中學生通訊解題第五期參考解答與評析
問題編號89501
聽北市立建餾窩級中學
n 為比:大的正季農轍，試證胡立"-1
蓮香考解答: (1)設立"一 l 為完全平方數，則存在→緝整數 a ' 使 T 一 l 品。2 思路。立為奇數，所以 α 為脊數 設 G 站立k+ 1
'其中 k 為整數 。 2 =4k2
+ 尋k+1
無tJ 2"一 l 器材立+敘 +12" =4e +4k+2
2"-\ =2e +2k+l
偶數喘奇數，不成立 所以報設 r … 1 為完全平方數不成立2"
-1 不是完全平方數 (2) 設 2" 一 l 爵完全立方數，真!J存在一個瞥數 a ﹒帶2"一 1=a
J 語言露正為苦于數，所以α為奇獸 ! a'-a 刊為奇數2" =正 +1
=(a+
l)(a'
-a+ 竹!a' -a+
1 為 r 的問數 ?專輯 r 有奇數間數，不成立 所以 1假設 2" -1 為完全立方數不接立 故得證 r 叫 l tf2不是完全立方數 評析: (1) 此聽話先要看學弦是否會期里證j去，陣和唱完全平方及立方和等三學本乘法公式， {設簡單的判別奇鶴。 (2) 發答者中! ~t 市永古國中蓋益主義同學答閥清楚巖鐘，值得鼓勵。 (3) 本是要發答人數共有 251 人，平均得分為 5.54 分，得分率室主 78% 。 荷超編號89502
容一個數列共有 n 項，此數判中任 i可 7 個連續明之和軍是負數，任{月 11 個連纜頃之和科學教育舟子IJ 第 230 緝 令攀民噩八十九年五丹 都是正轍。試求灘是上述接件的 n 值中最大鑄多少? 參考解答: 解…: 設此數列媽吭，肉，吭，...， an Jα.+ 。恥，+。川 +...+α.+6
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0
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1,
2
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(1)
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3 ...(2)
EÉ (l)，(2) 叫你φ7+a
k 即由第8 ，任意連續 4 項和皆爵王數•.. ..
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a關 +all
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a.+a.+a9 ' -10 ' -11 ' -12 '
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>0 如此類推 al2
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:今 α11+α12
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又當 n 汶口時 I
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0
之今
a 14 +
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+
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+
a
l1<
0
自指論 (a);"i予盾 故 n<17
I 即最多為 16 解之: 5 ，5 ，-13 ，5，5 ，5戶口，5 ，5戶口，5 ，5 ，-13 ，5 ，5 ，5，-13 ，5 ，5 鑄議定將聽{操持之數粥 其長度為 16 令 Sn 表示與辛苦上攏，挂蠶的 n 項實數列 '於f是本題答案就是 16 項 如果 SI7 ，令。 α11 表示 SI1的各項 a.+ α +a， + α +a. 1 ' -2 ' - ) , -4 ' -3 ' -6 ' -7 -+a. +a.
