國立台中教育大學數學教育系國小教師在職進修教學碩
士學位班碩士論文
指導教授：施淑娟 博士
結合數學簡報軟體及貝氏網路適性學
習系統之資訊融入擴分約分通分教學
設計與應用
研究生：陳燕珠 撰
中華民國九十九年六月
誌 謝
因緣際會下有幸就讀數學教育研究所，轉眼匆匆，研究所三年即將畢業，這一 路走來充滿了太多的苦與樂，回首過往特別感謝許多人的鼓勵與協助，讓我能順利完 成研究所的課業。 首先，謝謝指導教授施淑娟老師不厭其煩的導正觀念與耐心校正，讓我從寫論文 中獲得許多進步與成長，此外，也感謝口試委員郭伯臣教授與劉正傳教授百忙之中撥 空審核論文，點出筆者觀念上的盲點以及對論文提供諸多寶貴的意見，讓本文的撰寫 更為完整。 另外，感謝測統所的智為學長對我在統計及測驗學習系統上的指導，還有感謝 在教學實驗期間，友煌校長、靜如老師、騏澤老師的教學配合及學校其他老師們的協 助，讓教學實驗能順利完成，感謝淑惠老師在百忙之中撥冗為我指正英文摘要。 最後非常感謝父母的栽培與支持，讓我的求學生涯無後顧之憂，在我遇到困難、 瓶頸時，總是鼓勵我，讓我能不畏懼任何的困難，在此將這份喜悅與我最愛的家人分 享！。 陳燕珠 謹誌 中華民國九十九年六月摘要
本研究是以國小五年級「擴分約分通分」單元為研究領域，結合數學簡報軟體 及貝氏網路適性學習系統，進行資訊融入單元教學設計與評量研發。在教學設計的部 分，包括紙本教材及多媒體教材之編製，在評量部分，則是編製一套電腦化適性診斷 測驗。再將這整套資訊融入教學模式運用於實際教學中探討其學習成效、補救教學成 效與學後保留成效，此外，對於資訊融入教學模式對不同家庭類型學生的影響、此電 腦化適性診斷測驗之應用成效與學生對此資訊融入教學模式之意見亦進行評估。 研究方法採用不等組準實驗設計，實驗一之研究對象為彰化縣某國小五年級學 生中，抽取四個班級，隨機分派二個班級 58 人為實驗組，接受資訊融入教學模式， 另二個班級 55 人為控制組，接受傳統教學模式。實驗二之研究對象為實驗一中的實 驗組學生，再將其細分為弱勢家庭組學生 12 人和一般家庭組學生 46 人。 研究結果發現： 1. 在學習成效部份，中等能力以上的學生（起點測成績 42.67 以上者），資訊融入 教學模式優於傳統教學模式；對於低能力的學生（起點測成績 16.91 以下者），傳 統教學模式優於資訊融入教學模式。 2. 在補救教學成效部份，資訊融入教學模式的學生在「擴分約分通分」單元的電腦 化適性診斷測驗成績優於傳統教學組。 3. 在學後保留成效部份，資訊融入教學模式的學生在「擴分約分通分」單元的電腦 化適性診斷測驗成績優於傳統教學組。 4. 經電腦化適性診斷測驗，再進行補救教學後，資訊融入教學組的學生不管在錯誤 類型的改善或子技能的習得均比傳統教學組獲得較佳成效。 5. 在資訊融入教學情境中，不同家庭類型（弱勢家庭與一般家庭）的學生，其學習 成效、補救教學成效以及學後保留成效並無顯著差異。 6. 本研究之電腦化適性診斷測驗，能達到節省題目、縮短施測時間的目的。 7. 資訊融入教學組學生有五成八以上對於本資訊融入教學模式給予肯定；六成七以 上學生認為在學習上是有幫助的。 關鍵詞：知識結構、貝氏網路、資訊融入教學、補救教學、弱勢家庭The design and application of integrating mathematical
presentation software and adaptive learning system based on
Bayesian network into the instruction model of expansion
and reduction of fraction
Abstract
The aims of this study were to develop the teaching design and the assessment by integrating technology into mathematics instruction to teach reduction of fractions to a common denominator of the fifth grade based on mathematical presentation software and Bayesian networks. There are two parts of the teaching design including the paper materials and the multimedia materials. To refer to the assessment, it is the self-edited computerized adaptive test. The developments of this study are to conduct the model of integrating technology into mathematics instruction and to discuss the effects of learning and remedial instruction for students of different family- type. Furthermore, the research also evaluates the effect of applying the computerized adaptive test and students’ opinions about
integrating technology into mathematics instruction.
The methodology of this study is the nonequivalent quasi-experimental design. The Part I subjects are fifth graders from an elementary schools in Changhua County. There are four classes in the study. Two of the four classes (58 students) were randomly assigned in the experimental group, taught with the model of integrating technology into mathematics instruction. The other two classes (55 students) were randomly assigned in the control group, taught with the traditional teaching model are the experimental group which they taught with the model of integrating technology into mathematics instruction. The Part II subjects were randomly divided into two subgroups : disadvantaged families and general families.
The results of this study are briefly outlined as follows:
1. In the field of learning effectiveness, especially inthose who students’
entry-measurement score was upper than 42.67；the control group is significantly better than the experimental group, especially in those who students’ entry-measurement score was less than 16.91.
2. In the field of remedial instruction effectiveness, the performance of the experimental group is much better than that of the control group.
3. In the field of learning maintain effectiveness, the performance of the experimental group is much better than the control group.
4. After remedial instruction, the performance of the experimental group is much better than the control group, on the improvements of error patterns and the learning of sub-skills in the unit of adding and ubtracting fractions with different denominators and fraction line.
5. In the field of the effectiveness of general teaching and remedial instruction and learning maintainence, the different family-type students who receive the whole teaching models proposed in this study there is no significant difference between the students from the different family-type, who receive the whole teaching models proposed in this study.
6. The study of the computerized adaptive diagnostic testing can meet the goals of reducing the number of items administrated and shortening testing time.
7. More than 58% of all students of the experimental group consider information
technology integrated into instructions positively and more than 67% of those consider that the instructions could be helpful to their mathematics learning.
