高二下第一次學藝競試數學題庫(50)

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(1)

Sec1-1

01. 下圖為一個正立方體﹐它共有 12 個邊﹒問﹕這 12 個邊中﹐有幾個邊所在的直線與直線 AB 歪斜﹖ (1)2 (2)3 (3)4 (4)5 (5)6﹒  解答  5 解析 下圖中以實線表示的邊所在的直線與直線 AB 歪斜﹒ 共有 6 條直線與直線 AB 歪斜﹐故正確的選項為(5)﹒ 02. 下圖是一個長方體﹐下列哪些直線與直線 AE 歪斜﹖ (1)直線 AB (2)直線 DH (3)直線 FG (4)直線 FH﹒  解答  34 解析 (1)直線 AB 與直線 AE 相交於 A 點﹒ (2)因為直線 DH 與直線 AE 在長方形 ADHE 的對邊上﹐所以兩直線平行﹒ (3)因為直線 FG 落在平面 EFGH 上﹐而直線 AE 與平面 EFGH 垂直於 E 點﹐即直線 FG 和直線 AE 既不平行且 不相交﹐故直線 FG 和直線 AE 歪斜﹒ 同理可得﹕(4)直線 FH 和直線 AE 歪斜 由上述的討論可知﹕正確的選項為(3)(4)﹒

(2)

03. 下圖為一個正立方體﹐選出正確的選項﹕ (1) AB AD EG

  

   (2) AB AD AE AG

   

    (3)AE EG

 

 0 (4)ED EF

 

 0 (5)AG CE

 

 0﹒  解答  1234 解析 (1)AB AD AC EG

 

  

﹒ (2)AB AD AE

      

  AB BC CG  AG﹒ (3)因為AEEG﹐所以AE EG

 

 0﹒ (4)因為EDEF﹐所以ED EF

 

 0 (5)因為 ACGE 是一個長與寬不等長的長方形﹐所以對角線AGCE並沒有垂直﹐因此AG CE

 

 0﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(3)(4)﹒ 04. 關於空間中的敘述﹐選出正確的選項﹕ (1)過已知直線外一點﹐「恰有」一個平面與此直線垂直 (2)過 已知直線外一點﹐「恰有」一個平面與此直線平行 (3)過已知平面外一點﹐「恰有」一個直線 與此平面平行 (4)過已知平面外一點﹐「恰有」一個平面與此平面垂直 (5)過已知平面外一 點﹐「恰有」一個平面與此平面平行﹒  解答  15 解析 (2)不只一個平面與此直線平行﹒ (3)不只一條直線與此平面平行﹒ (4)不只一個平面與此平面垂直﹒ 其餘的選項均是正確的﹐故正確的選項為(1)(5)﹒

(3)

05. 關於空間中的敘述﹐選出正確的選項﹕ (1)同時與一直線垂直的兩相異直線必互相平行 (2)同時與一平 面垂直的兩相異直線必互相平行 (3)同時與一直線平行的兩相異直線必互相平行 (4)同時與一 平面平行的兩相異直線必互相平行﹒  解答  23 解析 (1)此兩直線可能交於一點﹑互相平行或為歪斜線 (4)此兩直線可能交於一點﹑互相平行或為歪斜線 故選(2)(3)﹒ 06. 下圖中﹐ABCD - EFGH 是一個正立方體﹐選出正確的選項﹕ (1)EA EG

 

 0 (2)ED EF

 

 0 (3) 0 EC AG

 

   (4) EF EH AC

  

   (5) EF EA EH EC

   

    解答  1245 解析 將正立方體放在坐標空間中﹐如下圖所示﹕ (1)EA EG

 

 (0,0, 1) ( 1,1,0) 0-  -  ﹒ (2)ED EF

 

  -( 1,0, 1) (0,1,0) 0-   ﹒ (3)EC AG

 

  -( 1,1, 1) ( 1,1,1) 1-  -  ﹒ (4)EF

   

EHEGAC﹒ (5)EF

      

EA EH EFFB BC EC  ﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(4)(5)﹒

(4)

07. 下圖是一個長方體﹐下列哪些直線與直線 AB 歪斜﹖ (1)直線 CD (2)直線 CG (3)直線 CH (4)直線 AG (5)直線 HG﹒  解答  23 解析 (1)直線 CD 與直線 AB 平行﹒ (2)直線 CG 與直線 AB 歪斜﹒ (3)直線 CH 與直線 AB 歪斜﹒ (4)直線 AG 與直線 AB 交於 A 點﹒ (5)直線 HG 與直線 AB 平行﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(2)(3)﹒ 08. 選出正確的選項﹕ (1)空間中﹐垂直於同一直線的兩相異直線必互相平行 (2)空間中﹐平行於同一直線 的兩相異直線必互相平行 (3)空間中﹐垂直於同一平面的兩相異直線必互相平行 (4)空間中﹐ 平行於同一平面的兩相異直線必互相平行 (5)空間中﹐垂直於同一直線的兩相異平面必互相平 行﹒  解答  235 解析 (1)垂直於同一直線的兩相異直線也可能歪斜或交於一點﹒ (2)平行於同一直線的兩相異直線必互相平行是正確的﹒ (3)垂直於同一平面的兩相異直線必互相平行是正確的﹒ (4)平行於同一平面的兩相異直線也可能歪斜或交於一點﹒ (5)垂直於同一直線的兩相異平面必互相平行是正確的﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(2)(3)(5)﹒

(5)

