28
三年級面積概念之應用
陳志瑲 南崁國民小學壹、 前言
面積是用來表達一固定區域的覆蓋程度或覆蓋面大小的量感。三年級的面積 教學單元流程主要是先讓學童進行無空隙的平面鋪設的經驗，再利用疊合、切割 及移補來比較兩相異平面圖形的大小，進而培養面積的量感，最後透過平方公分 板進行面積的實測。但是教材中的平面圖形都是學童較常見且有規則的四邊形 （正方形、長方形、菱形、平行四邊形及等腰梯形），其計算方法主要是以點算 法【圖 1：正方形、長方形】和移補法【圖 2：平行四邊形、菱形、箏形及等腰 梯形】為主，對於不規則多邊形面積的求法並未提及。不過教材中的教學活動有 提出正方形能切割成兩個大小相等的直角三角形，來讓學童了解直角三角形面積 是正方形面積的一半【圖 3】，教師若能進一步推演出長方形面積和直角三角形 面積的關係【圖 4】，不但可以強化學童紮實的三角形面積概念，學童還可以利 用直角三角形面積概念來與其它多邊形面積進行連結，使學童從不規則多邊形面 積的求法的操作中，利用直角三角形面積和多邊形圖形面積之間的特性，建構思 考如何解決多邊形面積的問題。本單元中由於大部分的學童都是利用點算 1 ㎝2 的正方形面積和切割移補（二個相等面積的直角三角形可以形成一正方形面積或 長方形面積）的方法來求出圖形面積，對於不規則的多邊形面積就無法提出解決 策略，故教師若能利用長方形（正方形）和直角三角形之間的關係，就可以提供 學童運用不同的方法來解決多邊形圖形面積大小的問題。圖 1-1 正方形（點算法） 作法： c 3 × 3＝9 Ans：12 ㎝2 圖 1-2 長方形（點算法） 作法： c 4 × 3＝12 Ans：12 ㎝2 圖 2-1 平行四邊形（移補法） 作法： c將右方的一個三角形移到左 方填補一個三角形，即形成 一個長方形。 d長方形面積 3 × 3＝9 Ans：4 ㎝2 圖 2-2 菱形（移補法） 作法： c將下方的二個三角 圖 2-3 箏形（移補法） 作法： c將右方的二個三角形移到 圖 2-4 等腰梯形（移補法） 作法： c將右方的一個三角形移到左
形移到 上方填補二個三角 形，即 形成一個正方形。 d正方形面積 2 × 2＝4 Ans：4 ㎝2 左方填補二個三角形，即 形成一個長方形。 d長方形面積 2 × 4＝8 Ans：8 ㎝2 方填補一個三角形，即形成 一個長方形。 d長方形面積 4 × 3＝12 Ans：12 ㎝2 圖 3：透過正方形切割成二個全等的等腰直角三角形，使學童理解正方形面積是由兩個 全等 的等腰直角三角形拼湊在一起，建構等腰直角三角形的面積是正方形面積的一 半。 圖 4：透過長方形切割成二個全等的直角三角形，使學童理解長方形面積是由兩個全等 的直角三角形拼湊在一起，建構直角三角形的面積是長方形面積的一半。 由圖3和圖4歸納：直角三角形面積可由長方形面積（正方形面積）的一半求得。
貳、 設計動機
三年級的面積教學單元中，主要是以點算法和移補法為主的教學方法，來計 算出圖形面積的大小。布題上如果出現不規則的幾何平面圖形，學生並無法利用 上述兩種方法來解決問題，部分的教師同樣會出現該如何解決不規則平面圖形的 疑惑，於是為了解決多邊形圖形的面積大小問題，於是針對不規則多邊形圖形做 為本單元的延伸活動，利用直角三角形和長方形（正方形）的關係提出累加法、 填補扣除法和扣除法來提供給各位教師作為參考，希望能對大家有所助益。茲以 三角形【圖 5】、四邊形【圖 6】、五邊形【圖 7】為例，活動分述如下： 一、 透過平方公分板的切割進行三角形面積的實測 圖 5-1：移補法 作法： c 將右方的一個直角三角形移到左方 填補 一個直角三角形，即形成一個正方 形。 d 2 × 2＝4 Ans：4 ㎝2 圖 5-2：累加法 作法： c 切割成二個三角形後，再相加 d 3＋1＝4 Ans：4 ㎝2 3 ㎝2 1 ㎝2圖 5-3：扣除法 作法： c 算出長方形面積 4 × 2＝8 d 8－(3＋1)＝4 Ans：4 ㎝2 圖 5-4：全體扣除法 作法： c 算出長方形面積 4 × 2＝8 d 8－(4＋2)＝2 Ans：2 ㎝2 二、 透過平方公分板的切割進行四邊形面積的實測 圖 6-1：累加法 作法： c 切割成 4 塊直角三角形 d 3＋3＋1＋3＝10 Ans：10 ㎝2 圖 6-2：全體扣除法 作法： c 長方形面積 5 × 4＝20 d 20－(3＋3＋1＋3)＝10 Ans：10 ㎝2 3 ㎝2 1 ㎝2 3 ㎝2 3 ㎝2 1 ㎝2 4 ㎝ 2 3 ㎝2 3 ㎝2 1 ㎝2 3 ㎝2