Keywords: knowledge structure, Bayesian network, information technology integrated into instruction, remedial instruction, disadvantaged families
目 錄
第一章 緒論... 1 第一節 研究動機... 1 第二節 研究目的... 4 第三節 待答問題... 5 第四節 名詞界定... 6 第五節 研究範圍與限制... 9 第二章 文獻探討... 11 第一節 擴分約分通分概念與教學... ... 11 第二節 擴分約分通分錯誤類型... ... 19 第三節 資訊融入教學... ... 27 第四節 電腦化適性診斷測驗... 32 第五節 補救教學... 37 第六節 弱勢家庭... 40 第三章 研究方法... 43 第一節 研究架構... 43 第二節 研究流程... 47 第三節 研究對象... 70 第四節 研究工具... 71 第五節 資料收集與分析... 75 第四章 結果與討論... ... 77 第一節 不同教學法對學生學習的影響... 77 第二節 不同補救教學模式下，學生「錯誤類型與子技能」改變情形的比較與 討論... 83 第三節 在資訊融入情境中不同家庭類型對學生學習的影響... 91 第四節 電腦化適性診斷測驗應用成效.. ... ... 97 第五節 資訊融入教學後學生之學習意見調查結果與討論 ... 99第五章 結論與建議... 111 第一節 結論... 111 第二節 建議... 114 參考文獻... 115 中文部分... 115 英文部分... 122 附錄一 擴分約分通分錯誤類型... ... 123 附錄二 擴分約分通分紙筆測驗試題... 124 附錄三 預試作答反應分析表... 127 附錄四 系統登入畫面... 128 附錄五 系統施測畫面... 129 附錄六 學生診斷報告畫面... 130 附錄七 班級學習狀態統計書（以 Bug 概念列表為例） ... 131 附錄八 班級學習狀態統計書（以 Skill 概念列表為例）... 132 附錄九 教學手冊之部份內容摘要... 133 附錄十 單元講義之部份內容摘要... ... 140 附錄十一 學生加油手冊之部分內容摘錄... 141 附錄十二 多媒體之部份教材內容簡報... 143 附錄十三 資訊融入數學教學之學習意見問卷... 144
表目次
表2-2-1 擴分約分通分常見錯誤類型……… 20 表2-3-1 結合AMA數學簡報軟體的教材及教學設計研究 ……… 30 表2-4-1 國內以貝氏網路為基礎之電腦化適性診斷測驗研究整理……… 34 表3-2-1 子技能一覽表……… 49 表3-2-2 試題設計例示……… 54 表3-2-3 錯誤類型與各相關測驗試題及子技能對應表……… 55 表3-3-1 參與教學實驗人數統計表……… 70 表3-3-2 各組研究對象分派表……… 70 表3-4-1 擴分約分通分單元預試信度、難度、鑑別度分析表……… 73 表4-1-1 組內迴歸係數同質性考驗摘要表……… 77 表4-1-2 組內迴歸係數同質性考驗摘要表……… 79 表4-1-3 教學法在後測成績之單因子共變數分析摘要表……… 79 表4-1-4 教學法各水準後測成績估計邊緣平均數……… 80 表4-1-5 組內迴歸係數同質性考驗摘要表……… 81 表4-1-6 教學法在延後測成績之單因子共變數分析摘要表……… 81 表4-1-7 教學法各水準延後測成績估計邊緣平均數……… 82 表4-2-1 實驗組前、後測出現錯誤類型統計表……… 84 表4-2-2 對照組前、後測出現錯誤類型統計表……… 85 表4-2-3 實驗組前、後測達成子技能統計表……… 88 表4-2-4 對照組前、後測達成子技能統計表……… 89 表4-3-1 組內迴歸係數同質性考驗摘要表……… 91 表4-3-2 家庭類型在前測成績之單因子共變數分析摘要表……… 92 表4-3-3 家庭類型各水準前測成績估計邊緣平均數……… 92 表4-3-4 組內迴歸係數同質性考驗摘要表……… 93 表4-3-5 家庭類型在後測成績之單因子共變數分析摘要表……… 93 表4-3-6 家庭類型各水準後測成績估計邊緣平均數……… 94 表4-3-7 組內迴歸係數同質性考驗摘要表……… 95表4-3-8 家庭類型在延後測成績之單因子共變數分析摘要表……… 95 表4-3-9 家庭類型各水準延後測成績估計邊緣平均數……… 96 表4-4-1 前、後測適性判斷結果統計表……… 98 表4-5-1 對資訊融入教學活動的想法……… 99 表4-5-2 資訊融入教學活動問卷結果分析……… 101 表4-5-3 對適性診斷測驗之意見……… 102 表4-5-4 適性診斷測驗問卷結果分析……… 103 表4-5-5 學生認為有幫助的學習方式統計表……… 104 表4-5-6 不同家庭類型的學生對資訊融入教學活動的想法及卡方考驗摘要表 ……105 表4-5-7 不同家庭類型的學生對適性診斷測驗的想法及卡方考驗摘要表………… 107 表4-5-8 不同家庭類型的學生認為有幫助的學習方式統計表……… 108
圖目次
圖2-1-1 擴分約分通分的概念發展……… 14 圖2-1-2 擴分約分通分教材地位……… 16 圖3-1-1 研究架構圖……… 44 圖3-2-1 研究流程圖……… 48 圖3-2-2 擴分約分通分專家知識結構圖 ……… 51 圖3-2-3 擴分約分通分之貝氏網路圖初稿 ……… 53 圖3-2-4 擴分約分通分試題結構圖 ……… 57 圖3-2-5 擴分約分通分部份試題結構圖 ……… 57 圖3-2-6 擴分約分通分部分試題結構圖 ……… 58 圖3-2-7 擴分約分通分部份學生知識結構圖 ……… 58 圖3-2-8 擴分約分通分學生知識結構圖 ……… 59 圖3-2-9 補救教學結構圖 ……… 60 圖3-2-10 實驗一實驗流程圖… ……… 65 圖3-2-11 實驗二實驗流程圖……… 68 圖4-1-1 不同教學模式組內迴歸線的交叉點及差異顯著點 ……… 78第一章 緒論
本研究是以國小五年級「擴分約分通分」能力指標為研究範圍，根據教育部 （2003）編訂之九年一貫數學領域能力指標5-n-04及5-n-05，結合數學簡報軟體及貝 氏網路來進行擴分約分通分的資訊融入教學課程設計與評量編製。資訊融入課程設計 包括自編課程講義與補救教學手冊、自製教學與補救教學媒體、教學與補救教學活動 設計；資訊融入評量部分則是運用以貝氏網路為基礎的適性診斷測驗系統為平台，自 編一套電腦化的適性診斷測驗。在課程設計及評量編製後，本研究並實施教學實驗， 以探究其應用成效。 本論文共分為五章：第一章緒論；第二章文獻探討；第三章研究方法；第四章 結果與討論；第五章結論與建議。第一節 研究動機
日常生活中有許多經驗和「分數(fraction)」相關，如平分一個披薩、切一個 蛋糕，但因為我們並沒有特別強調其中的一塊或一份是佔全部的幾分之幾，因此學童 在生活上雖然有分東西的經驗，但大部分家長或學童普遍認為分數的知識在生活上應 用並不廣泛，加上分數概念有多種不同的使用情境及解釋，學生需要漫長的時間來發 展這個概念，而整個過程是相當艱苦的（呂玉琴，1991a）。況且實際上不論是國小 數學或者自然科的教材中，都可以發現分數是很常用的重要概念（呂玉琴，1991b）， 也占有相當的份量（國立編譯館，1975、1993）。Kieren（1988）將分數歸類為是有 理數學習的五個範圍之一。有理數是小學數學教育中的核心也是最具有挑戰性的教學 主題，其教學的困難在於：它牽涉兩種不同的表現形式-分數和小數；它的應用課題 包括平分、測量、部分／全體、比值及比例；日常生活中有理數情境較整數少，學生 缺乏有理數的前置經驗；分數的形式是學生首次碰到兩個整數並置的約定，一方面分 數計算仰賴整數計算的精熟，一方面整數計算的經驗，反而有時會造成有理數學習的 錯誤（教育部，2003）。 詹婉華（2003）在其研究文獻中提到，國小分數概念的學習包括簡單分數概念、 等分概念、單位量概念、等值分數概念等四個分數子概念。