複合材料積層板及樑結構之彈性常數識別

國

立

交

通

大

學

機械工程學系

博

士

論

文

複合材料積層板及樑結構

之彈性常數識別

Elastic Constants Identification of Laminated

Composite Plate and Beam Structures

研 究 生：陳志明

指導教授：金大仁 教授

複合材料積層板及樑結構之彈性常數識別

Elastic Constants Identification of Laminated

Composite Plate and Beam Structures

研 究 生： 陳志明 Student：Chih-Ming Chen

指導教授：金大仁 教授 Advisor：Tai-Yan Kam

國 立 交 通 大 學

機 械 工 程 學 系

博 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Mechanical Engineering College of Engineering

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Doctor of Philosophy

in

Mechanical Engineering September 2006

複合材料積層板及樑結構之彈性常數識別

學

生 : 陳 志 明 指導教授 : 金 大 仁

國立交通大學機械工程學系 摘 要 本文提出結合複合材料力學及數值最佳化之方法來識別已成形加 工之複合材料積層板及樑結構的彈性常數值。考慮複合材料積層板結 構，在承受主結構方向即x-y方向之軸向拉力時，或複合材料積層樑結 構做三點彎曲試驗，應變與複合材料積層結構之各勁度間的關係，以 及利用所產生之應變來作為建立複合材料積層板及樑結構之材料彈性 常數識別的數值最佳化目標函數，進而識別出複合材料積層板結構之 材料彈性常數E1、E2、剪力模數G12及蒲松比ν12。其方法是先量測出複 合材料積層板結構受軸向拉力後之軸向應變、橫向應變及剪應變值， 或複合材料積層樑結構受力矩後之軸向應變、橫向應變及剪應變值， 利用這些應變值建立成為數值最佳化之目標函數，以複合材料積層板 或樑結構的各項彈性常數值為變數，再求取有限制條件下，目標函數 的總域極小值，藉搜尋不同路徑以識別出複合材料積層板及樑結構的 各項彈性常數值，數值最佳化的方法中，其設計變數是以隨機多起始 點同時搜尋的方法將其運用在數值最佳化中，隨機多起始點同時搜尋

的方法是利用可變區間內各獨立變數以隨機取樣的方法找出各獨立變 數的起始點，以此方式同時做為搜尋軌跡的開始，以找到目標函數之 區域極小值。上述是利用擴增拉格蘭吉乘子法，來得到一個無限制條 件的新目標函數，再結合多起始點軌跡搜尋法及貝氏逼近法和貝氏論 點以及總域極小值之數值最佳化演算法，找到誤差函數之極小值，便 可精確而且迅速識別出複合材料積層結構的各項彈性常數。 第二部份是研究兩階段識別法來識別當複合材料積層板或樑結 構，只有軸向應變及橫向應變值時，則必需使用兩階段式識別法來複 合材料積層板或樑結構之彈性常數識別法，依前述之方法先以應變規 及其量測儀器來量測±45°對稱堆疊的複合材料積層板或樑結構的軸向 應變及橫向應變值，做第一階段之複合材料積層板或樑結構之彈性常 數識別，再固定其所識別出之剪力模數G12及蒲松比ν12，然後再量測±β° (非±45°) 對稱堆疊的複合材料積層板或樑結構的軸向應變及橫向應變 值，做第二階段之複合材料積層板或樑結構之彈性常數識別，而識別 出複合材料積層板或樑結構之彈性常數E1及E2。

本文將以 Graphite/epoxy (Gr/ep)及 Glass/epoxy (Gl/ep)為材料，分 別以不同之堆疊方式為例子，來證實本方法之可行性及精確性，再以 Gr/ep 之複合材料做實驗來驗證之。

Elastic Constants Identification of Laminated

Composite Plate and Beam Structures

Student: Chih-Ming Chen Advisor: Tai -Yan Kam

Department of Mechanical Engineering National Chiao Tung University

Abstract

A simple yet effective nondestructive evaluation technique for determining four elastic constants of symmetric angle-ply plates/beams is presented. For elastic constants identification of composite materials, using three measured strains of a single angle-ply laminate subjected to tensile testing, or three strains measured in, respectively, axial, lateral, and 45 degree directions from a symmetric angle-ply composite beam subjected to three-point bending testing are used to identify the elastic constants of the material. In the proposed method, the trial material constants of the angle-ply laminate/beam are used in the laminate/beam analysis to predict the strains in the laminate/beam. An error function is established to measure the difference between the experimental and theoretical

predictions of the strains. The identification of material constants is then formulated as a constrained minimization problem in which the material constants are determined to make the error function a global minimum. The accuracy and capability of the proposed method are demonstrated by means of a number of examples on the material constants identification of angle-ply laminates with different layups. The accuracy of the proposed technique is studied by means of a number of examples on the elastic constants identification of graphite/epoxy (Gr/ep) or glass/epoxy (Gl/ep) symmetric angle-ply beams. The excellent results obtained in this study have demonstrated the feasibility and applications of the proposed technique.

In this thesis, a two-level optimization method for elastic constants identification of symmetric angle-ply laminates/beams is also presented. Measured axial and lateral strains of two symmetric angle-ply laminates/beams with different fiber angles are used in the proposed method to identify four elastic constants of the composite material. In the first-level optimization process, the theoretically and experimentally predicted axial and lateral strains of a [(45°/-45°)2]s laminate are used to

construct the error function which is a measure of the differences between the experimental and theoretical predictions of the axial and lateral strains. In the second-level optimization process, the shear modulus and Poisson’s ratio determined in the previous level of optimization are kept constant while the Young’s moduli of the second angle-ply laminate with fiber angles other than 45° are identified using the same minimization technique that has been used in the previous level. The accuracy of the proposed

method are studied by means of a number of examples on the material constants identification of symmetric angle-ply laminates/beams made of different composite materials.

誌

謝

在博士求學生涯中，承蒙指導教授金大仁博士之諄諄教誨，諸多 啟發，實獲益良多，不論是學問之紮根，或待人處世之循循善誘，使 吾一生受益無窮。 求學期間深受國立勤益技術學院創辦人張明將軍及王國秀女士之 嘉勉鼓勵，在此特別致謝；恩師陳大潘教授、蕭國模教授、尹慶中教 授及蔡佳霖教授於在校期間之傾囊相授，實是銘感於心；歷屆畢業之 學長林世章博士、張瑞榮博士、佘海豐博士、賴峰民博士、朱高弘博 士、吳家宏博士及王文庭博士之愛護照顧與經驗傳承，令吾感激不已。 在實驗室中學弟妹們無私的幫忙與協助下，方能克服諸多困境， 博士班的偉芬、清榮、士璋、昌毅、于昇、崧任，碩士班的添淦、穎 志、睿伸、玉修、乃綱、曉強、永剛、俊行、財維、東恩、正義、坤 森、鎮隆、志鴻、巧鈴、國晉、維成、建郎、慶博、欣翰、建勳、哲 瑋、國真、加融、耀文、永立、聖傑、魁原，這些同甘共苦的夥伴們， 吾將永誌於心；此外，並感謝張馨櫻小姐，對實驗室之付出與關懷。 母親在吾求學期間罹患肺癌，卻仍念念不忘對吾之關愛，在此深 深感謝雙親的養育關懷之恩情；對於愛妻旭圭、女兒陳瑩、兒子俊佑 的疏於照顧，更深感歉意，然有賴於賢妻的鼎力相助，方可度過生命

中的低潮和難關，回首來時路，心中無限感恩，僅以此文，獻給曾經 關照並愛護吾之人士。

陳志明 謹誌 2006. 8 於交通大學機械工程學系

目

錄

中 文 摘 要 … … … …… … … i 英 文 摘 要 … … … …… … … iii 誌 謝 … … … …… … … vi 目錄……… viii 表目錄……… xii 圖 目 錄 … … … xviii 符 號 說 明 … … … …… … … xxi 第 一 章 緒論……… 1 1.1 研究動機……… 1 1.2 研究背景與文獻回顧……… 2 1.3 研究方法……… 4 1.4 數值模擬分析……… 9 1.5 實驗驗證……… 11 第 二 章 複合材料積層結構之力學理論……… 14 2.1 複材結構之力學理論……….………… 15 2.2 有限元素法分析……… 27

