計算幾何學在多重選區劃分之研究

計算幾何學在多重選區劃分之研究

Maw-Kae Hor (何瑁鎧)

National Chengchi University, Taiwan, ROC

Email:[email protected]

Hung-Min Hsu (許宏敏)

National Chengchi University, Taiwan, ROC

Email:[email protected] 摘要― 過去我們曾利用計算幾何學和人工智慧的技 巧分析選區劃分的問題而提出人口二分法，對簡單選區進 行劃分。然而單純的人口二分法無法直接用以處理較複雜 的選區劃分問題，必須有進一步的分析與限制。本論文針 對此問題提出了人口比例二分法，透過重覆使用人口比例 二分法，我們將複雜的多重選區劃分化簡為簡單的選區劃 分問題。我們同時提出了「不可分割」的觀念，運用此一 觀念以及人口比例二分法，並輔以單純的砌磚法，我們成 功的將多重選區劃分問題的解集合數目控制在電腦能處 理的範圍之內。此外，我們對選區形狀完整性提出了新的 評估方式，可以更有效地篩選出較佳的選區劃分解作進一 步的分析。 關鍵詞― 人工智慧、計算幾何學、選區劃分

一、前言

選舉是政黨取得政權的方式，而選區劃分足 以左右選舉的勝負。因此每當面臨選區重劃的議 題，就是政黨彼此角力的時刻。如果選區劃分被 過分的操縱，不僅會影響選民的投票意願，更重 要的是可能會失去投票的意義。我們希望能提出 一個系統化的選區劃分工具，透過資訊科技的處 理，以公平公正的原則來自動進行選區劃分。 我國的立法委員選舉在第一屆到第六屆都是 採取單記不可讓渡制，多數選區應選名額多於一 位，但是選民只能投一票，依得票高低決定選舉結 果。從第七屆起，立法委員選舉方式改為單一選區 兩票制，ㄧ票是候選人票，另一票是政黨票，候選 人票決定該選區應選的一名立法委員，而政黨票決 定不分區立法委員的人選。因為選舉法規的改變的 緣故，過去的選區劃分方式已不適用，選區重劃的 需求隨之而生。

二、選區劃分的原則

過去選區重劃大都採取人工劃分的方式，人 工劃分不僅需要大量的人力，而且由於選區劃分 對於選舉結果的影響甚巨，所以在選區重劃的過 程中不免產生關於公平性的爭議。我們希望提出 自動化劃分的工具，為選區劃分提供參考及輔 助。我們預期得到大量的選區劃分結果，根據重 複使用二分法希望可以系統化的產生大量的選 區劃分方式。 過去的論文對於選區劃分的原則大致上可 歸類成下面幾項: 1. 各選區合理的人口誤差：每個選區各有選 民人口數，而各個選區的選民人口誤差在 規定的範圍之內。 2. 選區必須彼此連接：每個劃分出的選區不 能有飛地(enclave)的情形，飛地就是在選 區內含有非該選區的行政單位。 3. 選區形狀簡單完整：我們要求各選區不能 有奇形怪狀的情況，以避免傑利蠑螈 1 4. 保障少數族群的權益：因為有些族群因為 文化或是風土民情而密不可分。可以事先 將這些選區設定成為不可分割的部份。 的 問題產生[4](如圖一)。 1 _{傑利蠑螈是指選區劃分之方式是專為某方選舉利益而設} 計的，這個字詞從美國麻薩諸塞州州長蓋利(Elbridge Gerry) 的名字，及當時劃分後的選區形狀貌似蠑螈(salamander) 此兩者而來。

圖一 傑利蠑螈之選區劃分 5. 不破壞自然疆界：選區劃分時的考量必須 包含河川、山脈等天然屏障，以及陸橋、 高速公路等等的交通設施，以降低選舉成 本。 6. 不破壞自然疆界：選區劃分時的考量必須 包含河川、山脈等天然屏障，以及陸橋、 高速公路等等的交通設施，以降低選舉成 本。 7. 行政區域的完整：劃分選區時應避免過度 切割既有的行政區域，如果非切割不可， 希望切割次數儘量少（如至多切割一次）。

