國中數學4 3 3角平分線與垂直平分線的性質

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3−3 角平分線與垂直平分線的性質

本節課程學習重點： ◎能理解三角形的全等性質並做簡單的幾何推理。 ◎驗證角平分線性質：角平分線上的任一點到角的兩邊之距離相等；反之，亦成立。 ◎驗證垂直平分線性質：一線段之中垂線上任一點到兩端點等距；反之，亦成立。 ◎驗證等腰三角形的性質：等腰三角形的兩底角相等、頂角平分線會垂直平分底邊；反之，亦成立。 一、角平分線與垂直平分線性質： ◎角平分線性質：角平分線上任一點到此角兩邊的距離相等。例如：下圖中，若→AP 平分∠BAC，且PB ⊥ AB ，PC⊥AC，則 PB ＝PC。 B A _P C 【說明】如右圖，已知→AP 為∠EAF 的角平分線，D 為→AP 上任意一點， 作DC垂直→AE 於 C， DB 垂直→AF 於 B，則DC＝ DB 。 證明如下：因為∠1＝∠2 (→AP 為∠EAF 的角平分線)， ∠ACD＝∠ABD ＝90° (DC⊥→AE ， DB ⊥→AF )， AD ＝ AD (公共邊)，

根據 AAS 全等性質，可知△ACD ≅ △ABD，所以DC＝ DB 。

【觀念釐清】須先利用三角形的全等性質證明兩三角形全等，再推理得到兩對應邊或兩對應角相等。 ◎角平分線的判別性質：若一點到某角的兩邊距離相等，則此點會在該角的角平分線上。 例如：下圖中，若 PB ⊥ AB ，PC⊥AC，且 PB ＝PC，則→AP 平分∠BAC。 B A _P C E F 【說明】如右圖，已知 P 點是∠EAF 內的一點， PB 垂直→AE 於 B，PC垂直→AF 於 C，且PB ＝PC， 則 P 點在∠EAF 的角平分線上。 證明如下：如右圖，連接 ¯AP，在△ABP 和△ACP 中， 因為∠ABP＝∠ACP＝90° ( PB ⊥→AE ，PC⊥→AF )， AP ＝ AP (公共邊)， PB ＝PC(已知)， 所以根據 RHS 全等性質，可知△ABP ≅ △ACP， 得∠BAP＝∠CAP (對應角相等)， 即 AP 平分∠BAC，P 點在∠BAC 的角平分線上。 P 2 1 A D C E F B A P C B E F

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練習1：右圖△ABC 中，∠ACB＝90°，→BD為∠ABC 的角平分線，交AC於 D 點， 若 AB ＝16，CD＝3，則△ABD 的面積為多少？練習2：如右圖，△ABC 中，D 在 BC 上， DE ⊥ AB 、 DF ⊥AC， 且 DE ＝ DF ，∠BAD＝42°，∠C＝60°，則∠B＝？ ◎垂直平分線性質：一線段的垂直平分線上任一點到此線段的兩端點距離相等。 例如：下圖中，已知直線 L 為 AB 的垂直平分線，C 是直線 L 上任一點，則CA＝CB。 B A C L 【說明】如右圖，在△ACD 和△BCD 中， 因為 AD ＝ AD ， ∠CDA＝∠CDB＝90° (直線 L 為 AB 的垂直平分線)， CD＝CD (公共邊)， 根據 SAS 全等性質，可知△ACD ≅ △BCD，所以CA＝CB。 ◎垂直平分線的判別性質：若一點到某線段兩端點的距離相等，則此點會在該線段的垂直平分線上。 例如：下圖中，若 PA ＝ PB ，則 P 點會在 AB 的垂直平分線上。 B A P 【說明】過 P 點作 PM ⊥ AB ，交 AB 於 M 點，如右圖，在△APM 和△BPM 中， 因為∠AMP＝∠BMP＝90°， PA ＝ PB (已知)， PM ＝ PM (公共邊)， 所以根據 RHS 全等性質，可知△APM ≅ △BPM，得 AM ＝ BM ， 即 PM 為 AB 的垂直平分線，P 點會在 AB 的垂直平分線上。 【觀念釐清】(另證) 先作 ¯AB的中點 D，連接 ¯PD，如右圖，在△APD 與△BPD 中， 因為 PA ＝ PB ， AD ＝ BD ， PD ＝ PD ，由 SSS 全等性質， 可知△APD ≅ △BPD，得∠PDA＝∠PDB， 又∠PDA＋∠PDB＝180°， 所以∠PDA＝∠PDB＝90°，即 PD ⊥ AB 。 A C D F E B 60° 42° B A P M B A P D B A C L D C B D 3 16 A