第 三 章 複合材料積層板及樑結構之彈性常數識別…………... 33 3.1 數值最佳化理論……… 35 3.1.1 隨機多起始點搜尋的方法……… 36 3.1.2 區域極小值的尋找方法……… 37 3.1.3 總域極小值之判別方法……… 41 3.1.4 擴增拉格蘭吉乘子法……… 42 3.2 複 材 積 層 板 及 樑 結 構 之 彈 性 常 數 識 別 … 45 3.2.1 _{複合材料積層樑或板結構的彈性常數單一階} 段識別法……… ₄₅ 3.2.2 _{複合材料積層板或樑結構的兩階段彈性常數} 識別法……… ₄₉ 3.3 靈敏度分析……… 56 第 四 章 實驗設計說明……… 59 4.1 試片製作……….……… 60 4.2 標準試片之材料的彈性常數量測……….…… 60 4.3 應變規組……… 61 4.4 拉伸試驗機………..…….……..……… 64 4.5 單一段識別法之應變量測……… 64

4.5.1 _{複合材料積層板結構受軸向負載之應變量} 測……….……… ₆₅ 4.5.2 _{複合材料積層樑結構之三點彎曲試驗與應變} 量測……….……… ₆₈ 4.6 兩階段識別法之應變量測………….………… 71 4.6.1 複合材料積層板結構之應變量測……… 71 4.6.2 複合材料積層樑結構之應變量測…..……… 74 第 五 章 結 果 與 討 論 … … … 77 5.1 複合材料積層板及樑結構之單一階段識別法. 77 5.1.1 _{複合材料積層板結構之數值模擬………… 78} 5.1.2 _{複合材料積層板結構單一階段識別法之實驗} 驗 證 … … … ₈₃ 5.1.3 _{複合材料積層樑結構單一階段識別法…… 87} 5.1.4 _{複合材料積層樑結構單一階段識別法之實驗} 結果……….……… ₉₁ 5.2 複合材料積層板及樑結構之兩段式識別法… 94 5.2.1 _{複合材料積層板結構兩階段識別法之數值模} 擬 … … … ₉₅

5.2.2 _{複合材料積層板結構兩階段識別法之實際實} 驗 … … … ₁₀₁ 5.2.3 _{複合材料積層樑結構兩階段識別法之數值模} 擬 … … … ₁₀₄ 5.2.4 _{複合材料積層樑結構兩階段識別法之實驗結} 果 … … … ₁₀₉ 第 六 章 結 論 與 未 來 發 展 方 向… … … 113 6.1 結論……… 113 6.2 未來發展方向……… 117 參 考 文 獻 … … … …… … … 118 附 錄 . 程 式 流 程 圖 … … … 128

表

目 錄

表 3-1. Gr/ep 複合材料積層樑單一階段識別法之靈敏度……….…. 131 表 3-2. Gl/ep 複合材料積層樑單一階段識別法之靈敏度………..… 132 表 3-3. Gr/ep 複合材料積層板兩階段識別法之靈敏度………….… 133 表 3-4. Gl/ep 複合材料積層板兩階段識別法之靈敏度………….… 134 表 3-5. Gr/ep 複合材料積層板四應變一階段識別之靈敏度…….… 135 表 3-6. Gr/ep 複合材料積層樑兩階段識別法之靈敏度………….… 136 表 3-7. Gl/ep 複合材料積層樑兩階段識別法之靈敏度………….… 137 表 4-1. Graphite/Epoxy 之複材板結構之各項彈性常數值……….… 138 表 5-1. F= 1kN之Gr/ep複材板結構[(θ°/-θ°)4/θ°]之理論應變值… 138 表 5-2. 以F= 1kN理論應變值識別Gr/ep 複材板結構[(θ°/-θ°)4/θ°] 之各項彈性常數值……….…..… 139 表 5-3. 以不同之Nx及Ny 的Gr/ep複材板結構[(θ°/-θ°)4/θ°] 之理論 應變值………...…… 140 表 5-4. 以不同之Nx 及Ny的理論應變值識別Gr/ep 複材板結構 [(θ°/-θ°)4/θ°] 之各項彈性常數值……….… 141 表 5-5. 以不同之Nx及Ny 的Gl/ep複材板結構[(θ°/-θ°)4/θ°]之理論應

變值………...… 142 表 5-6. 以不同之Nx 及Ny的理論應變值識別Gl/ep 複材板結構 [(θ°/-θ°)4/θ°] 之各項彈性常數值……….…… 143 表 5-7. F= 0.5kN Gr/ep複材板結構[θ°] 9之理論應變值……… 144 表 5-8. 以F= 0.5kN的理論應變值識別Gr/ep 複材板結構[θ°] 9之各 項彈性常數值……… 144 表 5-9. F= 0.5kN Gl/ep複材板結構[θ°] 9之理論應變值……… 145 表 5-10. 以F= 0.1kN的理論應變值識別Gl/ep 複材板結構[θ°] 9之各 項彈性常數值……… 145 表 5-11. 以Nx= 1 6 . 6 6 7 k N / m 及 Ny= 0 的 G r / e p 複材板結構 [(30°/-30°)4/30°]之實驗應變值……… 146 表 5-12. 以Nx= 1 6 . 6 6 7 k N / m 及 Ny= 0 的 G r / e p 複材板結構 [(30°/-30°)4/30°]之實驗應變值識別之各項彈性常數值… 147 表 5-13. 以 N x = 1 0 k N / m 及 N y = 0 的 G r / e p 複 材 板 結 構 [(45°/-45°)4/45°]之實驗應變值……… 148 表 5-14. 以 N x = 1 0 k N / m 及 N y = 0 的 G r / e p 複 材 板 結 構 [(45°/-45°)4/45°]之實驗應變值識別之各項彈性常數值…… 149 表 5-15. F= 3N Gr/ep複材樑結構[(θ°/-θ°)6]s之理論應變值……… 150

表 5-16. 理論應變值識別Gr/ep 複材樑結構[(θ°/-θ°)6]s之各項彈性 常數值……… 150 表 5-17. 理 論 應 變 值 以 隨 機 多 起 始 點 識 別 G r / e p 複 材 樑 結 構 [(30°/-30°)6]s之各項彈性常數值……… 151 表 5-18. F= 1N Gl/ep複材樑結構[(θ°/-θ°)6]s之理論應變值………… 152 表 5-19. 理論應變值識別Gl/ep 複材樑結構[(θ°/-θ°)6]s之各項彈性 常數值……… 152 表 5-20. F= 3N Gr/ep複材樑結構[(45°/-45°)6]s之實驗應變值…….… 153 表 5-21. 實驗應變值識別Gr/ep 複材樑結構[(45°/-45°)6]s之各項彈 性常數值……… 154 表 5-22. F= 3N Gr/ep複材樑結構[(60°/-60°)6]s之實驗應變值…….… 155 表 5-23. 實驗應變值識別Gr/ep 複材樑結構[(60°/-60°)6]s之各項彈 性常數值……… 156 表 5-24. F= 0.5kN Gr/ep複材板結構[(θ°/-θ°)2]s之理論應變值……… 157 表 5-25. 以 理 論 應 變 值 第 一 階 段 所 識 別 G r / e p 複 材 板 結 構 [(45°/-45°)2]s之各項彈性常數值……… 158 表 5-26. 以 理 論 應 變 值 第 一 階 段 所 識 別 G r / e p 複 材 板 結 構 [(θ°/-θ°)2]s之各項彈性常數值……… 159

表 5-27. 以理論應變值隨機多起始點第二階段所識別Gr/ep 複材板 結構 [(15°/-15°)2]s之各項彈性常數值……… 160 表 5-28. 以理論應變值隨機多起始點第二階段所識別Gr/ep 複材板 結構[(30°/-30°)2]s之各項彈性常數值……… 161 表 5-29. 以理論應變值隨機多起始點第二階段所識別Gr/ep 複材板 結構[(60°/-60°)2]s之各項彈性常數值……… 162 表 5-30. 以 理 論 應 變 值 第 二 階 段 所 識 別 G r / e p 複 材 板 結 構 [(θ°/-θ°)2]s之彈性常數E1 及 E2值……… 163 表 5-31. F= 0.1kN Gl/ep複材板結構[(θ°/-θ°)2]s之理論應變值……… 164 表 5-32. 以 理 論 應 變 值 第 一 階 段 所 識 別 G l / e p 複 材 板 結 構 [(θ°/-θ°)2]s之各項彈性常數值……… 164 表 5-33. 以 理 論 應 變 值 第 二 階 段 所 識 別 G l / e p 複 材 板 結 構 [(θ°/-θ°)2]s之彈性常數E1 及 E2值..……… 165 表 5-34. 以F= 0.5kN的Gr/ep複材板結構[(θ°/-θ°)2]s之實驗應變值... 166 表 5-35. 以 實 驗 應 變 值 第 一 階 段 所 識 別 G r / e p 複 材 板 結 構 [(45°/-45°)2]s之各項彈性常數值……… 167 表 5-36. 以 實 驗 應 變 值 第 二 階 段 所 識 別 G l / e p 複 材 板 結 構 [(30°/-30°)2]s之彈性常數E1 及 E2值……… 168