等值分數是分數概念中一 個重要的子概念，由九年一貫課程數學領域綱要，分別在四年級及五年級加入等值分數概念的學習，等值分數的重要性可見一般。然而在有關等值分數的研究中指出，許 多學童在學習等值分數概念時，常遭遇到瓶頸，學童能機械式的利用所記憶的擴分或 約分公式來進行等值分數計算，但無法在圖形上以想像分割線或忽視分割線的方式說 明約、擴分的意義，並未能真正了解等值分數的概念（謝哲仁、蕭登仲，2005；王淵 智，2005）。此外，黃靖瑩（2003）研究也指出國小四年級學生在分數的四個子概念 中，等值分數的表現最差。但等值分數是學童由整數系延伸學習到有理數系的關鍵所 在，而且等值分數也是學童在日後學習異分母分數的大小比較、分數四則運算、比值 及比例等學習活動時，所必需要具備的數學概念之一，學童學習等值分數若發生困 難，將會影響其未來在數學領域的發展。 基於上述等值分數的抽象性導致擴分約分通分學習的困難，若能有適當的媒介 便可幫助學生了解等值分數的抽象概念，進而學習擴分約分通分的意義，然而國小數 學科的教學方法傳統上皆是以講述法為主配合教具的使用，對於分數教學需要有多元 表徵的呈現以作為學習橋樑，常顯得力有未逮，為彌補此缺陷，我們可藉由資訊科技 豐富且多樣的視覺化效果，突破傳統授課在空間及時間上的限制，將不可能或不易體 驗的知識以文字、語言、圖形及符號等教學素材，以多重表徵的方式組合成影像、動 畫，將抽象概念予以具體化，協助學童了解概念；或提供半具體物操作，使學童有充 足的操作機會，經驗數學概念，以建構正確的概念。因此有學者對教師提出分數概念 教學上的建議：利用幾何圖形、數線及操作電算器等具體物進行輔助學習，可以增加 學童對於等值分數觀念的理解（江秉叡，2005）。因此，本研究嘗試使用教學簡報系 統與AMA（Activate Mind Attention）軟體來進行「擴分約分通分」之資訊融入教學 的媒體設計，採用教學簡報系統是由於其容易上手，易於推廣，結合AMA軟體是為了 克服PPT中繪製此單元教材之等分割圖形（一維及二維）困難。 另外，過去資訊科技在教學上之應用，多半著重於教學部份，對於教學後的評 量與補教教學應如何進行資訊融入，則較缺乏整體的探究，但是一個成功的教學除了 課程設計與教學實施外，教學後的評量與補救教學也很重要，藉由電腦科技的優勢， 教師除了可將電腦當作教具，做為教學媒介，將難懂的抽象概念具象化，配合學生的 學習能力及其生活經驗，設計教學活動，以提高學生的學習興趣，達成教學目標外， 更可利用電腦快速彙整統計分析的特性，協助其更準確地評斷學生的學習困難及迷思
概念，以利於後續補救教學的進行。目前國內常見的以資訊科技進行學習診斷的方法 有很多，如蕭嘉琳（2001）的資料探勘法，孫小婷（2000）的群聚技術，李孟柔（2003） 的模糊類神經網路法，林義益（2002）的知識地圖法，廖浚宏（2003）的條件機率法 以及李俊儀（2005）以貝氏網路為基礎的電腦化適性測驗，各有其優缺點，但前幾種 皆無法有效率且準確診斷錯誤概念，認知程度及提供正確的補救教學路徑。貝氏網路 (Bayesian Networks, BN)是一種以機率模式表徵與推論決策問題的工具，它利用圖 形來表現，圖形中每個節點包含相關連的變數機率值，它應用其節點間的相連，以及 相連的強度，構成條件機率分配模式，進而推論出決策方案。目前國內應用貝氏網路 在國小數學領域的研究包括:電腦適性測驗（林垣圻、李俊儀、郭伯臣，2006）、課程 設計與評量（林建福，2008）、補救教學系統、能力指標測驗編製（吳仁奇，2003）… 等，均有良好成效，其中林建福（2008）研究指出結合知識結構與貝氏網路的電腦化 適性診斷測驗，能準確推斷下位概念及錯誤類型之有無，亦可有效的節省試題、縮短 施測時間。 基於以上緣由，本研究應用以貝氏網路為基礎的電腦化適性診斷測驗系統為平 台，並以擴分約分通分之能力指標(5-n-04及5-n-05)為研究範圍，採用貝氏網路適性 學習系統為工具，編製一份結合「資訊融入教學、診斷測驗與補救教學」的輔助教材， 並將其應用於教學實驗中，以評估分析學生接受此套資訊融入教學之教材與診斷測驗 模式後，在「擴分約分通分」部分的學習成效是否有所提昇。 此外，陳儒晰（2008）提到弱勢家庭兒童在目前資訊科技強勢介入社會與教育 環境中，不只要面對原先的教育不平等困境，更落入數位落差的教育不平等框架，在 資訊科技應用、使用以及參與等面向，顯現出不利的境況。根據張芳全（2005）研究 調查，新台灣之子的雙親教育程度、家庭收入、家中電腦及圖書數，均顯著低於本籍 學生。這些弱勢家庭因為沒有足夠收入無法購置電腦設備、缺乏使用資訊的能力，或 者無法接觸到資訊，在目前強調資訊科技融入各科教學活動中的資訊時代，所謂資訊 融入教學對於這些弱勢兒童的學習是助力還是阻力，會不會因此反而造成弱勢家庭學 生的學習負擔？值得探究。
第二節 研究目的
依據研究動機，本研究針對國小五年級學習擴分約分通分此單元的學生，分別 施以傳統式教學及資訊融入的自編教材教學後，利用編製的貝氏網路電腦化適性診斷 測驗系統，診斷分析學童學習上的錯誤概念，並依據分析資料，以自編補救教材及補 救教學媒體進行資訊融入的團班補救教學，以了解施以資訊融入的團班補救教學後， 學生的學習情況。因此本研究有以下目的： 一、 探討以「傳統式教學」與「資訊融入教學」對五年級學生實施擴分約分通分教 學後，其學習成效、補救教學成效、學習保留成效的差異。 二、 了解在不同教學法下，學生經過補救教學後之錯誤類型發生率與子技能達成率 改變情形。 三、 探討在資訊融入教學情境中，不同家庭類型的學生實施擴分約分通分教學後， 其學習成效、補救教學成效、學習保留成效的差異。 四、 探討本研究電腦化適性診斷測驗的成效。 五、 調查學童對本研究資訊融入教學及電腦化適性診斷測驗之意見。第三節 待答問題
根據前節所述的研究目的，本研究將探討下列問題：一、 探討五年級的學生在接受「傳統式教學」與「資訊融入教學」後，其
學習成效、補救教學成效以及學後保留成效是否有顯著差異
1-1 接受不同教學法的學生其學習成效是否有顯著差異？ 1-2 接受不同教學法的學生其補救教學成效是否有顯著差異？ 1-3 接受不同教學法的學生其學後保留成效是否有顯著差異？二、 在不同教學法下，學生經過補救教學後其錯誤類型發生率與子技能達
成率改變情形為何
2-1 在不同教學法下，學生經過補救教學後其錯誤類型發生率差異情形為何？ 2-2 在不同教學法下，學生經過補救教學後其子技能達成率差異情形為何？三、 探討不同家庭類型的學生接受資訊融入教學後，其學習成效、補救教
學成效以及學後保留成效是否有顯著差異
3-1 不同的家庭類型的學生接受資訊融入教學後，其學習成效是否有顯著差異？ 3-2 不同的家庭類型的學生接受資訊融入教學後，其補救教學成效是否有顯著 差異？ 3-3 不同的家庭類型的學生接受資訊融入教學後，其學後保留成效是否有顯著 差異？四、 本研究以知識結構及貝氏網路為基礎的電腦化適性診斷測驗之成效
為何
4-1 電腦化適性診斷測驗之省題率？ 4-2 電腦化適性診斷測驗之預測精準度？五、 學童對本研究訊融入教學及適性診斷測驗之意見為何
5-1 實驗組學生對於此種教學與測驗方式之意見為何？ 5-2 不同家庭類型的實驗組學生對於此種教學與測驗方式之意見為何？第四節 名詞解釋
針對本研究常見的名詞，說明如下：一. 擴分約分通分
擴分是指將分數中分母與分子同乘以一個比1大的數後，得到一個新分數，新分 數和原來的分數一樣大；約分是指將分數中分母與分子同除以一個比1大的數後，得 到一個新分數，新分數和原來的分數一樣大；通分是將分數的分子與分母同乘一個大 於1的數或同除一個比1大的數的過程中，把分數的總量（分母）ㄧ致化，得到新分母 產生新分子而這些分數的值不變的過程。藉由擴分或約分產生和原來分數一樣大的新 分數稱為等值分數。所謂的等值分數是指在選取的基準量相同的情境下，兩個分數雖 然等分割的份數或合成份數不同，但兩分數所代表的量是一樣多。等值分數的特性就 是部分可以再細分，部分可以再合併，可利用乘、除法的倍數觀念，可是乘除法運作 的結果，並不會造成「量」的改變（吳毓瑩、呂玉琴，1997）。二. 數學簡報軟體
