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軸向力對蜂窩結構非線性彈性性質之影響

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Academic year: 2021

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國立高雄大學土木與環境工程學系

碩士論文

軸向力對蜂窩結構非線性彈性性質之影響

Axial Force Effect on Honeycomb Nonlinear Elasticity

研究生:王立然 撰

指導教授:俞肇球 博士

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謝誌

首先能夠完成此篇論文,必須要感謝我的指導教授俞肇球老師。感 謝老師為學生在論文指導上所花費的精力與時間,讓學生能夠順利的完 成此篇論文,並在兩年的碩士生涯中,給了學生許多學習上寶貴的建 議,真的非常感謝老師。 而在論文的修訂上,感謝鄭錦銅老師、張惠雲老師在百忙中抽空擔 任學生的口試委員並提供了許多寶貴且專業的意見,使得學生的論文能 更上層樓。 另外還要感謝501 研究室的成員。陪我完成一次次的實驗與討論解 決各種不論是課業、實驗、研究上問題的志謙、勇亲、鎮謙、寬祥、炳 勳,感謝你們兩年來的照顧與幫助。 最後還要感謝我的父母、弟弟以及映如,感謝你們的支持,感謝你 們對我付出的一切,讓我能無後顧之憂地完成我的碩士論文,感謝你們 為我的付出並與你們分享我的喜悅。 最後謹以此篇論文獻給所有關心我的家人、老師、朋友們。

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目錄

第一章 緒論 ... 1 1.1 研究背景與動機 ... 1 1.2 研究目的 ... 3 1.3 研究流程 ... 5 1.4 論文架構 ... 6 第二章 文獻回顧 ... 7 2.1 蜂窩結構之力學性質 ... 7 2.2 蜂窩結構之彈性性質 ... 12 2.3 蜂窩結構之挫屈 ... 16 第三章 實驗分析 ... 22 3.1 放大鋁製蜂窩結構之重複單元體... 22 3.2 不鏽鋼製均勻厚度多孔超薄蜂窩試體 ... 25 3.3 實驗分析結果 ... 35 第四章 理論分析 ... 45 4.1 理論分析之探討 ... 45 4.2 理論分析結果 ... 53 第五章 數值分析 ... 56 5.1 數值分析設定 ... 56 5.2 數值分析結果 ... 59 第六章 結論 ... 67 6.1 結果比較 ... 67 6.2 結論 ... 69

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表目錄

表2- 1 符號定義 ... 13 表2- 2 彈性解之比較... 14 表4- 1 k′L 與之關係 ... 53

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圖目錄

圖1- 1 研究流程圖 ... 5 圖2- 1 蜂窩材料應力與應變圖 ... 9 圖2- 2 理想化之二維六角蜂窩結構 ... 10 圖2- 3 單層 Z-形挫屈變形示意圖 ... 19 圖2- 4 多層 Z-形挫屈變形示意圖 ... 19 圖2- 5 多層同向挫屈變形示意圖 ... 20 圖3- 1(a)鋁製蜂窩結構之重複單元體-壁厚 2.0mm ... 23 圖3- 1(b)鋁製蜂窩結構之重複單元體-壁厚 3.0mm ... 23 圖3- 2 蜂窩結構重複單元體之不銹鋼夾持座示意圖 ... 23 圖3- 3 安裝蜂窩結構重複單元體至不銹鋼夾持座組合後之實體 ... 24 圖3- 4 蜂窩結構試體... 25 圖3- 5 製作蜂窩結構的貼合單元及其組裝結果 ... 26 圖3- 6 蜂窩薄試片抗壓試驗設置圖 ... 28 圖3- 7 加長型蜂窩薄試片設計圖 ... 29 圖3- 8 一般型蜂窩薄試片設計圖 ... 29 圖3- 9 加長型蜂窩薄試片式樣一設計圖 ... 30 圖3- 10 加長型蜂窩薄試片式樣二設計圖 ... 30 圖3- 11 一般型蜂窩薄試片式樣三設計圖 ... 31 圖3- 12 一般型蜂窩薄試片式樣四設計圖 ... 31 圖3- 13 一般型蜂窩薄試片式樣五設計圖 ... 32 圖3- 14 將試片組合沿加壓刀滑進試驗機之平臺 ... 34

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圖3- 15 安置妥當的蜂窩薄片試驗 ... 34 圖3- 16 薄試片 1 之誤差修正 ... 35 圖3- 17 薄試片 1 的力與位移關係 ... 36 圖3- 18 薄試片 2 的力與位移關係 ... 36 圖3- 19 薄試片 3 的力與位移關係 ... 37 圖3- 20 厚試片 1 的力與位移關係 ... 38 圖3- 21 厚試片 2 的力與位移關係 ... 38 圖3- 22 厚試片 3 的力與位移關係 ... 39 圖3- 23 式樣 1 之起始挫屈 ... 40 圖3- 24 式樣 2 之起始挫屈 ... 40 圖3- 25 式樣 3 之起始挫屈 ... 41 圖3- 26 式樣 4 之起始挫屈 ... 41 圖3- 27 式樣 5 的起始挫屈 ... 42 圖3- 28 式樣 1 之力與位移關係 ... 42 圖3- 29 式樣 2 之力與位移關係 ... 43 圖3- 30 式樣 3 之力與位移關係 ... 43 圖3- 31 式樣 4 之力與位移關係 ... 44 圖3- 32 式樣 5 之力與位移關係 ... 44 圖4- 1 二維蜂窩結構之重複單元 ... 47 圖4- 2 斜桿與垂直桿受力變形分解 ... 48 圖4- 3 斜桿件受力變形示意圖 ... 49 圖4- 4 等效彈性係數比(X1方向)與外力比 r 之關係 ... 54

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圖5- 1 蜂窩結構重複單元體之有限元素模型 ... 57 圖5- 2 式樣一與式樣二之有限元素模型 ... 57 圖5- 3 式樣三、四與五之有限元素模型 ... 58 圖5- 4 未加瑕疵的薄試片之力與位移關係 ... 59 圖5- 5 未加瑕疵的厚試片之力與位移關係 ... 60 圖5- 6 加 2%瑕疵之厚試片之力與位移關係 ... 60 圖5- 7 式樣 1 模型之挫屈情形 ... 61 圖5- 8 式樣 2 模型之挫屈情形 ... 61 圖5- 9 式樣 3 模型之挫屈情形 ... 62 圖5- 10 式樣 4 模型之挫屈情形 ... 62 圖5- 11 式樣 5 模型之挫屈情形 ... 63 圖5- 12 式樣 1 模型之力與位移關係 ... 64 圖5- 13 式樣 2 模型之力與位移關係 ... 64 圖5- 14 式樣 3 模型之力與位移關係 ... 65 圖5- 15 式樣 4 模型之力與位移關係 ... 65 圖5- 16 式樣 5 模型之力與位移關係 ... 66 圖6- 1 厚度 2mm 之蜂窩重複單元實驗、理論及數值比較 ... 67 圖6- 2 厚度 3mm 之蜂窩重複單元實驗、理論及數值比較 ... 67

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軸向力對蜂窩結構非線性彈性性質之影響

指導教授:俞肇球 博士 國立高雄大學土木與環境工程學系 學生:王立然 國立高雄大學土木與環境工程學系 摘要 常見的金屬蜂巢一般屬於薄壁,其破壞模式應考量薄壁挫屈的型式,尤其是不銹鋼 薄片所製之六角柱蜂巢結構,因其降伏強度高,壁可以製作得更薄,也因而更突顯其挫 屈破壞傾向。二維蜂巢受橫向載重時,所表現出來的勁度與強度皆不若其軸向高,破壞 機制受諸多因素影響,非常多樣而複雜,單是橫向挫屈就有幾種可能形式。本研究以梁 理論,分析不銹鋼薄片蜂巢的Z-形挫屈行為,除了求得其解析解外,同時使用有限元素 法分析規則六角形蜂窩結構之挫屈強度,並比較幾種不同挫屈形式。並以兩種型式試體 對蜂窩結構進行實驗測試,一種型式是對一個重複單元體進行非線性測試;另一則是對 完整數個細胞的蜂窩薄片結構進行挫屈破壞測試。經挫屈理論推導的結果發現 Z-形挫 屈強度是所分析幾種型式中最低的,有限元素數值挫屈模擬結果發現,即使在塊體周圍 邊界完全束制的情況下,Z-形挫屈仍會發生,顯示此種挫屈比其他形式更有可能成為控 制破壞的主因。非線性理論分析結果顯示,巨觀等效彈性係數比值會隨著外力的增加而 降低,不同的厚長比,有不同的非線性表現,對於薄壁蜂窩結構,厚長比低於 0.1 時, 基本上其巨觀等效彈性係數比與外力比成一線性關係。如果厚長比高於 0.1,巨觀等效 彈性係數比與外力比之間的非線性關係則逐漸呈現,力與位移或巨觀等效應力與巨觀等 效應變之間的非線性關係就更明顯了。就巨觀等效彈性係數比與外力比的非線性關係而 言,厚長比與非線性的嚴重程度呈正相關,這一點有限元素數值非線性模擬分析亦支持 理論分析結果,但有限元素分析發現蜂窩非線性性質也受瑕疵影響,對於完美無瑕疵的 直桿,挫屈發生得突然,巨觀等效彈性係數比與外力比之間的關係曲線呈現兩段直線式 的非線性,理論解析解其實是在瑕疵存在的先決假設下推導出來的結果。完整蜂窩挫屈 實驗結果顯示,Z-形挫屈確實發生於挫屈初期的瞬間,但繼續變形之後,對於挫屈區域 的邊界條件已大幅改變,大部份的試體會很迅速的轉換成其他形式的挫屈,也有少數試 體的 Z-形挫屈維持了較長的時間,顯示 Z-形挫屈比其他型式挫屈更敏感於微小瑕疵, 等瑕疵大到一個程度,邊界條件的巨大改變已然成熟,則其他型式的挫屈或大變形即取 而代之,成為主要的破壞模式。