三、相關研究

過去有些跟選區劃分相關的研究，在 1964 年 Harris 提出了矩形劃分法[5]，他提到了選區劃 分的原則，而後來的選區劃分的論文幾乎都是依 照他的選區劃分原則。後來在 1965 年的時候， Kaiser 針對了選區劃分原則中的人口均等的原則 提出了人口均等的評估函式[6]，提供了如何去 判斷人口均等的參考。同年，Leach 等人提出了 分治法去做選區劃分[7]。 在本論文中將採用 Harris 所提出的選區劃分 原則，以及使用分群法的概念去多重劃分選區。 而在要劃分不可分割區時，使用了何瑁鎧、李俊 瑩等人在 2005 年提出的砌磚法[1]來處理。 (一) 矩形劃分法 Harris[4]認為做選區劃分的第一階段的劃分 原則是人口均等、連接性、形狀完整性和一個選 區組成單位只能被一個選區所包含。他提出正方 形的選區，以提供較佳的形狀完整性，因為正方 形的選區可以完美契合，並且不會造成任何空間 的浪費。不過只要經過調查就可以得知，想劃分 出所有選區都是正方形的選區是不切實際的。所 以選區將州完整的包圍成矩形(如圖二)，如此一 來便可以達成形狀完整性，其中矩形並非是真正 的矩形，實際的作法是以經度緯度為基準。 圖二 矩形劃分法產生之選區 (二) 人口均等法 Kaiser[6]這篇論文企圖用數學方法去計算行 政單位的人口分配的品質。雖然沒有去處理選區 劃分這種複雜的問題，但是人口均等(population equality)的維持其實在選區劃分中扮演很重要的 角色。目標在於組合這些數據去產生一個數字或 是索引，然後用來解釋人口分配的品質。 (三) 分群法 在Leach等人的定義中[7]，選區劃分的問題 就是將地表劃分為 2 份或多份。而這種問題也可 以衍生為學區劃分的問題或是水資源分配的問 題 等 等 。 Leach 是 用 分 群 的 方 式 (Grouper approach)，將人口分為大大小小的單元，藉以降 低選區劃分問題的複雜度。接著他去排序各個人 口單位的中心座標，較為集中的優先處理，以提 升找出選區結果的速度。而排序的方式就是任選 一個人口單位，之後其他單位依照歐幾里得幾何

(Euclidean geometry)距離公式所求出的距離當作 順序。然後代入背包問題(knapsack problem)2 (四) 砌磚法 的 解法，分群完畢選區也就劃分完成。 砌磚法[1]是以水平或是鉛垂的方向去切割 選區，如圖三，然後透過切割線上下左右的移動 去調整選區的人口誤差，優點是容易實作，但是 切割線必須透過經驗法則來製作，缺點是產生的 選區難以符合二級行政區的切割數和完整性。 圖三 砌磚法產生之選區

