5-3-2不等式-條件不等式
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(2) 5. 一元 n 次不等式: 設 x1 , x 2 ,L , x n 皆為實數且 x1 < x 2 < L < x n , 若 f ( x) = ( x − x1 )( x − x 2 )L ( x − x n ) , 則判別 f ( x ) 的正負時,先將 x1 , x 2 ,L , x n 標在數線上, 由最右邊 f ( x ) 取正,並由最右往左 f ( x ) 依序取一正一負,如圖: ....... x1. 7.. x2. x3. ┼. ─. x n− 2 x n −1. x4. ┼. xn. 二次函數恆正或恆負的判別: 函數 f ( x) = ax 2 + bx + c, a, b, c 為實數且 a ≠ 0 ,則 (1) a > 0 且 b 2 − 4ac < 0 ,則開口向上且與 x 軸無交點,即 f ( x ) 恆正; (2) a < 0 且 b 2 − 4ac < 0 ,則開口向下且與 x 軸無交點,即 f ( x ) 恆負; (3) a > 0 且 b 2 − 4ac ≥ 0 ,則開口向上且與 x 軸交一點,即 f ( x ) 恆非負; (4) a < 0 且 b 2 − 4ac ≤ 0 ,則開口向下且與 x 軸交一點,即 f ( x ) 恆非正。 b 2 − 4ac > 0 b 2 − 4ac = 0 b 2 − 4ac < 0 y. y. y. a>0 x. x. y. a<0. 8.. y. y. x. x. 整式不等式: 化成首項係數為正。. 7. x. x.
(3) 9.. 分式不等式: 設 a < b ,則: x−a (1) < 0 ⇔ ( x − a )( x − b) < 0 ⇔ a < x < b ; x−b x−a (2) ≤ 0 ⇔ ( x − a )( x − b) ≤ 0 且 x ≠ b ⇔ a ≤ x < b ; x−b 10. 分式不等式: f ( x) (1) > 0 ⇔ f ( x) g ( x) > 0 。 g ( x) f ( x) (2) ≥ 0 ⇔ f ( x) g ( x) ≥ 0 且 g ( x ) ≠ 0 。 g ( x) 11. 根式不等式: ⎧ f ( x) ≥ 0 ⎧ f ( x) ≥ 0 ⎪ 或 ⎨ g ( x) ≥ 0 。 (1) f ( x) ≥ g ( x) ⇔ ⎨ ⎩ g ( x) < 0 ⎪ 2 ⎩ f ( x) ≥ ( g ( x)) ⎧ f ( x) ≥ 0 ⎪ (2) f ( x) ≤ g ( x) ⇔ ⎨ g ( x) ≥ 0 。 ⎪ f ( x) ≤ ( g ( x)) 2 ⎩ 12. 絕對值不等式: 設 f ( x) =| x − a1 | + | x − a2 | + L + | x − an |, a1 < a2 < L < an 其圖形的折點為 (a k , f (a k )), k = 1,2,L , n (1)若 n 為奇數,則當 x = a n +1 時, f ( x ) 有最小值; 2. (2)若 n 為偶數,則當 a n ≤ x ≤ a n 時, f ( x ) 有最小值。 2. 2. +1. 註: 極值發生在圖形斜率由負轉正的那一個折點, 也就是若 x1 ≤ x 2 ≤ L ≤ x n , 當 x 等於 x1 , x 2 , L, x n 的中位數時, f ( x ) 有最小值。. 8.
(4) 13. 指數不等式: 底數大於 1 則遞增,底數小於 1 則遞減。 註: 指數函數: 設 a > 0, a ≠ 1, x ∈ R ,稱函數 f ( x) = a x 為以 a 為底數的指數函數。 對於任意實數 x , f ( x) = a x > 0 恆成立。 14. 對數不等式: 底數大於 0,真數大於 0 且不等於 1。 註: 對數函數: 如果 a > 0, a ≠ 1, b > 0 , 當 a x = b 時,我們用符號 log a b 來表示 x ,即 x = log a b 。 我們稱 log a b 為以 a 為底數, b 的對數,其中 a 稱為底數, b 稱為真數。 反過來說,如果 x = log a b ,那麼 a x = b ,即 a x = b ⇔ x = log a b 15. 三角不等式: 可圖解或用單位圓配合討論正負,注意同界角。 註: (1)利用奇偶性與週期、定義域與值域、振幅。 (2)常用 tan 表示式公式,或三角函數的疊合。 16. 算幾不等式: 設 a1 , a2 ,L, an 為正實數,若 a1 + a2 + L + an = k 為常數,則 n a1a2 L an ≤. k 。 n. k 故當 a1 = a2 = L = an 時, a1a2 Lan 有最大值 ( ) n 。 n a1 + a2 + L + an n 若 a1a2 L an = k 為常數,則 ≥ k。 n 故當 a1 = a2 = L = an 時, a1 + a2 + L + an 有最小值 n × n k 。 17. 柯西不等式:. 由於 (a1 + a2 +L+ an )(b1 + b2 +L+ bn ) ≥ (a1b1 + a2b2 + L + anbn ) 2 ,故 2. 2. 2. 2. 2. 2. (1)若 b1 + b2 + L + bn 與 a1b1 + a 2b2 + L + an bn 都是常數, 2. 2. 2. 則當 a1 , a2 ,L, an 與 b1 , b2 ,L , bn 成比例時, a1 + a2 + L + an 有最小值。 2. 2. (2)若 a1 + a2 + L + an 與 b1 + b2 + L + bn 都是常數, 則當 a1 , a2 ,L, an 與 b1 , b2 ,L , bn 成比例時, 2. 2. 2. 2. 2. 2. ( a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn ) 2 有最大值,. 而 a1b1 + a 2b2 + L + an bn 有最大值或最小值。. 9. 2.
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