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Axial Force Effect on Honeycomb Nonlinear

Elasticity

Advisor : Dr. Chau-Cho Yu

Institute of Civil and Environmental Engineering National University of Kaohsiung

Student : Li-Ran Wang

Institute of Civil and Environmental Engineering National University of Kaohsiung

ABSTRACT

Hexagonal honeycomb has been a popular construction material used in building light structure. Due to its uniform pattern, symmetry is often applied in analyses. That leaves no nodal rotation at the joints inside the material. It is found differently through the general numerical analysis that the buckling mode is more likely in Z-Shaped instead of uniformly leaning in one direction. The uniform deformation may over estimate the buckling strength. A Z-shaped buckling is proposed lately. Its buckling strength is approximately 60% of a Euler Column and its correlation with the boundary condition is not obvious. However, these are only the results of analytical and numerical approach. It is worth efforts to seek for lab test support.

Such kind of material in current market is made of two thin metal plies attached to each other with the source sheet metal of the thickness up to tens of micro meters level. Small dimension and complexity in composite make the corresponding lab test pretty difficult. It is what there is this proposal is furnished up for.

Through this project, the standard lab test procedure was set up, the two-dimensional hexagonal honeycomb structure was tested. Some possible difficulties in the tests were resolved. The lab test results were compared with those from analytical solution as well as the numerical solution.

Most of the honeycomb related researches in the past assume that honeycomb is a two-dimensional thin-walled structure. The in-walled deformation is often neglected due to the fact that most of the deflection of a thin-walled structure is contributed by flexure. When the thickness-length ratio t/L is greater than 0.1, such thin-walled assumption is no longer

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appropriate because the deformation induced by the in-walled forces, called axial effect in this study, is not negligible, especially when the external load is approaching the critical load of any type of buckling. In the present study, theoretical expression of the axial effect on equivalent macro-elasticity of the honeycomb material is derived. Some numerical results are carried out through a trial-and-error method. The present study shows that macro elastic constant of a honeycomb decreases as the external load increases. Different thickness-length ratio will have different decay rate in elasticity. Basically, the relation between elasticity and external load is linear, if the thickness-length ratio is less than 0.1. Z-Shaped buckling is the dominating buckling mode, even if the lateral constraints are applied, but for most of the cases, Z-shaped buckling shows up within a relatively short period of time during the initiation of buckling.

Keywords: Compression tests, two-dimensional hexagonal honeycomb, Honeycomb elasticity,

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第一章 緒論

1.1 研究背景與動機

蜂窩型結構為多孔隙之結構,而多孔隙之結構主要具有以下幾項 重要之特性: (1)高強度重量比,能以較少的材料滿足強度的要求,同時減輕結 構體本身的自重。 (2)低熱傳性,蜂窩型結構因其多孔隙之特性,使其具有良好的隔 熱效果。 (3)隔音減震,因其多孔隙之特性,能大幅減少噪音以及震動之傳 遞。 (4)高吸收能,蜂窩型結構因其具有多孔隙,使其受外力時,能承 受相當大的變形,直到到達極限時才會崩壞。 (5)成本較低,在不考慮製作較困難度之情況下,能運用最少的材 料去達到需要的強度,透過結構體的改變,減少材料不必要的浪 費。 由以上諸多優點可知蜂窩型結構對於節能減碳及減少浪費資 源之現今社會,是一相當具有潛力之材料。 而目前蜂窩結構已被運用在許多領域中,例如:在土木建築領域 有:鋁蜂巢、木構造、三明治夾板之發泡心材。在醫學工程領域有:

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細胞型微觀結構之人工骨骼。在航太工程領域中更是被大量的運用: 太空梭動力推進器,火車的地板及隔牆、汽車之保險桿及頂棚、包裝 材料和高科技之體育用品等(Christensen, 2000),可見蜂窩型結構不管

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1.2 研究目的

蜂窩型結構之受力與變形關係非常複雜,因此在過去與蜂窩結構 相關之研究中,作者大多將蜂窩結構假設為在二維平面上之薄壁蜂窩 細胞以利研究之便利。在蜂窩結構的研究中,大多數學者是對平行於 管胞方向之受力行為進行研究(Gibson and Ashby, 1997)、(Masters and Evans, 1996)、(Klintworth and Stronge, 1988),不過也有少部分學者會 分析垂直於管胞方向之受力情形。在過去的文獻中,大多數學者是將 蜂窩結構之細胞壁視為線彈性之尤拉梁桿件(Euler Beam),藉由梁端 點之變形來傳遞應力與應變。 在過去的文章中也提到為了進行梁桿件之理論力學分析,首先必 須將蜂窩結構之細胞壁假設非常薄,以此簡化或忽略沿著蜂窩壁方向 所產生力量(在此稱為軸向力)之影響。對薄壁蜂窩結構而言,其挫屈 強度較低且邊界約束之能力較弱,因而忽略軸力變形或軸力對勁度所 造成之影響是可接受的,然而當厚長比超過0.1 時,薄壁假設就已經 造成一些不可忽略之誤差,至厚長比超過0.2 時已經不能稱其為薄壁 蜂窩結構了,這時過去所忽略之軸力效應其實已造成相當關鍵之影 響,甚至壁厚達到一定程度時,反而成為結構中最主要之變形來源。 相較於蜂窩結構之非線性彈性性質,在過去的文章中,大多數的 學者主要探討的重點不外乎結構挫屈強度(Guo and Ashby, 1999)、(俞, 2013)、(俞和高, 2010)、(Papka and Kyriakides, 1999)、(Klintworth and Stronge, 1988)、(Zhang and Ashby, 1992)及材料塑性強度(Wang and McDowell, 2005)、(Torquato and Gibiansky, 1998)等,然而在材料受力

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行為過程中,先是線性彈性轉變為非線性彈性變形,接著才是塑性變 形、挫屈的發生,非線性彈性出現的時機點介於彈性轉為塑形變形 間,可能出現的時間極短,但在過去的文獻中也提到蜂窩結構對於瑕 疵非常敏感(Yang et al., 2008)、(Yamashita and Gotoh, 2005),可能因為 一微小的瑕疵點,造成後續塑性變形及挫屈有明顯之差異。其中在過 去文章中曾提到之Z 型挫屈,依其發生之時機及條件來看,其可能為 在非線性彈性時蜂窩結構變形之關鍵。因此本文希望能透過對蜂窩結 構之非線性彈性變形之分析,能更深入的了解蜂窩結構之力學特性, 使蜂窩結構在未來能被更有效的運用各個領域中。

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1.3 研究流程

本論文大致可分為以下幾個步驟:研究主題之構思、文獻蒐集回 顧、實驗分析、理論分析、數值分析、結論。下圖1- 1 為本論文之研 究流程圖。

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1.4 論文架構

依據上述研究動機、研究目的與研究方法,本研究「軸向力對蜂 窩結構非線性彈性之影響」,共規劃六個章節進行論述,分述如下: 第一章 緒論 針對本研究之研究背景、研究目的與研究流程個別敘述,並對研 究架構與流程規劃作一整體性之說明。 第二章 文獻回顧 第二章為本研究相關之文獻回顧,包含蜂窩結構之力學性質、彈 性性質、挫屈等三部分。 第三章 實驗分析 第四章實驗分析主要分為兩項實驗,首先是分析放大鋁製蜂窩結 構代表性單元體以了解軸力對蜂窩結構之影響,第二則是分析不銹鋼 製超薄蜂窩試體以了解蜂窩結構實際挫屈情形。 第四章 理論分析 第三章為本研究之理論推導,在考慮軸力效應之情況下,推導出 類似2.2 小節之彈性解,以進行分析比對。 第五章 數值分析 第五章為數值分析,透過有限元軟體模擬試驗分析之試體,藉此 比較在現實試驗中及數值模擬結果之差異。 第六章 結論 第六章為本研究軸向力對蜂窩結構非線性彈性性質之總結,並提 出未來相關研究之展望及方向以供參考。