表 5-37. F= 3NGr/ep複材樑結構[(θ°/-θ°)6]s之理論應變值………… 169 表 5-38. 以 理 論 應 變 值 第 一 階 段 所 識 別 G r / e p 複 材 樑 結 構 [(θ°/-θ°)6]s之各項彈性常數值……….……… 169 表 5-39. 理論應變值以隨機多起始點第一階段所識別Gr/ep 複材樑 結構[(45°/-45°)6]s之各項彈性常數值……… 170 表 5-40. 以 理 論 應 變 值 第 二 階 段 所 識 別 G r / e p 複 材 樑 結 構 [(θ°/-θ°)6]s之彈性常數E1 及 E2 值……… 171 表 5-41. 理論應變值以隨機多起始點第二階段所識別Gr/ep 複材樑 結構[(60°/-60°)6]s之各項彈性常數值………..……… 172 表 5-42. F= 1N Gl/ep複材樑結構[(θ°/-θ°)6]s之理論應變值….……… 173 表 5-43. 以 理 論 應 變 值 第 一 階 段 所 識 別 G l / e p 複 材 樑 結 構 [(θ°/-θ°)6]s之各項彈性常數值……….……… 173 表 5-44. 理論應變值第二階段所識別Gr/ep 複材樑結構[(θ°/-θ°)6]s 之各項彈性常數E1及E2值………..……… 174 表 5-45. F= 3N Gr/ep複材樑結構[(θ°/-θ°)6]s之實驗應變值…..…… 175 表 5-46. 以 實 驗 應 變 值 第 一 階 段 所 識 別 G r / e p 複 材 樑 結 構 [(45°/-45°)6]s之各項彈性常數值……… 176 表 5-47. 實驗應變值第二階段所識別Gr/ep 複材樑結構(60°/-60°)6]s

圖

目 錄

圖 2-1. 主結構方向 x-y 與主材料方向 1-2 示意圖……… 178 圖 2-2. 複材層板之幾何及負載示意圖……… 179 圖 2-3. 複合材料積層板結構受軸向拉力 F 示意圖……… 180 圖 2-4. 複材層樑之幾何及負載示意圖……… 181 圖 2-5. [45°]24與[(45°/-45°)6]s對稱堆疊之複材積層樑舉起現象… 182 圖 2-6. [(15°/-15°)6]s複材積層樑結構支撐端之舉起現象…… 182 圖 2-7. [(30°/-30°)6]s複材積層樑結構支撐端之舉起現象…… 183 圖 2-8. [(45°/-45°)6]s複材積層樑結構支撐端之舉起現象…… 183 圖 2-9. [(60°/-60°)6]s複材積層樑結構支撐端之舉起現象……… 184 圖 2-10. 33.3 w L = 之[(θ°/-θ°)6]s複材積層樑結構支撐端之舉起現象. 184 圖 2-11. 16.7 w L = 之 [(θ°/-θ°)6]s複材積層樑結構支撐端之舉起現 象……… 185 圖 2-12. 8.3 w L = 之[(θ°/-θ°)6]s複材積層樑結構支撐端之舉起現象. 185 圖 2-13. 複材積層樑有限元素分割示意圖……… 186 圖 2-14. 複材積層樑中間點不同疊層應變之誤差百分比圖…… 186 圖 2-15. [(45°/-45°)6]s複材積層樑軸向應變誤差百分比圖…… 187

圖 2-16. [(45°/-45°)6]s複材積層樑橫向應變誤差百分比圖…… 187 圖 2-17. [(45°/-45°)6]s複材積層樑剪應變誤差百分比圖…… 188 圖 2-18. [(45°/-45°)6]s複材積層樑橫向之軸向應變誤差百分比圖. 188 圖 2-19. [(45°/-45°)6]s複材積層樑橫向之橫向應變誤差百分比圖. 189 圖 2-20. [(45°/-45°)6]s複材積層樑橫向之剪應變誤差百分比圖. 189 圖 2-21. [(45°/-45°)6]s複材積層樑中間點各應變誤差百分比圖. 190 圖 2-22. 33.3 w L = 之[45°]24單一偏角複材積層樑橫向各應變之誤差 百分比曲線圖……… 190 圖 2-23. 16.7 w L = 之[45°]24單一偏角複材積層樑各橫向應變之誤差 百分比曲線圖……… 191 圖 2-24. 8.3 w L = 之[45°]24單一偏角複材積層樑橫向各應變之誤差 百分比曲線圖……… 191 圖 2-25. [45°]24單一偏角複材積層樑中間軸向應變之誤差百分比 曲線圖……… 192 圖 2-26. [45°]24單一偏角複材積層樑中間橫向應變之誤差百分比 曲線圖……… 192 圖 2-27. [45°]24單一偏角複材積層樑中間剪應變之誤差百分比曲 線圖……… 193

圖 3-1. 最佳化收斂路徑圖……….. 196 圖 4-1. KYOWA 型號 KFG-3-120-D17-11L3M2S 之應變規組…… 197 圖 4-2. KYOWA 型號 KFG-3-120-D16-11L3M2S 之應變規組…… 197 圖 4-3. 拉伸試驗機……… 198 圖 4-4. 複合材料積層板拉伸試驗之尺寸大小……… 199 圖 4-5. [(30°/-30°)4/30°]複合材料積層板拉伸試驗負載-應變圖… 201 圖 4-6. 複材積層樑結構受力 F 作用時之三點彎曲試驗示意圖… 202 圖 4-7. 複 合 材 料 積 層 樑 結 構 之 三 點 彎 曲 試 驗 圖 … … … 203 圖 4-8 對 稱 堆 疊 的 複 合 材 料 積 層 樑 結 構 之 試 片 … … … 204 圖 4-9. 複材層樑三點彎曲試驗之尺寸大小……… 205 圖 4-10. Gr/ep [(45°/-45°)6]s複材層樑三點彎曲試驗負載-應變圖… 207 圖 4-11. Gr/ep [(60°/-60°)6]s複材層樑三點彎曲試驗負載-應變圖… 209 圖 4-12. [(45°/-45°)2]s複合材料積層板拉伸試驗負載-應變圖…… 210 圖 4-13. [(30°/-30°)2]s複合材料積層板拉伸試驗負載-應變圖…… 211 圖 4-14. Gr/ep [(45°/-45°)6]s複材層樑三點彎曲試驗負載-應變圖… 212 圖 4-15. Gr/ep[(60°/-60°)6]s複材層樑三點彎曲試驗負載-應變圖… 213

符號說明

{ }

_σ (m) _{： 複材層板第 m 層之主結構方向應力矩陣} x σ 、σ_y、τ_{xy ： 主結構方向 x 方向之正向應力、y 方向之正向應力及} 剪應力

[ ]

(m) Q ： 複合材料積層板第 m 層之主結構方向的勁度矩陣 ) s , y , x j , i ( ; Q_ij = ： 複合材料積層板之各勁度 1 E 、E₂ ： 楊氏係值 12 G 、ν₁₂ ： 剪力係數、蒲松比

{ }

_ε (m) _{： 複合材料積層板第 m 層之主結構方向的應變矩陣} x ε 、 、ε_y γ_xy ： x-方向之正向應變、y-方向之正向應變及剪應變

{ }

_ε 0 _{： 複合材料積層板中間面應變矩陣} 0 x ε 、 、0 y ε 0 xy γ ： 中間面 x-方向之正向應變、y-方向之正向應變及剪 應變

{ }

κ _{： 複合材料積層板中間面之曲率矩陣} x κ 、κ_y、κ_xy ： x 方向之曲率、y 方向之曲率、中間面在 x-y 平面上 的翹曲曲率

{ }

N _{： 複合材料積層板結構之每單位長度之合力矩陣}

x N 、N_y、N_xy ： x 方向、y 方向之單位長度之正向力及由 x-方向之平 面作用到 y 軸方向之每單位長度的剪力

[ ]