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練習3：如右圖，直線 L 為BC的中垂線，且交 AB 於 E 點， 若△AEC 的周長為 26，AC＝8，則 AB 的長度為多少？練習4：如右圖，△ABC 中，∠A＝90°， DE ⊥BC，且 BE ＝CE， 若 AB ＝5、 BD ＝13_{2 ，則(1)}AC＝？ (2)△ABE 的周長為何？二、等腰三角形的性質：(1)等腰三角形的兩個底角會相等。 (2)等腰三角形的頂角平分線會垂直平分底邊。 (3)等腰三角形底邊的垂直平分線會通過頂點，且平分頂角。 例如：△ABC 中，已知 AB ＝AC，則 (1)∠B＝∠C。 (2)若 AD 平分∠BAC，則 AD ⊥BC且 BD ＝CD。 (3)若 AD ⊥BC且 BD ＝CD，則 AD 平分∠BAC。 【說明】如右圖，△ABC 為等腰三角形，其中 AB ＝AC， (1)在BC上取中點 D，並連接 AD ，在△ABD 和△ACD 中， 因為 AB ＝AC (已知)， BD ＝CD (D 為BC中點)， AD ＝ AD (公共邊)， 由 SSS 全等性質，可知△ABD ≅ △ACD，所以∠B＝∠C。

(2)作∠A 的角平分線交BC於 D 點，在△ABD 和△ACD 中， 因為 AB ＝AC (已知)，

∠BAD＝∠CAD ( AD 平分∠BAC)， AD ＝ AD (公共邊)，

由 SAS 全等性質，可知△BAD ≅ △CAD， 所以 BD ＝CD且∠BDA＝∠CDA， 又∠BDA＋∠CDA＝180°，得∠BDA＝∠CDA＝90°，即 AD ⊥BC。【觀念釐清】此處第一步可選擇作等腰三角形之頂角的平分線或底邊上的高或底邊的中垂線或 過頂角的中線，都可以推論得到△ABD ≅ △ACD。 (3)反之，如右圖，已知等腰△ABC 中， AB ＝AC， 且 D 為BC的垂直平分線上一點，因為 AB ＝AC， 根據垂直平分線的判別性質，所以 A 點會在BC的垂直平分線上。 又因為△ABD 和△ACD 中，∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC＝90°， 由三角形的內角和定理，可知∠BAD＝∠CAD。 因此 AD 為BC的垂直平分線(過 A 點)，且 AD 會平分∠BAC。 L D E A B _C E D A B C B C A D B A D C B A D C B A D C

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◎等腰三角形的判別性質：若三角形的兩個內角相等，則此三角形必為等腰三角形。 例如：△ABC 中，若∠B＝∠C，則 AB ＝AC。 【說明】如右圖，若△ABC 中，∠B＝∠C，作∠A 的角平分線交 ¯BC於 F 點， 在△BAF 和△CAF 中， 因為∠B＝∠C (已知)， ∠BAF＝∠CAF ( ¯AF平分∠BAC)， AF ＝ AF (公共邊)，

