中學生通訊解題第六期參考解答與評析

(1)

中學生通訊解題第六期參考解答與評析

問題為號

89601

聲北市立建國高級中學

三支燃燒速度均勻，的.提度不悍的燃燒棒人民c ，著支燃燒捧燃燒完躍的時間各為 55 分鐘、的分鐘、 20 分籬，三支燃燒捧可詞時燃燒也可分彈爆纜，每支燃燒捧的兩端可同時點燃成合揖點穗，則應如何安排才能使這玉女聽燒樺能直立的分鐘燃燒均每餐? 解答:1.將 C 梅爾輯與日棒一踹闊蹲點燃。 2. 待 C 燒完時，立即點燃 B 棒另一續與 A 樺的一攏。 3 符 B 捧燒宛時，立那點燃 A 棒另一轍。待 A 樺燒完時，共計費時 10+

15+ 20

=

45

(分鐘) 評析:1.本題為開放哇輯錯，解法並非唯一，但須注意題意中提未提供鑼鎮等計時工具。自行加入計時工其實非本聽聽意。 2.醫答者中拉拉市理公閩中藍藍麓，仁愛關中盟主蹺，南門關中奎望去，永吉器中蓋起鐘，北投盟中讓愛盔，中正盟中鑫皇塾，師大如中器中部蓋講3年，金華翻中童畫盟主，教化園中聽單萃，時興中學議讓籃，北縣新莊輯中皇之麓，福和攝中單晶‘ 霆，主義市二信中舉藍圖泣，鐘傳聞中挂起章，章;化鼠林閩中巍其盤，新竹光華謂中頭堡壘等，答題簡潔如蟹，值得鼓勵。 3.本聽參答人數共有 183 人，平均得分爵的4 分，得分率為 62% 0 自然數 X

₁

<X

₂

<x)<.... ﹒<X

₇

• 文 X

_j

十_X

₂

十_x)+...+x

₇

_{=2000 ' 三j( Xj+X付利的最大蟻。} 義參考解答:臨 f'*f牛疚， X

₂

_，

...， X

₆

， X，每種技醋的數比前一個數至少大 1 0 文 2000

=

X

,

+X

2 +...+几 +X

7

這_x，

_+(X

_,

_+I)+(x

_,

₊₂₎₊

_…

_+(X

_,

₊₆₎

=

7x

,

+(1

+2

+…

+6)

=

7x

j

+21

借以

收22;

故 X，的最大艦為 282 所以 2000 品 2位 +X

₂

+X

,

+",

+x

7 1718 詰 X

_{2 +X}

,

+...+X

之 X

_{2 +(x}

2

+l)+(x

2

+2)+"

,

+(x

₂

+5)

6x

2

+

(1

+ 2 + ... + 5)

=

6x

2

+ 15

X、:5 283三

7

故亮的最大個 283. -94 一

(2)

中學生通訊解題第間辦解答及許析當爪，只都敢最大續時，得到

2000

=

282 + 283 +

X

₃

十X.

+...+X

,

1435

=

X

3

+X. +X

S

+X

6

+X

7 這_X)

_{+(X) +1)+(x] +2)+(x) +3)+(x)}

_{+ 尋j}

=

5x)

+

(1

+ 2 + 3 + 4)

= 5x)

+ 10

X₃

s;

285

故爪的最大值為 285 所以 X

_j

+x

_l+亮的最大鑑為 282+283+ 路5 認 850. 評新:1.本囂的於罷目所給的{的牛非常完繫甜明攏，所以審對者之解法大致額1似 o 2. 本題解答主義點最車接的想法是:欲瘦 X

_j

+

x

₁+X) 最大峙，品須 X( 與丸之差距最小，進研括計出 X

_j

之般大{接或X

₇

之讓小體g 3發答程中，以~t市水古躍中護單麓，民生閣中農撞車、陸孟盔，教化圈中艷麗鹽，金華園中草草鐘，光梅園小塾臨鹽，基市銘傳閩中蠱議單、單握萃，北縣薪莊閣中裝之蠱，影先員林屬中盤盤盤，新甘前光華歸中盤援蠶等人答髓晶蠶較f漿。 4.本題蓮香客人數共有 227 人，平均得分數為 4.87 分，得分率為 69.57% 。跨越搗繞