09. 設直線 AB 垂直平面 E 於 B 點﹐且 L 是平面 E 上一條直線﹐D 是 L 上一點﹐如下圖所示﹒若直線 BC 垂直 L於 C 點﹐且AC2﹐DC1﹐則AD的長度為何﹖  解答  5 解析 由三垂線定理得直線 AC 垂直 L 於 C 點﹐即△ACD 是一個直角三角形﹒利用畢氏定理﹐得 2 2 2 2 2 1 5 ADACCD    10. 下圖是一個三角錐﹐△ABC 與△BCD 均為邊長 2 的正三角形﹐AD 3﹒設二側面 ABC 與 BCD 所夾的 二面角為q﹐且AH 為底面 BCD 上的高﹒ (1)求q﹒ (2)求AH的長﹒  解答  (1)60°;(2)32 解析 取BC的中點為 M﹒ 因為△ABC 與△BCD 均是正三角形﹐ 所以AMDM 均與BC垂直﹐

(6)

即 ÐAMD 為二側面 ABC 與 BCD 所夾的二面角q﹐如下圖所示﹒ 因為高AH 垂直底面 BCD﹐所以連接BHCH可得 ÐAHB  ÐAHC  90°﹐並由ABACAHAH ﹐得 DAHB @ DAHC(RHS 全等性質)﹐BHCH ﹐因此點 H 落在BC的中垂線 DM 上﹐如下圖所示﹒ 因為AMDM 均為正三角形的中線﹐其長度為 3﹐ 所以△AMD 是邊長為 3的正三角形﹒因此 (1)q  60°﹒ (2)高 3 sin 60 3 3 3 2 2 AH   °   

(7)

11. 下圖是一個正六面體﹐A﹐B 為六面體的二個頂點﹒已知AB12﹐求正六面體的表面積﹒  解答  288 解析 設正六面體的邊長為 a﹒ 由下圖可知﹕ 2 2 2 2 2 2 ABACBCaaa即 3a2  122  144﹐解得 a2  48﹒ 故正六面體的表面積為 6a2  6  48  288﹒

12. 下圖是一個各邊長皆為 2 的四角錐﹐ABCD 是一個正方形﹒已知側面 ADE 與底面 ABCD 所夾的二面角為

q﹐求 cosq的值﹒

 解答  33

解析 取AD的中點 M﹐BC的中點 N﹒因為△ADE 為正三角形﹐所以MEAD﹐又 ABCD 是正方形﹐所

MNAD﹐即 ÐEMN 為側面 ADE 與底面 ABCD 所夾的二面角q﹒

(8)

利用餘弦定理﹐得 2 2 2 2 2 2 ( 3) 2 ( 3) 1 3 cos cos 3 2 2 3 2 3 ME MN NE EMN ME MN q Ð   -   -      ﹒ 13. 下圖中﹐直線 AB 分別與兩歪斜線 L1﹐L2垂直於 A﹐B 兩點﹐我們稱 AB 為 L1與 L2的公垂線段﹐直線 L3與 L1平行﹐且通過點 B﹐和 L2的一夾角為 30°﹒若 4 AB﹐且 L1上一點 P 滿足 6 AP﹐則 P 到 L2的最短距離 為何﹖  解答  5 解析 因為直線 AB 與 L1垂直﹐且 L3與 L1平行﹐所以 L3與直線 AB 垂直﹒因為直線 AB 與 L2﹐L3均垂直﹐所 以直線 AB 與 L2﹐L3所在的平面垂直﹒現在經過 P 作一直線 PQ 與直線 AB 平行﹐且和 L3交於 Q 點﹐則直線 PQ與 L2﹐L3所在的平面亦垂直﹐同時可得PQ AB 4﹐BQ AP 6﹒再過 Q 作一直線 QR 垂直 L2於 R 點﹒因為直線 PQ 與 L2﹐L3所在的平面垂直﹐所以由三垂線定理可知﹕PR為 P 到 L2的最短距離﹒因為 ÐQBR  30°﹐ÐQRB  90°﹐BQ6﹐所以可得QR3﹐再由直角△PQR﹐可得PRPQ2QR2  4232 5﹐因

(9)

此 P 到 L2的最短距離為 5﹒ 14. 長度分別為 15 與 20 公尺的兩面圍牆垂直立於地面上﹐它們的高度都是 5 公尺﹐而且互相垂直﹐如下圖 所示﹕ 有一隻貓咪趴在兩牆相交的頂點 C 處﹐注視著從一牆之牆角 A 沿著直線跑到另一牆之牆角 B 的老鼠﹒ (1)問﹕在整個注視的過程中﹐貓咪與老鼠的最近距離是幾公尺﹖ (2)已知通過 A﹐B﹐C 三點的面與地面的夾角為q﹐求 sinq的值﹒  解答  (1)13;(2)135 解析 從兩牆相交的底點 D 作 AB 的垂線 DH﹐連接 CH﹐如下圖所示﹒ (1)因為兩面圍牆皆與地面垂直﹐所以它們的交線 CD 與地面垂直﹐又直線 DH 與直線 AB 垂直﹐所以根據三垂 線定理可知﹕直線 CH 與 AB 也垂直﹐即 C 與直線 AB 距離最近的點在 H﹐故線段 CH 的長度是貓咪與老鼠的 最近距離﹒  現在來計算線段 CH 的長度﹕由 ÐADB  90°﹐AD15﹐BD20及畢氏定理可知﹕  AB 152202 25﹒  又由直角三角形 ADB 面積為 15 20 150 2 2 AD BD ﹐也等於

(10)

