Chap 4
Chap 4.1
4.1.1 典型例子
■ 质线的质量 质线位于x 轴上[a,b],线密度为μ
(x) ,那么质 线的质量m＝？ ¾ 若μ
=常数，则 m =μ
(b-
a) ¾ 若μ
不一定为常数 ,怎么求？ a b (1) 分成 n个小段: 分点a =x0< x1< x2<···< xn =b 小区间[xi-1, xi]的长度Δxi= xi-
xi-1 xi xi-1(2) 求近似质量: 每一小段质量 总质量近似值
∑
= Δ = n i i i x m 1 ) (ξ
μ
(3) 求质量: 小区间最大长度 max , 则 1 i n Δxi = ≤ ≤λ
∑
= → Δ = n i i m m 1 0 lim λ ¾ 求此质量的三个步骤：分割、求和、求极限]
,
[
,
)
(
i i i i 1 i ix
x
x
m
≈
Δ
∈
−Δ
μ
ξ
ξ
■ 质点运动的路程 质点运动从时间t =a 到t =b,速度为v(t),路程＝？ ¾ 若v =常数，则路程 S =v(
b-
a) ¾ 若v 不一定为常数，则 (1) 分割：分[a,b]为小区间，分点为 a =t0< t1< t2<···< tn =b，而 Δti = ti − ti−1 (2) 求和：路程近似值 ] , [ ) ( 1 1 i i i i n i i t t t v − = ∈ Δ∑
ξ ξ i n i i n i i t t v S = Δ = Δ ≤ ≤ = →∑
1 1 0 ( ) max lim ξ λ λ (3) 求极限■ 曲边梯形的面积
若 f(x)≥0(a ≤ x ≤ b ),由曲线y =f(x ),直线x =a,
x = b及x 轴围成的图形称曲边梯形,其面积 A=? O y x a xi-1 xi b ξi ¾ 若f =常数，则面积 A =f(
b-
a) ¾ 若f 不一定为常数， (1) 分割：分[a,b] 为小区间，分点为 a =x0< x1< x2<···< xn =b，而 1 − − = Δxi xi xi(2) 求和：面积近似值 ] , [ ) ( 1 1 i i i i n i i x x x f − = ∈ Δ
∑
ξ ξ (3) 求极限 i n i i n i i x x f A = Δ = Δ ≤ ≤ = →∑
1 1 0 ( ) max lim ξ λ λ ■ 这些例子的共同点？ 求在某区间上的分布率不均匀的量 通过分割、求和(得近似值)、再求极限得到f(x)定义在[a,b],分[a,b]为小区间，分点 a =x0< x1< x2<···< xn =b，称为[a,b] 的一个分划 若∃ I ∈R,对[a,b]的任何分划和∀ξi ∈[xi−1, xi ] 所作和 ( ) ,均有 1 i n i i x f Δ
∑
= ξ I x f i n i i Δ =∑
= → 1 0 ( ) lim ξ λ (λ = max1≤i≤n Δxi ) 则称f(x)在[a,b]可积， I 称为f (x)在[a,b]的定积分， 记为∫
= b a f x dx I ( ) 上限 下限 积分 积分变量 积分微元4.1.2 定积分的定义
¾ 定积分的值与积分变量的选取无关
∫
∫
= b a b a f (x)dx f (u)du ¾ 规定∫
∫
∫
= = − b a a b a a f (x)dx 0 f (x)dx f (x)dx ¾ 几何意义：曲边图形 正 负 面积的代数和 ¾ 思考一下 定义中极限的含义 十分复杂 ！■ 常见可积函数 (1) [a, b] 上的连续函数 (2) 在[a,b]有界且仅有有限个间断点的函数 (3) [a,b]上单调有界函数 例 计算抛物线 y =x2 与直线x =1及x 轴所围成 图形的面积 ■ 不可积函数的例子 ⎩ ⎨ ⎧ = 为无理数 为有理数 函数 x x x D Dirichet 0 1 ) (
■ 药物有效度的测定 服用药物后由血液系统吸收才发生作用，临床上 药物在时段[0,T]排出，则有效药量（即总排出量) 用监测病人排尿中药物速率c(t)来确定血液中药量,若 ■ 前面几个例子 ( ) b a S =
∫
v t dt ( ) b a m =∫
μ
x dx 质线质量 路程( )
b aA
=
∫
f x dx
曲边梯形面积 0 ( ) T c t dt∫
4.1.3 定积分的性质
设 f (x), g(x)均在[a, b]可积 ¾ 线性 ∀α
,β
∈R ,α
f (x) +β
g(x) 也在[a, b]可积，且∫
∫
∫