由 AAS 全等性質，可知△BAF ≅ △CAF，得 AB ＝AC。

練習5：如右圖，△ABC 中， BD ＝ BE ，CD＝CF， 若∠B＝70°，∠C＝40°，則∠EDF＝？ 練習6：如右圖，△ABC 中，已知 D 為BC上一點， 若 AB ＝ AD ＝CD，且∠C＝32°，則∠B＝？ 練習7：如右圖，△BCD 中，A 為CD上一點，且AC＝BC，若∠1＝1 2∠2，則△ABD 是否為等腰三角形？練習8：如右圖，△ABC 中， AB ＝7，BC＝3，D 為 AB 上一點， 若∠A＝∠1，∠B＝∠2，則 BD ＝？ ◎正三角形的判別性質：(1)三邊相等的三角形必為正三角形；(2)三內角相等的三角形必為正三角形。練習9：如右圖，△ABC 中，已知 AB ＝AC， AD 平分∠BAC，且交BC於 D 點， 若∠B＝60°， AB ＝6，則△ABC 的面積是多少？ B A F C B E F A D C B A D C B A C B A D C 60° 6 A _C D B 2 1 A D C B 2 1

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練習10：如右圖，△ABC 中， AD 垂直平分 BC ，且 CE 平分∠ACB， AD 、 CE 交於 E 點。若∠AEC＝120°，則 (1)∠DAC＝？ (2)△ABC 是否為正三角形？ 自我評量 1. 如右圖，→AD為∠BAC 的角平分線，且 DE ⊥ AB 、 DF ⊥AC， △ABC 的面積為 21， AB ＝6，AC＝8，則 DE ＝？(Hint：面積和相等) 2. 如右圖，△BCD 中，直線 L 為CD的垂直平分線，交 BD 於 A 點， 交CD於 E 點，若∠ACB＝90°，BC＝4， BD ＝8，則 AD ＝？ 3. 右圖為五邊形公園，要在內部建立一座涼亭， 使涼亭到兩條步道 AB 、 BC 的距離相等，且 到洗手間 C、E 的距離相等，請在這個公園內 以尺規作圖找出涼亭的位置。 4. 如右圖，已知 B、C、D 三點在同一直線上， AB ＝AC，EC＝ ED ， 若∠A＋∠E＝160°，求∠ACE＝？ 習作 1. 如右圖，△ABC 中， AD 平分∠BAC， DE ⊥ AB ， DF ⊥AC， 若 AB ＝10，AC＝8， DE ＝4，則△ABC 的面積為多少？ B A D C E B A L C E D B A C E D A E _F D B C A C D F E B C B D A E wc wc

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A E B C D 1 2. 如右圖，△ABC 為直角三角形，∠C＝90°，L 為 AB 的中垂線， 若 AB ＝5，BC＝3，則CD＝？ 3. 如右圖，已知四邊形 ABCD，下列 P、Q、R、S 四個點中，哪一點到 C 點、D 點的距離等長， 且該點到 AD 、CD的距離也相等？ P 點：∠C 平分線與∠D 平分線的交點 Q 點：∠D 平分線與 AD 中垂線的交點 R 點：∠C 平分線與CD中垂線的交點 S 點：∠D 平分線與CD中垂線的交點 4. 如右圖，已知△ABC 內有一點 O，使OD⊥ AB ，OE⊥BC，OF⊥AC，且OD＝OE＝OF，若∠A＝80°，則∠BOC＝？ 5. 如右圖，已知→BD、→CD分別為∠ABC、∠ACE 的角平分線，且∠D＝40°， ∠1＝25°，則(1)△ABC 是否為等腰三角形？ (2)∠A＝？

6. 如右圖，直角△ABC 中，∠A＝90°， DB ＝DC，若∠DCA＝15°，則∠B＝？

7. 如右圖，△ABC 中， AB ＝AC＝10，BC＝12， BD 平分∠ABC，則 (1)△ABC 的面積為多少？ (2)△ABD 面積與△BCD 面積的比值為多少？ A L E D B _C A E B C O D F A B C D A B C D A B C D