A 、

[ ]

B 、

[ ]

D ： 拉伸勁度矩陣、偶合勁度矩陣、彎曲勁度矩陣

{ }

M _{： 每單位長度的合力矩矩陣} x M 、M_y、M_xy ： x 方向之單位長度的合力矩、y 方向之單位長度的合 力矩、x-方向之平面作用到 y 軸方向之每單位長度的 合力矩 ) s , y , x j , i ( ; A_ij = ： 複合材料積層板之各拉伸勁度 ) s , y , x j , i ( ; D_ij = ： 複合材料積層板之各彎曲勁度 e(x) _{： 目標函數} i x ： 設計之獨立變數 L i x 、xU_i ： 獨立變數之下限值、獨立變數之上限值 j μ 、 、 η_j r_p ： Lagrange 乘子 ε*x、ε*y、γ*xy ： 實驗所得的軸向應變、橫向應變及剪應變值 ξ _{： 放大係數} i α _{： 正規化係數}

(

x~,μ,η,rp

)

Ψ ： 無限制條件新的目標函

第一章 緒 論

1.1 研究動機

複合材料積層結構體具有較低之密度、相對於相同強度之材料有 質量更輕、耐腐蝕性佳、及高強度等諸多優點，所以廣泛地應用在各 種科技工程、航太工業、軍事用途、運動器材、汽車工業、造船工業 及近年來極為盛行的電子工業等；複合材料積層結構體比起傳統之金 屬材料更能滿足設計及使用者所需之特性，現今各國更不斷研發新的 製造技術並使其增強機械性質且使其更加強化複合材料積層結構體之 性能。 複合材料積層結構體最常用的不外乎是複合材料積層板及樑等結 構，而複合材料積層板及樑等結構，則是近年來諸多研究之重點，其 廣泛地應用在工業及電子科技上，其中複合材料積層樑結構是一般結 構體相互連結之基本元件，而合材料積層板更是結構體承受外力及力 矩之重要結構。 複合材料積層板及樑等結構，在工業上之應用已日漸普遍，而且 經由於複材性質之提升及製造方法之不斷改進，複合材料積層板及殼 之設計及使用，已日益獲得重視。然而複合材料積層樑及板結構，在 不同的製造過程及製造環境，皆會影響其材料的各種彈性常數，故如 何迅速且精確的測量到以成形加工之複合材料結構體的各項彈性常 數，以提供做為設計製造分析之用是當前急需解決的重要研究與課 題。對複合材料積層板而言，一般是依據ASTM之規範D3039 量測複合

材料積層板楊氏係數值E1、E2及蒲松比ν12， D3518 之規範量測之複合 材料積層板剪力模數G12，需要三種試片，進行各種拉伸試驗，量測出 複合材料積層板之各項材料常數；對複合材料積層樑而言，在ASTM之 D790 規範主要是量測一般材料之抗彎強度，或以三點彎曲試驗來量測 一般等方向性材料樑受彎矩之楊氏係數值E，並無對於複合材料積層樑 之楊氏係數值E1、E2、剪力模數G12及蒲松比ν12之量測。 本文欲提出一種簡易、精確及快速簡便之新的量測方法，利用一 種或兩種試片，藉由量測複合材料積層板結構或複合材料積層樑結構 之應變值，便能夠迅速而精確的識別出複合材料積層結構的各項彈性 常數，以提供作為設計分析之基礎，或品管快速且方便之檢查法；此 外，當材料使用一段時間後，亦可藉由本文之方法做識別，以觀測材 料性質的變化。

1.2 研究背景與文獻回顧

複合材料積層板及樑結構之力學理論源自於古典之板及樑理論而 來，複合材料積層結構之力學理論發展迄今已相當臻善，在 Jones [1]、 Tsai 及 Hahn [2] 、Vinson 和 Sierakowski [3] 及 Swanson [4] 於其所 編著之複合材料力學之相關書籍中，對複合材料積層板及樑結構之力 學理論皆有完整之推導，故對於基礎之複合材料積層板及樑結構力學 理之推導與介紹，本文將參考上述文獻來推導複合材料積層結構之力 學理論。

佳化的理論主要是應用 Snyman 及 Fatti [5]所提出之多起始點總域極 小值演算法及動力搜尋軌跡的數值最佳化理論，隨後 Kam 及 Snyman [6] 應用上述之理論與技術到複合材料積層結構之最佳化設計，近年來， Kam 及其研究團隊 [7-13] 亦應用前述之數值最佳化的理論，發展出一 套可靠度高且高效率之方法，應用在複合材料科學上。本文主要是以 隨機多起始點(Multi-Start Method)及總域極小值(Global minimum)的方 法和貝氏(Bayesian)分析法[5-13] 以及擴增拉格蘭吉乘子法(Augment Lagrange Multiplier Method 簡稱 A.L.M.) [7-14]將有限制條件之目標函 數轉變成無限制條件之目標函數。Lee [15]在其博士論文中及其所提及 之相關參考文獻中[16-21]有詳細介紹類神經網路及基因演算法以及最 佳化理論之比較，本文不多加贅述。Kam 及其研究團隊[22-36]多年來 研究最佳化之方法來求取複合材料之特性，如 Kam 及 Lee [22-25]將數 值最佳化的理論應用在複合材料科學上微小裂縫(Crack)之識別。Kam 和 Lai [26-31]，以及 Kam 之研究團隊[32]將數值最佳化的理論應用在 複合材料之設計及製造技術上，使其可得到最輕之複合材料積層板、 最大剛性之複合材料積層板及三明治複合材料積層板之最佳化設計 等，以及複合材料積層板之首層破壞的研究。Kam 及 Liu [33]將數值最 佳化的理論應用在複合材料桿之勁度識別。Wang 及 Kam [34-35]將數 值最佳化的理論及利用複合材料科積層板之位移與變形的關係應用在 複合材料積層板之彈性常數識別。Kam 等[36]將數值最佳化的理論及複 合材料壓力容器充壓後之各項應變的關係應用在複合材料壓力容器之 彈性常數識別。 此外， Hoa 等[37]研究編織複材之性質，Bledzki 等[38] 以振動頻 率來求取 Gl/ep 複合材料科積層板彈性常數，Marín 等[39-40] 以拉伸

試驗之法來探討複材剪力常數之性質，其克服試片夾持端造成剪應變 之影響的方法，是在試片夾持端鑽孔，以夾具將試片穿過鑽孔，再做 拉伸試驗以克服試片夾持端造成剪應變之阻礙問題; 另有許多文獻皆 在探討克服試片夾持端之剪應變的方法[41-43]，Pindera 及 Herakovich [41] 在探討單一偏角(Off-axis)之複合材料積層板，做拉伸試驗時之剪 力與剪應變之特性，Pagano 和 Halpin [42]在探討單一偏角之複合材料 積層板，克服試片夾持端之剪應變之影響，他們亦是利用在挾持端鑽 孔，利用其上下夾頭可轉動來克服剪變形所造成之影響， Sun 及 Chung [43] 提出計算斜角的護片斜角來減少拉伸時應力不均之現象。 Grédiac 等及其研究團隊[44-46] 以虛場法結合有限元素分析來探 討複材之各勁度或材料常數的性質，Hwang 及 Chang [47] 以振動實 驗之頻率來求取複合材料科積層板各彈性常數值，Marin [48] 以邊界元 素法(Boundary element method)來識別等項性材料之各彈性常數值， Genovese 等[49]以位移及最佳化之法來求取複材之各彈性常數值， Deobald 及 Gibson [50]、 Frederiksen [51]、Moussu 及 Nivoit [52]、及 Fallstrom[53]以振動頻率及 Rayleigh-Ritz 法來求取複合材料積層板彈 性常數，Taktak 等[54] 以有限元素分析及最佳化之法來求取三維等向 性材料之各彈性常數值。有數個研究者以數值模擬或實驗之方法利用 10~16 個振動頻率求取複合材料積層結構體之各項彈性常數[55-60]。 本文主要是延續本人指導教授 Kam 多年來的研究，而發展出一套 可輕易識別複合材料積層板及樑等結構之各項彈性常數之方法並以實 驗來印證此方法之精確性可行性。