AMA (Activate Mind Attention) 是一個以降低數位落差為出發點，並以數學 概念所發展出來的教材設計及教學軟體，此外掛軟體，可以增強Power Point繪圖功 能，且不會因處理大量圖像，影響運算速度。其激發式動態呈現 (Trigger-based Animation, TA)可以協助教學者適時的呈現數位內容，吸引學生的注意力，引導學習， 另外，結構式複製繪圖法(Structural Cloning Method, SCM)是用來解決設計教材時定位 不易的問題。（陳明璋，2008）
三. 知識結構
知識是概念以結構化的形式所組成，在知識結構中，下層概念為上層概念的先 備知識。本研究由專家學者及國小教師根據相關文獻，分析擴分約分通分之能力指標 所需具備的技能，再依據學生學習歷程，認知發展順序及概念的上下位關係編製而 成，並以此專家知識結構為編製電腦化適性診斷測驗的依據。學生知識結構是利用郭 伯臣（1995）所開發之試題結構分析程式作為分析工具，從學生在診斷測驗試題的表 現中，分析出學生各概念間的上下位關係，作為適性選題的依據。四. 子技能
數學技能是指順利完成某種數學任務的一種演算和操作能力，這種能力是在已 有的數學知識經驗基礎上經過反覆的練習而形成的。本研究所稱之子技能為學童學習 擴分約分通分單元後，所需達到九年一貫數學領域課程綱要能力指標5-n-04，5-n-05 的基本能力，且該能力的具備與否通常會影響錯誤類型的發生。五. 錯誤類型
錯誤類型是指從數學解題過程產生的錯誤步驟中，找出所犯錯誤的關鍵處，將 其歸類整理分出數種類型(Kathlen, 1987)。本研究所指的錯誤類型是指，經探討「擴 分約分通分」的相關研究文獻後，所統整出學生常犯的錯誤種類之歸類而言。六. 貝氏網路
貝氏網路（Bayesian networks）是機率圖形模式，將特定領域中不確定性組合 成模型。它是以貝氏機率為基礎的圖形網路，由節點與連結所組成具有方向性且非循 環的有向圖(directed acyclic graph，簡稱DAG)，以節點代表研究變項，連結代表 變項間的影響關係，其影響程度的強弱則藉由條件機率的方式來表達（施淑娟， 2006）。本研究以擴分約分通分的知識結構圖、錯誤類型及子技能為基礎組成貝氏網 路作為適性診斷測驗的工具，協助教師診斷學生子技能與錯誤類型之有無，以作為進 行補救教學之依據。七. 資訊融入教學
以電腦作為運用教學媒體，將資訊科技融入於課程、教材、教學及評量中，輔 助教學的進行，提升學生的學習成效。本研究以Microsoft 公司之Office 系列軟體 之PowerPoint 簡報軟體與AMA(Acti-vate Mind Attention)外掛軟體製作教學與補救 教學媒體，並在實驗組中使用擴分約分通分的自製教學與補救教學媒體，並在教室中 配合單槍投影設備下來進行班級教學與補救教學，並以電腦化適性診斷測驗來進行單 元評量。八. 電腦化適性測驗
電腦化適性測驗(computerized adaptive testing，簡稱CAT)，它是依據每個 受試者的能力或特質，選取最適合該受試者的題目給予作答。本研究之電腦化適性診 斷測驗是以知識結構結合貝氏網路為基礎進行編製。進行施測時，先以最上位子技能 的題目給予作答，若受試者正確作答上位子技能試題，則預測受試者下位子技能亦可 達成，則施測下一個試題；若受試者答錯，將選取答錯試題下位的子技能試題給予作 答，透過這樣的選題作答方式，快速準確以最少的試題診斷學生的錯誤類型，進而給 予補救教學。
九. 補救教學
補救教學是教師發現學生有學習困難後，診斷出學習困難所在，針對困難設計一 連串適切合宜的教學活動，幫助學生克服學習障礙，對該階段所學的知識能夠徹底了 解，達成該階段的學習目標（洪素敏，2008）。本研究是指教師依據學生參加電腦化 適性診斷測驗的成績，診斷出學生的錯誤類型，針對班上大多數學生的錯誤類型以電 腦補救教學媒體幫助學生再次學習該項概念，以達成該能力指標下所具備之子技能。十. 弱勢家庭
依社會學的觀點而言，對「弱勢」的定義是以能不能在社會中，取得的較多的資 源和較高等的地位，數量跟人口並不一定構成弱勢的唯一依據。因此，對於因經濟不 利因素（失業及貧富差距）、社會環境不利因素（城鄉差異）、民族文化因素（原住 民及外籍配偶）、身心障礙因素等因素皆是造成弱勢的主因（尤怡人，2006）。本研 究所指之弱勢家庭限制在單親家庭、隔代教養家庭、外籍配偶家庭以及原住民家庭。第五節 研究範圍與限制
一、研究範圍
本研究之教學單元範圍是以教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要 中之能力指標，五年級擴分約分通分（5-n-04能用約分、擴分處理等值分數的換算； 5-n-05能用通分作簡單異分母分數的比較與加減），不包含「異分母加減」。此外， 由於本研究旨在探討以自編教材（包含教學課程講義與補救教學手冊、自製教學與補 救教學媒體、教學與補救教學活動設計及電腦化適性診斷測驗）進行資訊融入教學的 實施成效與學生意見，以及不同類型家庭的學生對資訊融入教學的學習成效、補救教 學成效及學後保留成效的影響。因此，除上述以外的其他因素均不在本研究的探討範 圍。二、研究限制
本研究受限於時間、人力、資源及其他主客觀因素影響，現將本研究之限制說 明如下： （ㄧ）研究樣本 本研究考量研究時間、人力及資源的限制，因此實驗一研究樣本是以研究者所 服務的學校五年級立意抽樣四個班級的學生，分別編入實驗組與控制組，總共118名 學生為研究樣本，分成兩班實驗組與兩班控制組，經刪除不當樣本後，有效樣本共113 名。此外，實驗二研究樣本是以實驗一中實驗組的學生，再細分為弱勢家庭組學生12 人與一般家庭組學生46人，因此實驗結果可會受到取樣的影響，造成研究結果推論的 限制。 （二）研究時間 本研究採不等組前測-後測設計方式進行實驗，實驗組與控制組的受試者的教學 與補救教學時間、測驗的時間均相同，同時受試者的電腦化適性診斷測驗時間均在擴 分約分通分單元學習結束後立即實施，否則失去實驗意義。（三）電腦化適性診斷測驗試題 為配合電腦化適性診斷測驗，題庫以選擇題方式建置，無法像一般傳統測驗試 題，包含多種題型，且一題測驗題只有3個誘答選項來偵測錯誤類型，無法囊括學生 可能會犯的所有錯誤類型。 （四）家庭類型 本研究的外籍配偶家庭主要針對東南亞的外籍新娘，是由於東南亞外籍新娘出 身背景多屬教育水較低、社經地位較弱的社會階層，而台灣的配偶又大部分也是教育 水較低社經地位較弱或身心障礙的男性，其子女易成為文化不利者，至於其他地區外 籍配偶對學童學習成就的影響則有待後續研究。
第二章 文獻探討
本研究主要目的是根據教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要，結 合知識結構理論及貝氏網路來進行擴分約分通分單元課程設計與評量研發。在課程設 計的部分，利用知識結構自編單元教材、教學活動設計、補救教學設計以及教學與補 救教學簡報系統；在課程實施的部分，使用Microsoft Office Power Point 2003 軟 體與AMA外掛軟體製作之教學媒體進行資訊融入教學；在評量部分，結合知識結構與 貝氏網路編製電腦化適性診斷測驗，而後，將這套課程與評量運用於實際教學，以探 討其教學與補救教學成效。因此，本章將針對「擴分約分通分概念與教學」、「擴分 約分通分錯誤類型」、「資訊融入教學」、「電腦化適性診斷測驗」、「補救教學」 與「弱勢家庭」等內容進行文獻探討，以提供本研究之發展方向及實施之基礎。
第一節 擴分約分通分概念與教學
由於擴分約分通分是屬於分數教材概念，並且在學習擴分約分通分時，學童必 須具備等值分數的概念，因此在探討擴分約分通分單元前，先就分數的意義以及等值 分數概念加以介紹：一、 分數概念