89403

AABC 峙中總 AM 、角平分線 AE 、和高 AD 將 LBAC 合成 4 等分，求 LBAC 的大小。(諦

詳加說明理血) A

/

n

_M E D C 參考解答: 〈解法一〉

立自黑一黑禾λ 罵罵將角 A 作 4 等分的角必把弧 BTC 融為幸昌等的 4 等弧 e

RrJBS =ST=TU=UC

所以 SU

// BC

因為高 AU 藥產 BC 品也主義直 SU 所以線段 AS~是一棵直鎧鹿為 M 是弦 BC 的中點 T 是弧 BTC 的中點所以 TM 必通過圓心如獨(二)

T

(圈一} "、 JW AY

(3)

科學教育舟子自第 231 期中攀民國八十九年六另這就是說， TM 將與任一誼樺樹交於圈，心自為 TM 與 AS 梧交於 M 照~JM 觀，心， BC 所以角 A 為直角 o (解法二〉

a

,

ME=b

,

AD h

8 T

(圖二) 設絲路 y ， AC=x ， DC

\ 'LEAD 口 LCAD

(

) ,

LADE 品 μCD= 妙， AD=

AD

( 公共總)

:.

L1A DE 莖 L1A DC 持 AE= AC=x 墊在D=DC=a

AM 為 L1A BC 之中線=多的4 器扭 +b 要;f L1ABE 而霄 'AM 為角平分線，鹿內角平分線定理知:

AB

₌

BM

•

Y

2α +b 柵欄輛翩翩翩翩恥叮叮叮、開翩翩翩翩叫

AE

ME

x

b

對 L1A BC 諾言，

AE

平分鏢，由內角平分擺起:

AB

BE

Y

2( a

+

b)

a

+

b

ζζζζζ= τ-- ‘ ωω = 翩翩翩翩翩翩帥"﹒--= 一ω如ω叫““帥的

AC

EC

x

2a

a

2三土豆品已至=> 2a

2

品

_b

₂

=>

b

=

12a

(邊接取正號)

b

a

對 L1ADE 插言，

h 2

=

x 2 _ a 2

對

L1ADB 而言， h

2 _{[(12+ 吋…扎 212ÞÌ}

12

=

(12

+

t)

x

2 -

b

+

2./

+1212k

:.

h

2 口川

2=(3+212k;~= 0" +lþ (取正號)

對 L1ADM

那=王若÷云D. 12a+a=(占+ 1) 。

人 L1ADM 為一等髏誼角三角形，帶 LMAD 話 45。由題意知 :

LBAC

=

2LMAD 端 2x45。結 900 0 〈解法三)

LCAD= α'

LDAE

=

LEAM

=

LMAB 終 LCAD= α

AD=h ， DC 器 x'

,

ME= y'

\ . LEAD

L三CAD ( 已知) ， ζADE = LACD 盟 900

_,

_{AD= AD}

_{( 公共邊)}

:. L1A

DE ==

L1A

DC

=辛 ED 話 DC=x' AM 露 L1ABC 之中線=今 BM 口缸 '+y'

幫他必D) ， fdMzi(

(白血) ，叫=門

LJEAD)

， ω 丹:

96 一

C

(4)

中學生通訊解趨第四期解答及評析

設 x 謂之， y ==ι ，則 tanα==

x

,

tan2a

= x+ y

， tan3α 話 3x+2y

h '.

h

2tan α 2x tan2α 喘一…，喘一…，品 x+y

(1)

1-

tan' α l-x 自

2x

x+ 一一一… 甸

的n3α 叫做(2α+α)= 丘盟主tan2ι 」二L 主立，

=3x+2y

(2)

:… tanatan 2α 2x 1-3x 一

自(1)式 y== 芋i

l

…

X l 叫 x …一一

l-x'

-x'

2(x+x

3 ) .