 AB DH2 252DH ﹐解得DH 12 在直角三角形 CHD 中﹐因為DH 12﹐CD5﹐所以CH  12252 13﹐  故貓咪與老鼠的最近距離為 13 公尺﹒ (2)由CHABDHAB可知﹕通過 A﹐B﹐C 三點的面與地面的夾角q ÐCHD﹒故  sin sin 5 13 CD CHD CH q Ð   15. 設直線 AB 垂直平面 E 於 B 點﹐L 是平面 E 上一條直線﹐且 D 是 L 上一點﹐如下圖所示﹒若直線 BC 垂直 L於 C 點﹐且AD13﹐DC12﹐BC3﹐則AB的長度為何﹖  解答  4 解析 由三垂線定理﹐得直線 AC 垂直 L 於 C 點﹐即△ACD 是一個直角三角形﹒ 利用畢氏定理﹐得ACAD2-CD2  132-122 5﹒ 又因為△ABC 是一個直角三角形﹐ 所以利用畢氏定理﹐得ABAC2-BC2  52-32 4﹐ 故AB的長度為 4﹒

(11)

16. 下圖中﹐過矩形 ABCD 的頂點 A﹐作線段PA垂直於矩形 ABCD 所在的平面﹐若PB2 2﹐PC3﹐ 5 PD﹐則矩形 ABCD 的面積為何﹖  解答  2 解析 因為PA與矩形 ABCD 垂直﹐所以△PAB﹐△PAD 為直角三角形﹒ 又因為 ABCD 為矩形﹐所以ABBCBCAD﹒ 由三垂線定理得知﹐PBBC﹐即△PBC 為直角三角形﹐ 並可推得BC 32-(2 2)2 1﹐且AD BC 1﹒ 因為△PAD 為直角三角形﹐所以PA ( 5)2- 12 2﹒ 又因為△PAB 為直角三角形﹐所以AB (2 2)2-22 2﹒ 故矩形 ABCD 的面積為AB AD 2﹒ 17. 下圖是一個四面體 D - ABC﹐其中AB BC CA  6﹐DA DB DC  4﹐從頂點 D 對底面 ABC 做垂直線 DH交底面於 H 點﹐線段DH稱為此四面體的一個高﹒求﹕

(12)

(1)高DH的長﹒ (2)底面 ABC 與側面 BCD 所夾之二面角q的餘弦值﹒  解答  (1)2;(2) 721 解析 因為DH與底面 ABC 垂直﹐可得DHAHBHCH均垂直﹐又AD BD CD  ﹐所以 △ADH﹐△BDH﹐△CDH 為全等三角形﹐因此由畢氏定理可知 2 2 AHAD -DHBH CH﹐即 H 為△ABC 的外心﹐亦為重心﹒ 設 E 為BC的中點﹒ (1)因為△ABC 為正三角形﹐△BCD 為等腰三角形﹐所以AEDE均垂直BC於 E 點﹐且因為 H 為△ABC 的 重心﹐所以 2 2( 3 ) 2 3 3 3 2 AHAEAC  計算DHAD2-AH2  42-(2 3)2  4 2 ﹒   (2)因為 ÐAED 為底面 ABC 與側面 BCD 所夾的二面角q﹐又  DECD2-CE2  42-32  7 ﹐  所以 1 3 21 3 cos 7 7 7 AE HE DE q     ﹒

(13)

18. 設直線 AB 垂直平面 E 於 B 點﹐L 是平面 E 上一條直線﹐且 D 是 L 上一點﹐如下圖所示﹒若直線 BC 垂直 L 於 C 點﹐且AB2﹐BC1﹐AD3﹐則CD的長度為何﹖  解答  2 解析 因為△ABC 是一個直角三角形﹐所以利用畢氏定理﹐得 2 2 2 2 2 1 5 ACABBC    由三垂線定理得直線 AC 垂直 L 於 C 點﹐即△ACD 是一個直角三角形﹒ 利用畢氏定理﹐得CDAD2-AC2  32-( 5)2 2﹒ 故CD的長度為 2﹒

Sec1-2

19. 坐標空間中﹐下列哪一點與原點的距離最大﹖ (1)(1,2,3) (2)(1,0,5) (3)(2,2,2) (4)(1, - 1,4) (5) (0,3,3)﹒  解答  2 解析 各點與原點的距離分別為﹕ (1) (1 0)- 2(2 0)- 2 -(3 0)2  14﹒ (2) (1 0)- 2 -(0 0)2 -(5 0)2  26﹒ (3) (2 0)- 2(2 0)- 2(2 0)- 2  12﹒ (4) (1 0)- 2 - -(( 1) 0)2 -(4 0)2  18﹒ (5) (0 0)- 2 -(3 0)2 -(3 0)2  18﹒ 因為最大值為 26﹐所以正確的選項為(2)﹒

(14)

20. 下列哪些點與 A(6,2, - 4)﹐B( - 3,5,8)兩點共線﹖ (1)(3,3,0) (2)(0,4,4) (3)(9,1, - 8) (4)(3,7,4) (5)( - 9,3,4)﹒  解答  123 解析 設 C(3,3,0)﹐D(0,4,4)﹐E(9,1, - 8)﹐F(3,7,4)﹐G( - 9,3,4)﹐則 ( 9,3,12) 3( 3,1,4) AB - 

-

AC

 -( 3,1,4)AD

 -( 6,2,8) 2( 3,1,4) - (3, 1, 4) ( 1)( 3,1, 4) AE

 - -  - - AF

 -( 3,5,8)AG

 -( 15,1,8) 由上面的向量可知﹕C﹐D﹐E 三點與 A﹐B 兩點共線﹒ 故正確的選項為(1)(2)(3)﹒ 21. 已知向量

a (2,1,1)﹐

b  -( 3,3, 1)- ﹐

c  -( 5,5, 1)- ﹐求 (1) 3 a

 

b 及其長度﹒ (2)

