第4章(不等式及其應用)

第

4

章

不等式及其應用

利用線性規劃可求得最大利益

僅對某些特定範圍內的實數 x、y才能成立的，這種不等式稱為條件不等式。 本章將介紹絕對不等式中的算幾不等式與柯西不等式，並討論條件不 等式中的一元二次不等式與二元一次不等式的圖形，再延伸到線性規劃。 線性規劃是應用數學的一個領域，如今已成為作業研究中重要的分支，其 應用範圍則遍及工商業管理，以及國防管理。

4-1

一 元 二 次 不 等 式

每一個正數都大於0，而每一個負數都小於 0。對於任意兩個實數 a 與 b， 如果a － b 是正數，則稱「a 大於 b」，記作 a ＞ b；如果 a － b 是負數，則稱 「a 小於 b」，記作 a ＜ b；如果 a － b 是 0，則稱「a 等於 b」，記作 a ＝ b。 因為a － b 是一個實數，所以 a － b ＞ 0，a － b ＜ 0，a － b ＝ 0 三種關係 中恰有一種會成立。我們稱實數的這種性質為三一律：

三一律

對於任意兩個實數a 與 b，則 a ＞ b，a ＜ b，a ＝ b 三個關係式中，恰有一個成立。 另外，實數的不等關係具有下列的性質：

公

式

設a、b、c 為實數 遞移律：若a ＞ b 且 b ＞ c，則 a ＞ c。 加法律：若a ＞ b，則 a ＋ c ＞ b ＋ c。 乘法律： 若 a ＞ b 且 c ＞ 0，則 a × c ＞ b × c 若 a ＞ b 且 c ＜ 0，則 a × c ＜ b × c。

在不等式中，符號「a  b」表示「a ＞ b」或「a ＝ b」中會有一式成立 （「a  b」表示「a ＜ b」或「a ＝ b」中會有一式成立）。例如：「7  5」 與「6  6」兩個不等式都正確，而「6  8」則不正確。

4-1.1

一元一次不等式

4-1 一元二次不等式

解 解 當一個不等式經移項化簡後，可化成 ax ＋ b ＞ 0，ax ＋ b ＜ 0，ax ＋ b  0， ax ＋ b  0（其中a、b 為實數且 a ≠ 0）的形式者，均稱為一元一次不等式。 要解一元一次不等式，可利用不等式的加法律與乘法律。 解不等式2 x － 3 ＜ 4 x ＋ 1，並圖示其解。 對不等式2 x － 3 ＜ 4 x ＋ 1 利用加法律得 ( 2 x － 3)＋(－ 4 x ＋ 3 )＜( 4 x ＋ 1 )＋(－ 4 x ＋ 3 ) 即－2 x ＜ 4 由乘法律得 (－ 2 x )×

(

－ 1 2

)

＞4×

(

－ 12

)

即 x ＞－ 2 因此此題不等式的解為 x ＞－ 2 其圖形如下： 《註》上圖中空心圈「 」表示坐標－2 的點不在圖形內。 在例題1 的解法中所用到加法律的步驟，相當於移項（將不等式 右邊的 4 x 移至左邊成－ 4 x，而將不等式左邊的－ 3 移至右邊 成＋3）。 解不等式 5 x ＋ 4 ＞ 7 x － 2，並圖示其解。 解不等式－_{2 x ＋ 34 } 3 2 x－1，並圖示其解。 對不等式－_{2 x ＋ 34 } 3 2 x－1 經移項得－_{2 x － 32 x － 1 －}3 4

例

題

例

題

上式可化簡為－ 7 2 x－ 74 由乘法律得

(

_{－ 72 x}

)

×

(

_{－ 27}

)



(

_{－ 74}

)

×

(

_{－ 27}

)

即 _{x  12} 所以不等式的解為 _{x  12} 其圖形如下： 《註》上圖中實心圈「 」表示坐標 1 2 的點在圖形內。 解不等式2 ( x － 2 ) 5 x ＋ 6，並圖示其解。 在數線上， x 表示坐標為x 的點到原點的距離；而 x － y 則表示坐標 分別為 x、y 的兩點之距離，如下圖4-1 所示。 圖 4-1 設 a 為一正數，則 x ＝ a 代表 x 到 0 的距離為 a，即 x ＝ a 或 x ＝－ a。 例如： x ＝ 5 表示 x ＝ 5 或 x ＝－ 5。而 x ＜ a 代表 x 到 0 的距離小於 a， 即 － a ＜ x ＜ a。例如： x ＜ 5 表示 － 5 ＜ x ＜ 5。又 x ＞ a 代表 x 到 0 的距離大於 a，即 x ＞ a 或 x ＜－ a。例如： x ＞ 5 表示 x ＞ 5 或 x ＜－ 5。 4-1 一元二次不等式

小考箱

（ ） 解

公

式

x ＝ a x ＝ a 或 x ＝－ a x ＜ a －a ＜ x ＜ a x ＞ a x ＞ a 或 x ＜－ a 圖 4-2  設a ＞ 0，則 x  a 表示 － a  x  a；而 x  a 表示 x  a 或 x － a。 解下列各不等式： 2 x － 1 ＞ 7 3 x ＋ 5  4 原不等式可改寫成 2x － 1 ＞ 7 或 2x － 1 ＜－ 7 亦即 2x ＞ 8 或 2x ＜－ 6，故得 x ＞ 4 或 x ＜－ 3 所以不等式的解為 x ＞ 4 或 x ＜－ 3。 原不等式可改寫成 －4 3x ＋ 5 4 亦即－_{9  3x － 1，故得－ 3  x － 13} 所以不等式的解為－_{3  x － 13 。} 解下列各不等式： 5 x ＋ 2  8 4 x － 3 ＜ 5

例

題

4-1.2

一元二次不等式

設 a、b、c 為實數且 a ≠ 0，不等式經移項化簡，可化成形如

ax2＋bx ＋ c ＞ 0，ax2＋bx ＋ c ＜ 0，ax2＋bx ＋ c  0，ax2＋bx ＋ c  0的式

子，均稱為一元二次不等式。滿足上述各一元二次不等式的所有實數 x，稱為 該一元二次不等式的解。 首先我們考慮一元二次多項式 f ( x )＝ x2－4 x ＋ 3 ＝( x － 1 ) ( x － 3 )， 則方程式 f ( x )＝ 0 的二實數根為 1 與 3。在數線上，依 x ＜ 1，1 ＜ x ＜ 3， x ＞ 3 分段討論 x － 1、x － 3、( x － 1 ) ( x － 3 ) 的正負如下： x 值範圍 x ＜ 1 1 ＜ x ＜ 3 x ＞ 3 x － 1 x － 3 ( x － 1) ( x － 3 ) － － ＋ ＋ － － ＋ ＋ ＋ 當x ＜ 1 時：x － 1 為負，x － 3 為負，而 ( x － 1 ) ( x － 3 ) 為正。 當1 ＜ x ＜ 3 時：x － 1 為正，x － 3 為負，而 ( x － 1 ) ( x － 3 ) 為負。 當x ＞ 3 時：x － 1 為正，x － 3 為正，而 ( x － 1 ) ( x － 3 ) 為正。 因此我們可得不等式 ( x － 1 ) ( x － 3 )＞ 0 的解為 x ＜ 1 或 x ＞ 3。 ( x － 1 ) ( x － 3 )＜ 0 的解為 1 ＜ x ＜ 3。 再考慮二次函數 y ＝ x2－4 x＋ 3 ＝ (x－ 1 ) (x－ 3 ) 的圖形，如圖 4-3 所示。 4-1 一元二次不等式

小考箱

（ ） 解 當1 ＜ x ＜ 3 時，圖形在 x 軸下方，即 y ＝ ( x － 1 ) ( x － 3 ) ＜ 0；當 x ＜ 1 或 x ＞ 3 時，圖形在 x 軸上方，即 y ＝( x － 1 ) ( x － 3 )＞ 0。 由上面的討論，我們可以推廣到一般情形如下：

公

式

設 、 為二實數且 ＜ ，則 ( x － ) ( x － )＞ 0 的解為 x ＞ 或 x ＜ 。 ( x － ) ( x － )＜ 0 的解為 ＜ x ＜ 。  設 、 為二實數且 ＜ ，則 x － x － 0 的解為 x  或 x  ，又 x － x － 0 的解為  x  。 求下列各不等式的解： x － 2 x ＋ 3 ＞ 0 x ＋ 1 x － 5  0 因為 x － 2 x ＋ 3 ＞ 0 故其解為 x ＞ 2 或 x ＜－ 3。 因為 x ＋ 1 x － 5  0 故其解為 －1  x  5。 求下列各不等式的解： x － 1 x － 4  0 x ＋ 2 x － 7 ＜ 0

