4-2-3排列組合-組合

全文

(1)第四冊 2-3 排列組合-組合【重點】 1. 組合：由 n 個不同的物件中取出 m 個物件( 0 ≤ m ≤ n )的組合數為 C mn =. n! n! Pmn n × ( n − 1) × L × ( n − m + 1) = ( n − m )! = 。 = m!(n − m)! m! m! m!. 註： (1) 其意義為從 n 個不同的物件中取出 m 個留著，相當於從 n 個不同的物件中取出 n − m 個去掉。 (2) 可以想成 Pmn = C mn × m! ，也就是將排列想成先選出來之後再排列。 2. 非負整數解： (1) m 個相同的東西分給 n 個人，任意分的方法數為 C nn−+1m −1 = C mn + m −1 ，其中 1≤ n ≤ m。 (2) 方程式 x1 + x2 + L + xn = m 的非負整數解有 H mn = Cnn−+1m −1 組。 3. 正整數解： (1) m 個相同的東西分給 n 個人，每人至少一件的方法數為 Cnm−−11 ，其中 1≤ n ≤ m。 (2) 方程式 x1 + x2 + L + xn = m 的正整數解有 Cnm−−11 組。 4. 重複組合： (1) 從 n 類不同的物件，每類至少 m 個，任取 m 個(可重複)的組合數為 H mn 種，其中 H mn = C mn + m −1 。 (2) m 個相同的東西分給 n 個人，任意分的方法數為 C nn−+1m −1，其中 1 ≤ n ≤ m 。【性質】 1. C 0n = 1 ， C nn = 1 。 2. 3.. 4. 5. 6.. C mn = C nn− m 。註：即從 n 取出 m 個出來，也就是從 n 取出 n − m 個丟掉。巴斯卡公式： C mn = C mn −1 + C mn −−11 。註：可想成針對某甲，取甲或不取甲兩種情形方法數相加。 n m + 1 n +1 C mn = C mn −−11 = C m +1 。 m n +1 H mn = H mn −1 + H mn −1 。 1 + H 1n + H 2n + L + H mn = H mn +1 (其中 m, n 均為正整數)。. 第四冊第二章. 排列、組合 — P8.

(2) 【討論】 1. 分組組合：將 n 個人分成 k 組方法數之討論，又有指定數字與不指定數字兩種情形。註： (1) 連續的 C 相乘表示為有序的，也就是有指定給誰的含意。 (2) C 本身為表示無序的。 (3) P 可以表成為一連串的 C 相乘。 2. 分堆組合：將 n 個人分成 k 堆方法數之討論。也就是看分組組合後，再除以重複數。例如：將 8 個相異物品分給 4 個人，不同個數及分法，其方法數如下表：類別分組且不指定數字分組且依序指定數字分堆個數指定給甲乙丙丁四人指定給甲乙丙丁四人不指定，只分四堆 4! C 28 C 26 C 24 C 22 8 6 4 2 8 6 4 2 C2 C2 C2 C2 × (2,2,2,2) C2 C2 C2 C2 4! 4! 8 3 2 1 4! C5 C1 C1 C1 C 58 C13 C12 C11 (5,1,1,1) C 58 C13 C12 C11 × 1!×3! 3! 8 5 3 1 4 ! C3 C 2 C 2 C1 C 38 C 25 C 23 C11 (3,2,2,1) C 38 C 25 C 23 C11 × 1!×2!×1! 2! 8 5 2 1 4! C 3 C 3 C1 C1 C 38 C 35 C12 C11 (3,3,1,1) C 38 C 35 C12 C11 × 2!×2! 2!×2! 【討論】 1. 正整數的分拆：將正整數分成幾個正整數之和，分成有序分拆及無序分拆。有序分拆即分拆後的表達式不僅與各項的數值有關，也與各項的次序有關。 2. 對於有序分拆而言： (1) 第 i 個分部量： x1 + x2 + L + xn = m ( x1 , x 2 ,L , x n ≥ 1 )中 xi 叫做該有序分拆的第 i 個分部量。 (2) m 的 n 分拆數： m 的 n 分拆的個數稱為 m 的 n 分拆數。 (3) m 的分拆數： m 的所有各種可能的( n 取遍所有可能的值)分拆的個數稱為 m 的分拆數。例如： 4 = 2 + 1 + 1 = 1 + 2 + 1 = 1 + 1 + 2 是 4 的所有可能的有序 3 分拆，而 4 = 2 + 1 + 1 是 4 的唯一一個無序 3 分拆。. 第四冊第二章. 排列、組合 — P9.

