中學生通訊解題第二十三期徵答情形
台北市立建國高級中學 數學科
區 域 學 校 姓 名 指導老師 912301 912302 912303 912304 912305 總 分 台北市 興雅國中 林昭平 X 6 7 5 2 20 金華國中 謝博丞 7 X 4 6 X 17 景興國中 顏友信 黃瓊誼 X X 7 X 2 9 積穗國中 蕭屹宏 林秀美 X 6 4 6 3 19 台北縣 江翠國中 黃俊嘉 吳明標 X X 7 X X 7 江翠國中 莊智涵 吳明標 X X 3 X X 3 江翠國中 林志嘉 高麗華 X 5 7 X 3 15 江翠國中 陳建彰 陳彩鳳 7 6 7 X 2 22 江翠國中 李孟翰 陳彩鳳 X 6 X 7 X 13 江翠國中 吳哲瑋 林正吉 7 6 X X X 13 永和國中 吳俊諭 王亮穎 X 7 5 X X 12 新莊國中 劉彥伶 林正吉 7 6 X X X 13 海山高中 江俊緯 唐家琴 5 6 6.5 7 2 26.5 基隆市 銘傳國中 楊昀達 張麗珠 7 6 X X 2 15 銘傳國中 張任鋒 宋佩玉 x x x x 2 2 銘傳國中 陳冠融 宋佩玉 x x x x 2 2 銘傳國中 馬浩鈞 宋佩玉 x x x x 2 2 銘傳國中 王健豪 宋佩玉 x x x x 2 2 銘傳國中 李孟竹 宋佩玉 x x x x 2 2 銘傳國中 程奕翔 宋佩玉 x x x x 2 2 銘傳國中 杜宇晨 宋佩玉 x x x x 2 2 銘傳國中 黃冠霖 宋佩玉 x x x x 2 2 銘傳國中 許煌鑫 宋佩玉 x x x x 2 2 銘傳國中 陳威東 宋佩玉 x x x x 2 2 銘傳國中 安真漢 宋佩玉 x x x x 2 2 銘傳國中 高恩華 宋佩玉 x x x x 2 2 銘傳國中 易啟亞 宋佩玉 x x x x 2 2 銘傳國中 鄭宇宏 劉鄭文德 X 6 X X X 6 銘傳國中 王裕仁 宋佩玉 X 6 X X X 6 銘傳國中 陳明緯 宋佩玉 X 0 X X X 0 銘傳國中 郭懿潔 宋佩玉 X x 7 X X 7 銘傳國中 邱憲永 宋佩玉 x X 3.5 X X 3.5 銘傳國中 陳玟琪 宋佩玉 X X 7 X X 7 銘傳國中 楊昀琪 劉鄭文德 X X 7 6 X 13 新竹市 光華國中 范祐維 高東獻 7 X 7 6 2 22B 1 2 3 4 A C D M N F E 5 6 7 8 答 題 人 數 7 13 15 7 21 63 全 對 人 數 6 1 9 2 0 18 平 均 得 分 6.71 5.54 5.93 6.14 2.10 26.42 提醒徵答同學們：務必以一題一張(或多張)來作答，切勿多題一張，以便使我們作業能夠更加順暢，謝 謝！
中學生通訊解題第二十三期參考解答與評析
問題編號 912301 正方形 ABCD 的 ─，─ 邊上各有一點 M，N，若∠MAN=450， 試證： DN AD BM AB AN AM 。 參考解答一： 如右圖，從 M 做一垂直線和AC相交於 E， 從 N 做一垂直線和AC 相交於 F， ∵∠1+∠2 = 450 ∠2+∠3 = 450 ∠3+∠4 = 450 ∴∠1=∠3 ， ∠2=∠4 ∴△AME~△AND DN AD AN ME AE AM DN AD ME AE AN AM … △ABM~△AFN BM AB AM FN AF AN FN AF BM AB AN AM … ∵∠5=∠6= 450 ∴ME CE AEME AECE AC ∵∠7=∠8= 450 ∴FN CF AFFN AFCF AC ∴ DN AD AC DN AD ME AE AN AM … AC BM AB FN AF BM AB AN AM … 由X得知 ) ( ) ( 2 2 DN AD AC BM AB AC AN AM ∴ DN AD BM AB AN AM 。 參考解答二： 如右下圖，連AC ，則∠1+∠3= 450，∠2+∠5=450， ∵∠1+∠2=450 ∴∠2=∠3，∠1=∠5 延長BM ，使EBBM ，連AE 則△AEB
△AMB(SAS) ∴∠3=∠4，且AE AM ，故∠2=∠4D E F 延長DN，使DF DN，連AF 則△AFD