  

a -3 b 2 c 及其長度﹒  解答  (1)3 a

 

b  (3,6,2)﹐長度為 7;(2)

  

a -3 b 2 c  (1,2,2)﹐長度為 3 解析 (1)3 a

 

b  3(2,1,1)  ( - 3,3, - 1)  (6,3,3)  ( - 3,3, - 1)  (3,6,2)﹒  其長度為| 3

 

ab | 326222  49 7 ﹒ (2)

  

a -3 b 2 c  (2,1,1) - 3( - 3,3, - 1)  2( - 5,5, - 1)          (2,1,1) - ( - 9,9, - 3)  ( - 10,10, - 2)  (1,2,2)﹐  其長度為|

  

a -3 b 2 c | 122222  9 3 ﹒

(15)

22. 下圖中﹐B(3,2,1)﹐C( - 12,7,11)﹐D 為線段 BC 上一點且△ABD 的面積是△ABC 面積的5 ﹐求 D 點的坐2 標﹒  解答  ( - 3,4,5) 解析 因為△ABD 的面積是△ABC 面積的25﹐ 所以BD25BC﹐ 即BD DC: 2 3: ﹒利用分點坐標公式得﹕ D點的坐標為(3 3 2 ( 12) 3 2 2 7 3 1 2 11   -5 ,   5 ,   5 )( - 3,4,5)﹒ 23. 已知 P(1,1,1)﹐Q(2,3,z)為空間中兩點﹐且|PQ

| 3 ﹐求 PQ

﹒  解答  (1,2, - 2)或(1,2,2) 解析 利用空間向量的坐標表示法﹐得PQ

(2 1,3 1,- - z- 1) (1, 2,z-1)﹒ 因為|PQ

| 3 ﹐所以 1222 -(z 1)2 3﹐ 兩邊平方後﹐整理得 z2 - 2z - 3  0﹐ 因式分解後﹐解得 z  - 1 或 z  3﹐故PQ

(1,2, - 2)或(1,2,2)﹒

(16)

24. 設 A(1, - 3,5)﹐B(5,5,1)為空間中兩點﹐P 為直線 AB 上一點﹐且AP PB: 3 1: ﹐求 P 點坐標﹒  解答  (4,3,2)或(7,9, - 1) 解析 (1)當 P 在線段AB上時﹐利用分點坐標公式﹐得 P 點坐標為  (1 1 3 5 1 ( 3) 3 5 1 5 3 1  4 ,  -  4 ,   4 ) (4,3,2) ﹒   (2)當 P 不在線段AB上時﹐因為AP PB: 3 1: ﹐  所以PB AB: 1 2: ﹒  設 P 點坐標為(x,y,z)﹒利用分點坐標公式﹐得  B(5,5,1) ( 2x31 2, y -3( 3) 2, z35)﹐即2x315﹐2y3-35﹐2z351﹒  解得 x  7﹐y  9﹐z  - 1﹐故 P 點坐標為(7,9, - 1)﹒   由(1)(2)可知﹕P 點有兩種可能﹐其坐標分別為(4,3,2)或(7,9, - 1)﹒

25. 空間坐標中﹐設 A﹐B﹐C 三點依序落在 x 軸﹐y 軸﹐z 軸的正向上﹐O 為原點﹐求 ÐAOB 之角平分線與 ÐBOC 之角平分線的夾角﹒  解答  60° 解析 在 xy 平面上取點 D(1,1,0)﹐則射線 OD 為 ÐAOB 的角平分線﹐同時﹐在 yz 平面上取點 E(0,1,1)﹐則射 線 OE 為 ÐBOC 的角平分線﹒ 因為兩向量OD

OE

的夾角q即為兩角平分線的夾角﹐ 所以計算cosq(1,1,0) (0,1,1)22 12

(17)

可得q  60°﹐因此兩角平分線的夾角為 60°﹒

Sec1-3

26. 下圖是坐標空間中的一個正立方體﹐選出正確的選項﹕ (1)E 點的坐標為(2,2,2) (2)DC

 -( 2, 2, 2)-  (3) |OE

| 2 3  (4) DG GC

 

 (5) BD

和 BG

的夾角為 45°﹒  解答  1234 解析 由 A 點的坐標可知此正立方體的邊長為 2﹒ (1)E點的坐標為(2,2,2)是正確的﹒ (2)D點的坐標為(2,0,2)﹐C 點的坐標為(0,2,0)﹐故DC

 -( 2, 2, 2)- 是正確的﹒ (3)因為 E 的點坐標為(2,2,2)﹐所以|OE

| 222222 2 3是正確的﹒ (4)因為DG

 -( 2,0,0)﹐GC

(0, 2, 2)- ﹐計算DG GC

 

 0﹐  所以DG GC

 

 是正確的﹒ (5)因為BD

(0, 2, 2)- ﹐BG

 - -( 2, 2, 2)﹐計算BD BG

 

 8﹐  得兩向量之夾角q的餘弦值為

(18)

  8 2 2 cos cos 45 2 2 2 2 3 6 | || | BD BG BD BG q       ° 

 

 

﹐  所以BD

BG

的夾角不是 45°﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(3)(4)﹒ 27. 下圖是一個正六面體﹐下列哪些向量和 AD

的內積等於 0﹖ (1) AB

 (2) AC

 (3) AD

 (4) AE

 (5) AF

﹒  解答  145 解析 只有和AD

垂直的向量﹐和AD

的內積才等於 0﹒ 由圖可知﹕AB

AE

AF

AD

垂直﹒ 因此正確的選項為(1)(4)(5)﹒

28. 下圖中﹐O - ABCD 是一個各邊長均為 2 的四角錐﹐其中 ABCD 是一個正方形﹒選出正確的選項﹕ (1) 0

OA OB OC OD

    