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第二章 文獻回顧

2.1 蜂窩結構之力學性質

一般而言,在二維情況下之蜂巢結構中,可依其組成單一細胞形 狀的不同,而分為下列幾種常見之典型(Guo and Gibson, 1999)、 (Alkhader and Vural, 2008)、(高, 2009):

(1)三角形(Tri) (2)長方形(Squ) (3)六角形(Hex) (4)圓形(Cir) (1)、(2)、(3)典型常被使用之原因為,在二維情況下此三種正多邊 形之內角能等分360°,使整體蜂窩結構能被單一之蜂窩胞元組成,有 利於分析時能將整體材料提出單一胞元所組成。而(4)則是因圓形結構 具有等向性之優點,在分析時能減少考慮方向性之問題,使需要分析 之情況大量減少。 (張, 2006)使用有限元軟體 ABAQUS 比較正六角形和圓形鋁合金 蜂巢結構(1)楊氏模數;(2)彈性挫曲強度;(3)塑性降伏強度以及增加 膠結面積後之力學性質,結果顯示六角及圓形蜂窩在低密度時兩者並 無太大差異出現,不過當密度較高時差距就較大,在相同相對密度 下,圓形蜂巢材料在楊氏模數和塑性降伏強度皆高於六角形蜂窩材 料,在挫曲部分則是六角形高於圓形蜂窩材料;增加膠結面積後,密

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度較高的蜂窩材料,楊氏模數與挫曲強度皆比未增加膠結面積要來得 高。

在(Chung and Waas, 2000)的文章中分析在二維平面上正圓形與橢 圓形蜂窩結構兩者間之力學差異性,方法則為透過分析整體結構中之 代表性單元體,透過古典梁彎曲理論推得彈性應變能,卡氏理論及應 變與應力之關係式求得微觀與巨觀之楊氏模數理論解,並且使用有限 元方法進行數值分析驗證結果,由結果得知正圓形與橢圓形兩者之理 論解與其柏松比有關,另外正圓形蜂窩結構具有同向性,橢圓形蜂窩 結構則無此特性。 在(沈, 2003)文章中推導當蜂窩結構細胞壁之交界處呈現曲率和變 剖面,同時細胞壁桿件並非為理想化之直桿件時,蜂窩結構力學性質 之理論解。俞針對低密度之二維六角型蜂巢結構受側向壓力時所造成 之挫屈變形進行一系列探討,依據梁彎曲理論,推導出蜂窩結構之理 論挫屈強度解析解。由於二維六角型蜂窩結構受側向壓力,很容易往 受壓之垂直方向位移,這種位移會對蜂窩之挫屈強度產生影響,因此 作者亦透過有限元軟體LS-DYNA 之應用,探討不同側向約束狀態下 位移對挫屈強度之影響。

過去有學者(Gibson and Ashby, 1997)對蜂窩結構進行壓力試驗時發 現,在以應變做為控制的條件下,蜂窩結構在受力起始時,在圖2.1 應力應變圖中會呈現出一穩定增長之斜直線,此時為蜂窩結構在彈性 變形範圍內之情形,然而當蜂窩結構達到彈性變形之臨界值,進入塑 性變形之階段後,蜂窩結構之應變會快速增加而同時應力卻並未增

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關係圖上所謂之平緩區(Plateau),若將這段期間之尺度放大來檢視, 會發現其實這條看似穩定之水平線實為一鋸齒線,而這些鋸齒發生之 原因即為蜂窩結構是由許多單一胞元體所組合而成,當部分胞元體因 承受不住外力之增長而被壓壞後,蜂窩結構又能再次承受一定的力量 增長,造成如此反覆被壓扁且壓實的情形,最後蜂窩結構會形成孔隙 較低之緊密區(Densification),直至試體完全被壓實或斷裂為止。 圖2.1 典型蜂窩材料應力與應變圖 蜂窩結構之受力與變形關係非常複雜,為了簡化起見,以往學者 (Niklas, 1992)、(Reiterer et al., 2002)、(Gibson, 2005)、(Ajdari et al., 2008)在處理此類問題時,皆假設其為二維薄壁蜂窩細胞所組成,意即 細胞在X3方向無限延伸,由圖2.2 介紹理想化之二維六角蜂窩結構,

在此座標系統下,位移發生在X1X2座標軸所成之平面上時,稱其

為平面內變形,而位移發生在X3方向時,則稱其為平面外變形,平面

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在Gibson 等人的文中(Gibson et al., 1989)圖 2.2 上之二維六角蜂窩 結構可視為由許多微桿件所組合而成,微桿件可分為平行於X2軸之垂 直桿件及不平行於X2軸之斜桿件。 其中 L為斜桿件之長度; h 為垂直桿件之長度;  為斜桿件及垂直桿件之夾角相對於 X2座標軸之角度; t 為桿件之厚度; 若此六角蜂窩結構為正六角形時,則斜桿件長L=垂直桿件長 h, =30°(正六角形內角 120°-90°)。 圖2.2 理想化之二維六角蜂窩結構

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Masters and Evans (Masters and Evans, 1996)在文章中指出在各種形 狀之二維蜂窩結構中,六角形蜂窩結構雖然具有較佳的幾何特性,然 而其仍存在一不利因素,即為當彎曲作用發生在平面外(X3方向)時,

蜂窩結構會因為彎曲作用而使得結構變為馬鞍形,這個情況會造成整 體結構之勁度及強度都明顯降低。

Guo and Gibson (Guo and Gibson, 1999)亦曾使用有限元法模擬理想 化之六角蜂窩結構,模擬其在各種不同瑕疵下之變形行為,並透過分 析模擬之結果,推算出六角蜂窩結構在巨觀下之等效彈性參數、挫屈 強度與塑性破壞強度等。

Mishnaevsky and Qing (Mishnaevsky and Qing, 2008)在文章中測試 各種不同幾何形狀及材質之細胞型材料受力特性,其研究結果指出細 胞型材料之力學性質和物理性質,與其幾何形狀和材料性質具有密切 之關聯,其中又以幾何形狀之不同對結構之力學性質具有主宰性之影 響。

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2.2 蜂窩結構之彈性性質

在Papka and Kyriakides (Papka and Kyriakides, 1999)文章中提到蜂 窩結構之細胞具有相當大之重複性,因此在分析整體蜂窩結構時,可 以透過分析與整體結構力學特性相似之結構代表性胞元(representative unit cell),由此技巧能較輕易且直接的解決在相同荷載下結構之變形 及破壞情形,而蜂窩結構之代表性胞元能充分地反映出整體蜂窩結構 之變形、破壞及相應之力學性質。因此在分析蜂窩結構之問題時,此 技巧為一主流之方法。

Warren and Kraynik 則是(Warren and Kraynik, 1987)根據規則二維 六角蜂窩結構中細胞具有週期性排列之特性,透過分析整體結構中一 具代表性之胞元,推導出在簡單應變情況下之巨觀彈性方程式,並引 入簡化之梁桿件模型來分析蜂窩結構之細胞壁,由此得到在相應結構 下之巨觀等效彈性參數近似解析解。

而在Gibson and Ashby (Gibson and Ashby, 1997)的文章中,作者將 無孔隙之固體材料與具孔隙之整體材料(在此表示蜂窩材料)之楊氏模 數進行比較,透過兩者之比值以代表二維六角蜂窩結構彈性性質之特 性。其假設為在X1方向對蜂窩試體施加一均佈力1,在不考慮垂直桿 件變形且無平面內側向約束力之情形下,斜桿件所產生之彎曲變形。 接者藉由尤拉梁理論求得X1方向試體之變形量1,並透過楊氏模數之 關係式求得無孔隙固體材料與具孔隙整體材料之各別楊氏模數,最後 將兩者進行比較。

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在俞和高的文章中(俞和高, 2010)則是進一步推導尤拉梁理論, 並認為在蜂窩結構之受力變形中撓曲變形與軸向壓縮變形兩者應該視 為同等重要。而在過去有關蜂窩結構的文獻中,大多數的學者在蜂窩 結構之分析中只考慮撓曲變形所造成之影響,卻鮮少有學者提及軸向 變形。當蜂窩結構之細胞壁為薄壁時,撓曲變形之影響會遠大於軸向 壓縮變形,然而在過去的文章(Mishnaevsky and Qing, 2008)中也曾提 及,當蜂窩結構之細胞壁達到一定程度之厚度時,軸向壓縮變形反而 會高過於撓曲變形,不過對於蜂窩結構之研究,大多數學者皆著墨於 薄壁蜂窩之研究,這也說明著為何過去之文獻皆較少考慮軸向變形之 影響,因其對薄壁蜂窩之影響相對於撓曲變形實在過於微小了。