△AND(SAS) ∴∠5=∠6，且AF AN ，故∠1=∠6 在△CEA 和△CAF 中 ∠AEC=900 -∠4=900 -∠3=∠1+∠2+∠5=∠6+∠2+∠5=∠CAF ∠AFC=900 -∠6=900 -∠5=∠2+∠1+∠3=∠4+∠1+∠3=∠CAE ∴△CEA~△CAF(AA) ∴ AC CE CF AC AF AE 故 AC CE CF AC AN AM 由 CF AC AN AM …， AC CE AN AM … X得 DN AD BM AB DF CD BE BC CF CE AN AM AC CE CF AC AN AM 2 2 。 解題重點：能畫出輔助線，並利用三角形的全等或相似求得最後結果。 評析：本題徵答人數共有7 人，其中全對者共 6 人，如徵答情形所列。平均得分為 6.71 分。其中答題優良或解法富參考價值者有江翠國中陳建彰同學、江翠國中吳 哲瑋同學、新莊國中劉彥伶同學。 問題編號 912302 △ABC 中，E，F 分別為─，─上的點，且 ─=m─，─=n─，若過 F 垂直─的直線交過 E 垂直─的直線於 P 點，過 P 作─的垂線，垂足為 D，若 ─= r─，試以 m、n、a、b、c 表示 r 。(其中─= a，─= b，─= c) 參考解答一： AP‧AB =mc2 AP‧AC =nb2 ra2=BP‧BC =(AP-AB)‧(AC-AB) P =AP‧(AC-AB)+AB‧CB = nb2- mc2+(c2+a2-b2)/2。 3 4 2 1 N M E F D C B A 6 5 A B C參考解答二： 圖如解一，設 PD=x，PE=y，PF=z PB2=x2+r2a2=z2+c2(1-m)2… PC2=x2+a2(1-r)2=y2+b2(1-n)2… PA2=y2+n2b2=z2+m2c2… 由-： x2-y2+r2a2-n2b2=c2(m2-2m+1)-m2c2 x2-y2=n2b2-r2a2-2mc2+c2… 由得 x2-y2=b2(n2-2n+1)-a2(r2-2r+1) =b2n2-2b2n+b2-a2r2+2a2r-a2… 由、得 n2b2-r2a2-2mc2+c2=b2n2-2b2n+b2-a2r2+2a2r-a2 2a2r=a2-b2+c2-2mc2+2b2n ∴r=(a2-b2+c2-2mc2+2b2n)/ 2a2。 解題重點：利用畢氏定理解等式且知道p 點可能在三角形內部也有可能在外部。 評析：本題徵答人數共有13 人，其中全對者共 1 人，如徵答情形所列。平均得分為 5.54 分。其中答題優良或解法富參考價值者有永和國中吳俊諭同學。 問題編號 912303
(1)a、b、c、d、eR，若 a+b＜c+d，b+c＜d+e，c+d＜e+a，d+e＜a+b，則 a、b、c、d、e 的 大小順序有幾種？
(2)a、b、c、d、e、f、gR，若 a+b＜c+d，b+c＜d+e，c+d＜e+f，d+e＜f+g，e+f＜ g+a，f+g＜a+b，則 a、b、c、d、e、f、g 的大小順序有幾種？
參考解答：
(1)∵ a+b < c+d，c+d < e+a => a+b < e+a => b < e … b+c < d+e，d+e < a+b => b+c < a+b => c < a … a+b < c+d，d+e < a+b => d+e < c+d => e < c … 由得知 a > c > e > b ……
∵ e+a > c+d > a+b > d+e > b+c => a > d > b … 所以由和 a、b、c、d、e 的大小順序有下列三種： if d < e b < d < e < c < a
if e < d < c b < e < d < c < a if e < c < d b < e < c < d < a
(2)∵ a+b < c+d，b+c < d+e，c+d < e+f，d+e < f+g，e+f < g+a，f+g < a+b
∴ g+a > e+f > c+d > a+b > f+g > d+e > b+c
g > b，a > f，f > d，e > g，c > e，d > b
a > f > d > b…，a > c > e > g > b… a 最大，b 最小 所以由知a、b、c、d、e、f、g 的大小順序有下列數種： ifg > d f 的排列位置有 4 種， ife > d > g f 的排列位置有 3 種， ifc > d > e f 的排列位置有 2 種，
ifd > c f 的排列位置有 1 種， 4+3+2+1=10 a、b、c、d、e、f、g 的大小順序共有 10 種。 解題重點：運用不等式及簡易的排列觀念。 評析：本題徵答人數共有 15 人，其中兩小題全對者共 10 人。第（1）題平均得分為 5.73 分，第（2）題平均得分為 6.13 分。答題優良或解法富參考價值者有江翠國 中陳建彰同學、林志嘉同學、黃俊嘉同學，海山國中江俊緯同學，銘傳國中楊昀 琪同學、郭懿潔同學、陳玟琪同學，興雅國中林昭平同學，新竹光華國中范祐維 同學，景興國中顏友信同學。 問題編號 912304 若abc0,abc，試解方程式b x2 c2 c x2b2 ax。 參考解答： b x2 c2 c x2b2 ax b=ax-c b2(x2-c2)=a2x2-2acx+c2(x2-b2) b2x2-b2/c2-a2x2-c2x2+b2/c2=-2acx x2(b2-a2-c2)=-2acx x4(b2-a2-c2)2=4a2c2x2(x2-b2) x2[(b2-a2-c2)2x2-4a2c2x2+4a2b2c2]=0 ∵b x2c2 c x2b2 ax ∴x2≠0 =>x≠0 ∴[(b2-a2-c2)2-4a2c2]x2+4a2b2c2=0 (b2-a2-c2+2ac)( b2-a2-c2-2ac)= b2-a2-c2-4a2c2 = [ b2-(a-c)2][ b2-(a+c)2]
