• 沒有找到結果。

5-3-2不等式-條件不等式

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "5-3-2不等式-條件不等式"

Copied!
4
0
0

加載中.... (立即查看全文)

全文

(1)選修數學(I)3-2 不等式-條件不等式 【定義】 1. 條件不等式: 一個含有未知數且只對某些數成立的不等式,稱為條件不等式。 2. 多項式不等式: 若 f (x ) 是一個實係數多項式,則 f ( x ) > 0, f ( x) < 0, f ( x ) ≥ 0, f ( x) ≤ 0 都稱為 多項式不等式,且當 f (x ) 是次數為 n( n ≥ 1) 時,這些不等式就是一元 n 次不 等式。 【討論】 常見的條件不等式如下: 1. 一元一次不等式: 若 a, b 為實數, a ≠ 0 ,則 ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0 等都是一元 一次不等式。 對於 ax + b > 0 而言 (1)若 a > 0 ,則 x > − b 。(2)若 a < 0 ,則 x < − b 。 a a 2. 一元二次不等式: 設 f ( x) = ax 2 + bx + c, a, b, c 為實數, a > 0 , 判別式 解 b 2 − 4ac > 0 b 2 − 4ac = 0 b 2 − 4ac < 0 不等式. x< f ( x) > 0. − b − b 2 − 4ac 2a. b 2a 之任一實數. 任意實數. 無解. 無解. x≠−. 2 或 x > − b + b − 4ac 2a. − b − b 2 − 4ac − b + b 2 − 4ac <x< 2a 2a 3. 一元二次不等式: 設 α , β 為實數且 α < β ,則: (1) ( x − α )( x − β ) < 0 之解為 α < x < β ; (2) ( x − α )( x − β ) > 0 之解為 x > β 或 x < α 。 f ( x) < 0. ┼. ─. α. ┼ x. β. 4. 一元三次不等式: 設 α , β , γ 為實數且 α < β < γ ,則: (1) ( x − α )( x − β )( x − γ ) > 0 之解為 α < x < β 或 x > γ ; (2) ( x − α )( x − β )( x − γ ) < 0 之解為 x < α 或 β < x < γ 。 ─. ┼. α. ─. ┼. γ. β. 6. x.

(2) 5. 一元 n 次不等式: 設 x1 , x 2 ,L , x n 皆為實數且 x1 < x 2 < L < x n , 若 f ( x) = ( x − x1 )( x − x 2 )L ( x − x n ) , 則判別 f ( x ) 的正負時,先將 x1 , x 2 ,L , x n 標在數線上, 由最右邊 f ( x ) 取正,並由最右往左 f ( x ) 依序取一正一負,如圖: ....... x1. 7.. x2. x3. ┼. ─. x n− 2 x n −1. x4. ┼. xn. 二次函數恆正或恆負的判別: 函數 f ( x) = ax 2 + bx + c, a, b, c 為實數且 a ≠ 0 ,則 (1) a > 0 且 b 2 − 4ac < 0 ,則開口向上且與 x 軸無交點,即 f ( x ) 恆正; (2) a < 0 且 b 2 − 4ac < 0 ,則開口向下且與 x 軸無交點,即 f ( x ) 恆負; (3) a > 0 且 b 2 − 4ac ≥ 0 ,則開口向上且與 x 軸交一點,即 f ( x ) 恆非負; (4) a < 0 且 b 2 − 4ac ≤ 0 ,則開口向下且與 x 軸交一點,即 f ( x ) 恆非正。 b 2 − 4ac > 0 b 2 − 4ac = 0 b 2 − 4ac < 0 y. y. y. a>0 x. x. y. a<0. 8.. y. y. x. x. 整式不等式: 化成首項係數為正。. 7. x. x.

(3) 9.. 分式不等式: 設 a < b ,則: x−a (1) < 0 ⇔ ( x − a )( x − b) < 0 ⇔ a < x < b ; x−b x−a (2) ≤ 0 ⇔ ( x − a )( x − b) ≤ 0 且 x ≠ b ⇔ a ≤ x < b ; x−b 10. 分式不等式: f ( x) (1) > 0 ⇔ f ( x) g ( x) > 0 。 g ( x) f ( x) (2) ≥ 0 ⇔ f ( x) g ( x) ≥ 0 且 g ( x ) ≠ 0 。 g ( x) 11. 根式不等式: ⎧ f ( x) ≥ 0 ⎧ f ( x) ≥ 0 ⎪ 或 ⎨ g ( x) ≥ 0 。 (1) f ( x) ≥ g ( x) ⇔ ⎨ ⎩ g ( x) < 0 ⎪ 2 ⎩ f ( x) ≥ ( g ( x)) ⎧ f ( x) ≥ 0 ⎪ (2) f ( x) ≤ g ( x) ⇔ ⎨ g ( x) ≥ 0 。 ⎪ f ( x) ≤ ( g ( x)) 2 ⎩ 12. 絕對值不等式: 設 f ( x) =| x − a1 | + | x − a2 | + L + | x − an |, a1 < a2 < L < an 其圖形的折點為 (a k , f (a k )), k = 1,2,L , n (1)若 n 為奇數,則當 x = a n +1 時, f ( x ) 有最小值; 2. (2)若 n 為偶數,則當 a n ≤ x ≤ a n 時, f ( x ) 有最小值。 2. 2. +1. 註: 極值發生在圖形斜率由負轉正的那一個折點, 也就是若 x1 ≤ x 2 ≤ L ≤ x n , 當 x 等於 x1 , x 2 , L, x n 的中位數時, f ( x ) 有最小值。. 8.