1.3 研究方法

一般量測複合材料積層板楊氏係數值E1、E2、剪力模數G12及蒲松 比ν12，是依據ASTM [61]之規範D3039 量測之複合材料積層板楊氏係數 值E1、E2及蒲松比ν12， D3518 之規範量測之複合材料積層板剪力模數 G12，進行各種拉伸試驗，即可量測出複合材料積層平板之各項材料常 數；然而對於複合材料積層樑之各項材料常數之量測則只有利用以振 動頻率來探討複合材料積層樑之特性 [62-65]，在ASTM之規範D790 主要是量測一般材料之抗彎強度，及以三點彎曲試驗來量測一般等方 向性材料樑受彎曲之楊氏係數值E；而對於複合材料積層樑之楊氏係數 值E1、E2、剪力模數G12及蒲松比ν12之量測則鮮少有文獻探討。本文即 主要探討如何以簡便及迅速之方法，來量測複合材料積層板及樑之各 項彈性常數值。 本文提出兩種識別方法，分別是單一階段識別法及兩階段識別 法；首先說明單一階段識別法之使用時機，當奇數層正負角對稱堆疊 的複合材料積層板結構，在承受主結構方向即 x-方向之軸向拉力 F 時 有軸向應變、橫向應變及剪應變值時，或是正負角對稱堆疊的複合材 料積層樑結構做三點彎曲試驗時，在結構之中間處施以向下之線負載 F，可以量測到複合材料積層樑結構下表面之軸向應變、橫向應變及剪 應變值時，便可作複合材料積層結構之單一階段識別，進而識別出複 合材料積層結構之各彈性常數，由以上可知，當複材積層結構可量測 到軸向應變、橫向應變及剪應變值時，便可以ㄧ種試片做單一階段識 別;兩階段識別法之使用時機，是當偶數層正負角對稱堆疊的複合材料 積層板結構，在承受主結構方向即 x-方向之軸向拉力 F 時，只有軸向 應變及橫向應變值，並無剪應變值，識別時會因為只有兩個應變值，

而條件不夠，無法識別出各彈性常數值，本文以兩種試片，用兩階段 識別法來解決這個問題，此外，由靈敏度分析可以知道，無論是複合 材料積層板或樑結構，兩階段識別法，可以適當降低複材積層結構識 別之靈敏度，進而提高識別時之精確度。 首先考慮複合材料積層板結構，在承受主結構方向（Principal laminated axes）即x-方向之軸向拉力時，應變與複合材料積層結構之各 勁度(Stiffness)間的關係，以及利用此軸向拉力所產生之應變來作為建 立複合材料積層板結構之材料彈性常數識別的數值最佳化目標函數， 進而識別出複合材料積層板結構之四個材料彈性常數，分別是楊氏係 數E1、E2、剪力模數G12及蒲松比ν12。 因為複合材料積層板結構，在主結構方向即 x-方向承受一個正向 之軸向拉力作用時，且由複合材料積層板結構之力學推導可知各應變 與各拉伸勁度值皆有相當大之關係，而複合材料積層板結構之各彈性 常數識別，主要是以複合材料積層板結構之各彈性常數為數值最佳化 之設計變數，當複合材料積層結構承受拉力作用時，利用應變與複合 材料積層板結構之各勁度間之關係，以軸向拉力所產生之應變識別出 複合材料積層板結構之四個材料彈性常數。本文研究將以所有已知應 變值量測值，作為建立複合材料積層板結構之材料彈性常數識別的數 值最佳化目標函數即誤差函數之數學模式，其設計變數再以隨機多起 始點方式及數值最佳化方法，找尋誤差函數的極小值，當找到誤差函 數之極小值時，而此時之設計變數即為複合材料積層板結構之各彈性 常數，本文在結果與討論中將證實以所有已知應變量測值，來識別複 合材料積層板結構各彈性常數是確實可行的且精確性亦相當良好。 第二部份是考慮對稱堆疊複合材料積層樑結構，做三點彎曲試驗

時，在中間承受一力F作用，即在x-方向承受總力矩M作用後，各應變 與各勁度值之關係，利用應變與複合材料積層樑結構之各勁度間之關 係，建立複合材料各積層樑結構之材料彈性常數識別的數值最佳化目 標函數，在利用數值最佳化之方法，識別出複合材料積層樑結構之四 個材料彈性常數，分別是楊氏係數E1、E2、剪力模數G12及蒲松比ν12。 本文研究將以所有已知應變值量測值，作為建立複合材料各積層 樑結構之材料彈性常數識別的數值最佳化目標函數即誤差函數之數學 模式，其設計變數再以隨機多起始點方式及在第三章所介紹之數值最 佳化方法，找尋誤差函數的極小值，當找到誤差函數之極小值時，此 設計變數即為複合材料積層樑結構之各彈性常數值，本文在結果與討 論中將證實以已知應變值，來識別複合材料積層樑結構之各彈性常數 之可行性與精確性。 利用前述所推得之複合材料積層板結構受軸向拉力作用後，得到 其各應變值與各勁度之關係式，再以實驗所得之應變值，建立一個有 限制條件之誤差函數的數學模式，以數值最佳化的方法，將複合材料 積層板結構之各項彈性常數值為變數，來求取誤差函數(即數值最佳化 理論所稱之目標函數)的極小值，如此，便可精確地識別複合材料積層 板結構之各彈性常數值，而這種方法就是複合材料積層板結構之彈性 常數識別法；對複合材料積層樑結構，做三點彎曲試驗時，在中間承 受一力 F 作用，即在 x-方向承受總力矩 M 作用後，各應變與各勁度值 皆有相當大之關係，再以實驗所得之應變值，建立一個有限制條件之 誤差函數的數學模式，再以數值最佳化的方法，將複合材料積層樑結 構之彈性常數為變數，來求取誤差函數(即數值最佳化理論則稱為目標 函數)的極小值，如此，便可精確地識別複合材料積層樑結構之彈性常

數，而這種方法就是複合材料積層樑結構之彈性常數識別法。 在數值最佳化的方法中，其設計變數是以隨機多起始點同時搜尋 的方法將其運用在數值最佳化中，隨機多起始點同時搜尋的方法是利 用可變區間內各獨立變數以隨機取樣的方法找出各獨立變數的起始 點，以此方式同時做為搜尋軌跡的開始，以找到目標函數之區域極小 值。本文主要是利用 IMSL[66]軟體中的 RNUN 副程式來執行以隨機多 起始點搜尋軌跡的方法來搜尋，這種方法可使獨立變數在限制區間內 以隨機取樣的方法來選取獨立變數值，故在無限制條件下且可微的目 標函數，可以找出一些區域極小值。 再以貝氏分析法的標準來判別數 個區域極小值，使區域極小值落在臨時總域極小值之機率大於 0.995 時，則可找到真正的總域極小值。 上述是利用擴增拉格蘭吉乘子法，來得到一個無限制條件的新目 標函數，再結合多起始點軌跡搜尋法及貝氏分析法以及總域極小值之 數值最佳化演算法，找到誤差函數之極小值，便可精確而且迅速識別 出複合材料積層結構的各項彈性常數。 複合材料積層板及樑結構之各項彈性常數識別，有許多個獨立變 數，且目標函數通常是非線性的函數，故欲求取其總域極小值或極大 值是極為困難的，本文主要是以隨機多起始點及總域極小值的方法和 貝氏分析法以及擴增拉格蘭吉乘子法 [5-14]將有限制條件之目標函數 轉變成無限制條件之目標函數，再利用單位質量之質點在保守力場中 運動，其必滿足能量守恆之原理，且把無限制條件的目標函數當成位 能值，用多起始點軌跡搜尋的方法來搜尋最小位能值，而找到目標函 數的總域極小值，便可精確而且迅速識別複合材料積層板及樑結構之 彈性常數，此乃為本文之主要數值最佳化的方法。