例

題

解 現在，我們來討論一般的一元二次不等式： ax2＋bx ＋ c ＞ 0，ax2＋bx ＋ c ＜ 0 在此我們限制 a ＞ 0，當 a ＜ 0 時，將不等式兩邊同乘以－ 1 就可使二次項係 數為正。不等式的解可就判別式 D ＝ b2－4 ac 的正、負情形，分別討論如下：  D ＝ b2－4 ac ＞ 0 時： 圖 4-4 方程式ax2＋bx ＋ c ＝ 0 有二相異實根 ＝－ b － b 2 －4 ac 2 a 與 ＝－ b ＋ b 2 －4 ac 2 a （其中 ＜ ） 此時，ax2＋bx ＋ c ＝ a ( x － ) ( x － ) 如右圖4-4 所示， ax2＋bx ＋ c ＞ 0 之解為 x ＜ 或 x ＞ 。 ax2＋bx ＋ c ＜ 0 之解為 ＜ x ＜ 。

二次不等式的解（D ＞ 0）

設a ＞ 0 且 b2－4 ac ＞ 0， 、 為 ax2＋bx ＋ c ＝ 0 之二根 （其中 ＜ ），則 ax2＋bx ＋ c ＞ 0 之解為 x ＜ 或 x ＞ 。 ax2＋bx ＋ c  0 之解為 x  或 x  。 ax2＋bx ＋ c ＜ 0 之解為 ＜x ＜ 。 ax2＋bx ＋ c  0 之解為 x  。 解不等式 8 x2－14 x － 15 ＞ 0。 因為8 x2_{－14 x － 15 ＝ ( 4 x ＋ 3 ) (2 x － 5 )} 所以不等式可改寫為 (4 x ＋ 3) (2 x － 5)＞ 0 所以不等式的解為 _{x ＜－ 34 或 x ＞}5。

例

題

4-1 一元二次不等式

解 解不等式2 x2－11 x ＋ 12 ＜ 0。 解不等式 x2－4 x － 1  0。 因為 x2－4 x － 1 無法以十字交乘法分解 所以使用公式，求得方程式 x2－4 x － 1 ＝ 0 的兩根為 x ＝－ －4  －_2×14 2－4×1× － 1 ＝ 4 20 2 ＝2  5 所以不等式的解為 2 － 5  x  2 ＋ 5。 解不等式3 x ＋ 2 ＜ x2。  D ＝ b2－4 ac ＝ 0 時： 圖 4-5 ax2＋bx ＋ c ＝ a

(

x ＋ b_{2 a}

)

2 為一完全平方式。 如右圖4-5 所示， 不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞ 0 的解為 － b_{2 a} 以外 的所有實數； 而不等式 ax2＋bx ＋ c ＜ 0 則無解。

例

題

解

二次不等式的解（D ＝ 0）

設a ＞ 0 且 b2－4 ac ＝ 0，ax2＋bx ＋ c ＝ a ( x － )2，則 ax2_{＋bx ＋ c ＞ 0 之解為所有實數，但 x ≠ 。} ax2＋bx ＋ c  0 之解為所有實數。 ax2＋bx ＋ c ＜ 0 無解。 ax2＋bx ＋ c  0 之解為 x ＝ 。 解下列各不等式： 4x2_{－12x ＋ 9 ＞ 0 4x}2_{－12x ＋ 9  0} 4x2－12x ＋ 9 ＜ 0 4x2－12x ＋ 9  0 4x2－12x ＋ 9 ＝ ( 2 x － 3 )2 因為實數的平方恆大於或等於0，則 4x2－12x ＋ 9 ＞ 0 可化成 ( 2 x － 3 )2＞0 故其解為不等於 3 2 的任意實數。 4x2－12x ＋ 9  0 可化成 ( 2 x － 3 )20 故其解為所有實數。 4x2_{－12x ＋ 9 ＜ 0 可化成 ( 2 x － 3 )}2 ＜0 故不等式無解。 4x2－12x ＋ 9  0 可化成 ( 2 x － 3 )20 故其解為_{x ＝ 32 。} 解下列各不等式： x2＋10x ＋ 25 ＞ 0 x2＋10x ＋ 25  0 x2＋10x ＋ 25 ＜ 0 x2＋10x ＋ 25  0

例

題

4-1 一元二次不等式

解 圖 4-6  D ＝ b2－4 ac ＜ 0 時： ax2_{＋bx ＋ c ＝ a}

(

_{x ＋ b} 2 a

)

2 ＋ 4 ac－ b2 4 a ＞0 恆為正數，如右圖4-6 所示， 不等式 ax2＋bx ＋ c ＞ 0 的解為所有實數； 而不等式 ax2＋bx ＋ c ＜ 0 則無解。

二次不等式的解（D ＜ 0）

設 a ＞ 0 且 b2－4 ac ＜ 0，則 不等式 ax2＋bx ＋ c ＞ 0，ax2＋bx ＋ c  0 之解皆為所有實數。 不等式 ax2＋bx ＋ c ＜ 0，ax2＋bx ＋ c  0 皆無解。 解下列各不等式： x2＋3x ＋ 4  0 2x2－4x ＋ 5 ＜ 0 由配方法得 x2_{＋3x ＋ 4 ＝}

(

x ＋ 32

)

2 ＋ 74 74 即不論x 為任何實數 x2_＋ 3x ＋ 4 恆大於或等於 74 所以不等式 x2_{＋3x ＋ 4  0 的解為所有實數。} 由配方法得 2x2－4x ＋ 5 ＝ 2 ( x － 1 )2＋3  3 即不論x 為任何實數 2x2－4x ＋ 5 恆大於或等於 3 所以不等式 2x2－4x ＋ 5 ＜ 0 無解。

例

題

解 解下列各不等式： x2－4x ＋ 10 ＞ 0 x2＋x ＋ 1  0 由上面的討論，我們得知：不論 x 為任何實數，二次式 ax2＋ bx ＋ c 恆為正值的條件為 a ＞ 0 且 b2－4 ac ＜ 0；又 ax2＋ bx ＋ c  0 恆成 立的條件為 a ＞ 0 且 b2－4 ac  0。 設 k 為實數，若對任意實數 x，二次式 kx2＋ ( k － 1 ) x ＋( k － 1 )＞ 0 恆成立，試求 k 的範圍。 因為對於任意實數x，kx2＋ ( k － 1 ) x ＋( k － 1 )＞ 0 恆成立 故得 k ＞ 0 k － 1 2－4 × k × k － 1 ＜ 0 即 k ＞ 0 k － 1 3 k ＋ 1 ＞ 0 k ＞ 0 k ＜－1₃ 或 k ＞ 1 由圖示得知：使此題不等式成立的k 的範圍是 k ＞ 1。 設m 為實數，若對任意實數 x，二次式 mx2＋2 x ＋ m 恆為正值，試求 m 的範圍。

例

題

4-1 一元二次不等式

解 解 已知不等式 ax2－_{10 x ＋ b ＞ 0 的解為 － 3 ＜ x ＜ 12 ，試求} a、b 的值。 因為－_{3 ＜ x ＜ 12} 故得 ( x ＋ 3 ) ( 2 x － 1 )＜ 0 亦即 2 x2＋5 x － 3 ＜ 0 將上式兩邊各乘以－2 得 － 4 x2－10 x ＋ 6 ＞ 0 與 ax2－10 x ＋ b ＞ 0 比較得知 a ＝－ 4，b ＝ 6。 已知不等式 ax2＋ _{bx ＋ 1  0 的解為 x  － 23 或 x  2，試求 a、b} 的值。 解不等式 3 x ＋ 2 ＞ 2 x ＋ 1 。 因為 3 x ＋ 2  0 且 2 x ＋ 1  0 故將不等式兩邊平方得 ( 3 x ＋ 2 )2＞( 2 x ＋ 1 )2 移項得( 3 x ＋ 2 )2－( 2 x ＋ 1 )2＞0 利用平方差公式得 [ ( 3 x ＋ 2 ) ＋ ( 2 x ＋ 1 ) ] [ ( 3 x ＋ 2 ) － ( 2 x ＋ 1 ) ] ＞ 0 亦即 ( 5 x ＋ 3 ) ( x ＋ 1 )＞ 0 所以不等式的解為_{x ＜－ 1 或 x ＞－ 35 。} 解不等式 2 x ＋ 3  x － 1 。