(3) 3.. 方程式的非負整數解(有序分拆)(重複組合)：由 n 類相異物品中(每種至少有 m 個)任意取出 m 個為一組，可重複選取，其方法數有 H mn 種，其中 H mn = C mn + m −1 。 (1) (想法一) 想成由 n 種相異物品中(每種至少有 m 個)，取出 m 個為一組，每種可重複選取，其方法數有 H mn = C mn + m −1 = C nn−+1m −1 種。 (2) (想法二) 方程式的非負整數解(有序分拆)：想成第 k 類物品取出 xk 個，每一種可以任取 ( 即 0 ≤ x k ≤ m, k = 1,2,L , n )，則滿足 n 元一次方程式 x1 + x2 + L + xn = m 之非負整數解 ( x1 , x 2 , L , x n ≥ 0 ) 個數，也就是所有的方法數，總計有 H mn = C mn + m −1 = C nn−+1m −1 種。 (3) (想法三) 分球問題：想成 m 個相同的球分給 n 個人，且是任意分，因為分給 n 個人需要 n − 1 個隔板，故先加入 n − 1 個球，則現在有 m + n − 1 個球，此時將隔板放置於球上，共有 m + n − 1 個位置可以選取，而共要選取 n − 1 個位置來放置隔板，以便將球分成 n 個區域以便給 n 個人(可能有人取到 0 個)，共有 C mn+m−1 種方法。 | | ○ Ο Ο Ο ○ Ο Ο 4. 方程式的正整數解(有序分拆)：由 n 類相異物品中(每種至少有 m 個)取出 m 個為一組，每種可重複選取且每種至少取出 1 個，其方法數有 H mn −n 種。此時可以想成將相同的 m 個球分給 n 個人，每人至少一個之方法數。 (1) (想法一) 想成由 n 種相異物品中(每種至少有 m 個)，取出 m 個為一組，每種可重複選取且每種至少取出 1 個，其方法數有 H mn − n = C nm−−11 種。 (2) (想法二) 方程式的正整數解(有序分拆)：想成第 k 類物品取出 xk 個，每一種至少取一個 ( 即 1 ≤ x k ≤ m, k = 1,2,L , n )，則滿足 n 元一次方程式 x1 + x2 + L + xn = m ，之正整數解 ( x1 , x 2 , L , x n ≥ 0 ) 個數，也就是所有的方法數總計有 H mn − n = C nm−−11 種。註：可以先丟給每人一個，就轉換成為非負整數解的問題。 (3) (想法三) 想成 m 個相同的球分給 n 個人，每人至少一個，則此時共有 m − 1 個空格可以選取，而共要選取 n − 1 個位置來放置隔板，以便將球分成 n 個區域給 n 個人，共有 C nm−−11 種方法。 Ο Ο Ο | ( | (. 第四冊第二章. 排列、組合 — P10.

(4) 【問題】 1. 試求以下各題各有幾組解？ (1)試求 x + y + z ≤ 10 的非負整數解共有幾組？ (2)若要求 x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3 時，則有幾組解？ (3)若要求 x, y 都為偶數時，則有幾組解？ (4)若要求 x, y 都為奇數時，則有幾組解？ (5)若要求 x, y , z 都為偶數時，則有幾組解？ 2. 將正整數 2m 分拆成 n 個分部，且各分部量都是正偶數的有序分拆有幾個？解： C nm−−11 。 3. 將 9 本不同的書籍，就下列之情形去分，有幾種分法？ (1)分給甲 4 本，乙 3 本，丙 2 本 (2)等分給甲乙丙三人 (3)分給 3 人，其中二人各得 2 本，另一人 5 本 (4)分成 4，3，2 三堆 (5)分成 2，2，5 三堆 (6)等分成三堆。 4. 將 5 支筆分給 8 個人，依下列情形，方法各有幾種？ (1)筆不同，每人所得的筆無限制數量。(可能沒拿到) (2)筆不同，每人至多得一支。 (3)筆相同，每人至多一支。 (4)筆相同，每人所得的筆無限制數量。(可能沒拿到) (5)筆相同，每人至多一支。 (6)筆不同，每人至多得一支。 5. 6 個相同的玩具分給四個兒童， (1)若每人均可兼得，有多少種不同的給法。 (2)若每人至少得一件，有多少種不同的給法。 (3)若為相異的玩具，每人均可兼得，有多少種不同的給法。 (4)若為相異的玩具且每人至少得一件，有多少種不同的給法。 6. 5 種不同的酒，注入 3 個空杯子，酒不可混合，不得有空杯子，求下列各注入法有幾種？ (1)杯子不同，且各杯的酒亦不同◦ (2)杯子不同，且各杯的酒可相同◦ (3)杯子相同，且各杯的酒亦不同◦ (4)杯子相同，且各杯的酒可相同◦ 7. (1)試求滿足條件 1 ≤ x < y < z < u ≤ 20 的整數解個數？ (2)試求滿足條件 1 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ u ≤ 20 的整數解個數？ (3)試求滿足條件 1 ≤ x, y , z , u ≤ 20 的整數解個數？ (4)試求滿足條件 1 ≤ x < y ≤ z < u ≤ 20 的整數解個數？ (5)試求滿足條件 1 ≤ x ≤ y < z ≤ u ≤ 20 的整數解個數？ (6)試求滿足條件 1 ≤ x < y ≤ z ≤ u ≤ 20 的整數解個數？. 第四冊第二章. 排列、組合 — P11.

(5) 【類型】排列組合的問題有幾種重要的類型： 1. 數字排列問題：數字和問題、倍數問題。 2. 數列排序問題：大於、小於、大於等於、小於等於。 3. 函數對應問題：函數對應、一對一函數、映成函數、一對一且映成函數、遞增函數。 4. 整數解問題：非負整數解、正整數解、有限制範圍的整數解。 5. 子集合問題：二項式定理的應用。 6. 道路問題：走捷徑、不回頭、有陷阱、每條道路恰走一次、每個頂點恰走一次。 7. 幾何問題：交點數、平面分割數、直線數、三角形個數、正方形數、矩形數。 8. 塗色問題。 9. 一筆劃問題。【總結】 1. 基本上排列組合的問題，依照物品及箱子的相同或相異性，可以分成以下幾類重要型態，現在先假設有 m 件物品， n 個箱子：類型條件方法數 n 相異排成一列 Pmn 排列 n 相異物，取出 m 個，重複排列 nm 可重複取，排成一列 n ≥ m 且每箱至多放一件物品 C mn 組合 H mn = C mn + m −1 重複組合(非負整數解) m 相同分給 n 人，可重複分重複組合(正整數解). m 相同分給 n 人，可重複分，每人至少一件物品. 第四冊第二章. 排列、組合 — P12. H mn − n = C mm−−n1 = C nm−−11.

(6)