= -(b+a-c) (b-a+c) (b+a+c) (a-b+c) >0 >0 >0 >0 x2= x = ± (負不合)。 解題重點：利用平方解含根號的等式。 評析：本題徵答人數共有7 人，其中全對者共 2 人，如徵答情形所列。平均得分為 6.14 分。 其中答題優良或解法富參考價值者有海山國中江俊緯同學、江翠國中李孟翰同學。 問題編號 912305 (1)在下列幾個由小方格組合而成的圖形中，分別有一些圓圈，試用下列的規則，將這 些圓圈連在一起。
【規則】
1. 可以從任何一個圓圈開始
2. 只能往水平方向或垂直方向走，不可往斜角方向走 3. 在任何圓圈皆可垂直轉彎但不可在空白處轉彎` 4. 不可以在剛走過的路逕就馬上又回頭走
---【第1 題】 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ---【第2 題】 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
(2)依此規則，在一個 2╳N 的方格中，圓圈應如何排列則一定可以走完？試討論之。 (N 為正整數)
參考解答： (1) 10 9 1 8 7 20 19 12 2 11 21 17 6 18 13 14 3 4 5 15 16 2 1 3 4 36 35 11 5 10 38 37 34 12 6 9 13 28 29 32 33 7 8 14 25 26 27 30 31 40 15 24 23 22 39 16 17 20 21 18 19 (2)討論在一個 2╳N 的方格中，圓圈應如何排列則一定可以走完： 先訂定名稱再進行分類討論。 《名稱》 1. 表示此格為開頭或結尾之格子，記為“●”。 2. 在任意一行中，若此行上下兩邊都有格子時，稱為“橋”，記為“”。參考圖 A。 3. 在某範圍裡，格子分布情形是重複或不需去辨認分布情形 而確定是可以走完的，記為“
〜
”。參考圖 B。 《判別》 先判別是否有孤立情形再進行下列分類。 孤立：若從其中一個格子開始永遠走不到另一個格子，則此情形 稱為“孤立”。如圖C，永遠走不到。 無孤立情形後，以●的數目來分類： 1. ● = 0 →則此 2×n 之圖形兩邊必為橋，可表示如圖 D，可以圖 D-1 方式走完。 ○ ● ● ○ ○ ● 〜
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圖 C 圖 B 圖 A 第 1 題 第 2 題2. ● = 1 →則此 2×n 之圖形另一邊必為橋，可表示如圖 E，可以圖 E-1 方式走完。 ●
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圖 D 圖 D-1 圖 E 圖 E-13. ● = 2 →則此 2×n 之圖形會有三種情形，表示如圖 F、圖 G、圖 H，分別於(a)、(b)、(c) 討論之。 4. ● ≧ 3 →則此 2×n 之圖形不可完成，表示如圖 I。 《● = 2 的討論》 (a) 圖 F：顯然有一側為橋，可以圖 F-1 方式走完。 (b) 圖 G：以橋的數目來做分類，可分為 2 類討論之。 第一類：橋=1→因為會產生 3 個頭，所以不可走完。參考圖 G-1。 第二類：橋≧2→必可走完。取出最外側的兩座橋，可以圖 G-3 方式走完。 (c) 圖 H：以橋的數目來做分類，可分為 3 類討論之。 第一類：橋=1→必可走完。可以圖 H-2 方式走完。 第二類：橋=2→不可走完。因為兩座橋會造成一上一下的走 向，而無法連通至另一端不同行的圓圈。 ●
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● 圖 I 圖 F 圖 H-3 圖 G 圖 H-2 圖 H 圖 H-1 圖 G-3 圖 G-2 第 3 個頭 圖 G-1 圖 F-1 圖 F第三類：橋≧3→必可走完。取出最外側的兩座橋與中間任一座橋，可以圖 H-5 方式 走完。 解題重點：捉到通行要點(橋)以試誤實驗方式作討論。 評析：本題徵答人數共有21 人。平均得分為 2.10 分。 ● ○