表2.2 將(Warren and Kraynik, 1987)、(Gibson and Ashby, 1997)、 (俞和高, 2010)三篇文獻中作者所推導出的理論解進行比較。表中之符 號可參考表2.1。 表2.1 符號定義 符號 定義 Es 無孔隙之固體材料之楊氏模數 E1* 具有孔隙之整體材料之巨觀楊氏模數,上標*表示孔隙材 料,下標1 代表方向,在此表示 X1方向之受力;下標為 2 時,表示X2方向之受力 蜂窩結構之相對密度  厚長比t/L t 蜂窩結構之壁厚 L 蜂窩結構之桿件長

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表2.2 彈性解之比較 式2.1 為近似解析解,式中有一無窮級數項,若能取越多項此式 會越準確。然而此式之係數皆非小於1,這也使得當式中之大到一定 程度時此式會越不精準,收斂性不佳。相較於式2.1,式 2.2 並無無窮 級數項,無須考慮收斂性之問題。然而此式再推導時,並無考慮軸向 變形之影響,使得此式僅適用於薄壁蜂窩結構。式2.3 與式 2.2 之差 異為分母多加了一項32,而會有此差異主要因此式有考慮軸向變 形,這使得此式能同時適用於薄壁及部分非薄壁蜂窩結構。 作者 年份 彈性解

Warren and Kraynik 1987

𝐸1∗ 𝐸𝑠 = 𝐸2∗ 𝐸𝑠 = 3 2𝜑 3(1 +9 4𝜑 + 21 16𝜑 2+ ⋯ ) 式2.1

Gibson and Ashby 1997

𝐸1* 𝐸𝑠 = 𝐸2* 𝐸𝑠 = 4 √3 3 式2.2 俞和高 2010 𝐸1* 𝐸𝑠 = 𝐸2* 𝐸𝑠 = 4 √3( 3 1 + 32) 式2.3

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如將式2.2 及式 2.3 兩式進行比較可發現,在厚長比設為 0.01(=0.01)時,2.3 式中分母之 32之值為0.0003,相較於前面的 1, 此時0.0003 小到能忽略不計,這時再與式 2.2 進行比對,會發現式 2.2 相當合理,這也是為何會說式 2.2 能適用於細胞壁相對較薄之情 況。若是將厚長比設為0.2(=0.2) 時,2.3 式中分母之 32之值為 0.12,這時再加上前面的 1,分母部分就會變為 1.12,這時再與式 2.2 比較,會發現兩者差了12%,雖說這種情況過於極端,但也反映出軸 向變形對於分析蜂窩結構時有其一定之重要性。

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2.3 蜂窩結構之挫屈

俞(俞, 2013)對多種蜂窩結構之側向挫屈型式進行解析,發現 Z-形 挫屈之臨界值低於其他幾種挫屈型式,因此認為 Z-形挫屈最有可能是 蜂窩結構破壞時之主要形式。其挫屈值為 λ=0.7~0.8,約為 Euler 挫屈 載重的50%~60%。另外 Z-形挫屈有一個與其他挫屈形式皆不同之現象, 就是邊界側向束制雖對 Z-形挫屈之初始變形有影響,但對最終挫屈載 重卻影響不大。

Okumura 等人(Okumura et al., 2002)依據 Z-形挫屈發生之方向不同 而歸納出三種蜂窩典型之挫屈變形形式,其中發現兩個重要的結論: (1) 變形機制依據雙軸受力比例之不同而異; (2) 第一型(單純方向 Z-形)挫屈強度低於其他幾種挫屈模式; 此種單純方向之Z-形挫屈必須在下列兩個條件滿足時才會發生: (1) 具有側邊約束(Lateral Constraints)以產生足夠之垂直桿軸向力; (2) 需允許垂直桿側移; 其實這兩個條件是相互矛盾的,卻實際存在於上述文獻中之數值模擬 或實驗結果。究其原因,應與相鄰之桿件的相對勁度有非常大之關聯性。 而在邊界約束仍有效之情況時,因為垂直桿無法側移,即使在很高的受 力條件下,單純方向之 Z-形挫屈仍無法有效產生,但支撐垂直桿的斜 桿件從開始受力時,即會產生撓曲變形,隨著沿蜂窩壁軸力的作用下, 斜桿件勁度將逐漸產生非線性之折減,並同時失去了對垂直桿件的約 束力,甚至會形成局部瑕疵,造成突然間無側向約束之情形,而促使垂 直桿的單純方向 Z-形挫屈得以被激發,而側向約束邊界卻仍存在,顯

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然這種挫屈對瑕疵甚為敏感。欲了解在蜂窩塊體邊界有側向約束的情 況下,單純方向Z-形挫屈是如何產生的,側向約束邊界有多大的影響? 這就必須先仔細探討斜桿件受軸力作用下的非線性反應,挫屈之後變 形又是如何繼續演進?由於情況複雜,除了理論推導以及有限元素模 擬以外,仍需實驗加以驗證。 另外在俞和許(俞和許, 2011)文章中指出一般因假設蜂窩結構均勻 對稱而以端點不旋轉,所得之挫屈破壞結果將高估其強度,工整對稱的 假設將同時導致挫屈強度敏感於側向邊界條件。然而數值分析結果顯 示薄壁蜂窩結構內細胞壁的交錯傾斜現象為其挫屈破壞之重要型式, 且此種破壞型式與側向邊界條件的交互影響關係並不明顯。不論邊界 是否具有約束,只要材料內部有些微瑕疵,節點不均勻旋轉之挫屈即可 發生。由於其挫屈強度不及尤拉柱,在許多破壞場合中,該現象有可能 是除了大變形與膠粘層脫離以外之主要控制失敗的因子。可惜的是過 去此研究皆以理論解析解及有限元素數值解的方式進行,缺少實驗結 果的佐證。 在真實抗壓試驗時,就算試體周圍並未設置圍束,至少在壓頭與試 體以及試體與支承座之間,因壓力而緊密粘著,其磨擦力即足以防止接 觸面滑動,即會對內部材料多少產生一些側向約束力,甚至因為在垂直 方向上變化不均的側向約束力,導致某種特定型式之挫屈破壞也是極 有可能的。從另一個角度來看,縱使蜂窩材料塊體周邊施以束制,因內 部具有多孔隙的特性,有相當寬裕的空間發生形變,是否因而使側向約 束的效力大打折扣,實有再進一步研究之必要。

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Papka and Kyriakides (Papka and Kyriakides, 1998)透過實驗和有限 元模擬探討在二維平面上六角形鋁製蜂窩結構之單軸抗壓塑性變形行 為,發現其塑性行為會因尺寸大小之不同,而有不同變形行為之發 生。當蜂窩試體尺寸較小時,首先會由結構之中間部分產生破壞。而 當試體尺寸較大時,破壞會首先發生在較靠近受力面之處。由此可見 即使在材料、幾何、邊界條件皆工整均勻之情況下,蜂窩結構內部受 力變形仍然不均勻,而這種不均勻性與孔隙及塊體之相對尺寸比例有 關。 而對於雙向受力之情況時,作者是使用雙軸壓碎機器(BICRUMA) 實驗圓形鋁製蜂窩結構,探討在單軸抗壓時,平面內(X1和X2方向)之變 形行為,以及在雙軸抗壓時試體之塑性壓潰變形行為,並用攝影機將實 驗過程記錄下來,以利分析各時間點蜂窩結構之受力情形,作者發現在 雙軸抗壓之實驗中,蜂窩試體之塑性變形行為遠較單軸抗壓試驗時複 雜,其破壞機制會依據雙軸受力比例之不同而有所差異。以正六角蜂窩 結構而言,且採用(Gibson et al., 1982)研究中之假設:位於相同X1座標 之各節點具相同之水平位移,也就是說材料之變形是勻稱的,而沒有參 差破壞的現象,且挫屈發生在平面內,則挫屈強度會大致與尤拉柱結果 相近。在這種情況下,側向是否有圍束,確實會對蜂窩結構有明顯之影 響。 考慮內部節點容許自由側移,且不限制相同 X1座標之各節點具相 同之水平位移,也就是說材料可以有參差破壞的現象,此時由於垂直桿 呈現交錯方向的側潰,因此稱其為Z-形挫屈。

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俞(俞, 2013)由有限元數值模擬所預測之單層挫屈與多層挫屈變形

