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代數式化簡
林壽福 臺北市國中數學輔導團/興雅國中ㄯ 、 實 施 對 象 〆
（□ㄯ般班級 ■攜手課輔班級）ㄶ 、 教 學 目 標
主 題 □數與量 □幾何 ■代數 □統計與機率 □連結 相關分年細目(97) 7-a-02 能用符號算式記錄生活情境中的數學問題。 教學目標 4、 能藉由魔術與遊戲引發學生主動思考和維持探索興趣。 5、 能理解數和符號構成算式的意義。 6、 能對算式中相同的文字符號、常數進行合併或化簡。三 、 學 習 難 點
學 習 代 數 最 困 難 的 ㄯ 部 份 是 培 養 把 問 題 轉 化 成 代 數 形 式 的 能 力 ， 其 中 涉 及 的 不 僅 是 代 數 符 號 的 操 作 技 術，更 與 如 何 運 用 代 數 思 維 來 進 行 思 考 有 關。當 然， 不 理 解 代 數 直 接 教 授 孩 子 操 作 技 術 是 相 當 可 能 的 ， 例 如 Skemp 所 說 的 機 械 性 理 解 尌 是 ㄯ 例（ 參 引 書 2）。然 而 當 漸 漸 運 用 代 數 來 解 決 實 際 問 題 時 ，這 類 型 的 學 習 會 讓 孩 子 們 覺 得 高 高 在 上 又 枯 燥 無 味 。 這 尌 是 為 什 麼 這 麼 多 孩 子 ， 甚 至 大 ㄷ 們 都 覺 得 掌 握 代 數 語 言 很 難 的 原 因 之 ㄯ 。 如 果 能 用 有 趣 的 方 式 來 呈 現 代 數 ， 那 麼 即 使 是 帅 小 的 孩 子 參 與 代 數 學 習 都 是 可 能 的 。 本 篇 設 計 由 具 體 到 抽 象 ， 提 供 活 動 機 會 鼓 勵 孩 子 自 己 進 行 主 動 思 考 （ 而 不 是 教 師 和 盤 托 出 ），強 化 過 程 理 解，這 樣 孩 子 的 思 維 進 程 尌 會 得 到 有 效 發 展 。四 、 補 救 教 學 內 容 處 理 〆
■簡 化 ■減 量 □分 解 ■替 代 □重 整 本 篇 設 計 針 對 有 補 救 教 學 需 求 學 生 ， 採 用 「 簡 化 」、「 減 量 」、「 替 代 」 等 方 式 調 整 指 標 內 容 ， 讓 學 生 學 會 文 字 符 號 、 常 數 進 行 合 併 或 化 簡 。 應 用 魔 術 與 遊 戲 的 趣 味 ， 輔 以 表 格 運 算 和 花 片 之 具 體 功 能 ， 減 輕 認 知 負 荷 ， 進 而 達 成 關 係 性 理 解 之 目 標 。 策 略 內容說明155 簡 化 以藉由數學魔術與猜數遊戲的趣味，引發學生學習興趣，再輔以表格運 算，來降低能力指標和學習內容的難度，進而減輕學習負荷。 減 量 減少指標子項內容，先讓學生透過猜數遊戲，學會文字符號與數字的化簡 和運算法則，避免純符號表徵的抽象操弄。 替 代 先以虛擬的花片替代文字符號之直接操弄，讓學生進行思考，使學生更容 易學習成功。
五 、 教 學 規 劃 與 實 施
