相對運動

一、相對運動的觀念

二、相對運動

一、相對運動的觀念

如右圖，老鷹 以速率 20 公尺 / 秒在空中飛翔，而 甲、乙、丙三個觀 察者分別以速率為 0 公尺 / 秒、 2 公 尺 / 秒、 20 公尺 / 秒在地上運動（四 者速度方向皆向 東），則他們所見 的老鷹運動狀況如 下：

⇒ 推論：物體的運動狀況，完全由觀察者之觀點 來決定，不同運動狀態的觀察者對同一個 運動體之觀測並不相同。

※ 根據現行課程綱要，本書將只討論一維的相 對運動。

二、相對運動

1. 相對位移

(1) 如上圖，有 A 與 B 兩人同地均以等速度出發但大

2. 相對速度

(1) 同理，我們定義 A 對 B 之相對速度為 B 自認為 靜止地去看 A 的速度 v_AB ＝ 　　　　　。

BA

v





。

(2) 若是 B 對 A 的速度則是指 A 看 B 之速度： A B

v



v

B A

v



v



v

_AB

3. 相對加速度

同理，我們定義 A 對 B 之相對加速度為： B 自 認為加速度為零地去看 A 的加速度 a_AB ＝ 　　　

A B

範例1 如圖，求： (1) 甲對乙的速度為 公尺 / 秒；乙看甲的速度為 公尺 / 秒。 (2) 乙對丙的速度為 公尺 / 秒；丙看乙的速度為 公尺 / 秒。

1

相對速度

1. 2.

甲對乙，即乙看甲。 乙對丙，即丙看乙。

解

(1)

v

_甲乙



v

_甲乙



v

 

5 15

 

10(m / s)

。

1. 由上例的計算，我們可得到一個重要的結論：兩 物體運動方向相同時，其相對速度大小為兩者速 率　 　；運動方向相反時，相對速度大小為兩 者速率　 　。 2. 上列關係，亦可用一度空間向量減法的概念來理 解，例如乙對丙為運動方向相反的情形 相減 相加

範例2

2

等效重力加速度 一升降梯正以 3g 之加速度垂直上升（設重力加速 度 g 為常數）。其天花板上懸吊一物，該物離升降 梯地板之高度為 h 。若該物突然掉落，則歷時後 會碰到地板。

1. 令向下為正，以升降梯來看物體，掉落瞬間升降梯 與物體間的相對初速度為零，而升降梯與物體間的 相對加速度 a _物梯＝ ，故以升降梯的角度來 看，物體以 4g 的加速度，由靜止自由落下。 ( 3 ) 4 a_物梯 a   g g  g  g

h



_相對位移

_：



⇒ 以升降梯來看物體，物體做初速度為 0 、加速度為 4g 的等加速度運動，碰到地版時的位移為 h 。 2 1 2 h gt  _{可利用來求落地時間}　  。

0

4

h

g



_



 



_



相對位移

相對初速度

相對加速度

：

：

：

2. 若以升降梯外的觀察者來看物體，物體做鉛直上拋 運動，而同時間升降梯仍然以等加速度上升。

設歷時 t 後碰到地板 解 2 2

1

1

4

2

2

h

g t



g t

 

 



2

2

2

gh

h

t

g

g

 



_。

※ 上列計算所得的 g ' ＝ 4g 稱為等效重力加速度。

'

'

a

g

a

g





_



 





_



升降梯以 加速上升或減速下降時，

等效重力加速度

升降梯 　 　

以

加速下降或減速上升時，

等效重力加速度

　

。

。

j

k

g a



g a



範例3

3

相對運動的應用 一等速上升、速度為 5.0 公尺 / 秒的氣球，在距地 面 100 公尺的高處時，自底部放下一石子，設氣球 仍保持等速運動，且重力加速度 g ＝ 9.8 公尺 / 秒 2 ，則一秒後石子與氣球底部之距離為何 ? 試分別 以下列二種方法計算之。 (1) 利用運動公式。

1. 利用運動公式： h h         _{ }  石 氣球 石子離開氣球後對地做運動 氣球做上升 。 。 j k 鉛直上拋 2 0 1 2 v t  gt 等速 v t0

2. 利用相對運動，由氣球看石子：

v

a











石氣 石氣

。

。

⇒由氣球看石子，石子做初速度為零的　 　運動。 0 0

0

v

_石氣



v



v

 

v

0

a

_石氣



a

  

g

g

自由落體

解 2 2 0 0

1

1

5.0 1

9.8 1

0.1(m)

(1)

2

2

5.0 1 5.0 (m)

h

v t

gt

h

v t



_

_

_

_{  }

_{ }







_

_

_{ }



石 氣球

5.0 0.1 4.9(m)

h h

h



_兩者距離

 

_氣球



_石







2 2

1

1

(2)

9.8 1

4.9(m)

2

2

h

gt

 

 

 

兩者距離

範例4

4

相撞問題 如圖所示，一物體 A 自距地面高 30 公尺處自由落下，同時另一物 體 B 自地面以速度 v₀ ＝ 15 公尺 / 秒鉛直向上射出，不計空氣阻力 ，則 B 與 A 相遇點距地面的高度 為 _{公尺。 ( 重力加速度 g}

(1) 由 A 看 B ，令向上為正： BA BA v a      。 。 ⇒ 由 A 看 B ， B 作速度為 15(m/s) 的　 　 運動，利用 h ＝ vt 即可算出相遇時間。 15 0 15(m/s) B A v  v    ( ) 0 B A a  a    g g  等速度

(2) 設 t 秒後相遇，物體 A 落下 的距離為 h₁ ，物體 B 上升 的距離為 h₂ ，如圖所示，因 為 A 為自由落下，可得相遇 處離地高度 2

h



1 2

。

1

2

h h

  

h

gt

解

₍₁₎

由

_{h vt}





_{30 15}



_t

 

_t

_{2( )}

_s

2

1

30

10 2

2

10(m)



 





_。

2 1

(2)

相遇處離地高度

h

 

h h