8x'

2x+2x

J

代入

(2)式得一一…一話 3x+ …一一一一口一一-一一-;

=>

x(x. -6x

2

₊

1)

=

0

一 3x2 _l-x2 _…_3x' _一

的話 O.x' 半=叫…訕訕↓1 品 1

':0

0 _{<你〈峙。。諱。O<a< 的。帶 o <tan α<1}

所以合乎樣件之 x 結 tan α 品.J2

-1

古今 α==

tan'l x

==

22.5。

故 LBAC 謂的 z 似 22， 5。話 90。評輯: (1)此題為幾何髓，…題多解，其中參考解法…、工較簡提，解聽品價{圭解法三涉及一角醋數的能力與海算，顯示部份閣中生已有扭曲學習高中數學教材的能力。 (2) 參答者中，以花市螢構圈中盛率蹺，永三台閩中瓷盤盤，報闇中學豔矗盔，台灣師大射中鹽蠢息，北縣福和盟中蓋世L盔，新莊圈中基之盞，新竹光華盟中聽籃麓，影化員粽蜀中盤腔鞋，答緝條理分明，飽得鼓勵，特別是新莊閣中是辛棄財主種不賄方式解答。 (3)本題答題人數共有的人，平均分數為 3.89 分，得分率為 56.86% 0 時還是編號

89604

'病強黨鋪，摯友盡罩、夏迷、藍藍看了讚不緝口，金撞暗藏起其中三張，在三位華友背部各貼了一張畫(贈送) .並且要給們去猜:Ei3日背部貼的主義牡丹或薰禱。柔盤先讓益還者清夏娃、拉亟背古巴的麓，盡單看 i部委想了一下，回答?不知道 J 真沒夏誰再看另外兩人背部的葦，盡注著過後，考晶體再笠，還是搖頭。此時，秋雨心想、:前闖闖入餵慎韋思考後，都眉答不知道，我雖然未看護蓮、護注背f愛的畫畫，但我已經空白道自己背部貼的畫是牡丹戒黃幫了。請問拉圈如何揖知的? 參考解答: 1.四黃菊只有觀張，當章還看過墓罩、藍述背部的畫後，答說「不知道 J 這頃資訊告訴至在

2. 盟及靈述:

「夏盜、拉盟背詣的、畫畫作，至少…張是牡丹」 (不可能繭張都是黃聲)

(A)

、說單薄郁的讀後，仍說「不知單 J 'i這項資訊告訴監聽: r 鞋腥背部的 _J

_(B)

間為，若整車背部的聾作罷「 _{J 峙，由結論 (A) ，差遠就知道自己背後的鑫是牡丹，}

97

(5)

科學教育丹刊第 231 期中暴民聽八十九年六月不民黨答「不知道」。 3. 故懿聽背部的盞是牡丹。許軒: 1.本聽聽於這筆輯撞理問題， 6 分) ?推理不巖謹 J 只得「部分的分數 J (3分或 5 分曉「反證法 J 假設點攪背部的盡是「黃菊 J 禪放鞭所蛤蟻件，導致矛聽締槃 e 3. 有強學位朋 f 窮舉法」將三人所有的七種情形用表格列出，閥混一掛除，亦可得出:秋悶被貼的聲賠牡丹。 4. 本臘「全對 J 者中，論證儼巍、簡明者，有北縣江翠盟國中擺擺麓， ~t 甫仁愛國小蠶麓盤， ~b 市金華屬北市光纜餾小畫逗童，在市中正關中重皇室K 0 5.本體發愚人數共有犯人，平均分數搗 5 .39 分，得分率 77%0 ，福和國中望過區乏，竹市，北縣東海園中聽聽麓，

ABCD'