1.4 數值模擬分析

首先，以標準試片之材料常數做為正確之複合材料積層板結構之 各項材料常數，以作為和本文所識別出來的各項材料常數的比對標 準，利用此各項材料常數可計算出複合材料積層板結構，在承受主結 構方向即 x-方向之軸向拉力時的各項應變值，再以此各項應變值當成 實驗所得之各項應變值，以所有已知應變值量測值，作為建立複合材 料積層板結構之材料彈性常數識別的數值最佳化目標函數即誤差函數 之數學模式，以複合材料積層板結構之各彈性常數為數值最佳化之設 計變數，其設計變數再以隨機多起始點方式及數值最佳化方法，找尋 誤差函數的極小值，當找到誤差函數之極小值時，而此時之設計變數 即為複合材料積層板結構之各彈性常數值，再將識別出來之各彈性常 數值，和標準試片的各彈性常數值做比對，即可知本方法之可行性與 正確性。 本文分別用已知奇數層對稱堆疊的複合材料積層板結構，在承受 主結構方向即x-方向之軸向拉力時的軸向應變、橫向應變及剪應變值， 作一階段之複合材料積層板結構之各彈性常數識別。但當偶數層稱堆 疊的複合材料積層板結構，在承受主結構方向即x-方向之軸向拉力F 時，只有軸向應變及橫向應變值，而剪應變值為零時，則必需使用兩 階段之複合材料積層板結構之彈性常數識別法，其方法是先量測±45° 偶數層對稱堆疊的複合材料積層板結構，在承受主結構方向即x-方向之 軸向拉力F時的軸向應變及橫向應變值，做第一階段之複合材料積層板 結構之彈性常數識別，再固定其所識別出之剪力模數G12及蒲松比ν12， 然後再以量測±β°偶數層對稱堆疊的複合材料積層板結構在承受主結

構方向即x-方向之軸向拉力F時的軸向應變及橫向應變值，做第二階段 之複合材料積層板結構之彈性常數識別，而識別出複合材料積層板結 構之彈性常數E1及E2。 同理，再以標準試片之材料常數做為正確之複合材料積層樑結構 之各項材料常數，以作為和本文所研究之最佳化識別程式求取的各項 材料常數的比對標準，利用此各項材料常數可計算出複合材料積層樑 結構，在承受主結構方向即 x-方向受力矩時的各項應變值，再以此各 項應變值當成實驗所得之各項應變值，以所有已知應變值量測值，來 做為建立複合材料積層樑結構之材料彈性常數識別的數值最佳化目標 函數即誤差函數之數學模式，以複合材料積層樑結構之各彈性常數為 數值最佳化之設計變數，其設計變數再以隨機多起始點方式及數值最 佳化方法，找尋誤差函數的極小值，當找到誤差函數之極小值時，而 此時之設計變數即為複合材料積層樑結構之各彈性常數值，再將識別 出來之各彈性常數值，和標準試片的各彈性常數值做比對，即可知本 方法之可行性與正確性。 分別用對稱堆疊的複合材料積層樑結構做三點彎曲試驗時，在結 構之中間處施以一壓力F，以量測複合材料積層樑結構下表面在主結構 方向的軸向應變、橫向應變及剪應變值，作一階段之複合材料積層樑 結構之各彈性常數識別。亦可用複合材料積層板結構之兩階段彈性常 數識別法，來識別複合材料積層樑結構之各彈性常數值，其方法是當 只有量測稱堆疊的複合材料積層樑結構做三點彎曲試驗時，在結構之 中間處施以一壓力F，以量測複合材料積層樑結構下表面之軸向應變及 橫向應變時，則必需使用兩階段之複合材料積層樑結構之彈性常數識 別法，其方法是先量測±45°對稱堆疊的複合材料積層樑結構做三點彎

曲試驗時，在結構之中間處施以一壓力F的軸向應變及橫向應變值，做 第一階段之複合材料積層樑結構之彈性常數識別，再固定其所識別出 之剪力模數G12及蒲松比ν12，然後再以量測±β°對稱堆疊的複合材料積 層樑結構做三點彎曲試驗時，在結構之中間處施以一壓力F的軸向應變 及橫向應變值，做第二階段之複合材料積層板結構之彈性常數識別， 進而識別出複合材料積層樑結構之彈性常數E1及E2。 本文將舉數個例子來證實在識別複合材料積層板及樑結構的各項 材料彈性常數值之可行性及精確性。

1.5 實驗驗證

最後將以數值模擬之結果，用來設計實驗，驗證本方法之可行性 與精確性。首先製作標準複合材料積層平板，再依據 ASTM 的標準， 裁成標準試片，以 MTS 萬能拉伸試驗機，進行各種拉伸試驗，即可測 量出複合材料積層平板之各項材料常數，識別出來複合材料積層結構 的各項材料常數的比對標準。 對複合材料積層板結構而言，第一部份是用已知奇數層對稱堆疊 的複合材料積層板結構，在承受主結構方向即 x-方向之軸向拉力 F 時 的軸向應變、橫向應變及剪應變值，作單一階段之複合材料積層板結 構之各彈性常數識別。複合材料積層板結構之材料彈性常數識別，是 將相同製程之複合材料積層板結構，夾持於拉伸試驗機之上下夾頭 上，在主結構方向即 x-方向施以一軸向拉力 F 時，以應變規及其量測 儀器來量測其軸向應變、橫向應變及剪應變值，以實驗所得之應各項

變量測值，作為建立複合材料積層板結構之材料彈性常數識別的數值 最佳化目標函數即誤差函數之數學模式，以複合材料積層板結構之各 彈性常數為數值最佳化之設計變數，其設計變數再以隨機多起始點方 式及數值最佳化方法，找尋誤差函數的極小值，當找到誤差函數之極 小值時，而此時之設計變數即為複合材料積層板結構之各彈性常數 值，再將識別出來之各彈性常數值，和標準試片的各彈性常數值做比 對。 第二部份是以偶數層對稱堆疊的複合材料積層板結構，在承受主 結構方向即x-方向之軸向拉力F時，只有軸向應變及橫向應變值，而剪 應變值為零時，則必需使用兩階段之複合材料積層板結構之彈性常數 識別法，依前述之方法先以應變規及其量測儀器來量測±45°偶數層對 稱堆疊的複合材料積層板結構，在承受主結構方向即x-方向之軸向拉力 F時的軸向應變及橫向應變值，做第一階段之複合材料積層板結構之彈 性常數識別，再固定其所識別出之剪力模數G12及蒲松比ν12，然後再以 應變規及其量測儀器來量測±β°偶數層對稱堆疊的複合材料積層板結 構在承受主結構方向即x-方向之軸向拉力F時的軸向應變及橫向應變 值，做第二階段之複合材料積層板結構之彈性常數識別，而識別出複 合材料積層板結構之彈性常數E1及E2。 對複合材料積層樑結構而言，第一部份是以有可量測到對稱堆疊 之複合材料積層樑結構的軸向應變、橫向應變及剪應變值時，做單一 階段之複合材料積層樑結構的材料彈性常數識別，其方法是將相同製 程之複合材料積層樑結構置於做三點彎曲之基座上，其施力夾頭則夾 於伸試驗機之上夾頭上，在複合材料積層樑結構之中間處施以一壓力 F，再以應變規及其量測儀器來量測複合材料積層樑結構下表面之軸向

應變、橫向應變及剪應變值，以實驗所之各項應變量測值，作為建立 複合材料積層樑結構之材料彈性常數識別的數值最佳化目標函數即誤 差函數之數學模式，以複合材料積層樑結構之各彈性常數為數值最佳 化之設計變數，其設計變數再以隨機多起始點方式及數值最佳化方 法，找尋誤差函數的極小值，當找到誤差函數之極小值時，而此時之 設計變數即為複合材料積層樑結構之各彈性常數值，再將識別出來之 各彈性常數值，和標準試片的各彈性常數值做比對，來證實在識別複 合材料積層板及樑結構的各項材料彈性常數值之可行性及精確性。 第二部份，是用複合材料積層樑結構之兩階段彈性常數識別法， 來識別複合材料積層樑結構之各彈性常數值，其方法是只有量測對稱 堆疊的複合材料積層樑結構做三點彎曲試驗時，在結構之中間處施以 一壓力F，以量測複合材料積層樑結構下表面之軸向應變及橫向應變 時，則必需使用兩階段之複合材料積層樑結構之彈性常數識別法，其 方法是先以應變規及其量測儀器來量測±45°對稱堆疊的複合材料積層 樑結構做三點彎曲試驗時，在結構之中間處施以一壓力F的軸向應變及 橫向應變值，做第一階段之複合材料積層樑結構之彈性常數識別，再 固定其所識別出之剪力模數G12及蒲松比ν12，然後再以應變規及其量測 儀器來量測±β°偶數層對稱堆疊的複合材料積層樑結構做三點彎曲試 驗時，在結構之中間處施以一壓力F的軸向應變及橫向應變值，做第二 階段之複合材料積層板結構之彈性常數識別，而識別出複合材料積層 樑結構之彈性常數E1及E2。 不論是複合材料積層板結構，或是複合材料積層樑結構，皆分兩 部份來研究之，分別是以單一階段識別法及兩階段識別法，本文將以 數值模擬及實際實驗來印證其可行性及精確性。