例

題

例

題

習題

_4-1

 解下列各不等式，並圖示其解： 4 3 ( x－6 )＋ 2  2 x － 5 23 x＋14 ＞ 72 x ＋ 83  解下列各不等式： 2 x － 3  5 x₃－1 ＞ 2  設不等式 5 x － 2 ＞ ax ＋ 4 的解為 x ＞ 2，試求 a 值。 《提示》原不等式移項整理得 5 － a x ＞ 6，因其解為 x ＞ 2， 故知 5 － a ＞ 0。  解下列各不等式： 3 x2＋x － 10 ＞ 0 12 ＋ 4 x － x20 《提示》將不等式兩邊同乘以( － 1 )，則可使 x2項係數為正。  解下列各不等式： 9 x2－30 x ＋ 25 ＞ 0 x2－ 6 x ＋ 4  0 2 x2－8 x ＋ 11  0 2 － x2－4 x  設 k 為一實數，若 x2－2 kx ＋ 2 k ＋ 3 ＞ 0 對所有實數 x 均成立，試求 k 的範圍。  解不等式 3 x － 2  x ＋ 4 。  已知二次不等式 ax2＋_{bx ＋ 12  0 的解為 － 43  x } 3 2，試求 a、b 4-1 一元二次不等式

4-2

絕 對 不 等 式

在4-1 中所討論的一些不等式，例如：2 x － 3  0，( x － 1) ( x ＋ 4 )＜ 0， …等，只有在某些範圍內的實數x，不等式才能成立的，這樣的不等式我們稱 為條件不等式。另外有一種不等式，不論用任何有意義的實數代入其中的未知 數，不等式都能成立的，這樣的不等式我們稱為絕對不等式。 例如：x2＋1 ＞ 0，x2－x ＋ 3 ＞ 0，a2＋b22 ab 都是絕對不等式。 本節將介紹兩個重要的絕對不等式：算幾不等式與柯西不等式。 4-2.1

算幾不等式

設 a、b 為二正數，我們稱 a ＋ b₂ 為 a 和 b 的算術平均數，又稱 ab 為 a 和 b 的幾何平均數。 因為 a、b 均為正數，故得 a ＋ b 2 － ab ＝

(

a

)

2＋

(

b

)

2－2 a b 2 ＝

(

a－ b

)

2 2 0 亦即 a＋ b 2  ab，且當 a ＝ b 時，a ＋ b2 ＝ ab。 所以，對於任意兩個正數a 和 b，它們的算術平均數 a＋ b₂ 恆大於或等於 其幾何平均數 ab，此性質稱為算幾不等式。

算幾不等式

設a、b 為二正數，則 a ＋ b 2  ab 上式等號成立的條件為a ＝ b。

解 解 設 a、b 為二正數且 2 a ＋ 3 b ＝ 12，試求 ab 的最大值及此時 a、b 的值。 由算幾不等式得知：2 a＋3 b 2  2 a × 3 b 又知2 a ＋ 3 b ＝ 12，故得 12₂  6 ab 兩邊平方整理得ab  6 當 2 a ＝ 3 b 時，等號才能成立，且 2 a ＋ 3 b ＝ 12 所以當 a ＝ 3，b ＝ 2 時，ab 有最大值 6。 設 x、y 為二正數且 xy ＝ 12，試求 3 x ＋ y 的最小值及此時 x、y 的值。 設 a、b 為二正數且 ab ＝ 9，試求 1 a＋ 1b 的最小值及此時 a、b 的值。 由算幾不等式得知： 1 a ＋ 1b 2  1a × 1b＝ 1 ab＝ 1 9 ＝ 13 亦即 1 a ＋ 1b  23 當 1 a ＝ 1b 時，等號才能成立，又 ab ＝ 9 所以當 a ＝ 3，b ＝ 3 時， 1 a ＋ 1b 有最小值 23 。 設 a、b 為二正數，試求 b a ＋ ab 的最小值。

例

題

例

題

4-2 絕對不等式

設a₁，a₂，…，a_n為n 個正數，則 a1＋ a2＋…＋ an n 稱為這 n 個正數的算 術平均數，又 n a₁a₂…a_n 稱為這 n 個正數的幾何平均數。對於 n 個正數的算 幾不等式照樣成立。

算幾不等式

設 a₁，a₂，…，a_n 均為正數，則 a₁＋ a₂＋…＋ a_n n  n a₁a₂…a_n 上式等號成立的條件為 a₁＝a₂＝…＝a_n。 【說明】 當 n ＝ 2 時： 在前面已討論過。 當 n ＝ 4 時： 因為 a1＋ a₂ 2 a₁a₂，a3＋ a₂ 4 a₃a₄， 故得 a₁＋ a₂ 2 ＋ a₃＋ a₄ 2 2  a₁a₂＋ a₃a₄ 2  a1a2× a3a4， 亦即 a1＋ a2＋ a3＋ a4 4  4 a₁a₂a₃a₄。 上式等號成立的條件必須 a₁＝a₂，a₃＝a₄， a₁a₂＝ a₃a₄ 同時成立， 亦即 a₁＝a₂＝a₃＝a₄。 當 n ＝ 3 時： 令 k ＝a1＋ a₃2＋ a3，則由 n ＝ 4 的情形知 a₁＋ a₂＋ a₃＋ k 4  4 a₁a₂a₃k， 故得 3k＋ k 4 4 a1a2a3k，亦即 k  4 a₁a₂a₃k。 將上式兩邊同取四次方，得 k4 a₁a₂a₃k，亦即 k3 a₁a₂a₃。

小考箱

（ ） 解 再將上式兩邊開三次方，得 k 3 a₁a₂a₃，所以 a₁＋ a₂＋ a₃ 3 3 a1a2a3。 上式等號成立的條件為 a₁＝a₂＝a₃（＝k）。 比照由 n ＝ 2 推導出 n ＝ 4 的方法，我們可以繼續推導出 n ＝ 8， 16，…，2m，…（其中 m 為正整數）的算幾不等式均能成立。同樣 地，比照由 n ＝ 4 推導出 n ＝ 3 的方法，由 n ＝ 8 的算幾不等式成立 也可推導出 n ＝ 5，6，7 的算幾不等式也成立；再由 n ＝ 16 的算幾 不等式成立推導出 n ＝ 9，10，11，…，15 的算幾不等式都成立。 由以上的說明，我們得知對於任意 n 個正數的算幾不等式 a₁＋ a₂＋…＋ a_n n  n a₁a₂… a_n 均成立，而等號成立的條件為 a₁＝a₂＝ … ＝a_n。  設 a、b、c 為正數且 abc ＝ 1，則 a ＋ b ＋ c 的最小值為 1。 已知 a、b、c 為正數且 a ＋ 2b ＋ 3c ＝ 18，試求 abc 的最大值及此時 a、b、c 的值。 由算幾不等式知：a＋2b ＋ 3c 3 3 a × 2b × 3c 再用已知條件 a ＋ 2b ＋ 3c ＝ 18 得 18₃ 3 6abc，亦即 6 3 6abc 將上式兩邊同取三次方整理得 abc  36 又當 a ＝ 2b ＝ 3c 時，等號才能成立，再由 a ＋ 2b ＋ 3c ＝ 18

例

題

4-2 絕對不等式

解 設 x、y、z 為正數且 xyz ＝ 108，試求 x ＋ y ＋ 2z 的最小值及此時 x、y、z 的值。 已知一長方體的表面積為24，試求此長方體體積的最大值。 設長方體的長、寬、高分別為 a、b、c，則體積 V ＝ abc 表面積 A ＝ 2 ( ab ＋ bc ＋ ca ) ＝ 24 故得 ab ＋ bc ＋ ca ＝ 12 利用上式以及算幾不等式知：ab＋ bc ＋ ca 3 3 ab × bc × ca 得 12 3  3 a2b2c2，亦即 4 3 V2 兩邊三次方整理得 V  8 當ab ＝ bc ＝ ca，亦即 a ＝ b ＝ c 時，V ＝ 8 此時，由ab ＋ bc ＋ ca ＝ 12，得 a ＝ b ＝ c ＝ 2 所以當長、寬、高均為2 時，長方體的體積最大，最大值為 8。 設一長方體的長、寬、高分別為 a、b、c，又 2a ＋ 2b ＋ c ＝ 12，試求 此長方體體積的最大值。