狀態如圖2.2 與圖 2.3 所示。

圖 2.3 單層 Z-形挫屈變形示意圖 圖 2.4 多層 Z-形挫屈變形示意圖

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若無端點的相對側移(邊界無側向約束亦屬此類),垂直桿反對稱變 形並非第一挫屈模態,較不易成為控制破壞的主要形式。但在允許垂直 桿端點相對側移的情況下,此種挫屈形態發生的可能性大為提高。前者 由於側向束制較少,可變形的空間較多,大變形的發生早於明顯挫屈現 象被觀察到。後者則是挫屈發生在大量細胞被壓扁之前。 如果試體較小,塊體側邊又無束制條件,變形空間相對充裕,再加 上除了平行於垂直桿件的載重以外,如果更添加水平剪力,則非 Z-形 之單向傾斜挫屈(如圖 2.5 所示)亦可能發生。六角蜂窩結構之可能挫屈 型態有多種,受邊界條件、外力種類以及尺寸效應等因素所控制,究竟 實際會以何種型式發生,實有待實體試驗來釐清。 圖2.5 多層同向挫屈變形示意圖

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蘇(蘇, 2014)在文章中提到分析 Z-形挫屈時,若側向約束力不完全 消失或增加時,這時側向約束力對蜂窩結構之垂直構件的挫屈變形不 會造成進一步之影響。同時作者也利用有限元分析發現在有側向約束 時,蜂窩結構會有Z-形挫屈產生,而在不具側向約束之情形時,蜂窩 結構較容易有大變形的發生,這時反而避免了結構產生Z-形挫屈。

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第三章 實驗分析

本研究之試體主要分為兩類: (1) 放大鋁製蜂窩結構之重複單元體:係用來分析蜂窩結構受軸力影響 所造成無因次化巨觀等效彈性模數相對於無因次化外力兩者間關係 之非線性特質。 (2) 不銹鋼製均勻厚度多孔超薄蜂窩試體:係用來分析蜂窩受平面內外 力時之挫屈特性。

3.1 放大鋁製蜂窩結構之重複單元體

第一類試體依其厚度之不同,又可分為以下兩種尺寸: (1)用來模擬 2mm 均勻厚度蜂窩結構(圖 3.1(a)); (2)用來模擬 3mm 均勻厚度蜂窩結構(圖 3.1(b)); 圖3.1 上所顯示用來模擬均勻厚度蜂窩結構之重複單元體厚度並不均 勻,這其實是因為在重複單元體中,垂直桿件必須一分為二,因此在 垂直桿件的部分只有正常厚度之一半,而斜桿件則無此問題。圖3.2 則是特別為此類試體設計之不銹鋼夾持座示意圖,其中滑動加壓頭之 功能主要為防止摩擦力對試體造成影響,側向反力座則為防止下壓過 程中,試體可能發生之偏移。圖3.3 則是將試體與夾持座組合後之實 體。

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圖3.1 鋁製蜂窩結構之重複單元體:(a) 壁厚 2.0mm, (b) 壁厚 3.0mm 圖 3.2 蜂窩結構重複單元體之不銹鋼夾持座示意圖 150.0 Unit: mm 49.4 2.0 1.0 51.2 86.6 150.0 Unit: mm 49.1 3.0 1.5 51.7 86.6 (b) (a) 側向反力座 側向反力座 滑動加壓頭 滑動凹槽 基座 固定螺栓

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圖3.3 安裝蜂窩結構重複單元體至不銹鋼夾持座組合後之實體 對於用來分析蜂窩結構受軸力影響所造成無因次化巨觀等效彈性 模數相對於無因次化外力之間關係的非線性特質的第一類試體,其試 驗步驟相對單純,只要將安裝完成的試體組合放在材料試驗機(MTS)的 平台上,降下試驗機的加壓桿,直到幾乎將觸及試體組合最上端的滑動 加壓頭為止,接著微調試體組合使之對準試驗機的加壓頭,歸零試驗機 力量與位移讀數,然後即以每秒 0.002mm 的固定速度降下試驗機的加 壓頭,直到試片被壓彎嚴重變形時,即手動停止試驗機的繼續加壓,過 程中記錄力與位移之關係,同時也觀察試體之變形狀況。試驗結果主要 在於觀察彈性階段內試體之巨觀等效材料性質比隨受力的增加所產生 的變化。

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3.2 不鏽鋼製均勻厚度多孔超薄蜂窩試體

第二類試體為單一片平整而連續一體成形之均勻厚度不鏽鋼製超 薄試體,是一款理想的蜂窩材料,有材料使用效率較高的優點,但製 作上相當困難,即使精密金屬工廠目前也無法製作。而一般非薄壁蜂 窩試體為了便於觀察挫屈現象,試體尺寸相對的需要放大,通常設計 使二維蜂窩壁之厚長比小於1/100,比較能以挫屈型式觸發破壞,而 不會在大量變形之後才以受力變形曲線回溯其挫屈強度,因此需要較 大的試體與環境以及較大能力的試驗儀器,在實驗設計上有一定的難 度。一體成形試體之製作,限制壁厚需達2mm 以上,厚長比為 0.01 之條件下,則邊長需有200mm 以上,若製成如圖 3.4 數值模擬中所採 用的模型,一個試體連工帶料的成本需求將近10 萬元臺幣,甚為不 經濟。 目前市售鋁蜂窩的壁厚為單、雙層相間隔的貼合模式,有兩種厚 度選擇:0.05/0.1mm 或 0.08/0.16mm。邊長可選擇的範圍由 1mm 至 15mm。若欲使厚度均勻,一種可行的作法是仿市售鋁蜂窩的製作, 以金屬薄片貼合而成。在本實驗中,原擬採用如圖3.5 粗線所示之貼 合單元,如此可確保各壁皆為雙層,且總厚度為0.1mm。

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圖3.4 蜂窩結構試體

圖 3.5 原先設計之蜂窩結構貼合單元及其組裝結果

155 mm

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上述方法原考慮使用鋁箔進行手工組裝,不過市售之鋁箔厚度大 約只有0.01~0.05mm,連指紋都足以對其塑形,若採用較大孔徑,邊 長在5mm 以上,厚長比即達 1/250~1/500 的微小等級,則材質太過柔 軟,難以成形,若採用小孔徑,邊長需在5mm 以下,欲以手工製作 的方式貼合成鋁蜂窩,相當的困難。未來勢必要仰賴機械的開模製造 並管控品質,否則,若以人力手工製作,不只是需要大量的時間,且 需要極其精緻之手工製作技術,本研究團隊亦耗費不少時間企圖手工 製作這種鋁箔蜂窩結構,但品質始終不佳,工整度無法達到要求,使 這項工法停留在理想階段,目前尚不可行,此為其主要缺點。 以目前未開模生產的狀況下,除了先將製程註冊專利以外,另改 以精密蝕刻的方式製作蜂窩試片,但由於特殊製程限制,試片材質必 須捨棄鋁而採用不銹鋼,且平面外厚度上限是0.8mm,這將使蜂窩試 體變成蜂窩薄片,加壓頭變得薄如刀片,實驗加載的難度將大為提 高。為因應這樣的狀況,試驗設置需做一些必要的改變,試片尺寸將 比原先計畫的試體小,一方面節約經費,另一方面避免平面外的側向 變形、甚至平面外挫屈;同時也需特別為其重新設計一款夾具,以厚 透明壓克力夾持蜂窩薄試片,但壓克力夾板厚度由原先計畫中的 10mm 改為 25mm,以夾持強度比鋁高的不銹鋼。壓克力板最後之設 計尺寸為90mm×196mm×25mm;加壓頭為 30mm×30mm 實心不銹鋼 塊製成之鋼片夾頭,並夾住一片與不銹鋼蜂窩薄試片等厚(分為 0.4mm、0.5mm 以及 0.8mm 等三種厚度)的鋼板薄片(在本研究中簡稱 其為加壓刀)。夾持縫隙為 0.1mm,以防薄片與加壓刀交錯脫離,示 意如圖3.6。實際不銹鋼蜂窩薄試片依其幾何尺寸,分為一般型(圖

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3.7)與加長型(圖 3.8),依其厚薄之不同又分成五個不同式樣,圖 3.9 至圖3.13 分別展示其設計細節。其中式樣四大致同於式樣三,僅在加 壓施力側(試片上、下緣)做加厚補強,以防接觸瑕疵。

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圖3.7 加長型蜂窩薄試片設計圖

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圖3.9 加長型蜂窩薄試片式樣一設計圖

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圖 3.11 一般型蜂窩薄試片式樣三設計圖

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圖3.13 一般型蜂窩薄試片式樣五設計圖 對於用來分析受平面內力量時挫屈特性之第二類蜂窩試體,其實 驗流程列述如下,先將加壓刀嵌上夾頭,加壓刀與夾頭一併裝上材料試 驗機(MTS);將不銹鋼蜂窩試片及等厚的不銹鋼片固定於兩壓克力板中, 其作用為將蜂窩試片固定。因蜂窩試片與不銹鋼片為相等厚度,故在左 右兩不銹鋼片與壓克力之間各夾上一片由一般 A4 影印紙所裁切下來 等大小之紙片,以便略為墊高不銹鋼片處兩壓克力板所夾的間距,使夾 在中間之蜂巢結構試體恰能有適當的空隙進行平面內變形,不至於被 壓克力板卡住無法動彈。接著在兩塊壓克力板外夾上 G 型夾,左右兩 邊各夾兩支,共四支,使蜂窩試片受壓時,不會將不銹鋼片或壓克力板 推開,而影響實驗結果。