四、選區劃分

如前所述多重選區劃分就是將一個行政區 劃分若干個選區的問題。假設一個直轄市或縣 （市）有 個村里，要將這些村里劃分成 個選 區（多重是 指大於 2），使得各選區的人口誤 差小於中選會所規定的標準。 假 設 集 合 來 表 示 個 村 里 ， 即 ，同時以 表示村里 的 人口數，選區劃分就是把集合 分成 r 個不相 交的子集合 , ，而 代表選區的 人口數。 選區劃分滿足以下條件： 2_{背包問題是一種組合最佳化的問題，問題描述為：給定一} 組物品後，如何適當的選取物品放置於給定的背包中，使 得選取之物品滿足最佳化的條件[8]。 1. 各選區人口大致相等：各選區人口誤差必須 小於 (依中選會的規定 )，亦即： (1) (2) 其中(2)是該行政區域內的選區平均人口數 2. 同選區的村里必須滿足連接性。 3. 選區形狀大體完整：劃分出來的選區不可以 是奇怪的形狀以避免傑利蠑螈問題[4]。 此外，在數學的完備性上我們會要求劃分出 來的子集合是相異的，即任一村里只能劃分給一 個選區，同時每一村里必須劃分給某一選區。 (一) 人口比例二分法 人口二分法[2]用計算幾何學(computational geometry) 的 技 巧 將 一 個 行 政 區 劃 分 為 兩 個 選 區。原始的二分法要求劃分出來的兩個選區人口 數大致相等(如圖四)，我們修正後的人口比例二 分法，可依不同的人口比例將選區劃分成兩部 分。我們可用 表示修正後的二分 法，將行政區人口依 i 與 j 之比例劃分成兩部分， 其中 i 和 j 可以是任意的正整數。透過重複使用 修正後的二分法，我們可以處理多重選區劃分的 問題，亦即將行政區劃分成任意選區數。 圖四 人口二分法 i v n n r r { |_i 1, 2,..., } V = v i= n V ( )_i P v vi V j V j=1, 2,...,r ε ± ε =15% ( j) a a P V P P ε − ≤ 1 1 ( ) n a i i P P v r =   =   

∑

 ( _j) P V (2) (2, : ) T =T i j

(二) 連接性檢查 人口比例二分法所劃分出來的選區，可能是 破碎的選區。如圖五所示，一塊深色的村里落在 淺色的選區，這違反條件 2 當中，同選區的村里 必須滿足連接性。所以人口比例二分法產生的選 區必須經過連接性的檢查以剔除不適合的劃分 結果。本論文中我們採用先深搜尋法(depth-first search)[8]檢測連接性，以確保選區中各個村里彼 此相連接。 圖五 不滿足連接性之選區劃分 (三) 重複性偵測 當 人 口 比 例 二 分 法 將 選 區 一 分 為 二 的 時 候，因為由中心點依扇形方向累加村里的緣故， 劃分出來的選區會有重複的情形。 從台中市取出 6 個村里來當例子(如圖六 左)，從小的村里編號到大的村里編號分別是樹 德里、樹義里、永興里、工學里、平和里和南和 里。這 6 個村里欲劃分為 2 個選區，假設 6 個村 里分成 2 個選區是 112122(如圖六右)，其中的順 序是依照村里編號。而 1 代表被分配到第一選區， 2 代表被分配到第二選區。所以 112122 的意思是 樹德里被分配到第一選區，樹義里被分配到第一 選區，而永興里被分配到第二選區，以此類推。 假 設 有 兩 種 選 區 劃 分 的 結 果 分 別 是 112122，而另一個結果為 221211。事實上這兩種 結果都是一樣的，但是在電腦判別上會認為是不 同的劃分結果。 圖六 重覆的選區劃分 在多重選區劃分的解集合表示上需要妥善 的設計，不然在做重複性偵測時候將不好處理， 而選區編碼也會是個問題。所以在試過很多種方 法後，發現以集合的概念做為解集合表示比較 好，因為我們必須針對解集合做後處理並剔除相 同解，剛好 C++標準函式庫裡有集合的概念可以 使用，這種資料結構不會儲存相同的元素，所以 重複解自然會被剔除。

五、形狀完整性檢查

滿足了人口均等以及連接性的要求後，劃分 出來的選區基本上是合理的選區，但是不保證不 會有傑利蠑螈的問題(如圖七)，所以必須再作形 狀完整性的檢查。 圖七 有傑利蠑螈問題之選區劃分 (一) 凸包面積比 透過凸包(convex hull)[3]與選區之面積比， 可以很直觀的找出形狀較為完整的選區。凸包面 積比越接近 1 的，代表形狀完整性較佳，如圖八 所示左邊地圖的凸包面積比較右邊地圖接近 1，