九年一貫課程綱要（教育部，2003）數學學習領域分段能力指標中，可以發現 分數佔了相當重的比率，從二年級到六年級都有分數的主題出現；在數學課程中，分 數概念與小數、百分率、比、除法等概念關係密切，這些概念都是國小學童必須學習 的重要概念（教育部，1993），也是接續國中數學學習的重要關卡。 分數概念具有抽象且多重意義的特性，如部分/全體的關係、比值、除法的商或 數線上的一點等，還可區分為離散量及連續量不同呈現的模式，學童在學習過程中較 不容易理解，是造成兒童學習分數困難的可能因素。在眾多的分數概念中，等值分數 是一個重要的子概念，因為等值分數是學童學習擴分約分通分，以進行異分母分數合 成、分解以及比較大小的基礎，更是學習有理數、比例與比值等高階概念的基礎。二、 等值分數概念發展
何謂等值分數？等值分數是指在選取相同基準單位量的情境下，兩分數雖然等 分割的份數與合成份數不同，但兩分數所代表的量卻一樣多（柳賢、李浩然，2003）。 也就是一個數可以用無限的分數方式來表示，例如： 5 3 = 10 6 = 15 9 ……等等，這些不同 的分數表示，便叫作這個分數的等值分數(Vance, 1992)。等值分數的特性就是部分 可以再細分，或者部分可以再合併，等值分數既需要部分/全部的保留概念，也需要 乘、除法的倍數觀念，但乘除法運作的結果，並不會造成「量」的改變（引自詹婉華、 呂玉琴，2004）。甯自強（1997）談到等值分數的意義時指出當兩個分數選取相同單 位量的情境時，雖然它們等分割的份數與合成份數不同，以致於表示它們的分數數值 表面上看起不同，但事實上兩分數所代表的量卻是一樣多的。 由數學定義的觀點而言，等值分數的不同名稱，在符號上形成的規則，即所謂 的擴分或約分。擴分是指一個分數，其分子和分母同乘以一個比1大的整數，其分數 的值不變，稱為原分數的擴分。約分是指一個分數，其分子和分母用同除以一個比1 大 的公因數，其分數的值不變，稱為原分數的約分。通分是指二個以上的分數，運用擴 分或約分的方法，將不同分母的分數，變成相同分母的分數。即把異分母分數經由擴 分或約分後變成相同分母的過程，稱為通分。若依學者的觀點來說，Hunting（1983） 強調單位量與單位分量對於分數的重要性。例如： 4 2 可以視為2 個 4 1 ，而 8 4 可以視為 4 個 8 1 ，因此可將分數的等值意義解釋為單位量（ 4 1 和 8 1 ）減少，而單位數（2 和4） 增加。以乘法的不變性來看，單位量由 4 1 轉化為 8 1 ，減少 2 1 倍；而單位數由2 變成 4，增加2 倍，結果其乘積不變（引自陳靜姿，1997）。 呂玉琴（ 1991a，1991b，1994）、吳毓瑩（ 1997）、彭海燕（ 1998） 等人的 相關研究指出，影響學童等值分數概念學習的因素有： 1.等分能力：等分概念為分數啟蒙最重要的一部份。 2.彈性思考能力：兒童在連續量和離散量的圖形上想像及忽視分割線，或將數塊、數 個合併的能力。3. 單位形成能力：學童能找到適當的單位，將全部以適當的「單位」分盡後，再利 用這個單位重組成全部或集合的可逆轉能力，就是所稱的「單位形成能力」，若具 備此能力學童較能學習並解決等值分數的概念及問題。 4.運作能力：兒童在處理等值分數問題時，並不依靠可見的形體來判斷其是否等值， 而是靠著確認圖形相等大小後，從分數值的相等來判斷相異形狀的面積相等。吳毓 瑩（1997）認為運作思考能力是等值分數概念的發展過程中最後形成的能力。 5.組合能力：學童將單位量分成數部份，每部份都正確處理後，能否再將處理後的各 部份合併成單位量的指定分數之能力。 彭海燕（1997）發現兒童解等值分數問題所需的認知能力發展的順序依次為： 1.會作分數的分母等於分割塊數或個數的題目。 2.會在圖形上自行增加分割線，以說明擴分的概念。會在圖形上忽視分割線、或合 併數塊或數個為一份，以說明約分的概念。具備彈性思考能力中的想像分割線或 忽視分割線的能力。 3. 具備組合能力：在特定解題策略下，將全部分成幾個部份，每個部份分別正確處 理後，會將各部份合併成全部來看，並正確說明其結果。 4. 具備單位形成能力：會依題目需要找到適當的小單位，將全部或部份量盡，並將 部份／全部以兩量並置的分數符號表示出來。 5. 具備運作思考能力：不受視覺影響，以部份／全部的保留概念配合乘法思考，來 判斷兩個不同的形狀是否具等值關係。 6. 具備彈性思考能力中同時運用想像分割線與忽視分割線的能力：能解決分母和分 割塊數或個數不是直接倍數關係的等值分數問題。 若兒童的思考過於僵化，無法在表徵之間進行轉換，或在圖形上以想像分割線 或忽視分割線的方式說明擴分約分的意義，只學得機械式的使用擴分約分公式來進行 數學解題運算，而不求其中概念的意涵，那麼學童即便已學習等值分數概念，但對等 值分數概念依然無法穩固。黃志敘（2005）指出欲發展兒童穩固的分數概念，首先須 藉由強化兒童等值分數概念及分數數感，以連結相關分數的概念並應用於日常生活情 境中。
由文獻可知，學童在發展等值分數的概念是需要相當的能力，如：單位形成的 能力、組合能力、彈性思考能力、運作思考能力，並且需要具備保留概念、乘法與除 法的倍數概念。在現行的國小分數課程中，等值分數概念是在四、五年級呈現，然而， 學童在處理等值分數的問題，會出現許多的困難，以致於影響日後擴分約分的學習。 在教學時是否能對學童正確的引導，讓學童建立正確等值分數，確實有很大的影響。
三、 擴分約分通分教學
數學的學習注重循序累進的邏輯結構，因此九年一貫數學課程採螺旋式編製， 加上分數結構的特性，現階段的學習必須建基於先前的認知，也就是說惟有在每個階 段都能建立正確的分數概念，才不致影響其分數概念的正常發展。等值分數的概念與 分數擴分、約分、通分的概念、分數四則運算及比、比率有密切關聯。而擴分約分對 有理數概念之形成，有很大的影響。由九年一貫課程綱要數學領域能力指標N-2-5中， 希望學童在四、五年級的課程中，能夠學會真分數內容物為多個物的問題，並以此為 基礎來學習等值分數。之後在五年級的教材中放入等值分數、擴分、約分以及通分的 內容。因此在課程的安排順序上是先學習單位分數內容物為多個個物的問題，再以此 為基礎來學習擴、約分，最後才是通分的學習。 圖2-1-1 擴分約分通分的概念發展 等值分數 擴分 約分 異分母分數的大小 比較與加減法 通分從九十四年公佈的九年一貫課程數學領域正式綱要中（教育部，2005），可以看 出國小學生學習分數的順序，分別敘述如下： (一) 二年級：建立單位分數概念（分母在12 以內）、等分概念（在平分的情境中） 及單位量概念（比較不同單位分數的大小）。 (二) 三年級：解決同分母分數的比較與加減問題（在具體情境中，初步認識分數， 並解決同分母分數的比較與加減問題）。 (三) 四年級：理解分數之「整數相除」，認識真分數、帶分數與假分數，熟練假分 數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的整數倍的 計算，理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數 的互換，四年級的等值分數著重於概念的理解，其計算則放在五年級的課程中。 (四) 五年級：五年級的等值分數概念是運用四年級的前置經驗，再進行深入的教 學，以具體的情境，解釋擴分與約分的意義，然後運用因數與倍數數學概念， 來理解約分與擴分，並做等值分數的換算，之後能運用通分的概念作簡單異分 母分數的比較與加減，此外綱要還提及能在測量情境中，理解分數之「整數相 除」的意涵（真分數、假分數與帶分數的結合方式）、能理解乘數為分數的意 義及計算方法，並解決生活中的問題及能將分數、小數標記在數線上等。 (五) 六年級：將分數約成最簡分數、理解除法為分數的意義及其計算，及分數的兩 步驟四則混合計算，並以所學解決生活中的問題。 江秉叡（2005）指出等值分數教學時可利用幾何圖形、數線及操作電算器等具 體物進行輔助學習，可以增加學童對於等值分數觀念的理解。由上述可知等值分數的 學習在國小數學教育上是相當重要的。而等值分數的換算需借助擴分約分處理，因而 學者研究時常將擴分約分這兩種等值分數中的符號運作活動作為操作變項，來分析等 值分數的「乘法的比例」關係，探討學生對等值分數概念的運作思考情形。