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完成蜂窩試片組合後,將加壓刀與夾頭降低至壓克力板頂面下方 約10mm 處,配合兩塊壓克力板之間的縫隙走向調整加壓刀之方向, 再將整個蜂窩試片組合沿加壓刀滑進材料試驗機(MTS)之平臺上(圖 3.14),轉動整個裝置起來的加壓刀、夾頭以及蜂窩試片組合,使其面 向前方預先設置之攝影機,並於蜂窩試片組合下方墊放一平穩之較厚 不銹鋼片,以確保實驗時蜂窩試片底部之平整;降下夾頭與加壓刀, 直到加壓刀幾乎觸碰至蜂窩試片,此時鬆開夾頭,使加壓刀自然落在 蜂窩試片上緣,消除加壓刀與蜂窩試片之間些微之不平行,接者鎖上 夾頭並固定加壓刀;再將夾頭連同加壓刀一起提高1mm,試驗機力量 與位移讀數歸零,當一切安置妥當後(圖 3.15),即可以固定速度每秒 0.04mm 降下加壓刀,並壓壞蜂窩試片。 在實驗之過程中材料試驗機(MTS)會將實驗數據同步輸出至所連 接之電腦內,同時透過電腦內之同捆軟體分析力與位移之關係,接著 觀察並記錄試體之變形狀況,由於蜂窩之變形皆為一瞬間,肉眼不易 觀察,因此後續之分析需仰賴攝影器材之輔助。而此試驗結果主要在 於觀察蜂窩試片之挫屈型態及挫屈臨界值。

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圖3.14 將試片組合沿加壓刀滑進試驗機之平臺

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3.3 實驗分析結果

對第一類的非線性彈性分析,因其為非破壞性試驗,單元體試片 可重複使用,因此先以較小之衝程(位移量)進行試驗,而後發現結果 穩定,再現性佳,因此幾次彈性試壓之後即以較大的衝程進行破壞性 試驗,以觀察其破壞機制。 本研究分別進行薄試片(厚度=2mm)3 片,厚試片(厚度=3mm)3 片,共 6 片 12 次壓力試驗。同一試片不同次試驗之間的位移起始值 稍有不同,於圖中已將各曲線水平移動至起點相同,另外試片因設備 空間之關係無法置於加壓頭之正中央且加壓頭具有伸縮縫之設計(圖 3.3),這使得加壓頭在下壓時會發生傾斜產生誤差,此伸縮縫之縫隙 為 4mm。修正之方法為測量出試片對應於加壓頭圓心之距離並與此加 壓頭之半徑做比較,依此推算出需修正之誤差大小,並依照比例進行 修正,修正前與修正後之比較如圖 3.16。 圖 3.16 薄試片 1 之誤差修正 修正後 修正前 修正後 修正前

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圖 3.17 至圖 3.19 為修正後三片薄試片的力與位移結果,三片試片 之臨界值分別為 0.812kN、0.823kN、0.807kN。

圖 3.17 薄試片 1 之力與位移關係

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圖 3.19 薄試片 3 之力與位移關係 圖 3.20 至圖 3.22 為修正後三片厚試片的力與位移結果,同樣校正 了位移起始值不同的問題。其中厚試片之臨界值相較於薄試片誤差較 大,由圖可知其臨界值分別為 1.66kN、1.50kN、1.77kN,推斷其可能 之原因為厚試片對於瑕疵較為敏感,當厚試片未達到其能承受之最大 力量時,試片之瑕疵卻先誘發它破壞,這使得不同試片之臨界值有較 大之差異。

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圖3.20 厚試片 1 之力與位移關係

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對第二類試片係破壞性試驗。本研究進行五種樣式蜂窩薄片各 3 至 7 片,圖 3.23 至圖 3.27 為其發生起始挫屈時。結果顯示其起始挫 屈形態皆為 Z-形挫屈,圖 3.28 至圖 3.32 為五種樣式之力與位移關 係。 圖3.23 式樣 1 之起始挫屈 圖 3.24 式樣 2 之起始挫屈

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圖 3.25 式樣 3 之起始挫屈

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圖 3.27 式樣 5 之起始挫屈

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圖 3.29 式樣 2 之力與位移關係

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圖 3.31 式樣 4 之力與位移關係

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第四章 理論分析

4.1 理論分析之探討

如同試驗的部份,理論分析也分為兩類,針對分析蜂窩薄片挫屈 的第二類試體,其理論推估結果在過去的文獻中(蘇, 2014)已提及,Z-形挫屈在各種挫屈型式中具有最低之臨界挫屈載重,就一完美蜂窩塊 體而言,其無因次化之挫屈載重值為=0.7~0.8,因此對於第二類試體 之理論分析在此便不加以贅述。而對於前面提到的第一類試體,係用來 分析蜂窩結構受軸力影響所造成之非線性力與位移關係,乃至無因次 化巨觀等效彈性模數相對於無因次化外力之間關係之非線性特質,在 本研究中有進一步的理論推導。 在第二章曾提及蜂窩細胞之受力與變形關係非常複雜,因此在以 往的蜂窩結構研究中,大多數學者著眼於平行管胞方向的受力分析,也 有部份學者研究垂直於管胞方向的受力行為,對於垂直於管胞方向的 受力行為,一般分析方法是將細胞壁當成線彈性的尤拉梁桿件(Euler Beam),藉著梁端點的變形來傳遞應力與應變。且為了進行梁桿件的理 論力學分析,必須假設細胞壁很薄,而簡化或忽略沿蜂窩壁方向力量 (在此稱為軸向力)之影響。 就實際薄壁蜂窩結構而言,其挫屈強度低,邊界約束效果不佳,因 而忽略軸力變形或軸力對勁度的影響是合理的。但在厚長比超過0.1 時, 薄壁假設就已經造成一些不可忽略之誤差,至厚長比超過0.2 時,已不 能稱其為薄壁了(高, 2009),忽略之軸力效應其實有相當關鍵的影響。 除了蜂窩結構的線性彈性性質以外,過去也有不少學者關注此類結構

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的強度,例如挫屈強度與材料塑性強度,然而在探討這些較為進階之問 題前,其彈性變形行為是必先經歷之階段,特別是由線性彈性轉變成非 線性彈性,然後才有挫屈或塑性的發生。在過去研究中蜂窩結構非線性 彈性這部份甚少被提及,非線性彈性這部份在整個材料受力行為過程 中,也許只有短暫出現,但蜂窩結構的破壞對瑕疵非常敏感,因此實有 必要做較深入之探討。

Warren and Kraynik (Warren and Kraynik, 1987)以相對密度為變數 來分析薄壁二維蜂窩結構,然而以相對密度進行分析,在管壁較厚時, 其收斂性不佳。因此本文將以厚長比為變數,同樣採用薄壁二維蜂窩結 構為研究對象,探討其受力與變形之關係,但因考量了沿細胞壁方向的 變形,薄壁的假設可以較為寬鬆,厚長比範圍可以採用 t/L=0.02(較薄

壁)到 t/L=0.20(非薄壁)。而(Gibson and Ashby,1997)利用尤拉梁理論推 導蜂窩結構受力變形關係,但其結果僅適用於薄壁蜂窩無側向約束之 情況,且未討論軸力變形之影響。俞和高進一步推展尤拉梁理論,並提 到在側向抗壓例中,彎曲變形、軸向變形,二者同樣重要。 本文探討蜂窩結構平面內應力應變的關係,且假設受一均勻之加 載位移。也就是說,位於相同 X1座標之各節點具相同之水平位移。在 (Gibson et al., 1982)對蜂巢結構的早期研究中也採用了此假設。於微小 變形的情況下,這假設還算合理。 二維蜂窩結構可以視為由無數個如圖 4.1 之重複單元(Repeated Unit)所組成,其中 t 為蜂窩壁厚。如果是正六角形蜂窩結構,垂直桿總h 等於斜桿件長度 L。對均勻變形而言,只需取其中一個代表單元來

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一個蜂巢塊體受到X2方向之均勻壓縮時,可以假設任一橫截面上各點 的 X2 方向(垂直)位移是均勻的。至於節點是否有側向變形,視所採用 之側向約束條件而異。若以產生單純方向 Z-形挫屈所需的側向約束為 條件,變形分解如圖4.2 所示。 圖 4.1 二維蜂窩結構之重複單元 L t/2 h/2 t X2 X1 θ B* h/2 L*