例

題

小考箱

（ ） 4-2.2

柯西不等式

在第一冊第3 章我們討論過向量的內積，設 a 、b 二向量的夾角為 ，則 a ‧b ＝ a b cos 。 因為 cos 1，故得 a ‧b ＝ a b cos  a b ， 亦即 a b  a ‧b ，等號成立的條件為 a 、b 有一為零向量，或夾角 ＝0° 或 180°，亦即 a // b 。 在坐標平面上，令 a ＝ ( a₁ , a₂)、b ＝ ( b₁ , b₂)，代入不等式 a b  a ‧b ，得 a₁2＋ a₂2 b₁2＋ b₂2 a₁b₁＋a₂b₂ 。 將上式兩邊平方，得 (a₁2_{＋ a} 22) ( b12＋ b22)( a1b1＋a2b2) 2 。 上面這個不等式，稱為柯西不等式，我們將它推廣到一般的情形，說明如下：

柯西不等式

設 a₁，a₂，…，a_n 及 b₁，b₂，…，b_n 為2 n 個實數，則 (a₁2＋a₂2＋…＋a_n2) (b₁2＋b₂2＋…＋b_n2)  (a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n)2 上式等號成立的條件為 a₁＝a₂＝…＝a_n＝0 或 b₁＝b₂＝…＝b_n＝0， 或存在一實數 t，使得 b_k＝a_kt（其中 k ＝ 1，2，…，n）  設 a₁，a₂，a₃，b₁，b₂，b₃ 為實數且均不為0，則 a₁2＋ a₂2＋ a₃2 b₁2＋b₂2＋ b₃2 ( a₁b₁＋a₂b₂＋a₃b₃)2， 上式等號成立的條件為 a ＝a ＝a 且 b ＝b ＝b 。 4-2 絕對不等式

解 設 x、y 為實數且 x2＋y2＝4，試求 4 x ＋ 3 y 的最大、最小值，並求當 4 x ＋ 3 y 有最大或最小值時 x、y 的值。 由柯西不等式知： (42＋32) (x2＋y2)(4x＋3y)2 又知 x2＋y2＝4，故得 25 × 4 ( 4 x ＋ 3 y )2 亦即 －10  4 x ＋ 3 y  10 當x ＝ 4 t，y ＝ 3 t，t 為某一實數時，等號才能成立 代入 x2＋y2＝4 得 ( 4 t )2＋( 3 t )2＝_{4，解得 t ＝ 25} 當 _{t ＝ 25 時：} x ＝ 85 ，y ＝ 65 4 x ＋ 3 y 有最大值 10。 當_{t ＝－ 25 時：} x ＝ － 85 ，y ＝ － 65 4 x ＋ 3 y 有最小值－ 10。 設 a、b 為實數且 2a ＋ 3b ＝ 20，試求 4 a2＋b2 的最小值及此時 a、b 的值。

例

題

解 設 a、b、c 為實數且 a2＋b2＋c2＝4，試求 2 a ＋ b ＋ 2 c 的最大、最 小值，並求當 2 a ＋ b ＋ 2 c 有最大或最小值時 a、b、c 的值。 由柯西不等式知： ( 22＋12＋22) ( a2＋b2＋c2)( 2 a ＋ b ＋ 2 c )2 又知 a2＋b2＋c2＝4，故得 9 × 4 ( 2 a ＋ b ＋ 2 c )2 亦即 －6  2 a ＋ b ＋ 2 c  6 當a ＝ 2 t，b ＝ t，c ＝ 2 t，t 為某一實數時，等號才能成立 代入 a2＋b2＋c2＝4 得 ( 2 t )2＋t2＋( 2 t )2＝_{4，解得 t ＝ 23} 當 _{t ＝ 23 時：} a ＝ 43 ，b ＝ 23，c ＝ 43 2 a ＋ b ＋ 2 c 有最大值 6。 當 _{t ＝－ 23 時：} a ＝ － 43 ，b ＝ － 23，c ＝ － 43 2 a ＋ b ＋ 2 c 有最小值－ 6。 設 a、b、c 為實數且 a ＋ 2b ＋ 3 c ＝ 7 2，試求 a2＋b2＋c2 的最小值 及此時 a、b、c 的值。

例

題

4-2 絕對不等式

習題

_4-2

 設 a、b 為二正數且 a ＋ 2 b ＝ 8，試求 ab 的最大值，並求此時 a、b 的值。  設 x、y 為二正數且 xy ＝ 3，試求 3 x ＋ 4 y 的最小值，並求此時 x、y 的值。  設二正數 a、b 滿足 a ＋ 4 b ＝ 6，試求 ab2 的最大值及此時 a、b 的值。 《提示》a＋2 b ＋ 2 b₃  3a × 2 b × 2b  設 a、b、c 均為正數且 a ＋ b ＋ c ＝ 9，試求 abc 的最大值。  利用柯西不等式，求 4 sin － 3 cos 的最大、最小值。

《提示》

[

42＋(－ 3)2

]

(sin2 ＋ cos2 )  (4 sin － 3 cos )2

 設 x、y 為實數且 6 x ＋ y ＝ 10，試求 9 x2＋y2 的最小值。  設 a、b、c 為實數且 a2＋4 b2＋9 c2＝48，試求 a ＋ 2 b ＋ 3 c 的最大、 最小值。 《提示》(12＋12＋12)

[

a2＋ (2 b)2＋ (3 c)2

]

 (a ＋ 2 b ＋ 3 c)2  設 a、b 為二正數，試求 ( a ＋ 2 b )

(

1 a ＋ 2b

)

的最小值。 《提示》原式＝

[

a 2＋ 2b 2

]

[ (

1 a

)

2 ＋

(

2 b

)

2

]

（利用柯西不等式）

4-3

二 元 一 次 不 等 式 的 圖 形 及 線 性 規 劃

4-3.1

二元一次不等式的圖解

設 a、b、c 為實數，且 a、b 不同時為 0，則形如 ax ＋ by ＋ c ＞ 0， ax ＋ by ＋ c ＜ 0，ax ＋ by ＋ c  0，ax ＋ by ＋ c  0的不等式，均稱為二元一 次不等式。滿足二元一次不等式的實數數對 ( x , y )，稱為二元一次不等式的 解。我們可以在坐標平面上將二元一次不等式的解圖示出來。 首先討論 ax ＋ by ＋ c ＞ 0 的圖形，為了方便起見，我們假定 a ＞ 0，並 以直線 L 表示 ax ＋ by ＋ c ＝ 0 的圖形。 很顯然，直線 L：ax ＋ by ＋ c ＝ 0 必將坐標平面分成 H₁ 與 H₂ 兩個部 分，如圖4-7 所示。 圖 4-7 習慣上，我們稱H₁ 為直線L 的右側半平面，而 H₂ 為直線L 的左側半平面。 設 P ( x₁ , y₁) 為 L 之右側半平面（即 H₁ 部分）的任一點，過 P 點作 x 軸的平行線 L₁：y ＝ y₁ 交直線 L 於 Q 點（如圖 4-7 所示），則 Q 點坐標為方 程組 ax ＋ by ＋ c ＝ 0 y ＝ y₁ 的解，即 Q

(

－ by₁＋ c a , y1

)

。因為 P 點位置在 Q 點的右 方，所以 P 點的 x 坐標 x₁ 必大於 Q 點的 x 坐標 －by1＋ c a ，即 x1＞－ by₁＋ c a 。 又 a ＞ 0，故得 ax₁＞－( by₁＋ c )，移項化簡得 ax₁＋ by₁＋ c ＞ 0。因此，直 4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃

反之，若 P ( x₁ , y₁) 為平面上的任一點且滿足 ax₁＋ by₁＋c ＞ 0（其中 a ＞ 0），則 x₁＞－by1＋ c a 。因為 Q

(

－ by₁＋ c a , y1

)