因此判定為形狀較佳的選區。 圖八 凸包 凸包面積比: (3) (二) 最小外接圓面積比 最小外接圓形(如圖九)與選區之面積比可以 找出較為聚合的選區，即越接近於圓形的選區。 面積比越接近 1 代表越聚合，形狀完整性越佳。 這種評量方式可以補凸包面積比之不足，因為凸 包面積比比較高之選區不一定是聚合的形狀。圖 九 右邊 地 圖的 最 小外接圓 形 的面積 比 較左邊 高，表現出來的形狀也較為聚合。 圖九 最小外接圓形 最小外接圓形面積比: (4)

六、多重選區劃分

(一) 重複使用人口比例二分法 理論上多重選區的劃分可以透過重複使用 人口比例二分法來解決，譬如要劃分成三個選 區，我們可以先將原始行政區域劃分成人口比例 為二比一的兩個選區，然後再將人口為兩份的區 域劃分成兩個人口比例為一比一的選區，最後成 為三個人口大致相同的選區。如果要劃分成四個 選區，我們可以採用兩種人口比例的劃分方式： (1)先將原始行政區劃分成人口比例為三比一的 兩個選區，然後再將人口為三份的區域套用前述 的例子劃分成三個人口比例大致為一比一的選 區，最後形成四個人口大致相同的區域；(2)先將 原始行政區劃分成人口比例為二比二的兩個選 區，然後再將這兩個人口為兩份的區域分別利用 人口比例二分法，各自劃分成兩個人口比例大致 為一比一的選區，最後形成四個人口大致相同的 區域。 假設我們用 T(n)來表達將行政區域劃分成 為 n 個人口大致相等的區域，同時假設我們用 T(2, i:j)來表示行政區域劃分成人口比例為 i 比 j 的兩個區域，則上述劃分成三個選區的例子可以 表達成先用 T(2, 2:1)劃分成人口比例為二比一的 兩個區域，接下來再用 T(2, 1:1)將人口數位兩份 的區域劃分成人口比例為一比一的兩個區域。 (在不致產生混淆的情況下，我們將以 T(2)來表 達 T(2, 1:1)。) 因此我們可以用下列的關係式來表達 T(3)： T(3) = T(2, 2:1) + T(2). 而我們也可以用下列的關係式來表達 T(4)： T(2, 3 :1) T(3) T(4) T(2, 2 : 2) 2T(2). +  =  ₊  或 我們可採用下列方程式(5)來表達上述的式子： (5) 上列方程式的意義為：劃分成 n 個選區，可先將 原始行政區劃分成人口比例為 i 比 j 的兩個區 域，必須滿足 i+j = n。如果 i 等於 j，接下來對兩 塊人口均為 i 份的區域各自採用 T(i)繼續劃分； T(2, i : j) T(i) T( j) i j, i+j = n T(n) T(2, i : j) 2T(i) i j, i+j = n. + + ≠  =  _{+ =}  District_Area ConvexHull_Area District_Area Min_Enclose_Circle