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圖4.2 斜桿與垂直桿受力變形分解 由於整體的對稱性,垂直桿僅受軸向力Fa,在塑性變形發生以 前,並沒有所謂的勁度折減問題,而斜桿件則兼具軸向受力N 與橫向 剪力F,從受力之初即同時兼具軸向與撓曲變形。其中,撓曲勁度受 到軸力的影響,會隨軸力的增加而降低,因而減弱了對垂直桿端點的 約束力,連帶影響了整體的等效勁度。理論上,這是一個二維無限域 的問題,但因有空間上的重複性與對稱性,分析得以簡化。為瞭解其 在不同外力等級下對整體等效勁度的影響,先從較單純的一個重複單 元體的斜桿件受力變形關係開始。斜桿件的受力變形如圖4.3 所示。 X2 X1 δv , F δa/2 δh , N Fa/2 M

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圖4.3 斜桿件受力變形示意圖 v:斜桿之垂直變形量;h:斜桿之水平變形量。 式(1)為此桿件以位移表示之撓曲平衡控制方程式, EsIv"+Nv=Nv+F(L-x) (1) 邊界條件如下 v(0)=0, v'(0)=0, v(L)= v, v'(L)=0 (2) 可以解得 v=FL3/(12EsI) (3) 其中Es為材料的彈性係數,I 為桿件的面積二次慣量,於本例中為 I=bt3/12,b 為蜂窩壁在 X 3方向上的寬度(垂直紙面的深度)。 其中係數如下 𝜇 = 12 ×2 − 2𝑐𝑜𝑠𝑘 ′𝐿 − 𝑘𝐿𝑠𝑖𝑛𝑘𝐿 (𝑘′𝐿)3𝑠𝑖𝑛𝑘𝐿 (4) 𝑘′ = √𝐸𝑁 𝑠𝐼 (5) M y x v F N L h

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接下來要探討的是這樣的力與位移關係對整體的等效彈性係數值 (以 E*表示)會產生何種影響。令 P 為一個重複單元所受的外力,也就 是說,P=Fa/2。考慮一特例,在 X2方向上單軸受力而沒有側邊界 X1方 向約束的情況下,可知N 和 F 與 Fa 之間的關係為 N=Psin (6) F=Pcos (7) 𝛿𝑣 = 𝐹𝐿 3 12𝐸𝑠𝐼𝜇 = 𝑃𝐿3𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐸𝑠𝑏𝑡3 𝜇 (8) 𝛿 = 𝑁𝐿 𝐸𝑠𝐴 = 𝑁𝐿 𝐸𝑠𝑏𝑡= 𝑃𝐿𝑠𝑖𝑛𝜃 𝐸𝑠𝑏𝑡 ,其中 A=bt (9) 𝛿𝑎 = 𝑃ℎ 𝐸𝑠𝐴𝑣 = 2𝑃ℎ 𝐸𝑠𝑏𝑡 ,其中𝐴𝑣 = 𝑏𝑡 2 (10) ∆𝑣∗= 𝛿𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝛿𝑣𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝛿𝑎 =𝑠𝑖𝑛 2𝜃𝐿 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝐿3 𝑡3𝜇 + 2 ℎ 𝑡 𝐸𝑠𝑏 𝑃 (11) 𝜎2∗ = 𝑃 𝑏𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃 (12) 𝜀2∗ = ∆𝑣 ∗ 𝐿∗ = ∆𝑣∗ ℎ + 𝐿𝑠𝑖𝑛𝜃 (13) 可得巨觀等效彈性係數 𝐸2∗ =𝜎2 ∗ 𝜀2∗ (14) 𝐸2∗ 𝐸𝑠 = ℎ + 𝐿𝑠𝑖𝑛𝜃 𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑠𝑖𝑛2𝜃𝐿 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝐿3 𝑡3𝜇 + 2 ℎ 𝑡) (15) 如果是正六角形蜂窩結構,=30且 h=L,意即 𝐸2∗ 𝐸𝑠 = 4√3𝜉3 3(𝜇 + 3𝜉2) (16)

(62)

如果兩側邊界具有約束,結果稍有不同,但推導過程類似。令v 為斜桿件受力後頂端的垂直位移,由於有兩側邊界的約束,完美狀態 下,斜桿件頂端是無法側移的,這個位移的垂直分量也就是總位移。 斜桿件頂端的軸向位移h與橫向位移v則為v的兩個分量。 h=v sin  (17) v=v cos  (18) 𝑁 =𝐸𝑠𝐴 𝐿 𝛿ℎ = 𝐸𝑠𝑏𝑡 𝐿 ∆𝑣𝑠𝑖𝑛𝜃 (19) 𝐹 = 12𝐸𝑠𝐼 𝜇𝐿3 𝛿𝑣 = 𝐸𝑠𝑏𝑡3 𝜇𝐿3 ∆𝑣𝑐𝑜𝑠𝜃 (20) P = N sin +F cos  =𝐸𝑠𝑏 (𝜉𝑠𝑖𝑛2𝜃 +𝜉3 𝜇 𝑐𝑜𝑠 2𝜃) ∆ 𝑣 (21) ∆𝑣= 𝑃 𝐸𝑠𝑏(𝜉𝑠𝑖𝑛2𝜃 +𝜉3 𝜇 𝑐𝑜𝑠2𝜃) (22) 𝛿 = 𝑃𝑠𝑖𝑛𝜃 𝐸𝑠𝑏(𝜉𝑠𝑖𝑛2𝜃 +𝜉3 𝜇 𝑐𝑜𝑠2𝜃) (23) 𝑁 = 𝜉𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜉𝑠𝑖𝑛2𝜃 +𝜉3 𝜇 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑃 (24) ∆𝑣∗= ∆𝑣 + 𝛿𝑎 = 𝑃 𝐸𝑠𝑏(𝜉𝑠𝑖𝑛2𝜃 +𝜉3 𝜇 𝑐𝑜𝑠2𝜃) + 2𝑃ℎ 𝐸𝑠𝑏𝑡 (25) 其中∆𝑣∗為代表性單元在兩側有約束之情況下之垂直總變形量 ∆𝑣為代表性單元中之斜桿件之垂直變形量 𝛿𝑎為代表性單元中之直桿件之軸向變形量

(63)

如果是正六角形蜂窩結構,=30且 h=L,可得 𝑁 = 2𝑃 1 + 3𝜉𝜇2 (26) 𝑘′𝐿 = 24 𝜉2(1 +3𝜉2 𝜇 ) ( 𝑃 𝐸𝑠𝑏𝑡) = √ 2𝜋2𝜇 𝜇 + 3𝜉2( 𝑃 𝑃𝐸) (27) ∆𝑣∗= ∆𝑣 + 𝛿𝑎 = 𝑃 𝐸𝑠𝑏(0.25𝜉 + 0.75𝜉𝜇3) + 2𝑃 𝐸𝑠𝑏𝜉 (28)

(64)

4.2 理論分析結果

接著只要將式(6)代入式(5),得到的結果代入式(4)再代入式(15), 即可得兩側邊界沒有約束時的巨觀等效彈性係數比。如果兩側邊界具 有約束,由式(27)的結果可知 k′L 為的函數,而根據式(4),又為 k′L

的函數,彼此互為相關,較為複雜。一個簡便的解決方法就是採用試誤 法(Trial and Error)來求解 k′L 或,然後再使用式(15)得到巨觀等效彈性 係數比。如果是在X1方向上加載指定位移,也可以透過相似的推導過 程求得對應之彈性係數比。其k′L 與的關係結果整理於表4.1,其中, 定義於式(4),外力比 r 定義為重複單元所受外力 P 與尤拉載重 PE比,如下式所示 r =P/PE (29) 𝑃𝐸 = 𝜋 2𝐸 𝑠𝐼 𝐿2 (30) 表4.1 k′L 與之關係 加載 方向 側邊 約束 kL 𝐸1∗ 𝐸𝑠或 𝐸2∗ 𝐸𝑠 - X2 2.22 r 4√33 3( + 32) - X2 X1 4.44√ 𝜇 𝜇 + 32𝑟 - X1 2.92√𝑟 - X1 X2 3.38√ + 2 2  + 32𝑟

(65)

表4.1 中列出四種受力與邊界束制的例子,其巨觀等效彈性係數 比的表示型式四例皆相同,但因各例有不同的值,因此各例有不同 的巨觀等效彈性係數比值。由表中的結果可知,如果側邊沒有束制 k′L 與 r 呈平方正比關係,與厚長比無關,一旦側邊有束制,k′L 與 r 的關係就變複雜了,並且受厚長比的影響。對於小於 0.1 的薄壁蜂 窩,厚長比的影響不足5%。若將側邊有束制之巨觀等效彈性係數比 與外力比r 之關係繪成曲線,則如圖 4.4 及圖 4.5 所示。 4.4 等效彈性係數比(X1方向)與外力比 r 之關係 𝐸1∗ 𝐸1∗(0) 𝑃 𝑃𝐸