(4) 13. 指數不等式: 底數大於 1 則遞增,底數小於 1 則遞減。 註: 指數函數: 設 a > 0, a ≠ 1, x ∈ R ,稱函數 f ( x) = a x 為以 a 為底數的指數函數。 對於任意實數 x , f ( x) = a x > 0 恆成立。 14. 對數不等式: 底數大於 0,真數大於 0 且不等於 1。 註: 對數函數: 如果 a > 0, a ≠ 1, b > 0 , 當 a x = b 時,我們用符號 log a b 來表示 x ,即 x = log a b 。 我們稱 log a b 為以 a 為底數, b 的對數,其中 a 稱為底數, b 稱為真數。 反過來說,如果 x = log a b ,那麼 a x = b ,即 a x = b ⇔ x = log a b 15. 三角不等式: 可圖解或用單位圓配合討論正負,注意同界角。 註: (1)利用奇偶性與週期、定義域與值域、振幅。 (2)常用 tan 表示式公式,或三角函數的疊合。 16. 算幾不等式: 設 a1 , a2 ,L, an 為正實數,若 a1 + a2 + L + an = k 為常數,則 n a1a2 L an ≤. k 。 n. k 故當 a1 = a2 = L = an 時, a1a2 Lan 有最大值 ( ) n 。 n a1 + a2 + L + an n 若 a1a2 L an = k 為常數,則 ≥ k。 n 故當 a1 = a2 = L = an 時, a1 + a2 + L + an 有最小值 n × n k 。 17. 柯西不等式:. 由於 (a1 + a2 +L+ an )(b1 + b2 +L+ bn ) ≥ (a1b1 + a2b2 + L + anbn ) 2 ,故 2. 2. 2. 2. 2. 2. (1)若 b1 + b2 + L + bn 與 a1b1 + a 2b2 + L + an bn 都是常數, 2. 2. 2. 則當 a1 , a2 ,L, an 與 b1 , b2 ,L , bn 成比例時, a1 + a2 + L + an 有最小值。 2. 2. (2)若 a1 + a2 + L + an 與 b1 + b2 + L + bn 都是常數, 則當 a1 , a2 ,L, an 與 b1 , b2 ,L , bn 成比例時, 2. 2. 2. 2. 2. 2. ( a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn ) 2 有最大值,. 而 a1b1 + a 2b2 + L + an bn 有最大值或最小值。. 9. 2.

(5)

參考文獻

相關文件

3.丙級:包括應用作業系統、安裝軟體與使用電腦週邊設 備、設定繪圖環境、控制圖形螢幕、輸出圖形與 管理圖面等基本工作及繪製單件立體圖、立體剖

柯西不等式、 排序不等式、 柴比雪夫不等式、 布奴利不等式、 三角不等式、 詹森不等 式、 變數代換法、 數學歸納法、 放縮法、 因式分解法、 配方法、 比較法、 反證法、

以下簡單介紹魔術三角形: 如圖 1, 若三角形每邊有 三個數且數字和都是定值, 稱為 3 階 (傳統) 魔術三角形; 如圖 2, 若每邊有三 個數且較大兩數和減最小數的差都是定值, 稱為

眾所周知: 有時, 某極值題或不等式 題可利用 Cauchy 不等式定理以解 (證) 之, 但其若干類似題則否。 筆者研究發現: 由 Cauchy 不等式定理入手, 將其作適當類推, 可得廣義

定理: : : :2.1-2 全等三角形對 全等三角形對應角的對邊相等 全等三角形對 全等三角形對 應角的對邊相等 應角的對邊相等 ... S.三角形全等定理 三角形全等定理 三角形全等定理

[r]

MSS6.4.2 基於判定條件運用演繹法證明全等和相似三角形 MSS6.4.3 驗證三角形四心如內心、外心、垂心和形心的作圖法 MSS6.5 認識四邊形的性質

閱讀劇本 了解劇情 文學賞析 音樂欣賞 創作背景、 配器法等 不同版本 深入探討 與原著的 關係 作出評論.