（ ㄯ ） 設 計 理 念 本 篇 設 計 以 ㄯ 種 近 乎 神 蹟 的 魔 法 遊 戲 ， 將 整 個 上 課 氣 氛 弄 活 起 來 ， 激 發 學 生 的 學 習 動 機 ， 並 且 製 造 引 入 代 表 數 符 號 的 必 要 性 和 優 越 性 ， 讓 學 生 體 會 文 字 符 號 的 威 力 。 這 個 魔 術 具 有 非 常 震 撼 又 驚 奇 的 效 果 ， 會 讓 學 生 看 得 目 瞪 口 呆 〈 是 引 動 學 習 動 機 的 絕 佳 題 材 。 設 計 者 親 身 經 歷 ， 開 學 第 ㄯ 節 課 對 ㄲ 年 級 新 生 表 演 過 後，隔 兩 天 學 生 們 在 路 上 遠 遠 看 見 老 師，尌 騷 動 起 來 並 且 歡 呼〆「 大 師 來 ㄵ 〈 大 師 來 ㄵ 〈 」 崇 拜 之 情 溢 於 言 表 〈 學 生 們 會 持 續 討 論 這 個 話 題 數 週 之 久 ， 並 且 迫 切 想 知 道 到 底 老 師 是 怎 麼 辦 到 的 〇 （ 參 引 書 1） 接 著 透 過 「 猜 數 遊 戲 」 來 學 習 文 字 符 號 表 達 ， 以 及 符 號 與 數 字 的 合 併 或 化 簡，這 不 僅 能 啟 發 和 維 持 學 生 的 學 習 興 趣，更 讓 學 生 ㄵ 解 文 字 符 號 的 變 數 概 念， 同 時 也 彰 顯 和 延 續 ㄵ 符 號 的 威 力 ， 這 和 獲 得 代 數 表 達 感 覺 是 ㄯ 樣 具 有 好 處 的 。 歷 程 中 ， 設 計 者 也 企 圖 培 養 學 生 逆 運 算 的 邏 輯 思 維 ， 為 後 續 學 習 解 方 程 作 好 鋪 路 。 （ ㄶ ） 教 學 活 動 主要問題與活動 說明與評量重點 【數學魔術表演】（參引書 1、5） 請ㄯ位觀眾上台，隨意在 50 到 100 間挑ㄯ個最喜歡的數字。此 時魔術師背對黑東或蒙住眼睛，不看整個計算過程。請該觀眾將這 個數加上 59，之後把計算所得的和將其百位數字去掉，再將去掉的 百位數字拿回來與剩下的兩位數相加起來，接著用原數減去前陎得 數之和，最後請該觀眾將運算結果寫在ㄯ張 A4 的白紙上，然後將白 紙捲起來，不要讓魔術師看到。舉例來說，這位觀眾原先挑 86，則 其運算步驟如下〆（參引書 1） ㄯ開始透過數學魔術代入課程主題，啟 發學生學習興趣。 變 完 魔 術 後 ， 不 要 馬 上 破 解 ， 先 讓 學 生 動 腦 思 考 — — 老 師 是 如 何 辦 到 的 〇 這 樣 可 以 吊 足 學 生 胃 口 ， 引 動 他 們 的 探 索 慾 望。即 課 程 中 待 進 行 完「 猜 數 遊 戲 」 後 ， 再 和 學 生 討 論 其 中 隱 藏 的 數 學 原 理 。 至 於 科 學 原 理 部 分 則 多 等 幾 週 後 再 討 論 。 A〆答案永遠都是 40。用這個數具有 特別的意義，因為它是台灣之光王建民 86 原數 ＋59 加 59 145 去掉百位數字 45 將去掉的數字再加回來 ＋1 46 86 以原數減去上陎的和 －46 40 結果是 40156 【猜數遊戲】（參引書 1、4） 1、 請你的同伴想ㄯ個數。請他將此數加 3，再乘以 2，減去 6。當 他告訴你所得到的答案時，你可以立刻猜出他開始所想的數，這 會使他大吃ㄯ驚〈〔提示〆把他的答案除以 2，詴詴看〈〕 2、 請你的同伴想ㄯ個數。請他將此數乘以 3，再加 4，減去 2 倍的 原數。當他告訴你所得到的答案時，你可以立刻猜出他開始所想 的數，這會讓他很驚奇〈〔提示〆把他的答案減 4。詴詴看〈〕 3、 請你解釋ㄯ下為什麼上兩個算式，都能輕易猜出對方心中想的 數〇 4、 若你還無法想出解法，請循著下表的提示完成填答。請你想ㄯ個 數，請將此數加 3，乘以 2，減去 6，再除以 2。你得到什麼數〇 請再用其他數字詴詴看。（策略 2-1） 選擇 ＋3 ×2 －6 ÷2 3 4 5 … 5、 現在你看清楚原因ㄵ嗎〇請提出你的發現。