在直線 L 上，所以 P ( x₁ , y₁) 在 Q 點的右方，故 P 點必落在 L 的右側半平面內。 從上面的討論，我們得知直線 L 右側半平面內的點 ( x , y ) 都滿足 ax ＋ by ＋c ＞ 0，反之滿足 ax ＋ by ＋ c ＞ 0 的點 ( x , y ) 也都在直線 L 的右側半平面 內。換句話說，在平面上滿足二元一次不等式 ax ＋ by ＋ c ＞ 0（其中 a ＞ 0） 之所有的點 ( x , y ) 所成的圖形就是直線 L 的右側半平面。同理可得，不等式 ax ＋ by ＋ c ＜ 0 的解所成的圖形為直線 L 的左側半平面。 如果把直線 L 的右側半平面與直線 L 合起來，就是 ax ＋ by ＋ c  0 的圖 形。同樣地，把直線 L 的左側半平面與直線 L 合起來，就是 ax ＋ by ＋ c  0 的圖形（如圖4-8 所示）。二元一次不等式的圖形，以粉紅色覆蓋，若其解包 含直線 L，則直線 L 以實線畫出；若其解不包含直線 L，則直線 L 以虛線畫出。 圖 4-8

小考箱

（ ） 解 綜合上述，我們得到下面的結論：

公

式

設直線L：ax ＋ by ＋ c ＝ 0 且 a ＞ 0，則 ax ＋ by ＋ c ＞ 0 的圖形為直線 L 的右側半平面（不含直線 L）。 ax ＋ by ＋ c  0 的圖形為直線 L 的右側半平面及直線 L。 ax ＋ by ＋ c ＜ 0 的圖形為直線 L 的左側半平面（不含直線 L）。 ax ＋ by ＋ c  0 的圖形為直線 L 的左側半平面及直線 L。  設直線 L：ax ＋ by ＋ c ＝ 0 且 a≠0，則不等式 ax ＋ by ＋ c ＜0 的圖形為直線 L 的左側半平面。 當二元一次不等式中 x 的係數 a ＜ 0 時，可經由移項整理使 x 的係數為 正，再依上面的結論判斷其圖形。 圖示下列各二元一次不等式的解： 3 x ＋ 2 y － 6 ＞ 0 x  2 作直線 L₁：3x ＋ 2y － 6 ＝ 0， 3 x ＋ 2 y － 6 ＞ 0 的圖形為 L₁ 的右側半平面（不含直線 L）， 如右圖中粉紅色部分。（因不含 直線 L₁，故 L₁ 以虛線畫出） 作直線 L₂：x ＝ 2， x  2 的圖形為 L₂ 的左側半平 面及直線 L₂，如右圖中粉紅色部 分。（因含直線 L₂，故 L₂ 以實

例

題

4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃

解 圖示下列各二元一次不等式的解： 2x ＋ y ＜ 0 x － 2 圖示下列各二元一次不等式的解： －2 x ＜ y － 6 4 x ＋ 4 y － 1  2 x ＋ 5 y － 3 －2 x ＜ y － 6： 將上列不等式移項整理得 2 x ＋ y － 6 ＞ 0， 作直線 L₁：2 x ＋ y － 6 ＝ 0， 則不等式－2 x ＜ y － 6（即 2 x ＋y － 6 ＞ 0）的圖形為 L₁ 的右 側半平面（不含直線 L₁），如右 圖中粉紅色部分。 4 x ＋ 4 y － 1  2 x ＋ 5 y － 3： 將上列不等式移項整理得 2 x － y ＋ 2  0， 作直線 L₂：2 x － y ＋ 2 ＝ 0， 則不等式4 x ＋ 4 y － 1  2 x ＋5 y － 3（即 2 x － y ＋ 2  0） 的圖形為 L₂ 的左側半平面及直 線 L₂，如右圖中粉紅色部分。 圖示下列各二元一次不等式的解： －x ＋ 3 y － 6  0 x ＋ 3 y － 1 ＞ 4 y ＋ 2

例

題

設 x、y 為正整數，則滿足 2x ＋ 3y  10 的解 ( x , y ) 共有多少組？ 滿足 2x ＋ 3y  10 的解 ( x , y ) 如下表： x 1 1 2 2 3 y 1 2 1 2 1 所以 ( x , y ) 可為 ( 1 , 1 )、( 1 , 2 )、( 2 , 1 )、( 2 , 2 )、( 3 , 1 )， 共5 組解。 圖解 2x ＋ 3y  10 如下： 因為x、y 為正整數，故只要在第一象限內，直線 L：2x ＋ 3y ＝ 10 的左邊（含直線 L）區域內找整數點 ( x , y ) 即可，如圖 所示，共有5 組解。 設 x、y 為正整數，則滿足 4x ＋ 5y ＜ 20 的解 ( x , y ) 共有多少組？

例

題

4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃

解 解 試寫出滿足右圖黃色區域的不等式。 因為直線L 通過 ( 2 , 0 ) 及 ( 0 , 3 ) 兩點， 故直線 _{L 方程式為 x2 ＋3}y ＝1， 即 L：3x ＋ 2y － 6 ＝ 0， 又黃色區域在直線 L：3x ＋ 2y － 6 ＝ 0 的左 側且含直線 L，故不等式為 3x ＋ 2y － 6  0。 試寫出滿足右圖黃色區域的不等式。 當二元一次不等式 ax ＋ by ＋ c ＞ 0（或 ax ＋ by ＋ c ＜ 0）中 x 的係數 a ＝0 時，則不等式變為 by ＋ c ＞ 0（或 by ＋ c ＜ 0），經移項化簡得 y ＞－ c b 或 y ＜－ c b。因此，我們只要討論 y ＞ k 或 y ＜ k 的情形即可。茲以實例說明 如下： 圖示不等式 y ＞ 1 的解。 作直線L：y ＝ 1。 因為直線 L 上每一點的 y 坐標都是 1， 而在 L 之上方半平面的點 ( x , y )，其 y 坐標必大於 1。 反之，在坐標平面上滿足 y ＞ 1 的點 ( x , y )，其 y 坐標都大於 1， 故必落在 L 的上方半平面。

例

題

例

題

所以 y ＞ 1 的圖形就是在直線 L：y ＝ 1 的上方半平面（不含直線 L），如下圖所示。 圖示下列各二元一次不等式的解： y － 2 y ＜ 3 類似於例題5 的討論，我們可以推得下面的結論：

公

式

設直線 L：y ＝ k，則 y ＞ k 的圖形為直線 L 的上方半平面（不含直線 L）。 y  k 的圖形為直線 L 的上方半平面及直線 L。 y ＜ k 的圖形為直線 L 的下方半平面（不含直線 L）。 y  k 的圖形為直線 L 的下方半平面及直線 L。 由於坐標平面上直線 L：ax ＋ by ＋ c ＝ 0 將坐標平面分成兩個半平面，其 中一個半平面上的點均滿足 ax ＋ by ＋ c ＞ 0，而另一個半平面上的點則都滿 足 ax ＋ by ＋ c ＜ 0。因此，若 A ( x₁ , y₁)、B ( x₂ , y₂) 兩點在直線 L 的異側， 必有 「ax₁＋by₁＋c ＞ 0 且 ax₂＋by₂＋c ＜ 0」 4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃

解 同理，若 A ( x₁ , y₁)、B ( x₂ , y₂) 兩點在直線 L 的同側，則必有 「ax₁＋by₁＋c ＞ 0 且 ax₂＋by₂＋c ＞ 0」 或「ax₁＋by₁＋c ＜ 0 且 ax₂＋by₂＋c ＜ 0」 所以，我們可以整理推得下述的性質：

公

式

設直線 L：ax ＋ by ＋ c ＝ 0 及 A ( x₁ , y₁)、B ( x₂ , y₂) 兩點，則 A、B 在 L 的異側 ( ax₁＋by₁＋c ) ( ax₂＋by₂＋c ) ＜ 0。 A、B 在 L 的同側 ( ax₁＋by₁＋c ) ( ax₂＋by₂＋c ) ＞ 0。 試判別下列各組點在直線 L：4 x － 3 y － 5 ＝ 0 的同側或異側： A ( 2 , － 3 )、B ( 3 , 1 ) C ( － 1 , 2 )、D ( － 2 , － 5 ) A ( 2 , － 3 )、B ( 3 , 1 )： 因為 [ 4 × 2 － 3 × (－ 3)－ 5 ] ( 4 × 3 － 3 × 1 － 5 ) ＝12 × 4 ＞ 0 所以A、B 兩點在直線 L 的同側。 C ( － 1 , 2 )、D ( － 2 , － 5 )： 因為 [ 4 × ( － 1 ) － 3 × 2 － 5 ] [ 4 × ( － 2 ) － 3 × ( － 5 ) － 5 ] ＝(－ 15)×2 ＜ 0 所以 C、D 兩點在直線 L 的異側。 試判別下列各組點在直線 L：5 x ＋ 2 y － 7 ＝ 0 的同側或異側： A ( 0 , 2 )、B ( － 1 , 5 ) C ( 3 , 1 )、D ( 2 , － 3 )