(66)

4.5 等效彈性係數比(X2方向)與外力比 r 之關係 由圖中可以看出,不論是 X1或 X2方向加載,彈性係數隨外力的 增加而減少,兩者大致呈線性比例關係,只有在厚長比超過 0.1 時, 可以看出稍有非線性的變化關係。其中無因次外力之比值最終為 0.5 是因本實驗採取半厚度,外力為尤拉載重之一半,而曲線終點趨近零 勁度,這表示某種型式的挫曲將發生,實際上,本研究一開始假設的 變形型式僅適用於微小的彈性變形,在這種變形下勁度尚未降至零, 就早已有其他較弱的挫曲型式發生了,例如前面提過的 Z-形挫屈,因 此曲線趨近零勁度終點部份,其實用意義不大。等效彈性係數比值靠 近 1 的曲線前半段,則表現出厚長比越高其彈性係數折減越緩慢的特 性,原因是厚長比越高,軸向勁度的影響力越大。會受軸力影響而折 減的橫向撓曲勁度,在高厚長比的情況下,對總體勁度的影響力,相 對的降低,因而圖中的這種結果亦屬合理。 𝐸2∗ 𝐸2∗(0) 𝑃 𝑃𝐸

(67)

第五章 數值分析

5.1 數值分析設定

兩類的試體在本研究中皆以LS-Dyna 通用有限元素軟體進行模擬, 第一類試體採用 120 個常應力彈性殼元素(圖 5.1),並在斜桿件中跨處 加入2%的垂直移位瑕疵以誘發撓曲變形。實際的試體也確實並不完美, 存在了許多足以誘發撓曲變形的因素,包括材料性質的微小瑕疵、試片 幾何上的瑕疵、加壓頭的不平整、周遭環境的干擾等等。 對於位在同樣高度的節點施以同垂直位移節點條件(Coincident Nodes),確保其為平面應力狀態。試片底緣固定,頂緣則指定位移-時 間函數。材料為鋁,其彈性係數為E=65000MPa,柏松比=0.25。 第二類試體中,式樣一與式樣二採用 2780 個常應力彈性殼元素 (Constant Stress Shell Elements)來模擬蜂窩試片,另用 132 個剛性(Rigid) 殼元素來模擬加壓刀(圖 5.2)。式樣三、式樣四與式樣五則採用 1860 個 常應力殼元素來模擬蜂窩試片,另用 100 個剛性殼元素來模擬加壓刀 (圖 5.3)。加壓刀與蜂窩試片之間採用面對面介面元素 (Surface-to-Surface Interface),蜂窩試片各元素之間亦採用單一面介面元素(Single-Surface Interface)。試片底端施以固定邊界條件,左右兩側理論上本應 為滑動邊界,但實際試驗發現試片與側檔板其實是黏著的,因此在數值 模擬中也採用了固定的側邊界。

(68)

圖5.1 蜂窩結構重複單元體之有限元素模型

(69)
(70)

5.2 數值分析結果

圖 5.4 和 5.5 顯示薄試片與厚試片的力與位移關係,其中薄試片的 峰值 810N 非常接近實驗之結果,而未加瑕疵的厚試片的峰值則偏高, 實驗值 1800N,數值解 2500N。如果對厚試片加上側移瑕疵,則結果顯 示於圖 5.6,其中加入 0.5%瑕疵時峰值驟減至 1560N,這時結果就與實 驗結果較為接近了,由此可知厚試片對瑕疵非常敏感,可能在未達臨界 值時就因部分瑕疵而造成大規模變形,因此能合理推斷在現實實驗中, 因試體之外觀不如數值模擬之完美,以致結果會有所差異。 圖5.4 未加瑕疵的薄試片之力與位移關係

(71)

圖5.5 未加瑕疵的厚試片之力與位移關係

(72)

第二類蜂窩薄片數值模型分析的結果示於圖 47 至 51。結果顯示 其初始挫屈模態皆為 Z-型挫屈。

圖 5.7 式樣 1 模型之挫屈情形

(73)

圖5.9 式樣 3 模型之挫屈情形

(74)

圖5.11 式樣 5 模型之挫屈情形 其中數值模擬及實驗兩者之力與位移關係存在了些許之差異,這 其中與實驗試體不如數值模擬般完美有關,前已述及蜂窩結構之挫屈 對瑕疵非常敏感,實驗設置雖以嚴謹處理,仍難以達到零瑕疵,因此 實驗之結果必須在瑕疵存在的假設下進行分析。由實驗過程的照片中 也可以看出,其試片之變形並不完美均勻,相似於第一類試體,微小 瑕疵的存在,會影響數值模擬之結果,但不影響Z 型挫屈的發生,本 研究在數值模擬中,於試體中間列的兩側蜂窩細胞上緣斜桿加入了中 心點為0.1mm 的偏移量(相當於 0.138%的彎曲)當作瑕疵,以對應實驗 之真實試體。

(75)

圖5.12 式樣 1 模型之力與位移關係

(76)

圖5.14 式樣 3 模型之力與位移關係

(77)
(78)

第六章 結論

6.1 結果比較

將非線性分析之實驗數據、理論解及數值模擬三者進行比較, 依據試體之厚度不同分別表示於圖 6.1 及圖 6.2 中。 圖6.1 厚度 2mm 之蜂窩重複單元實驗、理論及數值比較 圖6.2 厚度 3mm 之蜂窩重複單元實驗、理論及數值比較

(79)

由圖6.1 及圖 6.2 可發現,數值模擬及理論解之結果非常接近, 其中數值模擬是將實驗中之實際參數代入有限元軟體LS-Dyna 中所 得到之數據,而理論解之部分則是將實驗之參數代入式(28)中便可 得到,實驗數據之部分在校正過儀器之誤差後,可發現其與數值模 擬及理論解之結果也相當接近。而由以上三者之比對可知,考慮軸 向力影響之理論解會非常貼近真實情形,這也應證了軸向力對蜂窩 結構有其不可被忽略之影響。在數值模擬中厚試片之臨界值相較於 實驗值高了不少,而加上0.5%的瑕疵後可發現其臨界值有明顯下 降,由此可知厚試片對於瑕疵非常敏感。

(80)

6.2 結論

本研究以一個蜂窩結構的重複單元體來求解其非線性彈性性質, 分析蜂窩結構在受壓縮時,勁度產生變化的情形,得到其有效巨觀勁 度的理論解。在有些邊界條件下,理論解需藉由試誤法求得其值。結 果顯示,巨觀等效彈性係數比值會隨著外力的增加而降低,不同的厚 長比,有不同的非線性表現,對於薄壁蜂窩結構,厚長比低於 0.1 時, 基本上其巨觀等效彈性係數比與外力比成一線性關係。由數值結果可 知,蜂窩結構的強度受瑕疵與邊界的影響甚劇。 就蜂窩平面內挫屈的部份,實驗、理論與數值皆指出:不論幾 何尺寸、邊界條件,其初始挫屈模態皆為 Z-型挫屈,雖僅在實驗中 短暫的出現,並且很快的消失在大變形或其他挫屈模態中,但該型 挫屈確為蜂窩側向破壞的關鍵型式,值得好好研究。

(81)

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數據

表 2.2 將(Warren and Kraynik, 1987)、(Gibson and Ashby, 1997)、 (俞和高, 2010)三篇文獻中作者所推導出的理論解進行比較。表中之符 號可參考表 2.1。  表 2.1  符號定義  符號  定義  E s 無孔隙之固體材料之楊氏模數  E 1 * 具有孔隙之整體材料之巨觀楊氏模數,上標*表示孔隙材 料,下標 1 代表方向,在此表示 X 1 方向之受力;下標為 2 時,表示 X 2 方向之受力   蜂窩結構之相對密度   厚長比 t/L  t
表 2.2  彈性解之比較  式 2.1 為近似解析解,式中有一無窮級數項,若能取越多項此式 會越準確。然而此式之係數皆非小於 1,這也使得當式中之  大到一定 程度時此式會越不精準,收斂性不佳。相較於式 2.1,式 2.2 並無無窮 級數項,無須考慮收斂性之問題。然而此式再推導時,並無考慮軸向 變形之影響,使得此式僅適用於薄壁蜂窩結構。式 2.3 與式 2.2 之差 異為分母多加了一項 3  2 ,而會有此差異主要因此式有考慮軸向變 形,這使得此式能同時適用於薄壁及部分非薄壁蜂窩結構。作者 年份 彈性
圖 3.6  蜂窩薄試片抗壓試驗設置圖
圖 3.7  加長型蜂窩薄試片設計圖
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