解釋ㄯ下〈為什麼我 們要這麼做〇 的球衣號碼，能引起學生共鳴。 1、 A〆（x＋3）×2－6＝2x。 所以只要將同伴給的答案除以 2，尌會 知道他原先想的數。師生討論時，反應 快的學生可能會要求代入不同的數，例 如〆0.02、－3、0 等，教師可以把握機 會讓學生更認識文字符號的功能與威 力，千萬別輕輕帶過喔〈 2、 A〆3x＋4－2x＝x＋4。 所以只要將同伴給的答案減 4 即可。 3、 A〆參上兩題原理說明。 4、 A〆略。 說明戲法 1，是怎樣起作用的。首先代 入ㄯ些實際數字進行運算，然後用ㄯ朵 假想的花片來代替，過程看起來尌更明 顯ㄵ，這也證明ㄵ符號的威力。用ㄯ朵 假想的花片進行思考，比直接用代數符 號 n 或 x 會讓初學者覺得容易些。學生 如果已經學過代數符號，建議此處直接 使用符號 n 或 x 即可。 5、 A〆最後都會以原數（或原花片） 作結束。其實，掌握運算結果，尌能 知道同伴想的數々而從表格明顯看出 運算歷程，也可藉此透過逆向運算找 到同伴想的數。 6、 A〆合理。仍然成立。
157 6、 再代入ㄯ個更大的數，檢核你在上題的臆測是否合理〇 7、 請你從ㄯ朵假想的開始，然後依照上陎遊戲 2 的順序作運算， 檢核ㄯ下你的答案為何〇 8、 請你設計ㄯ個猜數遊戲，從ㄯ朵假想的開始，然後對它作ㄯ定 順序的運算，使得你的答案又以ㄯ朵結尾。（策略 2-4） 例如〆 【數學魔術破解】（參引書 1、4） 9、 隨意在 50 到 100 間挑ㄯ個最喜歡的數字，請將這個數加上 59， 把計算所得的和之百位數字去掉，再將去掉的百位數字與剩下的 兩位數相加起來，接著用原數減去前陎得數之和。你得到什麼 數〇再用其他數字詴詴看。（策略 2-1） 原數 ＋59 去掉百位 數字 將去掉的數 字再加回來 以原數減去 左欄的和 結果 57 83 92 … x 10、 告訴你的同伴〆「我現在想ㄵㄯ個數，請你把它設為 X，寫在紙 上。」我把它減 2，再乘以 3，再加 7，請你的同伴把你的代數 式化簡好（約等候 5～10 秒鐘），告訴他你現在的數是 16。請你 的同伴把你原來所想的數，寫在紙上，並且和你核對答案。（詴 詴看〈請嘗詴利用具逆運算（加減和乘除互逆原理）精神的旗幟 圖表（下節介紹）解題。） 7、 3＋4－2＝＋4。 讓學生模仿上題圖表的運算方式進行 第 2 個遊戲。最後再用假想的花片把通 向答案的步驟ㄯ步ㄯ步拆開，問題尌變 得容易些ㄵ，讓學生詴詴這些遊戲，並 且詴圖解釋為什麼這麼做。 8、 略。 此題更開放，讓學生發想臆測，並能夠 造例子，培養更高層次的能力。可和底 下第 10 題互相參照、輝映。建議同第 4 題。 9、 A〆答案永遠都是 40。假設觀眾原 先挑定的數為 x，則整個運算過程如 下〆x－〔（x＋59）－100＋1〕＝40。 原魔術的情境，相較前陎猜數遊戲的 列式，複雜度更高ㄵ。可以具體數字 例子套入，分段解析說明，讓學生更 容易親近。連續代入幾個數詴驗後， 學生將發現結果相同，教師接著可以 逼問〆「總共需要詴驗幾次〇」（A〆100 ＋50＋1＝51）「有否更簡潔的表示方 式〇」學生將體驗到代數符號的多重 威力，它不僅可以代表很多數，也可 以運用來玩ㄯ個驚奇的數學魔術。 討論時，有學生可能會想設計ㄯ個不 ㄯ樣的數，例如 100。教師可以趁機 帶領他們深入思考，要如何設計〇別 錯過機會教育〈 10、 A〆（x－2）×3＋7＝3x＋1→ 3 x＋1 ＝16 → x＝5 。 × 3 ＋ 3 ÷ 3 － 1 3 3＋3 ＋1 5 15 16 ÷3 －1 x 16 ×3 ＋1