AB 勻， BC 吋其中 α<b' 如圈，現在我們閑下列步驟將其揭開拼成一個與風鮑彤等面積的正方形。

(1)首先求出舵正方形的禮長 c吋耳。

(2)以 8 蹲鸝心，正方荐的邊最為半徑黨關蜓，交 AD 於 E' 講 C f'乍 BE 的垂線垂足馬 F 0 (3)今洽 BE 勢下三角形 AB萃，並拼接聽聽矩形右髓，可得一體平行四邊形 EBC丸，再治 CF BCF' 莖將其拼盤在取行醫邊彤的上方，摺得一鵲路邊形 FCE丸，員古拉路建形如聽所求之正方形。 (吟誦說明這餾回邊形 FCE ， F ，即為所求的正方形。 (b)今任取兩個線段。'， b' 形成一個矩形 ABCD 且 AB=a， BC 吋，請問在何種幌件下，依上就的 3 個步驟做出與矩形 ABCD 等面積的正方形? AO A

E電

B 1 B 參考解容:

c

σ B

(母鹿躊

c

吋苔，無以如果可以說明館接影是一種邊畏為

C

FCE

_，

F，郎為所求的王方影 o c ，聽說可得出

_i

龍的議形

也

(3)可知_{LEAB=ζCFB=90'} I LABE+ζCBF=90'=LFCB十LC肘，

LABE=LFCB

0

=>AABE

州

_AFCB

_=>

_AB:BE

話

_FC:

你帶

_FC

_吋

_ab

0

(6)

中學生通訊解題第留期解答及評析拉宮躊(30 )故 LABE=LDC丸，所以正DCE

j

+LDCF=LABE+LDCF=LCBF+LDCF=90。無以自邊形 FCE]F] 路邊接 C 的正方形。 (抑著要依備區的步驟拼裝成正方形，制 F 點必讓要潛在 BEJ二，否則若 F 點落在 BE 的蘊長，則無法時得在BCF. 國此我們要找出 αb 在何種觀係下課證能使得 F 點落在 BE 上 o

設 BF弓，問爵的BE -AFCB ，放 FC吋苔，

直角三角形 BFC 中 y=BC

2

_-FC

2

_吋

2

_…峙，故

_y=-.}b

2

_-ab

_'

若 F 點必鎮碧空落在 BE 上，則 y三BE=-v;;b叫2三ab=>b訕。

反之，若 F 點落在 BE 外，則 b>訕。 F A A 單 C 解題攤點: c 1.剪下的三角形經過移動拼接到別暉'11:七轉移動前與移動梭的三角形會全等 c E ₁ 2.利用三三角影全馨、相似的性質即可說明四邊形 FCEjF] 是一個邊接選 C 的正方形即寫照余的立方形 o 3.第二小髓的解題蠶點在於 'C 對藍線 8 位的單是 F 須落在線段 BE 上，自此再利用 AABE 與AFCB 幫個三角形梧缸，部可得把2α 是值{樣件。書F析 1.第一小題是一個可以幫際的操作的觀明題，不同於傳統證明題，本題希囉學生能說明甚至出閉目中的三個步驟可泣拼出一個與服矩形等誼覆的正方形，焉不是給出…些巴知陳件去按部結論。 2.參與徵答的學生難於運用三三角形全等、棺似的性質去說明題目中的主體步驟可以拼出一餾與服矩形等竄積的正方形，都有很好的我琨。 3 第二小龍的主專題情形黯然沒有第一手題好，原因可能是盟第要讓學生串己去探討什麼蝶件才能保證能做指正方形，這是一個比較開放的輯錯。優良徵答作品中，利用 BF 三 BE 去找 αb 踴係約有 ~t市金莖翻中盤臨笠、暴隆益主運翻中且聽蠱、北市主車屬中護起趙、北縣麗蓮翻中裝車盒。北縣江擺擺中議還主則是考員會、 F 點的梅限{立體，再去討論 α， b 的鑼{系，是一謂不錯的方法。 4 肩部分的學章，解第二小題時，雖然想法是正器的，但就沒有{手續考纜 b=知道個極端的情形， i這妞"會形是可以拼成方形的。 5.華參與本是聽徵答的共有 18 位同嘿，顯示本題難度較高，平均得分鑄 4.6 分，得分融為 66% 。

-99