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A E B C D 8. 如右圖，△ABC 中， AB ＝AC， AE ＝ DE ，CE＝CD＝CB，若∠A＝x°， 則 x＝？ 類題補充 1. 如下圖，△ABC 為直角三角形，∠C＝90°，L 為 ¯ AB 的中垂線，若 ¯ AB ＝10， ¯ BC ＝6，則 ¯ CD ＝？ A B C L D 2. 如下圖，△ABC 為等腰三角形， ¯ AB ＝ ¯ AC ， ¯ BD 、 ¯ CD 分別平分∠ABC、∠ACE，∠A＝60°， 則∠D＝？ D B C E A 3. 如下圖， ¯ AB ＝ ¯ AC ， ¯ BD 平分∠ABC， ¯ CD 平分∠ACB， ¯ BE 平分∠DBC， ¯ CE 平分∠DCB， 且∠BEC＝155°，則∠A＝？ A D B C E 4. 如下圖， ¯ AC ＝ ¯ AB ， ¯ BC ＝ ¯ BD ＝ ¯ AD ，則∠ABD＝？ A B C D

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5. 如右圖，在△ABC 中， ¯ AB ＝ ¯ AC ，若將△ABC 沿 ¯ DE 摺疊， 使點 A 與點 C 重合，若∠BCD＝18°，則∠B＝？

6. 如下圖，∠ACB＝50°， ¯ AD ＝ ¯ AC ， ¯ BC ＝ ¯ BE ，且 D、A、B、E 在同一直線上，則∠D＋∠E＝？

A B C E D 7. 如右圖， ¯ ED ⊥ ¯ AB ， ¯ AE ⊥ ¯ BC ， ¯ AB ＝ ¯ AC ＝25， ¯ BC ＝14，則 (1)△ACE 的面積為何？ (2) ¯ DE ＝？ 8. 如下圖，直線 L 為 ¯ AC 的垂直平分線，若△ABC 的周長為 37 公分，△ABD 的周長為 29 公分， 則 ¯ AC ＝公分。 A B C D L

9. 如下圖，等腰三角形 ABC 中， ¯ AB ＝ ¯ AC ，∠A＝100°， ¯ BD 平分∠ABC， ¯ BD ＝ ¯ BE ，則∠BDE 的 度數為度。 A B E C D 10. 如下圖，已知△ABC 中， ¯ CE 平分∠ACB，且 ¯ ED ⊥ ¯ BC ， ¯ EF ⊥ ¯ AC ，若 ¯ BC ＝10、 ¯ DE ＝5， △ABC 的面積為 55，則 ¯ AC ＝。 A B C E F D A B C E D A E B D C

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11. 如右圖，△ABC 中，¯ AB＝ ¯ AC ＝10cm， ¯ BC ＝12cm， ¯ CD ⊥¯ AB，試求 (1)△ABC 面積＝？

(2) ¯ CD ＝？

12. 如下圖，在△ABC 中，¯BD平分∠ABC，¯CD平分∠ACB，且△ABC 的周長為 40，¯DE＝5， 則△ABC 的面積為。 A D B C E 13. 如下圖，長方形 ABCD 中， ¯ AB ＝6， ¯ BC ＝8，且 L 為 ¯ AC 的中垂線，則 ¯ PD ＝。 A P D L B C

