1-1-2數與坐標系-有理數與實數

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(1)1-1-2 數與坐標系-有理數與實數【定義】有理數：凡可以表成. n ，其中 m, n 皆為整數，且 m ≠ 0 的數，稱為有理數。 m. 無理數：一個數是實數而非有理數時，稱為無理數。註： 1. 無理數就是不循環的無限小數。 2. 使用無理數時，常只考慮它的近似值，可使用二分逼近法或十分逼近法求之。【作圖】在數線上將 AB 線段 m 等分：. Q1 Q2 Q3. Qm. B. A P1 P2 P3 Pm. P 1.. 如圖過點 A 作射線 AP 。. 2.. 在 AP 上取點 P1 , P2 , P3 ,L , Pm ，使 AP1 = P1 P2 = P2 P3 = L = Pm −1 Pm 。. 3.. 連 BPm ，並分別過 P1 , P2 , P3 , L, Pm −1 作 BPm 的平行線，分別交 AB 於. Q1 , Q2 , Q3 , L, Qm −1 。 1 4. 得 AQ1 = AB 。 m 【方法】在數線上標出有理數： n 一個正有理數 r = ，其中 m, n 都是正整數時， m 1 可將數線以為最小刻度， m n 在原點右方的第 n 個刻度即是。 m n 若 − r = − ，其位置在原點左方(負方向)的第 n 個刻度點。 m 可知，每一個有理數都可以標示在數線上。【性質】有理數的稠密性：任意兩個不相等的有理數之間，至少有一個有理數存在。.

(2) 整數的離散性：任意兩個相異整數的距離至少為 1。有理數的基本運算： b d bc + ad 1. 加法： + = ， ac ≠ 0 。 a c ac b d bc − ad ， ac ≠ 0 。 2. 減法： − = a c ac b d bd ， ac ≠ 0 。 3. 乘法： × = a c ac b d bc ， acd ≠ 0 。 4. 除法： ÷ = a c ad 註： 1. 有理數的加減乘除都還是有理數。 2. 無理數的四則運算後，不一定是無理數。【定義】平方根：設 a 是一個正實數，若實數 x 滿足 x 2 = a ，則 x 是 a 的一個平方根。 a 的平方根有. a 與− a 。【性質】若 a, b 都是正實數，則： 1.. ab = a b 。. 2.. b b = 。 a a. 註： 1. 常用於分母帶有根式的有理化。【問題】 1. 無理數的加減乘除都還是無理數？ 2. 有理數與無理數的加減乘除是什麼數？. 3. 是否可由一個數 k 不是平方數，便說 k 是無理數？ 4. 證明 2 為無理數。證明：設 x = 2 為有理數，則存在互質的正整數 m, n ，使 x =. n2 = 2 ，即 n 2 = 2m 2 2 m 故 2 | n 2 ，又 2 為質數⇒ 2 | n 令 n = 2k ，其中 k 為正整數，於是 2k 2 = m 2 ，故 2 | m 2 ，又 2 為質數⇒ 2 | m 得 2 | (m, n) ，矛盾， ⇒. n m.

(3) 故 x = 2 不為有理數。. 5. 證明 3 2 為無理數。 6. 證明 3 + 2 為無理數。 7. 證明 3 2 為無理數。 8. 證明 2 + 3 7 為無理數。【定理】 b 最簡分數是有限小數之充要條件為分母只含 2 或 5 的質因數。 a 有理數就是整數或有限小數或循環小數： b ∈ Q, a ≠ 0 ，在除的過程中 a b 1. 若 r = 0 ，則為整數或有限小數。 a b 2. 若 r ≠ 0 ，則 r = 1,2,L, | a | −1，至多 | a | 次必循環且循環節 ≤| a | −1 ，則為循 a 環小數。【定理】若自然數 n 的質因數分解中(標準分解式)，至少有一個質因數出現了奇數次，則 n 為無理數。無理數就是不循環無限小數。【性質】 1. 有理數與無理數一起構成了實數。 2. 全體的實數所成的集合記做 R 。 3. 全體的實數和數線上的點形成一對一的對應。實數的運算具有以下性值： 1. 結合律： (a + b) + c = a + (b + c) 。 (ab)c = a(bc) 。 2. 交換律： a + b = b + a 。 ab = ba 。 3. 分配律： a(b + c) = ab + ac 。 4. 消去律：若 a + c = b + c ，則 a = b 。若 ac = bc, (c ≠ 0) ，則 a = b 。 5. 三一律： a > b, a = b, a < b 三者中恰有一成立。 6. 遞移律：若 a < b, b < c ，則 a < c 。 7. 加法律：若 a < b ,則 a + c < b + c 。 8. 乘法律：若 a < b 且 c > 0 ,則 ac < bc 。若 a < b 且 c < 0 ,則 ac > bc 。 9. 若 a 為實數,則 a 2 ≥ 0 。【性質】 1. 設 a, b, c, d ∈ Q ，若 a + b 2 = c + d 2 ⇔ a = c, b = d 。【定義】數線上兩點的距離：.

(4) ⎧ x, 當x ≥ 0時在數線上，實數 x 所表示的點到原點的距離為 | x | ，即 | x |= ⎨ 。 ⎩− x, 當x ≤ 0時在數線上，兩實數 a 與 b 所代表的兩點之距離為 | a − b | 。【性質】絕對值的運算性質： 1. | a |≥ 0 。 2. | a + b |≤| a | + | b | ，且當 ab ≥ 0 時， | a + b |=| a | + | b | 。 3. | a − b |≥| a | − | b | ， | a − b |≥| b | − | a | 。 4. | ab |=| a | × | b | 。 b |b| 5. | |= (a ≠ 0) 。 a |a| 6. a 2 =| a | 。絕對值不等式的解： 1. | x |≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a 。 2. | x |< a ⇔ −a < x < a 。 3. | x |≥ a ⇔ x ≥ a或x ≤ −a 。 4. | x |> a ⇔ x > a或x < a 。註： 1. 處理絕對值時，注意是否有含等號。【公式】分點公式：在數線上，若點 P(x) 在點 A(a ) 與點 B(b) 之間，且 AP : PB = m : n，則 x = 特別當 P 為 AB 的中點時， x =. a+b 。 2. 【性質】數系間的關係： ⎧ ⎧ ⎧ ⎧正整數(自然數 ) Z + = N ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪整數Z ⎨零 ⎪ ⎪實數R ⎪有理數Q ⎨ ⎪負整數Z − ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 複數C ⎨ ⎪ ⎪小數(有限小數, 循環小數 ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪無理數(不循環的無限小數) ⎩ ⎪ ⎪⎩虛數. an + bm 。 m+n.

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