例

題

解 4-3.2

二元一次聯立不等式的圖解

兩個或兩個以上的二元一次不等式並列，稱為二元一次聯立不等式，因為 聯立不等式的解，必須同時滿足所列的每一個不等式。因此，二元一次聯立不 等式解的圖形，就是聯立不等式中各不等式圖形的共同部分。 圖解二元一次聯立不等式 2 x ＋ y － 6  0 3 x － y ＋ 3  0。 先作直線 L₁：2 x ＋ y － 6 ＝ 0。 則2 x ＋ y － 6  0 的圖形為直線 L₁ 及其右側半平面，如右圖所示。 再作直線 L₂：3 x － y ＋ 3 ＝ 0。 則3 x － y ＋ 3  0 的圖形為直線 L₂ 及其右側半平面，如右圖所示。 兩圖的共同部分，即為二元一次 聯 立 不 等 式 2 x ＋ y － 6  0 3 x － y ＋ 3  0的 圖解，如右圖紫色所覆蓋區域。

例

題

4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃

解 圖解二元一次聯立不等式 3 x ＋ 2 y ＞ 4 x － 6 y － 5。 圖解二元一次聯立不等式 x  0 y  5 x ＋ y ＋ 1  0 5 x ＋ y － 10  0 。 仿照例題7 的解法，分別作出不等式 x  0，y  5，x ＋ y ＋ 1  0， 5 x ＋ y － 10  0 的圖形，得到四個半平面，則此四個半平面的共 同部分，即為此聯立不等式的圖解，如下圖紫色所覆蓋區域。 圖解二元一次聯立不等式 x － 1 y  2 x － y  1 2 x ＋ y  4 。

例

題

解 4-3.3

線性規劃

線性規劃所探討的問題是「在二元一次聯立不等式的條件下，求得一個一 次函數的最大或最小值」，這個二元一次聯立不等式稱為限制條件，而待求最 大或最小值的這個函數稱為目標函數。線性規劃為一門實用的學科，近年來在 工商管理與企業決策方面有廣泛的應用，可以決定如何有效的使用或分配有限 的資源（如原料、資金、設備、勞力等），來達成預期的目標（如產量最大、 最小成本、最大利潤等）。 一般的線性規劃問題，所牽涉的變數可能很多，需要配合電腦使用始能快 速求解。本節中，我們只討論兩個變數的情形。 在受制於 2  x  5 x ＋ y  8 x ＋ 3 y  5 的條件下，試求函數 f x , y ＝ 2 x ＋ y ＋ 3 的最 大值及最小值。 先分別作出各不等式的圖形，取其共同部分 得聯立不等式 2  x  5 x ＋ y  8 x ＋ 3 y  5 的解為下圖黃色所覆蓋區域S。 題意即要在 S 中分別找出點 x , y ，使 f x , y 的值為最大及最小。

例

題

4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃

令 f x , y ＝ k，當 k 變動時，則可得一組斜率為 － 2 的平行線， 如上圖所示。 由圖形可以看出，隨著 k 值的變大，直線 2 x ＋ y ＋ 3 ＝ k 也逐漸 遠離原點而右移。 因為直線 2x ＋ y ＋ 3 ＝ k 上的任何一點 x , y ，都會使 f x , y 的 值等於 k，所以 f x , y 在 S 中的最大值一定出現在直線 2x ＋ y ＋ 3 ＝ k 最遠 離 原 點 且 與 S 相 交 的 地 方 ， 這 個 地 方 就 是 直 線 x ＝ 5 與 x ＋ y ＝ 8 的交點，其坐標為 5 , 3 。 由上面的討論，我們得知當 x , y ＝ 5 , 3 時： f x , y 有最大值 f 5 , 3 ＝ 2×5 ＋ 3 ＋ 3 ＝ 16。 同樣的，由圖形也可以看出，隨著 k 值的變小，直線 2 x ＋ y ＋ 3 ＝k 也逐漸靠近原點而下降。類似於上面的說明，我們得知 f x , y 在 S 中的最小值必出現在直線 2 x ＋ y ＋ 3 ＝ k 最靠近原點且與 S 相交的地方，這個地方就是直線 x ＝ 2 與 x ＋ 3 y ＝ 5 的交點 2 , 1 。 因此，當 x , y ＝ 2 , 1 時： f x , y 有最小值 f 2 , 1 ＝ 2 × 2 ＋ 1 ＋ 3 ＝ 8。 在受制於 x  0，y  0 x － y ＋ 2  0 2 x ＋ 3 y － 26  0 x ＋ y － 2  0 的條件下，求 f x , y ＝ x － 2 y 的最大值 及最小值。

小考箱

（ ） 解 在例題9 的討論中，聯立不等式的解，稱為此問題的可行解，而可行解所 成的區域 S，稱為可行解區域。在可行解區域內，使目標函數 f ( x , y )＝ 2x ＋ y ＋3 有最大值或最小值的這種點 ( x , y )，稱為最佳解。同學們或許已注意到目 標函數 f ( x , y ) 的最佳解都是出現在可行解區域的頂點上。其實一般線性規劃 的問題也是這樣的。所以，我們常可藉由可行解區域的頂點所對應的目標函數 值來找尋最佳解。  在線性規劃的問題中，只要將可行解區域各頂點的坐標 (x , y) 分別代入目標函數 f ( x , y )，即可求得目標函數 f ( x , y ) 的最 大值或最小值。 在受制於 x  0 y  0 x  3 x － y ＋ 1  0 x ＋ y － 5  0 的條件下，求 f x , y ＝ x － y ＋ 2 的最大值 和最小值。 先作出聯立不等式所成的可行解區域 S， 如下圖黃色所覆蓋區域： 由此求得 S 的頂點為 0 , 0 、 3 , 0 、 3 , 2 、 2 , 3 及 0 , 1 。 將這些頂點的坐標分別代入 f x , y ＝ x － y ＋ 2 中，

例

題

4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃

求得 f 0 , 0 ＝ 2 f 3 , 0 ＝ 5……最大 f 3 , 2 ＝ 3 f 2 , 3 ＝ 1……最小 f 0 , 1 ＝ 1……最小 所以 f x , y 的最大值為 5，最小值為 1。 在線性規劃的問題中，會產生最大值或最小值的點可能不只 一個，例題10 中就有兩個點 2 , 3 與 0 , 1 同時使 x － y ＋ 2 的值最小。事實上，此兩點所成的線段上之任何一點都會使 x － y ＋ 2 的值為最小。 在受制於 0  x  3 0  y  4 x ＋ y  3 x ＋ y  5 的條件下，求 f x , y ＝ x ＋ 3 y ＋ 5 的最大值與 最小值。 在討論過有關線性規劃的理論基礎後，我們開始做一些應用問題。

解 某工廠用兩種不同的原料均可生產同一產品。若採用甲種原料，每噸 成本 1000 元，運費 500 元，可得產品 9 公斤；若採用乙種原料，每 噸成本 1500 元，運費 400 元，可得產品 10 公斤。又工廠每日預算要 求成本不得超過 6000 元，運費不得超過 2000 元，試求此工廠每日最 大的生產量。 設此工廠採用甲種原料 x 噸，乙種原料 y 噸 將題目資料列表如下： 原料 甲 乙 預算 成本（元） 運費（元） 產量（公斤） 1000 500 9 1500 400 10 6000 2000 由題意知：成本不得超過 6000 元，運費不得超過 2000 元， 又 x、y 值不可能為負值，故此題的限制條件可表為下列 聯立不等式： x  0 y  0 1000 x ＋ 1500 y  6000 500 x ＋ 400 y  2000 ， 可化簡為 x  0 y  0 2 x ＋ 3 y  12 5 x ＋ 4 y  20 。 而每日的生產量為 9 x ＋ 10 y 公斤，所以，本題可轉化為： 在 x  0 y  0 2 x ＋ 3 y  12 5 x ＋ 4 y  20 的限制條件下，找出 x , y ，使目標函數 f x , y ＝ 9 x ＋ 10 y 的值最大。

例

題

4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃

要解此題，首先作出聯立不等式所成的可行解區域 S， 如下圖黃色所覆蓋區域： 由此求得 S 的頂點為 0 , 0 、 4 , 0 、

(

12_{7 ,} 20₇

)