     (2)OA OB OC OD

    

 - -  0  (3)OA OB OC OD

    

-  -  0  (4)

OA OB OC OD

   

    (5)OA OC

 

 2

(19)

解析 設點 O 在底面 ABCD 的投影點為 G﹐點 E﹐F 分別為ABCD的中點﹒ (1)OA OB OC OD

       

   2(OE OF ) 4 OG 0 ﹒ (2)OA OB OC OD

      

 - - 2(OE OF- ) 0 ﹒ (3)OA OB OC OD OA OC

          

-  -   -(OB OD ) 2 OG-2OG 0 ﹒ (4)因為邊長均為 2﹐且 ÐAOB  ÐCOD  60°﹐  所以OA OB

 

   2 2 cos60° OC OD

 

 ﹒ (5)因為OA OC 2﹐ACAB2BC2  2222 2 2﹐即△AOC 之三邊長為 2 2﹐ ﹐2 2﹐  所以△AOC 是等腰直角三角形﹐可得OA OC ﹐故OA OC

 

 0﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(3)(4)﹒ 29. 設

a (7,0, 2)- ﹐

b (3,2, 2)﹐求使得|

 

a t b- |有最小值的實數 t﹐又最小值為何﹖  解答  t  1﹐最小值 6 解析 由下圖可知﹕當

 

a t b- 與

b 垂直時﹐|

 

a t b- |有最小值﹒ 因為

 

a t b- (7,0, 2)- -t(3, 2,2) (7 3 , 2 , 2 2 ) - t - - -t t ﹐ 且(

  

a t b- ) b (7 3 , 2 , 2 2 ) (3, 2, 2)- t - - -t t (7 - 3t)  3  ( - 2t)  2  ( - 2 - 2t)  2         17 - 17t﹐ 所以當 17 - 17t  0 時﹐即 t  1 時﹐|

 

a t b- |有最小值﹐

(20)

且當 t  1 時﹐

 

a t b- (4, 2, 4)- - ﹐ 故|

 

a t b- |的最小值為 42 -( 2)2 -( 4)2 6﹒ 30. 已知直角△ABC 的三邊長分別為 3 4 5﹐ ﹐ ﹐P 為△ABC 內部一點﹒設點 P 到三邊的最短距離分別為 x﹐y﹐z﹐如下圖所示﹒求 (1)3x  4y  5z 的值﹒ (2)x2  y2  z2的最小值﹒  解答  (1)12;(2)7225 解析 (1)連接PAPBPC﹐如下圖所示﹐得△ABC 的面積等於△ABP﹐△ACP 與△BCP 的面積和﹒  因為△ABC 的面積為3 42 6﹐△ABP﹐△ACP﹐△BCP 的面積分別為52z﹐42y ﹐32x﹐  所以32x42y 52z 6﹐即 3x  4y  5z  12﹒   (2)由柯西不等式可知(x2  y2  z2)(32  42  52) ³ (3x  4y  5z)2  將 3x  4y  5z  12 代入上式﹐得(x2  y2  z2)  50 ³ 122  即x2y2z2³7225﹐  而且當3x  4y 5z t﹐即 x  3t﹐y  4t﹐z  5t 時等號才成立﹒

(21)

 將其代入 3x  4y  5z  12﹐  解得t256 ﹐並得 x2  y2  z2的最小值為72 25﹒ 31. 已知正數 x﹐y﹐z 滿足 x  y  z  6﹐求1x  的最小值及此時 x﹐y﹐z 的值﹒4 9y z  解答  x  1﹐y  2﹐z  3 時﹐ 1 4 9 x y z 有最小值 6 解析 因為 x﹐y﹐z 均為正數﹐所以利用柯西不等式﹐得 2 2 2 1 2 2 2 3 2 1 2 3 2 (( x) ( y) ( z) )(( ) ( ) ( ) ) ( x y z ) x y z x y z     ³      即(x y z  ) (1x 4 9y z) 36³ ﹒ 將 x  y  z  6 代入﹐得6(1x 4 9y z) 36³    ³1x 4 9y z 6﹐ 而且當 1 2 3 y x z t x y z    ﹐即 x  t﹐y  2t﹐z  3t 時等號才成立﹒ 將其代入 x  y  z  6﹐得 6t  6﹐解得 t  1﹒ 故當 x  1﹐y  2﹐z  3 時﹐1x 4 9y z 有最小值 6﹒ 32. 設實數 x﹐y﹐z 滿足 x - 2y  2z  3﹐求 x2  4y2  4z2的最小值﹐並求此時 x﹐y 與 z 的值﹒  解答  最小值 3﹐x  1﹐y -12z12 解析 利用柯西不等式﹐得(x2  (2y)2  (2z)2)(12  ( - 1)2  12) ³ (x - 2y  2z)2 將 x - 2y  2z  3 代入﹐得(x2  4y2  4z2)  3 ³ 32  x2  4y2  4z2 ³ 3﹐ 而且當1x 2-1y 21zt﹐即 x  t﹐y -2tz2t 時等號才成立﹒ 將其代入 x - 2y  2z  3﹐得 3t  3﹐解得 t  1﹒ 故當 x  1﹐y -12z12時﹐x2  4y2  4z2有最小值 3﹒

(22)