圖2-1-2 擴分約分通分教材地位（南一，2009） 甯自強（1997）依據學童在不同階段下對部分/全體之間的運思方式，將其所呈 現出的分數詞意義不相同， 將其意義可以區分為： 1. 分數的前置概念：兒童位於序列性合成運思期，具有數概念與分割活動，但分割 活動未能將子分割單位數值化，因而此時尚未具備分數概念。此階段特徵為： 1.以直覺來進行分割活動 2.只有部分概念而缺乏部分與整體之概念。 2. 起始單位分數：兒童位於累進性合成運思期，此時兒童能將子分割單位的分子內 嵌於子分割單位的分母部分，此分數詞為「內嵌並置類型」。但此並置關係，只是 隱約的部分全體關係，無法進行單位分數的累積活動。 例如：當學童被問到1＋1＝？會回答2。 四年級 五年級 六年級 （1） 等值分數 （2）擴分的意義、 方法和應用。 （3）約分的意義、 方法和應用。 （4）通分的意義、 方法和應用。 （5）運用通分解決 異分母分數的大小 比較問題。 【第六單元】 運用通分解決異分 母分數的加減問題 【第六單元】 在等分、整體 1 能明 顯 出 現 之 具 體 情 境 中，能以真分數來描 述 單 位 分 數 內 容 物 為多個個物的幾份， 進 行 同 分 母 真 分 數 的合成、分解活動， 並 理 解 等 值 分 數 的 意義。 【第五單元】 分數的乘法 【第八單元】 百分率 【第六單元】 百分率 【第七單元】 分數除法 【第十一單元】 比和比值 【第 九 單元】 •在具體情境中，能 以假分數或帶分數 描述具體的量，並能 解決分數的合成、分 解以及簡單整數倍 的問題。
3. 加法性分數：兒童位於部分全體運思，具備「部分－整體」運思能力，對於等分 割活動所得的結果，已開始產生子單位的概念。能掌握單位分量與單位量間部分 與全體之關係，但是「部分與全體」運思是單向的(directional)，亦即無法視單 位分數為非單位分數的分數倍。可做同分母的合成、分解、比較問題，但缺乏通 分的概念。 4. 巢狀分數：兒童位於測量運思，具備雙向的「部分－整體」運思能力，能理解分 數單位是可再分割及再複製的單位，可以將某一分數單位分割成為數個等價的低 階分數單位，也可以將數個該分數單位集聚成為另一個高階的分數單位。可理解 等值分數與分數的次序比較，不過還缺乏共測單位的概念，因此只能以等分割的 方式來運思，能進行通分及帶分數、假分數的互化。 5. 有理數：兒童具有等比例運思與等值分數的概念，能從分數的「部分－整體」關 係，察覺潛藏的「部分－部分－整體」的關係，進而探求「部分對部分」的關係， 能夠理解分數代表兩數值間的比值關係，充分掌握分數具備「比」的意義，擁有 等比例運思的共變(co-variant)概念。兒童能以分數作為測量的單位來理解不同 分數間的等值或次序關係，當兒童達到測量運思後才會具備巢狀分數的概念，也 才能理解等值分數的意義。 若將課程的安排順序與兒童分數詞意義的發展放在一起來看，可發現課程的安 排順序與兒童分數詞意義的發展歷程是相互呼應的。在分數詞理論中，認為巢狀分數 概念下的兒童才具備學習等值分數的基礎，因為此時的兒童才具備處理單位分數內容 物為多個個物的問題，而且能夠理解分數的兩階層部份/全體關係，這種關係的理解 與擴、約分的學習息息相關，接著到了有理數階段，才具備尋找共測單位的能力，也 就是課程中所謂的通分。
綜合上述文獻，本研究之擴分約分通分教學架構如下：教材內容涵蓋複習舊概 念－能理解 n n ＝1 的意義、利用圖形的等分割或合成求等值分數、了解擴分和約分的 意義，利用擴分和約分的方法，找出一個分數的等值分數、了解通分的意義、異分母 分數的大小比較等七個活動；在教材的呈現方式兼顧面積與離散量二種圖像表徵。此 外透過教學媒體設計，以資訊融入的方式，提供視覺化工具，增加學童在實物、教具 模型、圖形、語言及符號之間的相互連結，使學童能使用分數概念來理解分數的擴分 約分通分。
第二節 擴分約分通分錯誤類型
分數概念是一個在問題情境中兼具多重意義的數學概念，在日常生活中常呈現 不同的面貌，學童在生活中雖有分東西的經驗，但對於簡單的分數卻無法從累積的經 驗中與數學符號連結，造成學童在學習時的困擾很大，因此分數一直是小學學童最感 頭痛的一個單元。同時，分數計算也因為分數概念的難以理解，被強迫以機械式的方 式使用算則進行解題，而不懂其意義，增加學習上的困難。錯誤類型通常是指學生在 解題的過程中，所產生的系統性錯誤，本研究中之錯誤類型係指學生在解決國小數學 領域「擴分約分通分」範圍中，可能發生的錯誤，相關文獻整理如表2-2-1。表 2-2-1 擴分約分通分常見錯誤類型 文獻 研究者 研究對象 分數錯誤類型 國小五年級學童 分數迷思概念補 救教學之研究 洪素敏 （2004） 國小五年級 1.比較大小時忽略單位量要一致 2.以整數的運算類推分數的加法 3.等值分數的求法和分數的乘法混淆 4.忽略單位量 國小教師數學教 學信念及其教學 評估之研究：以高 年級學童分數概 念學習表現為例 林宏仁 （2003） 國小高年級 1.連續量的等值分數瞭解有困難 2.忽略單位的存在 3.標分數時，常忽略給定的參考值而 以分母或分子為依據 臺灣北部地區國 小高年級學童分 數概念之研究 劉世能 （2002） 國小高年級 1.只注意到被分割數而沒注意到分割 後的每一份是否相等 2.未增加分割線以求更小的等分而以 忽略分割線方便解題 3.改變單位量，以自認合理的說明來 解題 4.忽略全部總量的大小 5.離散量問題中將所有內容物當成單 位量 國小五年級學童 分數概念學習表 現及易犯錯誤類 型之比較研究-以 屏東縣多元文化 族群為例 陳和貴 （2002） 國小五年級 1.缺乏『等分』概念 2.忽略給定的單位量或對基準量的指 認有困難 3.在『商』模式中，對於哪一個數該 放在分子或分母的概念尚不清楚 4.在處理分數的大小比較及等價分數 時，僅以分子或分母作為判斷的依據 5.作答文字題時不瞭解題意，對於單 位的疏忽或缺乏判別多餘數字的經驗 或能力 國小五年級學童 分數概念與運算 錯誤類型之研究 湯錦雲 （2002） 國小五年級 1.缺乏部份與全部的概念 2.缺乏等分概念 3.單位量指認錯誤 4.假分數化成帶分數的錯誤 5.數與量概念無法辨別 國小高年級學童 分數概念之探究 詹婉華 （2003） 國小高年級 1.受題目訊息的影響 2.未注意等分或忽略等分 3.將總量視為單位量 4.比較大小未以相同的單位比較
表 2-2-1 擴分約分通分常見錯誤類型（續） 以貝氏網路為基 礎之能力指標測 驗編製及補救教 學動畫製作-以五 年級數學領域分 數相關指標為例 吳仁奇 （2005） 國小五年級 1.未通分，直接用分子或分母比較大 小。 2.找出公分母，分子沒有擴分就直接 比較大小。 3.無法正確找出公分母。 國小學生在等值 分數上的表徵轉 換表現 林芳玉 （2003） 國小四、 五、六年 1.以錯誤的乘法性關係來解決等值 分數符號轉換的問題 2.以加法性的關係來解決等值分數 符號運算問題 國小五年級學童 分數表徵教學之 研究 張熙明 （2004） 國小五年級 1.以分母大小來比較 2.以分子的大小比較 高雄地區國一學 生數學整數與分 數四則運算錯誤 類型之分析研究 劉天民 （1993） 國中一年級 1. 學生在處理通分的問題時，常將 分子計算錯誤 2. 學生在處理帶分數化成假分數的 問題時，常將分子計算錯誤 運用國小數學科 「分數」教學模組 實施診斷與補救 教學之研究-以國 小四年級學童為 例 吳相儒 （2001） 國小四年級 1.受到整數十進位位值概念的干 擾，如
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=8
