。先轉軸：方程式 Γ : ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 將坐標軸旋轉銳角 θ ，其中 cot 2θ =. a−c (b ≠ 0) b. 轉軸得新方程式 Γ': a' x' 2 +c' y '2 + d ' x'+e' y '+ f '= 0 其中. a'+c' = a + c a'−c' = ± b 2 + (a − c) 2 ( ± 與 b 同號). b'= 0 d ' = d cosθ + e sin θ e' = −d sin θ + e cosθ f '= f b' 2 −4a' c' = b 2 − 4ac = 0 ，得 a'= 0 或 c'= 0 圖形的討論：因為 δ 為不變量 0 2 − 4a ' c ' = 0 ⇒ a ' c' = 0 ⇒ a'= 0 或 c'= 0 不失一般性下，設 c'= 0 得 Γ': a' x' 2 + d ' x'+e' y '+ f ' = 0 2a b d 2a ' 0 d ' 1 1 又 ∆ = b 2c e = 0 0 e' = −a'e' 2 2 2 d ' e' 2 f ' d e 2f. (1) ∆ ≠ 0 時， e'≠ 0 ，則方程式為 Γ': a' x' 2 + d ' x'+e' y '+ f ' = 0 ，再移軸先配方再將坐標系移軸至新頂點得新方程式 Γ' ': y ' ' 2 = 4c' ' x' '. Γ 為拋物線。.

(6) (2) ∆ = 0 時， e'= 0 (a' ≠ 0) ，新方程式可化為 Γ': a' x' 2 + d ' x'+ f ' = 0 a.若 d ' 2 −4a' f ' > 0 ，則 Γ 為兩平行線。 b.若 d ' 2 −4a' f ' = 0 ，則 Γ 為兩重合線。 c.若 d ' 2 −4a' f ' < 0 ，則 Γ 無圖形。 3. 4.. 移軸至二次曲線的中心可以使新方程式消去一次項。轉軸適當角度可以消去 xy 項。. 【結論】二元二次方程式圖形的討論. ∆ ≠ 0 非退化曲線. δ = b 2 − 4ac < 0. δ = b 2 − 4ac = 0. δ = b 2 − 4ac > 0. 橢圓型. 拋物線型. 雙曲線型. a∆ < 0 時,橢圓,圓 a∆ > 0 時, φ. 拋物線. 雙曲線. d 2 − 4af > 0 時,兩平行線. ∆ = 0 退化曲線. 一點. d 2 − 4af = 0 時,兩重合線 d 2 − 4af < 0 時, φ. 相交兩線.

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