33. 設 x﹐y 為實數﹐求 x2  y2  (2x - 2y - 3)2的最小值﹒  解答  1 解析 設 2x - 2y - 3  z﹐則 2x - 2y - z  3﹒ 利用柯西不等式﹐得 (x2  y2  z2)(22  ( - 2)2  ( - 1)2) ³ (2x - 2y - z)2 將 2x - 2y - z  3 代入﹐得(x2  y2  z2)  9 ³ 32 即 x2  y2  z2 ³ 1﹐ 而且當2x-y2-z1t﹐t 為實數﹐即 x  2t﹐y  - 2t﹐z  - t 時等號才成立﹒ 將其代入 2x - 2y - z  3﹐解得t13﹒ 故當x23y -23z -13時﹐ x2  y2  (2x - 2y - 3)2有最小值 1﹒ 34. 設

a (1, 2,2)﹐

b  -( 2,3, 1)- ﹐求 (

   

ab ) (2 a - b )的值﹒  解答  6 解析 計算

 

ab  -( 1,5,1)﹐2

 

a - b (4,1,5)﹐故 (

   

ab ) (2 a - b ) ( 1,5,1) (4,1,5) -   -   4 5 5 6 35. 設

a (4,3, 1)- ﹐

b (2,1, 1)- ﹐求 a

在 b

上的正射影及正射影的長﹒  解答  正射影(4,2, - 2)﹐正射影長2 6 解析 (1)設

a

b 上的正射影為

c ﹒利用正射影公式﹐得   2 12 ( ) ( ) 2 (2,1, 1) (4,2, 2) 6 | | a b c b b b  

 

   - 

-

 

﹒ (2)正射影的長為|

c | 4222 -( 2)2 2 6﹒

(23)

Sec1-4

36. 設 A(1,1,2)﹐B(2,1,1)﹐C(3,4,a)為坐標空間中三點﹒問 a 為下列哪一個選項時﹐△ABC 的面積最接近 5﹖  (1)a  1 (2)a  3 (3)a  5 (4)a  7 (5)a  9﹒

 解答  5 解析 因為AB

(1,0, 1)- ﹐AC

(2,3,a-2)﹐所以 △ABC的面積為21|

 

AB AC |12| (3,-a,3) |21 18a2 ﹒ 因為5 10 100 2 2   ﹐又將各個 a 值代入1 18 2 2 a ﹐分別得

(1)a  1﹐DABC  192 ﹐ a  3﹐DABC (2) 227 ﹐ a  5﹐DABC (3) 243 ﹐ a  7﹐DABC (4) 672 ﹐ a  (5)

9﹐DABC  992故使得△ABC 的面積最接近 5 的 a 值為 9﹐ 即正確的選項為(5)﹒ 37. 設 a

與 b

是空間中二個不平行的非零向量﹐選出正確的選項﹕ (1) (

  

ab ) a  (2) (

   

ab ) ( ab ) (3) (

   

ab ) (2 a -3 b ) (4)若 n

 

a 且 n

 

b ﹐則

  

n (ab ) ﹒  解答  123 解析 因為(

  

ab ) a ﹐且(

  

ab ) b ﹐所以

 

ab 與所有由

a

b 所張出之向量均垂直﹐因此 選項(1)(2)(3)都是正確的﹒ (4)若

 

na

 

nb ﹐則

  

n //(ab )﹒ 故正確的選項為(1)(2)(3)﹒

(24)

38. 下列哪些選項中的行列式與行列式 a bc d 相等﹖ (1) 1 0 0 x y a b c d  (2) 0 0 1 a c b d x y  (3) 1 0 0 x y a b c d  (4) 0 1 0 a x b c y d  (5)0 0 1 a b x c d y ﹒  解答  1345 解析 (1)依第一行降階﹐得 1 0 0 x y a b c d 1 a b a b c d c d    (2)依第二行降階﹐得 0 0 1 a c b d x y ( 1) ( 1) a c a b a b b d c d c d  -   -   (3)依第三行降階﹐得 1 0 0 x y a b c d 1 a b a b c d c d    (4)依第二列降階﹐得0 1 0 a x b c y d 1 a b a b c d c d    (5)依第三列降階﹐得0 0 1 a b x c d y 1 a b a b c d c d    由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(3)(4)(5)﹒

(25)

39. 下列哪些選項之行列式的值與行列式 2 2 2 a d b e c f 的值相等﹖ (1) 1 2 1 2 1 2 a d b e c f  (2) 2 2 2 a d d b e e c f f     (3) 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c d e f  (4) 2 2 2 a d b e c f  (5) 22 2 a d b e c f ﹒  解答  1235 解析 (1) 1 2 1 2 1 2 a d b e c f 1 2 2 1 2 1 2 a d a d b e b e c f c f   ﹒ (2) 2 2 2 a d d b e e c f f    2 2 2 a d b e c f  (將第三行  ( - 1)加到第二行)﹒ (3) 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c d e f 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 a d a b c a b c a b c b e d e f d e f d e f c f        (行列互換﹐其值不變)﹒ (4) 2 2 2 a d b e c f 2 2 2 a d b e c f  -(兩行互換﹐其值變號)﹒ (5) 2 2 2 a d b e c f 2 2 2 2 2 2 a d a d b e b e c f c f  -  由上面的算式可知﹕正確的選項為(1)(2)(3)(5)﹒

(26)

40. 設 a

﹐ b

是空間中二個不平行的非零向量﹐且非零向量 n

滿足 n

 

a ﹐ n

 

b ﹒選出正確的選 項﹕ (1) 3

  

a (ab ) (2)

  

b(ba ) 0  (3)

    

ab - ba  0  (4)