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2.以分子或分母的大小做為判斷分 數大小的依據 Teaching rational number and decimal concepts Behr & Post （1988） 1. 將分子、分母同加一數來比較 2. 分別比較兩個分數的分子、分母 3. 根據分母的大小來比較 4. 根據分子的大小來比較 分數概念題庫建 立之初探 吳毓瑩 （1997） 國小三、 四、五、六 年級 提出等值分數涉及的概念由簡而繁 依序為等分概念、分數值的約分概 念、補畫能力、部份的合併/分割操 作、等積異形運 作能力 國小中年級學童 分數概念之研究 黃靖瑩 （2003） 國小中年級 學童 受分母或分子控制 不瞭解分數平分意義 六、七年級學童數 學學習困難部分 之研究 黃寶彰 （2003） 國小六、七 年級 帶分數化成假分數時發生錯誤表 2-2-1 擴分約分通分常見錯誤類型（續） Learning rational numbers with understanding: The case of informal knowledge Associates. Mack （1993） 發現學生將整數的觀念過度類推至 分數的概念上，以至於未能將分子 與分母作有意義的連結。例如：有 些學童處理等值分數時，經常會錯 把分子與分母加上相同的數字，將
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3
的分子和分母同時加4， 所以誤 認為8
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＝12
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Analysis of Error in Fraction Addition and Subtraction Problems Tatsuoka （1984） 1.帶分數化為假分數錯誤。 2.求共同分母的錯誤。 3.擴分或約分為等值分數錯誤。 4.不會化簡或約分錯誤。 本研究以上述文獻常見之錯誤類型為依據，諮詢專家學者之意見，整理並定義 出本研究之錯誤類型，將擴分約分通分之錯誤類型說明如下： 1. 受分子影響（直接填分子） 說明：受分子的控制，解題時只考慮到問題中分子的因素。 例： 5 3 ＝( )
15，（ ）＝3 2. 受分母影響（直接填分母） 說明：解題過程只考慮到問題中分母的因素 例： 5 3 ＝( )
6 ，（ ）＝5 3. 將分子分母視為加法性的關係 說明：以整數系統常用的加法性思考來解題。 例： 8 6 ＝( )
3 ， 6-3＝3 ，（ ）＝3+3＝6 4. 分母減分子 例： 8 6 ＝( )
3 ，（ ）＝8-6＝25. 分子減分母 例： 4 6 ＝
( )
2 ，（ ）＝6-4＝2 6. 分母分子同加一個數 說明：錯把分子與分母加上相同的數字 例：將 8 3 的分子和分母同時加 4， 8 3 ＝ 4 8 4 3 + + ＝ 12 7 7. 分母分子同減一個數 說明：錯把分子與分母減去相同的數字 例：將 8 5 的分子和分母同時減 4， 8 5 ＝ 4 -8 4 -5 ＝ 4 1 8. 擴分、約分和分數乘法或除法混淆 說明：等值分數的求法和分數的乘法、除法混淆 例如： 5 3 ＝ 3 3 ×3＝ 5 9 ； 8 6 ＝ 8 6 ÷2＝ 8 3 9. 分子除以一個數，分母乘以同一個數 說明：求等值分數時，忘了正進行擴分，只將分母乘以一個數，分子則進行約分 例如： 5 3 ＝ 3 5 3 3 × ÷ ＝ 15 1 10.分子乘以一個數，分母除以同一個數 說明：求等值分數時，忘了正進行約分，只將分母除以一個數，分子則進行擴分 例如： 9 3 ＝ 3 9 3 3 ÷ × ＝ 3 9 11.帶分數中之整數、分母、分子同乘一個數 說明：求帶分數的等值分數時，將帶分數中的整數、分母、分子同乘一個數 例如： 7 3 2 ＝ 4 7 4 3 4 2 × × × ＝ 28 12 8 12.帶分數中之整數、分母同乘一個數，分子不變 例如： 5 3 2 ＝ 3 5 3 3 2 × × ＝ 15 3 613.帶分數中之整數、分子同除一個數，分母不變 例如： 15 3 6 ＝ 15 3 3 3 6÷ ÷ ＝ 15 1 2 14.帶分數中之整數、分母、分子同除一個數 例如： 8 2 2 ＝ 2 8 2 2 2 2 ÷ ÷ ÷ ＝ 4 1 1 15.帶分數中之整數、分母同除一個數，分子不變 例如： 10 4 2 ＝ 2 10 4 2 2 ÷ ÷ ＝ 5 4 1 16.假分數與帶分數的化簡錯誤 說明：假分數與帶分數互換時受到整數十進位概念干擾的錯誤；帶分數化為假分數 時，以整數乘以分子。 例： 4 13 ＝ 4 3 1 ； 5 3 6 ＝ 5 18 17.不瞭解題意 說明：因不瞭解題意而誤用計算 18.忽略給定的單位量 說明：學童無法看出整個圖形是單位量，而將圖形分成二部分，並視分數為這二部份 的比較結果。 說明： 圈起來的糖果是全部糖果的幾分之幾？填答 4 2 19.不瞭解通分的意義 說明：將兩個異分母分數化為同分母時，因個別分數是採用擴分或約分的方法化為同 分母之等值分數，所以誤以為此步驟為約分或擴分。 例：將 3 2 和 4 3 這兩個分數的分母化為相同的步驟時誤以為是擴分或約分 20.約分擴分混淆 例：誤以為 3 2＝ 6 4 是約分
21.只有分母乘以或除以一個數 例：誤以為 3 2 ＝ 2 3 2 × ＝6 2 ； 9 2 ＝ 3 9 2 ÷ ＝3 2 22.不知道分母與分子的公因數的意義 例如：利用 甲 甲 ÷ ÷ 77 49 來求等值分數，則稱甲數為？不知可以同時將 49 與 77 兩數整除的 數，稱為公因數。 23.直接填介於兩者間的分母 例如：分數 ) ( 109 是比 11 6 大，比 9 5 小的數，（ ）＝10 24.分母與分子不等比例增加 例：將分子皆加 4，而分母都加 7， 7 8 4 6 + + ＝ 15 10 ； 7 15 4 10 + + ＝ 22 14 ，所以 8 6 ＝ 15 10 ＝ 22 14 25.誤認為單位內容物的個數為分子，份數為分母 例如：一盒印章有 24 個，小文有 15 10 盒，小偉的印章和小文的一樣多，若把一盒印章 分成 12 份，請問小偉有多少盒印章？24÷12＝2， 12 2 （盒） 26.不了解透過運算比較不同單位的數 例：一包色紙有 18 張：四年甲班用了 98 張，四年乙班用了 9 4 5 包，請問哪一班用的 色紙比較多？看到甲班色紙的單位為張，乙班色紙的單位為包，即不假思索表示無法 比較。 27.忽略整數，僅以分數作答 例：分數 24 17 2 的分子要減去或加上多少，才能約成 2 5 ？不管帶分數 24 17 2 的整數 2，直 接將 24 17 與 2 5 通分， 2 5 ＝ 12 2 12 5 × × ＝ 24 60 ，60-17＝43 28.忽略整數，兩分母相減 例：分數 24 11 2 的分子要減去或加上多少，才能約成 4 11？不管帶分數 24 11 2 的整數 2，直 接 24-4＝20
29.忽略分子關係，找兩分母的最小公倍數 例：分數 ) ( 109 是比 11 6 大，比 9 5 小的數， 11 6 ＝ 99 54 ＝ 198 108 ； 9 5 ＝ 99 55 ＝ 198 110 ，兩分數通分 後，不管分子 54 和 55＜109，直接填寫（ ）＝99 探討學童學習分數錯誤類型的主要目的，在於提供教師在教學時作為判斷思考 形式及方法之用，使學生發展更正確的概念。根據上述文獻，學童在分數概念及運算 上有許多錯誤類型，因此本研究將針對學童對分數意義的瞭解、等值分數、擴分的意 義與應用、約分的意義與應用，通分及異分母分數比較大小的學習困難作為編製電腦 化適性診斷測驗評量的依據。
第三節 資訊融入教學