如果 i 不等於 j，則各自採用 T(i)與 T(j)繼續劃分。 (二) 人口誤差 除了人口比例二分法本身需要考慮人口誤 差，在做多重劃分的處理時，因為需要重複使用 人口比例二分法，因此人口誤差值必須被額外再 考慮。考慮第一次二分選區的情況，代入人口數 誤差 ε± ，但是第二次二分選區時，人口誤差值 必須有所調整，因為拿已經套入人口誤差的人口 數，再根據人口誤差百分比去做多重劃分將會產 生錯誤。 假設有一個 300 人的行政區劃分成 3 個選 區，第一次劃分最大差距值是 215 和 85 人。然 後第二次劃分若是 215 人的部分再代入 15%的人 口誤差值時，將不滿足總人口的 15%的範圍。 所以多重劃分選區時的總人口誤差值應該 將人口上下限當作程式的參數，而不是以人口誤 差百分比做為程式的參數。如方程式(6)， 為 選區人口數。 (6) (三) 多重選區劃分之特性 多重選區劃分的處理方式與一般選區劃分 不同，我們將會分成形狀完整性和連接性兩個部 份來探討: 首先是對形狀完整性的影響，多重劃分選區會 分成多次人口比例劃分以完成選區劃分，而人口 比例二分法可依據任何比例劃分 2 塊選區。這裡 假設一塊圓形的選區欲分成 3 個選區。在第一階 段中先劃出人口比例為二比一的兩塊選區，選區 1 和選區 2。因為人口比例二分法是使用扇形劃 分選區[2]的幾何概念，可能會產生一些形狀不理 想的選區（如圖十左）。如果在每次人口比例劃 分都作形狀完整性的檢查，將會認定此為形狀不 佳的選區，存在傑利蠑螈的問題。 圖十 人口比例二分法多重劃分之選區 但是在第一次的人口比例二分法之後，在形狀 完整性所認定的不良選區劃分，經過第二次的人 口比例二分法之後不一定是不良的劃分方式。在 圖十右中，對選區 1 做第二次人口比例二分法， 劃出成兩個人口比例為一比一的選區，選區 1 和 選區 3，而這樣 3 塊均勻的選區是很好的劃分結 果。 雖然可以每次人口比例二分法當中都作形狀 完整性的檢查以減少解的數目，但是會失去圖十 右這種結果。所以本論文在多重選區劃分得出最 終結果之後，再做形狀完整性的檢查。 接著討論對連接性的影響。在多重選區劃分中 飛地是不被允許的。因此每次使用人口比例二分 法之後，都會做連接性檢查，並將不符合連接性 的結果加以去除。但是這樣的作法將會失去一些 劃分結果。假設我們將一塊行政區域劃分為三個 選區。考慮下面這種劃法，我們在第一階段先二 分選區為人口比例為二比一的兩塊選區，接著第 二階段再將人口為兩份的區域，劃分為兩個人口 比例為一比一的選區，而完成三塊選區的劃分。 但是圖 4.3 的飛地情形產生時加以剔除不一定是 正確的決定。當飛地產生時，在第二階段劃分劃 分中有消除飛地的可能性(如圖十一右)，在圖十 一左中的飛地由於選區 1 再度的執行人口比例二 分法，將選區 1 劃分成選區 1 和選區 3，而飛地 因此消失而產生圖十一左這種滿足連接性的選 區。 ( j) p V (1−ε)p_a ≤ p V( _j)≤ +(1 ε)p_a

圖十一 飛地經第一階段劃分後以及飛地經第二 階段劃分後 在實驗的過程中發現圖十一的情形是十分 少見的，在不具連接性的劃分方式下再去作劃分 其實大部分都不會滿足連接性。因此在本研究中 採用在每次的人口比例劃分之後都做連接性檢 查，不僅可以減少資料量而且可以降低電腦處理 上的複雜度。雖然會犧牲部分不錯的結果，但損 失的結果很少，而程式的效率卻可以大幅提升， 更重要的是稍後會討論的巨量解集合的問題，所 以也必須先做連接性檢查。

七、實驗結果

(一) 巨量解集合 桃園縣人口約有 180 多萬人，有十三個二級 行政區，共有 461 個村里，依照人口比例，應選 之立委席次為 6 席。 如前所述，第一次人口比例劃分有三種可能 性:(1)劃分出人口比例為三比三的兩個選區；(2) 劃分出人口比例為四比二的兩個選區；(3)劃分出 成人口比例為五比一的兩個選區。 在桃園縣的實驗中上面 3 種劃分都需要 5 次 的人口比例二分法。我們將會舉出五比一、四比 一和三比一共 3 次的劃分方式以說明解集合之巨 量。 如表一所示，桃園縣在五比一劃分時仍有大 量的解集合數目，在滿足人口誤差範圍為 15%並 通過連接性檢查的解數目有 564 萬多組。 表一 桃園縣在 5:1 劃分之下找到的解數目 圖十二 隨機選出桃園縣 5:1 劃分，人口誤差 0.01%，滿足連接性檢查之解 如果我們從滿足人口誤差範圍為 0.01%並經 過連接性檢查的 4249 個解集合中，任選一個解， 再做四比一的劃分，討論出可能的解集合數。圖 十二為自 4249 個解中隨機挑選出的ㄧ個解，表 二為由此一解再做四比一之人口比例二分法的 解集合數目，深色的部分有五份人口數。不失ㄧ 般性假設每個五比一的劃分方式在人口誤差範 圍為 15%並通過連接性檢查的解時都有 564 萬多 組解，在經過兩次人口比例二分法產生的結果， 將會有 192888 多億組解。 表二 桃園縣在 4:1 劃分之下找到的解數目

