第五章·极限定理
概率论与数理统计
2020 年 2 月 12 日
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主要内容
极限定理研究大量随机变量的规律性．
1 大数定律(Law of Large Numbers)：
大量随机变量的平均结果的稳定性．
2 中心极限定理(Central Limit Theorem)：
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主要内容
极限定理研究大量随机变量的规律性．
1 大数定律(Law of Large Numbers)：
大量随机变量的平均结果的稳定性．
2 中心极限定理(Central Limit Theorem)：
大量随机变量的和的稳定性．
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主要内容
极限定理研究大量随机变量的规律性．
1 大数定律(Law of Large Numbers)：
大量随机变量的平均结果的稳定性．
2 中心极限定理(Central Limit Theorem)：
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大数定律 .
第一节
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中心极限定理
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第二节
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平均结果的稳定性
引例 设 X 是第 次扔硬币的结果（ = 1,2,· · · ,n）： X = ¨ 1, 正面朝上; 0, 正面朝下. X1,· · · ,Xn 相互独立．求 Yn = X1+ · · · + Xn n 的分布． 解答 X1+ · · · + Xn ∼ B n,12 ，从而 P ¨ X1+ · · · + Xn n = k n « = PnX1+ · · · + Xn = k o = Ck n 1 2 k1 2 n−k = Ck n 1 2 n ..
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平均结果的稳定性
引例 设 X 是第 次扔硬币的结果（ = 1,2,· · · ,n）： X = ¨ 1, 正面朝上; 0, 正面朝下. X1,· · · ,Xn 相互独立．求 Yn = X1+ · · · + Xn n 的分布． 解答 X1+ · · · + Xn ∼ B n,12 ， 从而 P ¨ X1+ · · · + Xn n = k n « = PnX1+ · · · + Xn = k o = Ck n 1 2 k1 2 n−k = Ck n 1 2 n ..
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平均结果的稳定性
引例 设 X 是第 次扔硬币的结果（ = 1,2,· · · ,n）： X = ¨ 1, 正面朝上; 0, 正面朝下. X1,· · · ,Xn 相互独立．求 Yn = X1+ · · · + Xn n 的分布． 解答 X1+ · · · + Xn ∼ B n,12 ，从而 P ¨ X1+ · · · + Xn n = k n « = PnX1+ · · · + Xn = k o.
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n= 1 Y1 0 1 P 1/ 2 1/ 2 n= 2 Y2 0 1/ 2 1 P 1/ 4 2/ 4 1/ 4 n= 3 Y3 0 1/ 3 2/ 3 1 P 1/ 8 3/ 8 3/ 8 1/ 8 n= 4 Y4 0 1/ 4 2/ 4 3/ 4 1 P 1/ 16 4/ 16 6/ 16 4/ 16 1/ 16 n= 5 Y5 0 1/ 5 2/ 5 3/ 5 4/ 5 1 P 1/ 32 5/ 32 10/ 32 10/ 32.
5/ 32 1/ 32.
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大数定律 .
第一节
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切比雪夫不等式
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A
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切比雪夫定理
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B
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伯努利定理
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C
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切比雪夫不等式
定理 设随机变量 X 有期望和方差，则对于任给的 ϵ > 0，有 P(|X − E(X)| ≥ ϵ) ≤ Vr(X) ϵ2 , 即 P(|X − E(X)| < ϵ) ≥ 1 − Vr(X) ϵ2 ..
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切比雪夫不等式
例 1 设随机变量 X 的期望和方差分别为 μ 和 σ2，估 计以下概率 P(|X − μ| < σ), P(|X − μ| < 2σ), P(|X − μ| < 3σ)..
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切比雪夫不等式
例 2 设面包店每天的面包销量 X 是平均值为 100 个，标准差为 4 个的随机变量． (1) 估计销量在 80 到 120 个之间的概率． (2) 进货多少个才能保证 99% 的概率足够销售？ 练习 1 扔硬币 1000 个，估计正面朝上的个数在 450 到 550 之间的概率．.
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切比雪夫不等式
例 2 设面包店每天的面包销量 X 是平均值为 100 个，标准差为 4 个的随机变量． (1) 估计销量在 80 到 120 个之间的概率． (2) 进货多少个才能保证 99% 的概率足够销售？ 练习 1 扔硬币 1000 个，估计正面朝上的个数在 450 到 550 之间的概率．.
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大数定律 .
第一节
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切比雪夫不等式
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A
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切比雪夫定理
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B
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伯努利定理
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C
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大数定律之一
定义 设 {Xn}n¾1 是一随机变量序列，如果对任何 n > 1，X1,X2,· · · ,Xn 相互独立，则称 {Xn}n¾1 相 互独立． 定理 1 (切比雪夫定理) 设随机变量序列 {Xn}n¾1 相 互独立，且有相同的期望 μ 和方差 σ2，定义 Y n 为前 n 个随机变量的算术平均，即 Yn = 1 n n ∑ =1 X, 则对任意正数 ϵ，有 lim n→∞P {|Yn − μ| < ϵ} = 1..
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大数定律之一
定义 设 {Xn}n¾1 是一随机变量序列，如果对任何 n > 1，X1,X2,· · · ,Xn 相互独立，则称 {Xn}n¾1 相 互独立． 定理 1 (切比雪夫定理) 设随机变量序列 {Xn}n¾1 相 互独立，且有相同的期望 μ 和方差 σ2，定义 Y n 为前 n 个随机变量的算术平均，即 Yn = 1 n n ∑ =1 X, 则对任意正数 ϵ，有 lim n→∞P {|Yn − μ| < ϵ} = 1..