圖 6-3：填補扣除法 作法： c填補黑色圖形部分擴展成直角三角形， 再扣除 1 ㎝2的正方形 d 6＋3＋3＋(6－1)＝17 Ans：17 ㎝2 圖 6-4：全體扣除法 作法： c 長方形面積 7 × 5＝35 d 35－(6＋3＋6＋3)＝17 Ans：17 ㎝2 三、 透過平方公分板的切割進行五邊形面積的實測 圖 7-1：累加法 圖 7-2：全體扣除法 (6－1)㎝2 3 ㎝2 6 ㎝2 3 ㎝2 6 ㎝2 3 ㎝2 6 ㎝2 3 ㎝2 3 ㎝2 3 ㎝2 2 ㎝2 2 ㎝2 2 ㎝2 1 ㎝2 2 ㎝2 1 ㎝2 4 ㎝2
作法： c 切割成 4 塊直角三角形和一個正方 形 d (2＋1＋3＋2)＋4＝12 Ans：12 ㎝2 作法： c長方形面積 5 × 4＝20 d 20－(2＋1＋3＋2)＝12 Ans：12 ㎝2 圖 7-3：累加法 作法： c 切割成 5 塊直角三角形及中間區塊 d (1＋2＋2＋1＋2)＋7＝15 Ans：15 ㎝2 圖 7-4：全體扣除法 作法： c 長方形面積 5 × 5＝25 d 25－(1＋2＋2＋1＋2＋2)＝15 Ans：15 ㎝2 1 ㎝2 2 ㎝2 2 ㎝2 1 ㎝2 2 ㎝2 7 ㎝2 2 ㎝2 2 ㎝2 2 ㎝2 2 ㎝2 1 ㎝2 1 ㎝2
圖 7-5：填補扣除法 作法： c 填補黑色圖形部分擴展成長方形， 再扣除 1 ㎝2的正方形 d 2＋4＋3＋1＋2＋（12－1）＝23 Ans：23 ㎝2 圖 7-6：全體扣除法 作法： c 長方形面積 6 × 6＝36 d 36－（2＋4＋3＋1＋1＋2）＝23 Ans：23 ㎝2
參、 結語
三年級學童從平分公分板的大小來培養面積的量感，從直接比較二圖形面積 的大小開始學習面積的意義，進而學會點算 1 平方公分來實測面積的大小，並在 本單元的教材中長方形（正方形）和直角三角形之間的概念關係有進一步的了 4 ㎝2 3 ㎝2 2 ㎝2 2 ㎝2 1 ㎝2 (12-1)㎝2 2 ㎝2 4 ㎝2 3 ㎝2 1 ㎝2 2 ㎝2 1 ㎝2求法感到困難而無從下手，當學會從圖形的內部進行切割，再將各區塊的直角三 角形（有時會有數個小正方形）加在一起而求出答案，對教材內容才有更多一些 的認知，但有時切割難度太高【註 1】及不能剛好都切割成直角三角形而發生問 題【註 2】，因為必須填補成直角三角形（或長方形），再進行扣除填補的區塊， 以計算出多邊形的圖形面積。雖然大多數的學童都能了解切割－填補－扣除的意 義，但常常會忘記扣除重複的圖形的面積，而使得計數發生錯誤，無法正確算出 答案，造成面積點算的迷思【註 3】。 本活動主要是透過直角三角形的特性來介紹移補法、累加法、填補扣除法及 全體扣除法，所以在進行之前必須讓學童先建立直角三角形和長方形（正方形） 的關係，然後透過切割才能求面積的大小。本活動主要是要利用全體扣除法的策 略來進行面積的實測，在實測之前必先將多邊形圖形框成一長方形，再將圖形外 部的直角三角形（有時會有數個小正方形）扣除，以求出答案。希望學童在利用 全體扣除法的時候，可以與移補法、累加法及填補扣除法互相比較，建立平面圖 形面積的多樣的解法，並從操作中學習思考多邊形面積其它的解題方式，以提昇 學童的解題策略與思考推理的能力。 【註 1】切割難度太高 切割成 5 塊直角三角形後，剩下的部份可 點算出 1 ㎝2 的正方形個數而求出答案， 但切割的難度太高，不是學童能輕易就切 割成功。 【註 2】無法全部切割成直角三角形 切割成 3 塊直角三角形後，第 4 塊無 法形成直角三角形而不會計算。