  

nt a(  b )﹐t 是一個實數 (5) 3

   

a 4 bs a(  b )﹐s 是一個實數﹒  解答  124 解析 (1)因為

  

a (ab )﹐所以3

  

a (ab )﹒ (2)因為

  

b (ba )﹐所以

  

b (ba ) 0 ﹒ (3)因為

   

ba  -( ab )﹐所以

      

ab - ba 2( ab ) 0 ﹒ (4)因為(

  

ab ) a ﹐(

  

ab ) b ﹐所以

  

n//(ab )﹐  即

  

nt a(  b )﹐t 是一個實數﹒ (5)因為(3

 

a 4 b )與(

 

ab )垂直﹐而非平行﹐所以3

 

a 4 b 不能表示成(

 

ab )的係數積﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(4)﹒ 41. 下列哪些向量與 a

 

b 垂直﹖ (1) a

 (2) 3 a

(3) a

 

- b  (4) 5

 

b -4 a  (5) b

 

a ﹒  解答  1234 解析 因為

 

ab

a

b 均垂直﹐所以所有由

a

b 的線性組合所表示的向量均與

 

ab 垂直﹒ 又

   

ba  -(ab )﹐和

 

ab 平行﹒ 故由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(3)(4)﹒

(27)

42. 已知向量

a (0,1,1)﹐

b (2, 1,0)- ﹐求 (1) a

 

b 與 b

 

a ﹒ (2)由 a

與 b

所張出之平行四邊形的面積﹒  解答  (1)

 

ab (1,2, - 2)﹐

 

ba ( - 1, - 2,2);(2)3 解析 (1)根據外積的定義﹐得  

 

ab 1 1 1 0 0 1 ( , , ) (1,2, 2) 1 0 0 2 2 1   -- -  

 

ba 1 0 0 2 2 1 ( , , ) ( 1, 2,2) 1 1 1 0 0 1 - -  -﹒   (2)由

a

b 所張出之平行四邊形的面積為  |

 

ab | 1222 -( 2)2 3﹒ 43. 已知由三向量 a

﹐ b

及 c

所張出之平行六面體的體積為 5﹐求由三向量

  

a 2 b - c ﹐ 4

 

b 5 cc

所張出之平行六面體的體積﹒  解答  20 解析 令 1 2 3 ( , , ) aa a a

﹐ 1 2 3 ( , , ) bb b b

﹐ 1 2 3 ( , , ) cc c c

﹐則 1 2 3 1 2 3 1 2 3 | | 5 a a a b b b c c c  ﹒ 因為

(28)

1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 | | 4 5 20 a a a b b b c c c     所以所求之平行六面體的體積為 20﹒ 44. 已知三向量

a (1, 2,2)﹐

b (2,1, )k

c ( , , )r s t 張出一個體積為 81 的長方體﹐且 t > 0﹐求 (1)k的值﹒ (2)向量 c

﹒  解答  (1) - 2;(2)(6, - 6,3) 解析 因為三向量

a

b

c 張出一個長方體﹐所以

 

ab ﹐且

  

c //(ab )﹒ 因為

 

ab ﹐所以

 

a b  0 (1, 2, 2) (2,1, ) 2 kk 4 0﹐ 解得 k  - 2﹐即

b (2,1, 2)- ﹒ 計算|

a | 3 ﹐|

b | 3 ﹐

 

ab  -( 6,6, 3) ( 3) (2, 2,1)-  -  - ﹒ 因為長方體的體積是 81﹐長為|

a | 3 ﹐寬為|

b | 3 ﹐所以高為|

c | 9 ﹒ 又

  

c //(ab)﹐可得

c (2, 2,1)- ﹐計算|

c | (2 ) 2 -( 2 ) 22 3 | | ﹐ 因此﹐|  |  3﹐解得 ± 3﹐得

c (6, 6,3)- 或( - 6,6, - 3)﹒ 因為

c ( , , )r s t 中的 t > 0﹐所以

c (6, 6,3)- ﹒

(29)

45. 已知 A( - 3,1,2)﹐B(1,0,1)﹐C(1,1,0)為空間中三點﹐求△ABC 的面積﹒  解答  3 解析 因為AB

(4, 1, 1)- - ﹐AC

(4,0, 2)- ﹐所以 1 1 1 4 4 1 ( , , ) (2,4,4) 0 2 2 4 4 0 AB AC  - - - -  -

- -

﹐ 因此由AB

AC

所張出之平行四邊形的面積為 2 2 2 |AB AC

 

 | 2 4 4 6 又因為△ABC 的面積為平行四邊形面積的一半﹐ 所以△ABC 的面積為 3﹒ 46. 已知 n

a (2, 1,0)- 與

b (4, 1, 1)- - 均垂直﹐且|

n | 6 ﹐求 n

﹒  解答  (2,4,4)或( - 2, - 4, - 4) 解析 因為

 

ab

a

b 均垂直﹐所以

n

 

ab 平行﹐ 即

  

nt a(  b )﹐t 是實數﹒ 計算 1 0 0 2 2 1 ( , , ) (1,2,2) 1 1 1 4 4 1 ab  - -  - - -

- -

(30)

可得

nt(1,2, 2) ( ,2 , 2 ) t t t ﹒ 因為|

n | t2(2 )t 2(2 )t 2 3 | |t ﹐又|

n | 6 ﹐ 所以﹐| t |  2﹐解得 t  ± 2﹒

n 為(2,4,4)或( - 2, - 4, - 4)﹒ 47. 已知向量

a (1, 2, 1)- ﹐

b (3,1,1)﹐求 (1) a

 

b 與 b

 

a ﹒ (2)由 a

與 b

所張出之平行四邊形的面積﹒  解答  (1)

 

ab (3, - 4, - 5)﹐

 

ba ( - 3,4,5);(2)5 2 解析 (1)根據外積的定義﹐得   2 1 1 1 1 2 ( , , ) (3, 4, 5) 1 1 1 3 3 1 ab  - - 