+ = + b a b a b a[αf (x) βg(x)]dx α f (x)dx β g(x)dx ¾ 乘积可积性 f (x) g(x) ∈R[a, b] ¾ 对区间的可加性 f (x)∈R[a, b] ⇔ f (x)∈R[a, c]∩ R[ c,b] ∀c∈(a, b), 且 f x dx f x dx b f x dx c c a b a∫
∫
∫
( ) = ( ) + ( )¾ 保序性
∫
∫
≥
⇒
≥
b a b af
x
dx
g
x
dx
x
g
x
f
(
)
(
)
(
)
(
)
推论0
)
(
0
)
(
)
1
(
≥
⇒
∫
b≥
af
x
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
(
a
b
M
dx
x
f
a
b
m
M
x
f
m
b a≤
−
≤
−
⇒
≤
≤
∫
¾ 绝对可积性 ( ) [ , ], b ( ) b ( ) a a f x ∈ R a b 且∫
f x dx ≤∫
f x dx¾ 积分中值定理 若 f(x)在[a,b]连续，则∃
ξ
∈[a,b], ) )( ( ) (x dx f b a f b a = −∫
ξ 其意义是函数f (x) 的平均值 ( ) ( ) b a f x dx f b a ξ = −∫
也即 ¾ 常数的积分 ) (b a c dx c b a = −∫
例 比较下列积分的大小 dx e dx e x
∫
x∫
− 1 − 0 1 0 2 ) 1 ( 与 dx x dx x∫
∫
2 0 3 2 0 2 sin sin ) 2 ( π π 与 dx e x p n p x n n − + ∞ →∫
> 2 lim , 0 求 例 H.W 1(2) 2 (2)(3) 3我们希望解决的问题
不用定义的方式，
能否计算定积分？
Chap 4.2
若 f (x)在[a, b]可积，定义函数 称为 f (x)在[a, b]的变上限积分(或积分上限函数) ¾ 连续性
4.2.1 变上限积分
∫
∈ = Φ x a f t dt x a b x) ( ) , [ , ] ( ■ 变上限积分的性质 在[a,b
]连续 ( ) x ( ) a x f t dt Φ =∫
若 f (x)在[a, b]可积，则¾ 可微性 在[a,b]可导，且 ) ( ) (x = f x Φ′ 例 求下列函数的导数
∫
= x t dt x f 0 2 sin ) ( ) 1 ( =∫
x dt t x f 0 2 cos ) ( ) 2 (∫
+ = 0 2 2 ln(1 ) ) ( ) 3 ( x t dt x f∫
= ex x g t dt g x x f ( ) 2 ( ) , ( ) ) 4 ( 其中 连续 ( ) x ( ) a x f t dt Φ =∫
若 f (x)在[a, b]连续，则由方程
例
y
=
y
(x
)
∫
∫
+
1=
2 2 1 2cos
x y te
dt
t
dt
t
e
确定，试求y 的导数y ’(x))
1
ln(
arctan
lim
1
0 3 0 2x
dt
t
x x+
∫
+ →）
（
例 求下列极限 2 52
arctan
lim
2
0 0x
dt
t
x
x x∫
+ →）
（
例 求 =∫
x − dt t x f 1 ) 1 2 ( ) ( 的单调与凹凸性 (x > 0)H.W
5 6 (1)(2)(4)(5) 6 7 8 9
4.2.2 微积分基本定理
（Newton-Leibniz 公式） ) ( ) ( ) (x dx F b F a f b a = − ⇒∫
¾ 引进写法 ) ( ) ( ) ( ) (x dx F x F b F a f b a b a = = −∫
¾ 说明求定积分∫
b a f (x)dx f(x)的一个原函数 例 sin ? 0 =∫
π xdx 的值归结为求出 ( ) ( ) F x′ = f x f (x)在[a, b]连续■ 艾萨克 • 牛顿 Sir Isaac Newton (英格兰 1643－1727年) 物理学家 数学家 天文学家 哲学家 ¾ 炼金术士 造币厂总监 ¾ 科学史上最有影响力的人 ¾ 较之科学他更多致力于《圣经》的研究 ¾ 专心于科学研究到痴情 ¾ 性格内向 独身一生
（德国1646～1716） ■ 莱布尼兹 Leibniz ¾ 微积分的另一创始人 ¾ 预见并认真思索符号逻辑 ¾ 博览群书，涉猎百科的科学奇才 涉及数学、物理、逻辑、生物、化学、地理 解剖学、航海学、地质、语言、法学、哲学、历 史和外交等。 ¾ 一生未婚 未当教授 不进教堂