第二章 複合材料積層結構之力學理論

本章主要介紹並推導複合材料積層結構之力學理論，第一部分先 推導複合材料積層板結構，在承受主結構方向即 x-方向之軸向拉力 時，之軸向應變、橫向應變及剪應變與複合材料積層板結構之各勁度 間之關係，作為建立複合材料積層板結構之彈性常數識別的數值最佳 化目標函數，以複合材料積層板結構之各彈性常數為數值最佳化之設 計變數，然後找尋誤差函數的極小值，當找到誤差函數之極小值時， 而此時之設計變數即為複合材料積層板結構之各彈性常數。 第二部分是推導複合材料積層樑結構，承受力矩作用時，之軸向 應變、橫向應變及剪應變與複合材料積層樑結構之各勁度間之關係， 來建立複合材料各積層樑結構之彈性常數識別的數值最佳化目標函 數，以複合材料積層樑結構之各彈性常數為數值最佳化之設計變數， 然後找尋誤差函數的極小值，當找到誤差函數之極小值時，而此時之 設計變數即為複合材料積層樑結構之各彈性常數。 複合材料積層結構之力學發展迄今已相當臻善，在 Jones [1]、Tsai 和 Hahn [2] 、Vinson 和 Sierakowski [3] 、及 Swanson [4] 於其所編著 之複合材料力學及複合材料相關書籍中，對複合材料積層板及樑結構

之力學理論皆有完整之推導，故對於基礎之複合材料積層板及樑結構 力學理之推導與介紹，本文將參考上述文獻 [1-4] ，對識別複合材料 積層板及樑結構之材料的彈性常數所需之複合材料力學理論，重新整 理及推導於下列各節中。

2.1 複材結構之力學理論

複合材料積層板結構，主要是由數種不同夾角之單層複合材料 （Lamina）預浸材堆疊熱壓成形而製成的，故其特性皆與堆疊之單層 複合材料之性質及角度有關。 首先來推導一個由 n 個不同角度之單層複合材料堆疊而成的，複 合材料積層板受外力作用時，其由下方往上算之第 m 層的應力-應變關 係式，可寫成(2-1)式

{ }

(m)

[ ]

(m)

{ }

(m) Q ε = σ (2-1) 在(2-1)式中

{ }

) m ( xy y x ) m ( ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ τ σ σ = σ (2-2)

在(2-2)式中

{ }

31 ) m ( × σ 為複合材料積層板第 m 層之主結構方向(如圖 2-1)的應力矩陣， 為複合材料積層板第 m 層之主結構方向 x 方向之 正向應力， 為複合材料積層板第 m 層之主結構方向 y 方向之正向應 力，而 則為複合材料積層板第 m 層之主結構方向 x-y 平面的剪應力。 x σ y σ xy τ

[ ]

) m ( ss ys xs ys yy xy xs xy xx ) m ( Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = (2-3) 在(2-3)式中，

[ ]

3 3 ) m ( Q × 為複合材料積層板第 m 層之主結構方向的勁 度矩陣(Stiffness matrix)，Q_ij,(i,j=x,y,s)為複合材料積層板第 m 層之各 勁度，其值如下可參閱文獻[1-4]之推導，今將結果詳列於下: (2-4)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

(

(

)

(

4 4

)

66 2 2 66 12 22 11 ss 3 66 22 12 3 66 12 11 ys 3 66 22 12 3 66 12 11 xs 4 22 2 2 66 12 4 11 yy 4 4 12 2 2 66 22 11 xy 4 22 2 2 66 12 4 11 xx C S Q C S Q 2 Q 2 Q Q Q SC Q 2 Q Q C S Q 2 Q Q Q C S Q 2 Q Q SC Q 2 Q Q Q C Q C S Q 2 Q 2 S Q Q C S Q C S Q 4 Q Q Q S Q C S Q 2 Q 2 C Q Q + + − − + = + − + − − = + − + − − = + + + = + + − + = + + + =

)

)

於上式中，C=cosβ, S=sinβ 在(2-4)中

12 66 21 12 2 12 21 12 1 21 21 12 21 12 2 22 21 12 1 11 G Q 1 E 1 E Q Q 1 E Q , 1 E Q = ν ν − ν = ν ν − ν = = ν ν − = ν ν − = (2-5) 1 E 為 單 層 複 合 材 料 之 纖 維 方 向 即 1 方 向 之 楊 氏 係 值 (Young’s modulus)， 為單層複合材料之基材方向即 2 方向之楊氏係值， 為 單層複合材料在纖維方向即 1 方向受力而在基材方向即 2 方向產生橫 向應變之蒲松比(Poisson 2 E ν₁₂ ’ s ratio)，G 為單層複合材料平面即 1-2 平面之 剪力係數(Shear modulus)。 12 12 在 Jones [1] 及 Tsai [67] 之複合材料相關書籍中可知，當纖維方 向夾角為 45°時，剪力行為最強，故在第三章之兩階段複合材料積層結 構體識別中，以±45°對稱堆疊之複合材料結構，在第一階段識別時可 精確的識別出剪力係數G 。 而

{ }

) m ( xy y x ) m ( ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ γ ε ε = ε (2-6) 在(2-6)式中

{ }

_ε (m) 為複合材料積層板第 m 層之主結構方向的應變矩 陣，ε_x為複合材料積層板第 m 層之主結構方向 x-方向之正向應變，ε_y

為複合材料積層板第 m 層之主結構方向 y-方向之正向應變，而 則為 複合材料積層板第 m 層之主結構方向 x-y 平面的剪應變。 xy γ 對於一個複合材料積層板第 m 層之應變矩陣可寫成(2-7)式

{ }

ε (m) =

{ }

ε0 +z

{ }

κ (2-7) 在(2-7)式中，z 為厚度方向，z_m−1 ≤z≤z_m;

{ }

ε0 3×1為複合材料積層板 中間面(Middle surface)之主結構方向的應變矩陣， 為複合材料積層板 中間面之主結構方向 x 方向之正向應變， 為複合材料積層板中間面 之主結構方向 y 方向之正向應變，而 則為複合材料積層板中間面之 主結構方向 x-y 平面的剪應變。 0 x ε 0 y ε 0 xy γ

{ }

κ 為複合材料積層板中間面之曲率 (Curvatures)矩陣， 為複合材料積層板中間面在 x 方向之曲率， 為 複合材料積層板中間面在 y 方向之曲率，而 則為複合材料積層板中 間面在 x-y 平面上的翹曲曲率。 x κ κ_y xy κ 首先，我們要推導出複合材料積層板所受之應力的合力(Resultant force)與合力矩(Resultant moment)相對於應變與曲率之關係如下: ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ κ ε ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ 0 D B B A M N (2-8)

對於複合材料積層板所承受之應力的合力，其依定義可寫成(2-9) 式

{ }

N

{ }

dz dz ) m ( xy y x n 1 m z z 1 3 ) m ( n 1 m z z m 1 m m 1 m ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ τ σ σ = σ =

∑∫

∑∫

= × = − − (2-9) 其中

{ }

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = xy y x N N N N (2-10)

{ }

N 為複合材料積層板結構之每單位長度之合力矩陣即為應力的 合力矩陣， 為複合材料積層板結構主結構方向 x 方向之單位長度之 正向力， 為複合材料積層板結構主結構方向 y 方向之單位長度之正 向(如圖 2-2)，而 則為複合材料積板結構由 x-方向之平面作用到 y 軸方向之每單位長度的剪力。 x N y N xy N

[ ]

A 為拉伸勁度矩陣(Extensional stiffness matrix)

[ ]

A

[ ]

Q dz n 1 m z z ) m ( m 1 m

∑∫

= − = (2-11)

[ ]

B

[ ]

Q zdz n 1 m z z ) m ( m 1 m

∑∫

= − = (2-12)

[ ]

D 為彎曲勁度矩陣(Bending stiffness matrix)

[ ]

D

[ ]

Q z dz n 1 m z z 2 ) m ( m 1 m

∑∫

= − = (2-13) 複合材料積層結構所承受之應力的合力矩，其依定義可寫成(2-14) 式

{ }

M

{ }

zdz zdz ) m ( xy y x n 1 m z z 1 3 ) m ( n 1 m z z m 1 m m 1 m ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ τ σ σ = σ =

∑∫

∑∫

= × = − − (2-14) 其中

{ }

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = xy y x M M M M (2-15)