< υ ~a2
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<
U中學生通訊解過黨五期參考解答典詩析 故所有真有 17 項或以上的都不合 ， n==16 皇宮寫照求 :1.本題寫數到組合聞聽，難度較高，如果依照思囂的{躍投及嘗試組合驗證'相信函、能 掌握解題關鍵。 2. 吾吾答中以北市永宙閩中麓紐飽問學表達完整， 林閩中單草盔、台北縣新路聞中舉之畫、輯和關 級鑫亟主同學。 3.本題參答人數共有做人，平均得分冕 5 .3 5 分， ，此外答題優良者有影化鼠 、高雄市踢明盛小六年 76% 。 設有四個數 l， a， b， c
(1
<α <b< 州，現在將這四個數關隅相加構成六個不同的數， 此六鶴數由小到大顧序撐到會形成一館等差數列，亞和為 201 。試求 a， b， c 之{噩 o 參考解答: 由饒件知其禱薄之和為六鵲數，有如下之罷語式:(1
l+bl
a+b<a+c<b+c
l+b<a+b
I+c<a+c
扭轉 l+c 和 a+b 的大小欄係可分為兩種情說:(1)
l+a<l+b<l+c<a+b<a+c<b+c
由導差數勢，詮續得知:(b+c)-(a+c)
=(
a+ c)
…(a+b)
==(a+b)
-(1 +
c) 認 k.El
P
b-a=c-b= α +b 叫 C 一 l 口 kb a+k'
c=b+k==( α +k)+k== α +2ka
+ ( a + k) - ( a + 2k)
…1
k
於是 a=2k+l '
b 口 3k+
1 '
c 話叫什 艾六錯數之和為 201:. 3(
a
+ b +
C+
1)
=
201
a+b+c=66
(2k+l)+(3k+l) 叫 4k+
1)
=
66
=>
k
=
7
故 α=15 '
b 耳泣 ， c 說 29(2) 1
+ a
<
1
+ b
<
a
+ b
<1
+ c
<
a
+ c
<
b
+ c
科學教育月刊 第 230 期 中箏氏闋八十九年五月 頗 f~峙，可得 a= 詣 'b=19'c 話 37 1.本麗的解錯重點根據 1 均與計b 的大小分成扭。<l+b<a+b<l 句〈針斜斜c 與 l+a<1 吟<1 付 。+妒。+斜斜c 爾個情形。
2
評析:1.柯有一半的答題者(約 5引1%呦)考喝囉曾堅、到棍據 1+村C 與 α肘+b 的大小3來乾分戒兩種情形去討論， r!t幾乎都能解出 a， b， c 0 月安全也有接近一半的答聽者(48%)只考暉了一種情形，制解 a， b， c 的答案。另一方麓，答題者都能利用等直受歡列的定義去解。'， b， c 的錯， 雖然盟中教替中互之學二元…次聯立方程組，但答聽這首都能誰讓解法去靜氣 b， c 2. 本錯的書答人數共有 97 人，答對的苦的人， 問題編號89504
4.12 分，得分率為 59%0 有三三個正數它們的乘積為 1 '且此之數的和大於它酷的劉數租。試證明:這三錯正數中 吾吾考解答: 說此乏正數為 a ， b ， c1
1
abc
=
1 且 α +b+c> …十 γ+ … a 0 C (a … l)(b 一 1)(c -
1)
=
abc
…(
ab
+
bc
+
ca)
+ (
a
+
b
+
c) 一 l= (
a
+
b
+
c) - ( ab
+
bc
+
ca)
Gb+bc 今 ca=
(a+b+c) 一，aoc
1 1
=
(a+b+c) … f一+-:-+..2-)>0a
0c
a- l. b-l ， c-l 主數[扣有一個正數或三個都為正數 如果三三個都是正數，則 a ， b ， c 都比 1 大與 abc= 1 不合 所以三三個都是正數不成立 。一 l ， b- l， c-l 三數中{含辛苦…館正數NP
a ,
b
， c 三數中信有一數大於 1 評析:1.本題分數的給法為: 5 分或試上者基本上接認為答對， 5 、 6 、 7 分三等院 4 分或以下者點為部分艷( 其答題的品質， 中著明顯瑕 5克者)中學生通訊解是章第五期參考解答與符析 2. 參2害者中以北市師大階中護主去， ~t縣秀踏國挂盤吏，北市敦化閩中蓋蹺囊，永 首屆中蓋盤盤，仁愛盟中盤寰缸， ~t縣福營廳中還盤麓，新莊蜀中星之三章，才〈和 閩中屋盔，中互關中單皇靈1 、量監萃，基隆三倍圈中選圈中， 0 ~t 縣江翠翱中還遷 至，秀緯國中鑫主攏，北市金華閣中整盟主、拉獲堂，再興中學矗墓盤，北縣竹 林中學道主盤，土域中 lE 閣中是聽霆，東海中體扭捏笠， ~t 市民生躍中麓率達、 盤盤蓮、盟隨盔、聽蓋率、還盤盤， ~t 市南門蜀中奎蛙笠， ~tÍ量翻中瓷霆題， 市陽明齣小鑫亟卒，轟甫銘傳關中江藍豔。 3.本是麗蓮表達人數共有 131 入，平均得分聽 4.88 分，得分率為 70% 。 問題編號