圖十三 桃園縣 4:1 劃分，人口誤差 0.01%，滿足 連接性檢查之解 如果我們從滿足人口誤差範圍為 0.01%並經 過連接性檢查的 2411 個解集合中，任選一個解， 再做三比一的劃分，討論可能得出的解集合數。 圖十三為自 2411 個解中隨機挑選的ㄧ個解，表 三為由此一解再做三比一之人口比例二分法的 解集合數目，灰色的部分有四份人口數。不失ㄧ 般性假設每組三比一的解，在人口誤差範圍為 15%並滿足連接性檢查的解都有 342 萬多組，三 次人口比例二分法產生的結果，最多將有 2931 多兆組解。 這些解集合已經大到電腦和人力都無法處 理，光做連接性檢查是不足夠的。圖十四是從滿 足人口誤差 0.01%並經過連接性檢查的 1031 個 解集合中隨機挑選的ㄧ個解，中間的部分有三份 人口數。 表三 桃園縣在 3:1 劃分之下找到的解數目 圖十四 桃園縣 3:1 劃分，人口誤差 0.01%，滿足 連接性檢查之解 (二) 不可分割區 透過降低人口誤差的方式降低解的數目會 犧牲選區劃分的彈性，所以我們採取設置不可分 割選區來降低解集合的數目。 根據桃園縣二級行政區，復興鄉和大溪鎮位 於桃園縣南方，顯而易見是一個不分可割的區 域，劃分選區時都不會將它分割，其他的部份根 據地理位置和形狀上的考量，我們觀察到由龍潭 鄉沿 著外圍的二 級行政 區往北設置 不可 分 割 區，在長寬比、凸包面積比和外接圓面積比上都 會有較佳的結果，所以決定將北邊的大園鄉、蘆 竹鄉和龜山鄉設為第一不可分割選區，西邊的觀 音鄉、新屋鄉和楊梅鎮設為第二不可分割選區， 而南邊的龍潭鄉、大溪鎮和復興鄉設為第三不可 分割選區(如圖十五)。

圖十五 桃園市不可分割區 圖十六 砌磚法先劃分出的三個選區 劃分補足區域的部份，我們採取順著第二不 可分割區的形狀，使用砌磚法針對中壢市做垂直 劃分，並將劃分出來的部分村裡併入第二不可分 割區，而另一部分的村里併入尚未劃分的選區。 接著同樣順著第三不可分割區的形狀，用砌磚法 對平鎮市做水平劃分，並將劃分出來的部份村里 併入第三不可分割區，而另一部分的村里併入尚 未劃分的選區。 在不可分割選區製作與補足之後 (如圖十 六)，桃園縣的選區劃分變成對桃園市、八德市、 以及部分的平鎮市和中壢市做劃分成 3 個選區的 問題。但是劃分 3 個選區勢必還是面臨大量解集 合數目的問題，所以使用砌磚法劃分出一個完整 選區。之後再對尚未劃分的區域使用人口比例二 分法劃分出大量解集合數，以完成劃分 3 個選區 的問題。 之前第二不可分割區之補足是選擇中壢市 來劃分以及第三不可分割區是選擇平鎮市來劃 分，在不希望ㄧ個二級行政區分屬 3 個選區的情 況下，選擇兩種設定來討論，(1)對北邊的桃園市 做橫向砌磚法水平劃分選區(如圖十七左)；(2)對 東邊的桃園市和八德市做縱向砌磚法垂直劃分 選區(如圖十七右)。 圖十七 兩種砌磚法的方式 (三) 形狀完整性之檢查 在實驗的過程中，採取先作凸包面積比的篩 選以確保形狀不要凹凸不平，再作最小外接圓形 面積比的評估來看整體的選區是較為聚合的劃 分方式。 下面是在已產生之三個完整選區的剩餘部 份，對北邊的桃園市作橫向砌磚法水平劃分出一 個完整選區，再對尚未劃分的區域做人口比例一 比一之劃分產生的解數目(表四)，圖十八是隨機 選出的兩組劃分方式。 圖十八 桃園市經形狀完整性檢查之選區劃分 表四 桃園市經形狀完整性檢查之劃分結果