{ }

M 為複合材料積層板結構之每單位長度的合力矩矩陣， 為複 合材料積層板結構主結構方向在 x 方向之單位長度的合力矩， 為複 合材料積層板結構主結構方向在 y 方向之單位長度的合力矩，而 則 為複合材料積板結構由 x-方向之平面作用到 y 軸方向之每單位長度的 合力矩。 x M y M xy M

亦可將(2-8)式展開成(2-16)式 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ κ κ κ γ ε ε ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ xy y x 0 xy 0 y 0 x ss ys xs ss ys xs ys yy xy ys yy xy xs xy xx xs xy xx ss ys xs ss ys xs ys yy xy ys yy xy xs xy xx xs xy xx xy y x xy y x D D D B B B D D D B B B D D D B B B B B B A A A B B B A A A B B B A A A M M M N N N (2-16) 對於一個由不同角度之單層複合材料板所堆疊而成的複合材料積 層板結構之平板而言，複合材料積層板之長×寬為 a ×b，厚度為 h，當 複合材料積層板是對稱堆疊時，則偶合勁度矩陣

[ ]

B = 0，若複合材料積 層板只受應力合力作用時，且於各層板間無脫層現象發生，故複合材 料積層板結構之各層間在主結構之應變皆一致，即各層之應變與中間 面之應變相同，即

{ }

ε (m) =

{ }

ε0 =

{ }

ε (2-17)

{ }

ε 為複合材料積層板結構在主結構方向即 x-y 平面之表面應變矩 陣。 複合材料積層板結構單位長度所承受正向力時，其合力與應變之 關係可寫成

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ γ ε ε ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ xy y x ss ys xs ys yy xy xs xy xx xy y x A A A A A A A A A N N N (2-18) 直接用拉伸勁度矩陣之反矩陣來求得，故應變矩陣可表成(2-19)式 ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ γ ε ε − xy y x ss ys xs ys yy xy xs xy xx xy y x 1 ss ys xs ys yy xy xs xy xx xy y x N N N a a a a a a a a a N N N A A A A A A A A A (2-19) 將(2-19)式展開，可得(2-20)式 xy ss y ys x xs xy xy ys y yy x xy y xy xs y xy x xx x N a N a N a N a N a N a N a N a N a + + = γ + + = ε + + = ε (2-20) 圖 2-2 為複合材料積層板結構之平板在主結構方向即x、y方向承受 一個正向之軸向合力Nx及Ny作用時，Nxy= 0 的負載示意圖。 考慮複合材料積層板結構之平板在主結構方向即 x-方向承受一個 正向之軸向拉力 F 下作用時(如圖 2-3)，在(2-20)式中 0 N N b F N xy y x = = = (2-21) 因為複合材料積層板結構，在主結構方向即 x 方向承受一個正向 之軸向拉力 F 下作用時，其 x 方向之應變通常為最大值，由上面所推

導可知各應變與各拉伸勁度值皆有相當大之關係，而複合材料積層板 結構之各彈性常數識別，主要是以複合材料積層板結構之各彈性常數 為數值最佳化之設計變數，當複合材料積層板結構主結構方向即 x-方 向承受軸向拉力 F 時，各應變與複合材料積層結構之各勁度間之關係， 以及利用此軸向拉力所產生之應變，本文研究將以所有已知應變值量 測值，作為建立複合材料各積層結構之材料彈性常數識別的數值最佳 化目標函數即誤差函數之數學模式，其設計變數再以隨機多起始點方 式及下一章所介紹之數值最佳化方法，找尋誤差函數的極小值，當找 到誤差函數之極小值時，而此時之設計變數即為複合材料積層板結構 之各彈性常數，本文在結果與討論中將證實以所有已知應變值，來識 別複合材料積層板結構之各彈性常數之可行性與精確性。 今考慮複合材料積層樑結構，在無側向剪力作用時，當複合材料 積層樑結構是對稱堆疊時，則偶合勁度矩陣

[ ]

B = 0，且複合材料積層樑 結構無軸向力作用時則{N}=0，可用上述之關係知， } ]{ D [ } M { = κ (2-22) 將上式展開可寫成

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ κ κ κ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ xy y x ss sy sx ys yy yx xs xy xx xy y x D D D D D D D D D M M M (2-23) 若複合材料積層樑結構只承受 x-方向之力矩時，則 (2-24) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 0 0 M M M M _x xy y x 本文以窄樑理論來推導對稱堆疊之複合材料積層樑結構理論，即 ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ κ κ κ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ xy y x ss sy sx ys yy yx xs xy xx x D D D D D D D D D 0 0 M (2-25) 在(2-25)式可求對稱堆疊之複合材料積層樑結構之曲率為(2-26) 式，即 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ κ κ κ − 0 0 M d d d d d d d d d 0 0 M D D D D D D D D D _x ss sy sx ys yy yx xs xy xx x 1 ss sy sx ys yy yx xs xy xx xy y x (2-26) 將(2-26)式展開可得

x sx xy x yx y x xx x M d M d M d = κ = κ = κ (2-27) 對於一根寬為 w，厚度為 h 之對稱堆疊複合材料積層樑結構，且 在 x 方向承受總力矩 M 而言，由定義可知 x wM M= (2-28) 由(2-27)及(2-28)式可求到對稱堆疊之複合材料積層樑結構之 x 方 向之曲率為 w M d M d xx x xx x = = κ (2-29) 對稱堆疊之複合材料積層樑結構之 y 方向之曲率為 w M d M d_{yx x} yx y = = κ (2-30) 對稱堆疊之複合材料積層樑結構之 x-y 平面上之翹曲曲率為 w M d M d sx x sx xy = = κ (2-31) 對於一根寬為 w，厚度為 h，且試驗區間長為 L 之對稱堆疊複合材 料積層樑結構，在中間承受一力 F 作用時之三點彎曲試驗(如圖 2-4)而

言，即在 x-方向承受總力矩 M 之對稱堆疊複合材料積層樑結構，其中 間之總力矩 M 為 4 FL M= (2-32) 由(2-29)式可求到對稱堆疊之複合材料積層樑結構中間下表面之 x 方向的應變為 w 8 FLhd w 2 M hd 2 M hd 2 h _{x xx x xx xx} x = = = κ = ε (2-33) 由(2-30)式可求到對稱堆疊之複合材料積層樑結構中間下表面之 y 方向的應變為 w 8 FLhd w 2 M hd 2 M hd 2 h _{y yx x yx yx} y = = = κ = ε (2-34) 由(2-31)式可求到對稱堆疊之複合材料積層樑結構中間下表面之 x-y 方向的剪應變為 w 8 FLhd w 2 M hd 2 M hd 2 h _{xy sx x sx sx} xy = = = κ = γ (2-35) 對稱堆疊複合材料積層樑結構，在中間承受一力 F 作用時之三點彎曲 試驗，即在 x-方向承受總力矩 M，各應變與各勁度值皆有關係，而複 合材料積層樑結構之各彈性常數識別，主要是以複合材料積層樑結構

之各彈性常數為數值最佳化之設計變數，本文研究將以所有已知應變 值量測值，作為建立複合材料各積層樑結構之材料彈性常數識別的數 值最佳化目標函數即誤差函數之數學模式，其設計變數再以隨機多起 始點方式及下一章所介紹之數值最佳化方法，找尋誤差函數的極小 值，當找到誤差函數之極小值時，而此時之設計變數即為複合材料積 層樑結構之各彈性常數，本文在結果與討論中將證實以所有已知應變 值，來識別複合材料積層樑結構之各彈性常數之可行性與精確性。

2.2 有限元素法分析

複合材料積層樑結構，在中間承受一力 F 作用時之三點彎曲試驗， 即在 x-方向承受總力矩 M， 在其兩個支撐端會造成些微之舉起現象， 而會影響其應變值，Mujika[68-71] 在其文中所提及之單一偏角堆疊 (Off-axis)之複合材料積層結構，做三點彎曲時，會造成舉起現象甚巨， 而本文所研究之複合材料結構為正負角對稱堆疊之複合材料積層樑結 構(Angle-ply beams)，其兩個支撐端會造成些微之舉起現象，只會些微 影響其量測應變值。 本節主要以有限元素分析分析正負角對稱堆疊之複合材料積層 樑結構，做三點彎曲試驗，會在其兩個支撐端造成些微之舉起現象。 首先，對偏角堆疊之複合材料積層結構及本文本使用之正負角對稱堆