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大数定律 .
第一节
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切比雪夫不等式
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A
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切比雪夫定理
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B
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伯努利定理
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C
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大数定律之二
定理 2 (伯努利定理) 在独立实验序列中，记事件 A 的概率为 p．以 ƒn(A) 表示前 n 次试验中事件 A 发生 的次数，则对任意正数 ϵ， lim n→∞P ¨ ƒn(A) n − p < ϵ « = 1. 注记 伯努利定理的实际意义：当重复试验次数充分 大时，某事件发生的频率与该事件发生的概率有一定 偏差的可能性很小．.
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大数定律之二
定理 2 (伯努利定理) 在独立实验序列中，记事件 A 的概率为 p．以 ƒn(A) 表示前 n 次试验中事件 A 发生 的次数，则对任意正数 ϵ， lim n→∞P ¨ ƒn(A) n − p < ϵ « = 1. 注记 伯努利定理的实际意义：当重复试验次数充分 大时，某事件发生的频率与该事件发生的概率有一定.
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大数定律 .
第一节
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中心极限定理
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第二节
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中心极限定理
中心极限定理的主要思想：如果 1 一个随机现象由众多的随机因素所引起， 2 且每一因素在总的变化里所起的作用不显著， 则描述这个随机现象的随机变量近似地服从正态分布． 例如：成年人的身高，城市的用电量．.
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中心极限定理
中心极限定理的主要思想：如果 1 一个随机现象由众多的随机因素所引起， 2 且每一因素在总的变化里所起的作用不显著， 则描述这个随机现象的随机变量近似地服从正态分布． 例如：成年人的身高，城市的用电量．.
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中心极限定理
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第二节
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林德伯格－莱维定理
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A
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棣莫弗－拉普拉斯定理
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B
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中心极限定理之一
定理 1 (林德伯格－莱维定理) 若 {Xn}n¾1 独立且 同分布，E(X) = μ，Vr(X) = σ2 > 0，令 Zn = n ∑ =1 X− nμ p nσ 则其分布函数 Fn() 收敛到 ()，即对任何实数 ， lim n→∞Fn() = limn→∞P{Zn ¶ } = () 其中 () 是标准正态分布 N(0,1) 的分布函数，.
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中心极限定理之一
例 1 已知产品的长度服从期望为 14、方差为 4 的分 布．求 100 件产品的平均长度超过 14.5 的概率．
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中心极限定理之一
例 2 计算机进行加法计算时，把每个加数四舍五入 变为整数来计算．设所有的取整误差是相互独立的随 机变量，并且都服从区间 [−0.5,0.5) 上的均匀分布． 若独立进行了 300 次实数加法运算，求所有舍入误差 的总 · 和· 的绝对值小于 10 的概率．.
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中心极限定理之一
练习 1 一个螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值 是 10 克，标准差是 1 克，求一盒 (100 个) 同型号螺 丝钉的重量超过 1020 克的概率．.
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中心极限定理
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第二节
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林德伯格－莱维定理
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A
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棣莫弗－拉普拉斯定理
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B
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中心极限定理之二
设在某试验中事件 A 发生的概率为 p，将该试验独立 地进行 n 次．记 X 为 n 次试验中事件 A 发生的总次 数，X 为第 次试验中事件 A 发生的次数，则 X ∼ B(n,p), X ∼ B(1,p), = 1,2,· · · ,n, 且 X = X1+ X2+ · · · + Xn.
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中心极限定理之二
定理 2 (棣莫弗－拉普拉斯定理) 设随机变量 X 服从 参数为 n,p 的二项分布，即 X ∼ B(n,p)，则当 n 充 分大时，X 近似服从正态分布，即可以近似认为 X− np p np(1 − p) ∼ N(0 ,1)..
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中心极限定理之二
例 3 某公司有 200 名员工参加一种资格证书考试． 按往年经验，该考试的通过率为 0.8．试计算这 200 名员工至少有 150 人考试通过的概率． 解答 (1.77) = 0.9616．.
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中心极限定理之二
例 3 某公司有 200 名员工参加一种资格证书考试． 按往年经验，该考试的通过率为 0.8．试计算这 200 名员工至少有 150 人考试通过的概率． 解答 (1.77) = 0.9616．.
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中心极限定理之二
例 4 某市保险公司开办一年人身保险业务，被保人 每年需交付保费 160 元．若一年内发生重大人身事 故，其本人或家属可获 2 万元赔付．己知该市人员一 年内发生重大人身事故的概率为 0.005，现有 5000 人参加此项保险．问保险公司一年内从此项业务所得 到的总收益在 20 万元到 40 万元之间的概率是多少？.
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中心极限定理之二
练习 2 产品为废品的概率为 p = 0.005，求 10000 件产品中废品数不大于 70 的概率．
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中心极限定理之二
练习 3 设电站供电网有 10000 盏电灯，假设夜晚 每一盏灯开灯概率都是 0.7，而且各盏灯的开关时间 彼此独立，试估计夜晚同时开着的灯数在 6900 到 7100 之间的概率． (1) 用切比雪夫不等式估计． (2) 用中心极限定理估计．.
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复习与提高
选择 (2002) 设随机变量 X1,X2,· · · ,Xn 相互独立， Yn = X1+ X2+ · · · + Xn，则根据林德伯格－莱维中心 极限定理，当 n 充分大时，Yn 近似服从正态分布，只 要 X1,X2,· · · ,Xn · · · ·( ) (A) 有相同的数学期望 (B) 有相同的方差 (C) 服从同一指数分布 (D) 服从同一离散型分布.