下面是在已產生之三個完整選區的剩餘部 份，對東邊的桃園市和八德市做縱向砌磚法垂直 劃分出一個完整選區，再對尚未劃分的區域做人 口比例一比一之劃分產生的解數目(表五)，圖十 九是隨機選出的兩組劃分方式。 圖十九 桃園市另ㄧ劃分經形狀完整性檢查之選 區劃分 表五 桃園市另ㄧ劃分經形狀完整性檢查之劃分 結果

八、結論與討論

我們的論文提出公平公正且系統化的選區 劃分方法，透過重覆使用人口比例二分法，並導 入不可分割的概念，在短時間內可以求得大量滿 足人口誤差範圍的多重選區之劃分方式。我們利 用了形狀完整性可以用來排序這些大量的解，並 從中挑選出形狀較佳的解，再代入歷史選舉結果 進行分析與評估。我們可以從大量不同的劃分方 式中尋求滿足不同觀點的結果，並且我們的選區 劃分方法具有一般選區劃分少見的不可分割的 概念，相信我們的選區劃分方法較中央選舉委員 會的選區劃分方法有著人口誤差更精確、形狀更 佳以及爭議更小的優點。

十、未來發展

本論文仍有ㄧ些不足的地方可以作為未來 研究與改進的參考。 在挑選用來補足不可分割選區的判定上，可 以發展出更有系統的自動化方式，因為本論文是 以村里作為基本劃分單位，如果將基本劃分單位 向上提升到二級行政區不僅在保留二級行政區 的完整上有幫助，而且可以幫助我們挑選補足不 可分割選區的二級行政區。也許過程中不一定存 在符合人口一致性的解，但是我們可以先放寬人 口誤差的限制來求得起始的劃分方式，之後再利 用人口比例二分法將人口誤差調整為合理之範 圍。 形狀完整性是選區劃分的重點之一，這個部 份有很多考慮的因素，每個評估方式各有優劣， 所以複合性的評估方式是可以思考的方向，當然 這需要靠實驗才能知道哪些評估方式是可以彼 此互補不足的。本論文採用凸包面積比搭配最小 包圍圓形面積比使用，改善了部份凸包面積比高 卻還是不佳的劃分方式，但是形狀完整性還是有 很多問題可以去探討，由實驗中可以發現人口比 例二分法的結果受到人口密度相當大的影響，這 部份只能從演算法根本去改進或是提高評估方 法的效率。還有很多評估的方式可以做為選區好

壞的標準，像是凸包和選區周長比，若是凸包的 周長和選區的周長越相近，則有較佳的形狀完整 性。 使用人口比例二分法來處理多重選區，在效 率上有很大的改進空間，因為人口比例二分法本 身的時間複雜度就不低，加上遞迴產生的大量結 果連帶影響了空間複雜度，也許再不久的未來這 些硬體方面的問題都可以解決，但現階段只能從 演算法本身，以及增設不可分割區來處理，所以 這方面也是值得研究的部份。

十一、參考文獻

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