面臨新科技時代的到來，以往傳統的教法已無法培養出適合現今社會所需要的 人才，因此，教材需要改變，教法更需要改變。將資訊科技融入學習領域是很新穎的 教學方式，數學科教學時常需要用到圖表或圖形來教學，資訊科技提供的不只是文字 上的展示，更有聲光效果或互動的功能，可以吸引住學生的目光。資訊融入教學的方 式非常多元，決不是一昧的為資訊融入而強行融入，必須評估教學資源、教學對象、 教學時間等等因素，以決定最好的資訊融入方式。 所謂資訊科技融入教學不是僅僅利用電腦輔助教學（Computer Assisted Instruction，簡稱 CAI）光碟或秀幾張多媒體的簡報，讓學生覺得新鮮好玩而已。資 訊科技融入教學是指將資訊科技融入於課程、教材與教學中，讓資訊科技成為師生另 一種有效率的教學工具與學習工具，使得資訊科技的使用成為教室中教學活動的一部 份。且教師應於課前深入了解教材的內涵及教學目標，確實掌握學生的起點行為，分 析教材的難易，才決定用何種模式將資訊科技融入於教學中，資訊科技只要應用得 宜，可輔助教師教學或學生的學習，成為「教」與「學」之間最佳的「催化劑」。而 資訊融入教學的時間點可以在教學前、教學中，及學後的評量，將資訊科技視為輔助 教學與學習的工具，在適當的時機融入各個領域的教學活動當中，配合資訊媒體的特 性，來提升教師的教學品質與學生的學習效果，進而培養學生主動求知的能力。在九 年一貫課程中，強調學生應培養的十大基本能力：如「運用科技與資訊」、「主動探索 與研究」、「獨立思考與解決問題」等即說明資訊融入教學是學校教育未來的新潮流（教 育部，2003） 張臺隆（2004）指出資訊科技融入教學就是教師運用資訊設備、網路媒介、多 媒體…等，進行收集、儲存及傳輸資料文字、圖像、影音等技術於課堂教學和課後活 動上，以培養學生「運用科技與資訊」的能力、「主動探索與研究」的精神和終身學 習的習慣及態度。 王全世（2001）指出資訊科技融入教學就是將資訊科技融入於課程、教材與教 學中，讓資訊科技的運用成為日常教學與學習活動的一部分，並且能讓教師及學生習 慣在任何時間任何地點使用資訊科技來尋找問題的解答，讓資訊科技成為師生不可或 缺的教學工具與學習工具。張國恩（2002）指出抽象化教材學生不易理解，易造成學習動機低落，為了引 起學生學習動機及增進學習成效，可使用資訊融入教學將教材以視覺化的方式表現得 更具體化及易於理解，以幫助學生理解。而資訊科技融入教學並非在其他學習領域的 課程中上無助於教學與學習的電腦內容，而是將資訊科技融入教學的重心與焦點擺在 「教學」而非「資訊科技」。 資訊融入教學之目的，主要是達成九年一貫所制定的教育目標，也就是學生必 需具備「運用科技與資訊的能力」、「激發主動探索和研究的精神」、「培養終身學 習的能力」（教育部，2003）。由文獻中整理出資訊融入教學可達成下列五項目的： (一) 資訊融入教學可將教學教材結合資訊科技與網路資源，營造一個不受時間、地 點限制之教學情境。 (二) 利用資訊科技多媒體豐富的聲光效果及互動式教材生動活潑的特性，以虛擬情 境的方式，將抽象教材內容具體化，並增加學生操作學習機會，以提昇學生學 習興趣及連結學習經驗，達成教學目標。 (三) 透過網路資源分享的特性，教師可針對個人的喜好及專長收集教學所需之教 材，並與他人交流、觀摩學習個人教學經驗與成果，讓每一位教師都能成為擁 有十八般武藝的老師。 (四) 資訊融入教學可培養學童善用龐大網路資源找尋答案的能力，並養成學生主動 求知的態度，有效地進行學習。 (五) 教師利用教材網站，收集上課所需之圖片、物件，方便教師進行教學活動，以 求讓學生更理解概念。 蔡昆穎（2003）指出隨著電腦科技的發展，經常被用來提供學生的補救教學的 電腦輔助教學（CAI）也有不同的發展，說明如下： （一）傳統電腦輔助教學 基於行為主義的學習理論，強調反覆練習及回饋機制，將教材編序性的呈現，讓 使用者反覆練習，並對學習者的反應給予適當回饋。 （二）智慧型電腦輔助教學 結合電腦科學、心理學、教育與訓練，在CAI 設計上涉及人性因素及自動化作用， 包含專家系統、自然語言的了解。其目的是應用人工智慧的相關技術來發展高度個別
化的教學軟體，讓CAI 具備了解教學內容、教學對象、何時教及如何教的智慧。 （三）多媒體電腦輔助教學 利用電腦將文字、圖片、動畫、聲音、影像等各種不同媒體整合成為教材內容， 來進行教學的工作。其目的在促成學習者與教學系統間更佳的溝通。 （四）網路化電腦輔助教學 利用網路多點連結方式及即時互動設計之特性，將CAI 課程設計架設於網路上， 以建構出一個共同學習的社群。彌補上述CAI中互動性不足之缺點，因此為目前之趨 勢。 古智勇（2003）利用動畫網頁輔助學生學習幾何概念，對低成就者的學習有顯 著的幫助。林慶宗（2005）研究利用網路資源融入錐體與柱體的學習，其教學成效比 一般教學成效來得好。周麗萍（2001）利用生動的 FLASH 動畫來輔助數學學習，學生 學習動機及學習成效良好。這些研究結果顯示多媒體內容的豐富多樣化，可增加學生 的學習興趣，且對於課程內容更能消化吸收及理解。 教育部 89 年「資訊科技融入學科教學實驗實施計畫」，參與實驗的學生認為老 師採網路資源融入數學課中，對他們有幫助的佔 82%，希望老師繼續使用的佔 86%； 電腦的動態呈現可以幫助他們深入瞭解課本內容的佔 86%；認為比以前上數學課輕鬆 快樂的佔 85%（臺南光華女中，2000）。由此可見電腦融入數學科教學對學生而言是 受歡迎的，而適用教材與師資養成是目前急需耕耘的方向。 綜合上述，資訊融入教學的主要目的在於如何讓學生更有效的學習，使師生們 可經由資訊融入的方式來達到教學相長，並提高教學品質。然而數學教學上的特性之 ㄧ是有大量的圖形，教師為了清楚地解說數學概念，常需要在黑板上繪製圖形，但繪 圖的工具有限且操作不易。若要求繪製精確的圖形，往往需要較多的時間，但此時往 往造成教師控制班級秩序的困擾；若是無法精確地繪製出所需的圖形，則易造成學生 學習認知上的困擾。在數學的輔助教學媒體經常可見利用 Flash、GSP、Excel、 PowerPoint……軟體進行教學媒體製作，而其中的 PowerPoint 的普及率高、製作成 本低，對於一般非資訊專業的教師而言是易於上手製作的電腦輔助教學媒體，因此， PowerPoint 可說是目前眾多電腦輔助教學軟體中一項不錯的選擇。但 PowerPoint 對 於數學操作性不足，因此交通大學陳明璋博士策劃，帶領國立交通大學網路學習專班
所發展的 AMA 軟體，補足 PowerPoint 繪圖功能的不足，方便教學者設計教學檔案， 成為資訊融入數學教學的有力工具。有關 AMA 以數學教育為主的教材及教學設計研究 整理如表 2-3-1。 表 2-3-1 結合 AMA 數學簡報軟體的教材及教學設計研究 研究者（年份） 研究主題 研究內容 邱建偉（2004） 在數學簡報系統上設計數 學教材之研究 針對如何在數學簡報系統上設計數 學數位教材，引入教材設計概念，進 行初步研究，歸納出一些教材呈現的 原則，比如：結構性、層次性、步驟 性、關聯性、對比性、互動性、隨機 性、定位性等等。在適當時機，適度 運用這些原則，以不同的模式呈現設 計教材，得以提升視覺及動態呈現的 效果。 陳素敏（2007） 應用數學簡報系統發展國 小分數概念教學模組之行 動研究 應用數學簡報系統（MathPS）發展國 小分數概念教材，透過資訊融入的方 式協助學生學習分數概念，幫助老師 有效的教學。 李政憲（2007） 課堂多媒體教材製作與教 學運用研究—以全等作圖 與證明為例 利用PowerPoint配合MathPS軟體，設 計完整的全等三角形教學素材，再透 過小組試教、大班教學及專家評鑑等 方式，確認教材的可行性及學生接受 度。期間並依據相關理論、學生反應 及教師給予的意見分別製作了不同 版本，並加以比較不同版本的前後差 異及進步。 張玉琪（2008） 虛擬教具對於國中學生學 習鑲嵌圖形之影響 利用系統化教學設計模式，以AMA簡 報系統和NLVM的Tessellations為教 學輔具設計國中二年級鑲嵌圖形教 材，並進一步研究將此教材應用於教 學的成效。 呂慧君（2009） 激發式動態表徵設計運用 於國小六年級分數除法教 學成效之研究 探討使用AMA（Activate Mind Attention）當中的激發式動態呈現 （Trigger-based Animation，TA） 所設計的教學內容對國小六年級分 數除法之教學成效。在 「比值未知」 及「基準量未知」概念上，顯示使用 激發式動態教學能有較好的學習保 留成效。
因此本研究利用 PowerPoint 再搭配上 AMA 製作教學與補救教學媒體，並利用投 影機將畫面投射至大螢幕上進行教學活動，以輔助教師教學或學生的學習，藉以引起 學生學習動機，建立完整之教學、診斷及補救程序。