及 0 , 4 。 將這些頂點的坐標分別代入 f x , y ＝ 9 x ＋ 10 y，求得 f 0 , 0 ＝ 0 f 4 , 0 ＝ 36 f

(

12_{7 ,} 20₇

)

＝44……最大 f 0 , 4 ＝ 40 所以此工廠採用甲種原料 12 7 噸，乙種原料 207 噸， 可得最大生產量 44 公斤。 某工廠有 A、B 兩部機器用來製造甲、乙兩種產品，其利潤每單位分別 為 8000 元及 10000 元。完成一單位的甲產品須在機器 A、B 分別占用 0.6 小時、1.2 小時；而完成一單位的乙產品須在機器 A、B 分別占用 1.2 小時、0.4 小時。又每部機器每天至多只能工作 12 小時，試問此工 廠每天要安排生產甲、乙產品各多少單位才能獲得最大利潤，又最大 利潤為何？

解 根據營養學家的研究報告：每個人每週至少需要 12 單位的蛋白質、9 單位的醣與 8 單位的脂肪。今有甲、乙兩種食物，其價格每公斤分別 為 100 元及 30 元；甲種食物每公斤含有 4 單位的蛋白質、2 單位的醣 及 1 單位的脂肪，而乙種食物每公斤含有 1 單位的蛋白質、1 單位的 醣及 2 單位的脂肪。試問每個人每週從甲、乙兩種食物中應各吃多少 公斤，始能維持最低營養標準，而費用又最少？ 設每人每週吃掉甲種食物 x 公斤、乙種食物 y 公斤 始能維持最低營養標準。 將題目資料列表如下： 食物 甲 乙 每週需要量 蛋白質 醣 脂肪 價格（元） 4 2 1 100 1 1 2 30 12 9 8 每人所需費用為 100 x ＋ 30 y 元， 而限制條件為 x  0 y  0 4 x ＋ y  12 2 x ＋ y  9 x ＋ 2 y  8 。 所以，本題可轉化為： 在 上 面 聯 立 不 等 式 的 限 制 條 件 下，找 出 x , y ，使 目 標 函 數 f x , y ＝ 100 x ＋ 30 y 的值最小。 要解此題，先作出前述聯立不等式所表示的可行解區域， 如下圖黃色所覆蓋區域：

例

題

4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃

S 的頂點為 8 , 0 、

(

10_{3 ,} 7₃

)

、

(

3_{2 , 6}

)

及 0 , 12 ， 將這些頂點的坐標分別代入 f x , y ＝ 100 x ＋ 30 y，求得 f 8 , 0 ＝ 800 f

(

10_{3 ,} 7₃

)

＝1210₃ f

(

3_{2 , 6}

)

＝330……最小 f 0 , 12 ＝ 360 所以每人每週應吃甲種食物 3 2 公斤、乙種食物 6 公斤，始能維 持最低營養標準，而費用是 330 元為最少。 某汽車公司有 A、B 兩家裝配廠，生產甲、乙兩種不同型的汽車，若 A 廠每小時可完成 1 輛甲型車與 2 輛乙型車；B 廠每小時可完成 3 輛甲 型車與 1 輛乙型車。今若欲製造 40 輛甲型車與 20 輛乙型車，應如何 分配工作，方能使工作總時數最少？

由例題11 及例題 12 的討論，我們可以歸納出線性規劃應用問題求解 的一般步驟如下： 將題目資料列成簡明的表。 以聯立不等式表示題目的限制條件。 圖解聯立不等式，即畫出可行解區域，並求出各頂點的坐標。 依題意列出目標函數 f x , y 。（f x , y 為 x、y 的一次函數） 求得可行解區域頂點坐標所對應的目標函數值，依題目所問，以 這些目標函數值中的最大或最小者為其解。 4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃

習題

_4-3

 在直角坐標平面上，圖示下列各二元一次不等式的解： x － 2 y ＋ 1 ＞ 0 2 x ＋ 3 y ＞ 0 －2 x ＋ y ＋ 4  0  試判別下列各組點在直線 L：3 x － y ＋ 4 ＝ 0 的同側或異側： A 3 , － 4 、B 7 , 2 C － 2 , 3 、D 2 , 5  圖示下列各二元一次聯立不等式的解： 2 x ＋ y － 3  0 x － 2 y ＋ 1 ＞ 0 x ＋ y － 3  0 3 x － 2 y ＋ 1  0 y  4  在受制於 x  0 y  0 2 x ＋ y － 2  0 x ＋ 3 y － 3  0 的條件下，求函數 f x , y ＝ 3 x － y 的最大值。  在受制於 x  0 y  0 3 x ＋ y  9 x ＋ 2 y  8 4 x ＋ 3 y  22 的條件下，求函數 f x , y ＝ x ＋ y 的最小值。

 兩種款式毛線織成的手套，甲款式用紅色毛線50 公尺，白色毛線 40 公 尺，可賺50 元；乙款式用紅色毛線 20 公尺，白色毛線 40 公尺，可賺 30 元。現有紅色毛線 900 公尺，白色毛線 1200 公尺，若毛線全用來織 甲、乙兩款式手套，最多可賺多少元？  一農民有田地 5 甲，手頭資金 48000 元，依他的經驗，在他的田地上 種水稻，每甲每期產量為 8000 公斤；種花生則為 2000 公斤。但種水 稻成本每甲每期為 16000 元；花生為 4000 元。今稻米的收益為每公斤 2.6 元，花生為每公斤 6.5 元，則這農民該種水稻與花生各若干甲，才 可得到最大收益？ 4-3 二元一次不等式的圖形及線性規劃

4-1重點

 設 a、b、c 為實數

三一律：「a ＞ b」、「a ＝ b」、「a ＜ b」三式中恰有一式成立。 遞移性：若 a ＞ b 且 b ＞ c，則 a ＞ c。 加法律：若 a ＞ b，則 a ＋ c ＞ b ＋ c。 乘法律： 若 a ＞ b 且 c ＞ 0，則 a×c ＞ b×c。 若 a ＞ b 且 c ＜ 0，則 a×c ＜ b×c。  設 x 為實數，a 為一正數，則 │x│＜ a － a ＜ x ＜ a。 │x│＞ a x ＞ a 或 x ＜－ a。  設 、 為二實數且 ＜ ，則 x － x － ＞0 之解為 x ＞ 或 x ＜ 。 x － x － ＜0 之解為 ＜ x ＜ 。

 一元二次不等式的解法： 設 a、b、c 為實數且 a ＞ 0。 判別式 二次不等式的解 y ＝ ax 2_{＋ bx ＋ c} 圖形（a ＞ 0） b2－4 ac ＞ 0 b2－4 ac ＝ 0 b2－4 ac ＜ 0 設 、 為 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 之 二 根，且 ＜ ，則 ax2＋ bx ＋ c ＞ 0 之解： x ＜ 或 x ＞ ax2＋ bx ＋ c  0 之解： x  或 x  ax2＋ bx ＋ c ＜ 0 之解： ＜x ＜ ax2＋ bx ＋ c  0 之解： x  設 ax2＋ bx ＋ c＝ a x － 2，則 ax2＋ bx ＋ c ＞ 0 之解： 不等於 的所有實數 ax2＋ bx ＋ c  0 之解： 所有實數 ax2＋ bx ＋ c ＜ 0 之解： 無解 ax2＋ bx ＋ c  0 之解： x ＝ ax2＋ bx ＋ c ＞ 0 之解： 所有實數 ax2＋ bx ＋ c  0 之解： 所有實數 ax2＋ bx ＋ c ＜ 0 之解： 無解 ax2＋ bx ＋ c  0 之解： 無解 不等式及其應用

《註》設 a、b、c 為實數，則不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞ 0 恆成立的條件 為 a ＞ 0 且 b2－4 ac ＜ 0；又不等式 ax2_{＋ bx ＋ c  0 恆成立的} 條件為 a ＞ 0 且 b2－4 ac  0。 4-2重點  算幾不等式： 設 a₁，a₂，…，a_n 均為正數，則 a₁＋ a₂＋…＋ a_n n  n a₁a₂…a_n。 上式等號成立的條件為 a₁＝a₂＝…＝a_n。  柯西不等式： 設 a₁，a₂，…，a_n 及 b₁，b₂，…，b_n 為 2n 個實數，則 a₁2＋ a₂2＋…＋ a_n2 b₁2＋b₂2＋…＋ b_n2  a₁b₁＋ a₂b₂＋…＋ a_nb_n 2。 上式等號成立的條件為 a₁＝a₂＝…＝ a_n＝0，或 b₁＝b₂＝…＝b_n＝0， 或存在一實數 t，使得 b_k＝ a_kt（其中 k ＝ 1，2，…，n）。 4-3重點  二元一次不等式： a、b、c 為實數，且 a、b 不同時為 0，則 ax ＋ by ＋ c ＞ 0，ax ＋ by ＋ c ＜ 0， ax ＋ by ＋ c  0，ax ＋ by ＋ c  0， 均稱為二元一次不等式。