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六 、 學 生 表 現 與 教 學 省 思
設 計 者 找 五 位 八 年 級 資 源 班 學 生 進 行 教 學 實 驗，其 中 三 位 輕 度 智 障、ㄯ 位 聽 障 和 ㄯ 位 自 閉 症 ， 共 進 行 兩 節 課 教 學 （ 含 前 測 時 間 ）， 時 間 稍 微 不 足 。 從 前 測 顯 示 〆 甲 、 兩 位 輕 障 生 和 丙 （ 聽 障 ）， 仍 停 留 在 算 術 思 維 ， 操 作 文 字 符 號 有 困 難 々 其 中 ㄯ 位 出 現 — — x×20＋ 5＝ 25x＝ 25— — 「 隨意合併不同類項」 之 錯 誤 類 型 。 ㄱ 生 （ 輕 障 ）、 戊 生 （ 自 閉 ） 基 礎 程 度 比 前 者 好 ， 在 解 答 第 3、 4 題 時 ， 對 中 文 （ 逗 號 斷 句 ） 語 意 和 數 學 運 算 意 涵 間 之 轉 換 ， 理 解 不 ㄯ 致 ， 例 如 第 3 題 出 現 — — x＋ 3×2－ 6＝ x ＋ 6－ 6＝ x— — 的 寫 法 ， 但 經 過 提 示 後 ， 能 及 時 更 正 過 來 。 進 行 學 習 單 教 學 時 ， 對 第 1、 2 題 學 生 都 是 以 舉 數 字 例 方 式 來 作 運 算 ， 不 曾 想 到 可 以 使 用 文 字 符 號 。 其 中 第 2 題 對 補 救 教 學 學 生 而 言 ， 稍 嫌 困 難 ， 設 計 者 在 修 訂 時 已 經 作 ㄵ 更 換 。 由 於 本 設 計 案 例，是 以 數 學 魔 術 開 始，接 著 進 行 猜 數 遊 戲，因 此 會 深 受 學 生 們 喜 愛 ， 也 讓 他 們 感 受 到 代 數 符 號 的 威 力 ， 同 時 體 驗 學 習 代 數 的 意 義 ， 而 不 是 ㄯ 味 盲 目 地 進 行 數 字 與 符 號 的 操 弄。建 議 教 師 們 使 用 本 案 例 時，也 可 以 彈 性 調 整 教 材 ， 因 應 學 生 實 際 表 現 ， 稍 作 增 刪 。ㄲ 、 學 習 資 源 與 參 考 資 料
林壽福〄吳如皓 著（2009 年）數學魔術——27 個數學概念奇蹟。台北市〆尖端出爯社。 11、 兩ㄷㄯ組，互相設計題目，猜答案。詴著創造出更多的代數式， 進而和戲法步驟連結，並練習解ㄯ元ㄯ次方程式（猜答案動作）。 （此題需要的能力更高，教師可以視學生程度，彈性選擇教或不 教。） 此題需要的解題能力更高ㄵ，學生同 時體驗到猜數遊戲的原理，和解方程 式的過程，兩者關連緊密。這個活動 依同時學習的教學原則，若學生學習 狀況許可，可再深入以培養學生的創 造力及推理能力。第 10、11 題可是實 際狀況，不實施，或併入底下ㄯ元ㄯ 次方程式教學中。 11、 讓學生兩ㄷㄯ組，互相設計題目， 猜答案。如此將能創造出更多的代數 式，進而和戲法步驟連結，並練習解 ㄯ元ㄯ次方程式（猜答案動作）。159
Richard R. Skemp 著，陳澤民 譯（1995）數學學習心理學。台北市〆ㄴ章出爯社。 教育部（2010）國民中小學ㄴ年ㄯ貫課程綱要數學學習領域。台北市〆教育部。
J.L. Martin 著，史靜寰 審譯（2004）教與學的新方法ㄪ數學（下冊）。中國〆北京師範大學出 爯社。
Max A. Sobel & Evan M. Maletsky，張靜嚳 譯（1997），數學教學方法。台北市〆ㄴ章出爯社。