14. 如右圖，△ABC 中，∠ABC 與∠ACB 的角平分線相交於 F 點，再從 F 點 做 ¯ BC 的平行線分別交 ¯ AB 、 ¯ AC 於 D、E 兩點。若 ¯ AB ＝10， ¯ AC ＝14， ¯ BC ＝18，則△ADE 的周長為何？ 15. 如右圖， ¯ AC ＝ ¯ AB ，∠BAC＝90°， ¯ BD 和 ¯ CE 分別垂直於 x 軸。 若 A 點坐標為(3 , 0)，B 點坐標為(－12 , 8)，則 C 點坐標為何？ 16. 如右圖，等腰梯形 ABCD 中， ¯ AD ＝5， ¯ AB ＝ ¯ CD ＝7， ¯ BC ＝14， 且 ¯ CD 的中垂線交 ¯ BC 於 P 點，連接 ¯ PD ，則四邊形 ABPD 的周長為何？ A D B C A D F E B C

x

y

A D E B C O A D B _P C L

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加強練習 1. 如右圖，等腰△ABC 中， ¯ AD 為頂角∠A 的平分線，則下列敘述正確的有幾個？ (甲) ¯ AB ＝ ¯ AC (乙)∠B＝∠C (丙)△ABD ≅ △ACD (丁) ¯ AD ⊥ ¯ BC (戊) ¯ AB ＝ ¯ BC (己) ¯ BD ＝ ¯ CD (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6。 2. 右圖是角平分線作圖的痕跡，今欲說明 ¯ BF 是∠ABC 的平分線， 其說明過程如下： (1)連接 ¯ DF 、 ¯ EF (2)在△BDF 和△BEF 中，因為， 所以△BDF ≅ △BEF，即∠1＝∠2，即 ¯ BF 是∠ABC 的平分線。 請問空格內應該填入哪些條件？ (A)∠1＝∠2、 ¯ BE ＝ ¯ BD 、 ¯ BF ＝ ¯ BF (B)∠3＝∠4、 ¯ BF ＝ ¯ BF 、∠1＝∠2 (C)∠3＝∠4、 ¯ BE ＝ ¯ BD 、 ¯ EF ＝ ¯ DF (D) ¯ BE ＝ ¯ BD 、 ¯ BF ＝ ¯ BF 、 ¯ EF ＝ ¯ DF 3. 如右圖，△ABC 中， ¯ AB ＝ ¯ AC ，D、E 分別為 ¯ AC 、 ¯ AB 的中點， 且 ¯ BD 、 ¯ CE 相交於 P 點，則下列何者不一定正確？ (A) ¯ PB ＝ ¯ PC (B) ¯ BE ＝ ¯ CP (C) ¯ BD ＝ ¯ CE (D) ∠ABD＝∠ACE。 4. 如下圖，△ABC 中， ¯ AB ＝ ¯ AC ， ¯ CP ＝ ¯ CB ，且 ¯ AP ＝ ¯ PE ＝ ¯ EC ，則∠B＝？ A P E B C 5. 已知△ABC 中， ¯ CA ＝ ¯ CB ＝25， ¯ AB ＝30， ¯ AE 、 ¯ CD 分別為 ¯ BC 、 ¯ AB 上的高， 則 ¯ AE － ¯ CD ＝？ 6. 如下圖，△ABC 為正三角形，且 A(－2 , 0)、B(2 , 0)。 今沿著 ¯ BC 在第一象限內畫出一個正方形，則 D 點坐標為。 A D E B C

x

y

1 2 1 2 －1 －2 O 7. 如右圖，梯形 ABCD 中， ¯ AD // ¯ BC 。若 ¯ AD ＝30， ¯ BC ＝40， ¯ AB ＝50， 且 ¯ CD 之中垂線 L 交 ¯ AB 於 P、 ¯ CD 於 Q，則 ¯ AP ＝？

8. 如下圖，長方形 ABCD 中， ¯ AE 平分∠BAC 且交 ¯ BC 於 E。 若 ¯ BE ＝4， ¯ AC ＝15，則△AEC 的面積為。 A D B E C A C D B A B C E D P A B C F E D 1 2 3₄ A D B C Q P L

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Ans：1.(C)；2.(D)；3.(B)；4. 67.5°；5. 4；6.(2 2 3, 2)+ ；7. 32；8. 30。心得筆記