 設直線 L：ax ＋ by ＋ c ＝ 0 且 a ＞ 0，則 ax ＋ by ＋ c ＞ 0 的圖形為直線 L 的右側半平面。 ax ＋ by ＋ c  0 的圖形為直線 L 的右側半平面及直線 L。 ax ＋ by ＋ c ＜ 0 的圖形為直線 L 的左側半平面。 ax ＋ by ＋ c  0 的圖形為直線 L 的左側半平面及直線 L。  設直線 L：y ＝ k（垂直 y 軸），則 y ＞ k 的圖形為直線 L 的上方半平面。 y  k 的圖形為直線 L 的上方半平面及直線 L。 y ＜ k 的圖形為直線 L 的下方半平面。 y  k 的圖形為直線 L 的下方半平面及直線 L。  設直線 L：ax ＋ by ＋ c ＝ 0 及 A x₁, y₁ 、B x₂, y₂ 兩點，則 A、B 在 L 的異側 ax₁＋ by₁＋ c ax₂＋ by₂＋ c ＜ 0 A、B 在 L 的同側 ax₁＋ by₁＋ c ax₂＋ by₂＋ c ＞ 0  二元一次聯立不等式的圖解： 二元一次聯立不等式的圖解為各二元一次不等式圖形的共同部分。  線性規劃所探討的是「在二元一次聯立不等式的條件下，求得一個一 次函數的最大值或最小值」，這組二元一次聯立不等式稱為限制條件， 而待求最大值或最小值的函數稱為目標函數。  線性規劃問題中，滿足限制條件（即一組聯立不等式）的解稱為此問 題的可行解，又可行解所成的區域，稱為可行解區域。在可行解區域 內，使目標函數 f x , y 有最大值（或最小值）的這種點 x , y ，稱為此 問題的最佳解。 不等式及其應用

 線性規劃問題求解的一般步驟： 將題目資料列成簡明的表。 以聯立不等式表示題目的限制條件。 圖解聯立不等式，即畫出可行解區域，並求出各頂點的坐標。 依題意列出目標函數 f x , y 。（f x , y 為 x、y 的一次函數） 求得可行解區域頂點坐標所對應的目標函數值，依題目所問，以 這些目標函數值中的最大或最小者為其解。

（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）  滿足不等式 3 2 x－5  5 x ＋ 11 的最小整數 x 為 － 5 － 4 －3 － 1。 【4-1】  已知不等式 ax ＋ 5 ＞ 3 x － 10 的解為 x ＜ 3，則 a 值為 6 2 －6 － 2。 【4-1】 《提示》原不等式移項整理得 a － 3 x ＞－ 15，因其解為 x ＜ 3， 故知 a － 3 ＜ 0。  滿足不等式│3 x － 2│ 5 的整數 x 共有 4 5 6 8 個。 【4-1】  不等式 3 x2－_{2 x － 8  0 的解為  － 2  x  43} x 4₃ 或 x － 2 － 4₃ x  2  x  2 或 x － 4₃。【4-1】  不等式 9 x2－_{6 x ＋ 1 ＞ 0 的解為  全部實數 x ≠ 13 的任意實數} x ＝1₃  無解。 【4-1】  設 k 為一實數，若 x2＋ kx ＋ 9  0 對所有實數 x 均成立，則 k 的範 圍為 k  3 或 k － 3 － 3  k  3 － 6  k  6 k  6 或 k － 6。 【4-1】  不等式│_{2 x － 5│＜│x ＋ 4│的解為  13 ＜ x ＜ 9} x ＞ 9 或 x ＜1₃ －_{4 ＜ x ＜ 52 x ＞}5 2 或 x ＜－ 4。 【4-1】  設 a、b 為實數，若不等式 ax2－_{4 x ＋ b ＜ 0 的解為 － 12 ＜ x ＜}5 2， 則 a ＋ b 的值為 － 1 8 － 16 － 14 － 12。 【4-1】 不等式及其應用

（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）  不等式 x  24 － 10 x2 的解為  － 3 2  x  85  x  85或 x －32  x 3₂ 或 x －8₅ － 8 5  x  32。 【4-1】  設 x ＞－ 2，則 x ＋ 4 ＋ 9 x ＋ 2 的最小值為 12 10 9 8。 【4-2】 《提示》x ＋ 4 ＋ 9 x ＋ 2＝

[

x ＋ 2 ＋ 9x ＋ 2

]

＋2，利用算幾不等式 先求 x ＋ 2 ＋ 9 x ＋ 2 的最小值。  設 a、b 為二正數，若 3 a ＋ b ＝ 12，則 ab 的最大值為 12 10 9 8。 【4-2】

 若二正數 x、y 滿足 x ＋ 4 y ＝ 40，則 log x ＋ log y 的最大值為 1

2 3 4。 【4-2】  設 a、b、c 為正數，則 b a＋ cb ＋ ac 的最小值為 1 2 3 3 3。 【4-2】  設 x、y 為正數，若 xy2＝8，則 x ＋ 2 y 的最小值為 8  6 4 3。 【4-2】 《提示》x ＋ 2 y ＝ x ＋ y ＋ y  設 a、b 為二實數，若 a2＋ b2＝20，則 a － 2 b 的最大值為 20 15 12 10。 【4-2】  設 為任意角度，則 12sin － 5cos 的最小值為 － 13 － 12 －10 － 9。 【4-2】  設 a、b、c 為實數，若 a ＋ 2 b ＋ 2 c ＝ 12，則 a2＋b2＋c2 的最小值為 20 18 16 15。 【4-2】

（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）  二元一次不等式3 x ＋ 2 y  12 中 x、y 均為正整數的解共有 8 9 10 12 組。 【4-3】 《提示》分 x ＝ 1，x ＝ 2，x ＝ 3 三種情形討論。  下圖所示的藍色區域為下列哪一個不等式的圖形？ x － 2 y － 2  0 x － 2 y － 2  0 2 x － y ＋ 2  0 2 x － y ＋ 2  0。 【4-3】  下列哪一組聯立不等式的解為右圖的藍色區域？  x ＋ y － 2  0 2 x － y ＞ 0 y ＋ 2  0  x ＋ y － 2  0 2 x － y ＜ 0 y ＋ 2  0  x ＋ y － 2  0 2 x － y ＜ 0 y ＋ 2  0  x ＋ y － 2  0 2 x － y ＞ 0 y ＋ 2  0 。 【4-3】  下列哪一點與點 2 , － 1 在直線 L：2 x － 3 y － 5 ＝ 0 的同側？  1 , 2  2 , 1  －1 , － 3  －2 , 0 。 【4-3】  在坐標平面上，滿足不等式組 x ＋ y － 2 x － 2 y － 2 x  2 的區域面積為 12 15 16 20。 【4-3】 不等式及其應用

（ ） （ ） （ ）  在 x  0，y  0 x － 2 y － 2 2 x ＋ y  6 的條件下，f x , y ＝ x ＋ y 的最大值為 5 4 3 1。 【4-3】  在面積3000 平方公尺的建築用地上，以不超過 2000 萬元的建築經費建 造甲、乙兩種不同形式的住宅，已知甲種每戶占地 200 平方公尺，造 價400 萬元，可獲利 200 萬元；乙種每戶占地 300 平方公尺，造價 100 萬元，可獲利 250 萬元。那麼在此建地建築甲、乙兩種住宅，總共最 多可獲利多少元？ 1000 萬  2500 萬  2600 萬  3000 萬。 【4-3】  某麵包師傅受僱製造 A、B 兩種餅乾，其酬勞每單位分別為 300 元和 200 元。已知一單位 A 種餅乾需要 1 公斤的花生與 0.3 公斤的核桃； 而一單位 B 種餅乾需要 0.4 公斤的花生與 0.4 公斤的核桃，如果這個 師傅的手上只有 6 公斤的花生以及 3.2 公斤的核桃，則他製造 A、B 兩種餅乾最多能獲得多少酬勞？ 2400 2200 1800 1600 元。 【4-3】