- -

﹐     1 1 1 3 3 1 ( , , ) ( 3,4,5) 2 1 1 1 1 2 ba  

- -

﹒   (2)由

a

b 所張出之平行四邊形的面積為  |

 

ab | 32 -( 4)2 -( 5)2 5 2﹒

(31)

48. 已知實數 x 滿足 2 1 1 1 5 3 0 25 9 x x -  ﹐求 x 的值﹒  解答  5 或 - 3 解析 因為       1 1 (5 )(3 ) 5 3 x x x x - -    - (提公因式) (5 - x)(3  x)  8﹐ 所以方程式可改寫為(5 - x)(3  x)  8  0﹒ 解得 x  5 或 - 3﹒

Sec2-1

49. 下列哪一個平面包含 z 軸﹖ (1)x  3 (2)z  3 (3)x  y  0 (4)x - z  4 (5)x  y  z  2﹒  解答  3 解析 因為 z 軸上的點可表示為(0 , 0 , t)﹐t 是實數﹐所以將(0 , 0 , t)代入各方程式﹐ 得(1)0  3﹐ (2)t  3﹐ (3)0  0﹐ (4) - t  4﹐ (5)t  2﹒ 僅(3)為恆等式﹐因此正確的選項為(3)﹒ 50. 關於平面 E 4﹕ x  2z  6﹐選出正確的選項﹕ (1)點(0,5,3)在 E 上 (2)向量(4,2,0)是 E 的一個法向量 (3) 向量(2,0,1)是 E 的一個法向量 (4)向量( - 6,0, - 3)是 E 的一個法向量﹒  解答  134 解析 由題意可知﹕

n (4,0,2)是平面 4x  2z  6 的一個法向量﹒ (1)因為點(0,5,3)滿足方程式 4x  2z  6﹐所以點(0,5,3)在 E 上﹒

(32)

(2)因為向量(4,2,0)和

n (4,0,2)並不平行﹐所以(4,2,0)不是 E 的一個法向量﹒ (3)因為向量(2,0,1)和

n (4,0,2)平行﹐所以(2,0,1)是 E 的一個法向量﹒ (4)因為向量( - 6,0, - 3)和

n (4,0,2)平行﹐所以( - 6,0, - 3)是 E 的一個法向量﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(3)(4)﹒ 51. 關於平面 E 3﹕ x - 2y  z  4﹐選出正確的選項﹕ (1)平面 x  y - z  3 與 E 垂直 (2)平面 3x  4y - z  5 與 E 垂直 (3)平面 x  3y  3z  8 與 E 垂直 (4)平面 - 3x  2y - z  6 與 E 平行 (5)平面 75x  50y - 25z  100 與 E 平行﹒  解答  1234 解析 (3 , - 2 , 1)是平面 E 3﹕ x - 2y  z  4 的一個法向量﹒ (1)因為 x  y - z  3 的一個法向量為(1 , 1 , - 1)﹐又(1 , 1 , - 1)  (3 , - 2 , 1)  0﹐  所以平面 x  y - z  3 與 E 垂直﹒ (2)因為 3x  4y - z  5 的一個法向量為(3 , 4 , - 1)﹐又(3 , 4 , - 1)  (3 , - 2 , 1)  0﹐  所以平面 3x  4y - z  5 與 E 垂直﹒ (3)因為(1 , 3 , 3)是 x  3y  3z  8 的一個法向量﹐又(1 , 3 , 3)  (3 , - 2 , 1)  0﹐  所以平面 x  3y  3z  8 與 E 垂直﹒ (4)將 - 3x  2y - z  6 改寫成 3x - 2y  z  - 6﹐  因為(3 , - 2 , 1)是平面 - 3x  2y - z  6 的一個法向量﹐與(3 , - 2 , 1)相同﹐且 - 6  4﹐  所以平面 - 3x  2y - z  6 與 E 平行﹒ (5)因為 75x  50y - 25z  100 的一個法向量為(75 , 50 , - 25)  25(3 , 2 , - 1)﹐  又(3 , 2 , - 1)與(3 , - 2 , 1)不平行﹐所以平面 75x  50y - 25z  100 與 E 不平行﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(3)(4)﹒

52. 下列哪些平面與平面 E﹕x - 2y  3z  2 恰相交於一直線﹖ (1)E1﹕x - 2y  3z  3 (2)E2﹕ x - 4y  6z  42

(3)E3﹕x - 2y  z  2 (4)E4﹕- 3x  6y - 9z  3 (5)E5﹕x  y  z  1﹒

 解答  35

解析 平面 E﹕x - 2y  3z  2 的法向量為

n (1, 2,3)- ﹒

(1)平面 E1﹕x - 2y  3z  3 的法向量為

n ﹐但 E1與 E 相異﹐故 E1與 E 平行﹒ (2)平面 E2的方程式可改寫成 x - 2y  3z  2﹐與 E 相同﹐故 E2與 E 重合﹒

(33)

(3)平面 E3﹕x - 2y  z  2 的法向量為(1, - 2,1)與

n 不平行﹐故 E3與 E 相交於一直線﹒ (4)平面 E4的方程式可改寫成 x - 2y  3z  - 1﹐其法向量為

n ﹐但 E4與 E 相異﹐故 E4與 E 平行﹒ (5)平面 E5﹕x  y  z  1 的法向量為(1,1,1)與

n 不平行﹐故 E5與 E 相交於一直線﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(3)(5)﹒ 53 求通過原點 O﹐且包含直線L:x2-1 y1-2 z3-3之平面 E 的方程式﹒  解答  x  y - z  0 解析 由 L 的對稱比例式可知﹕L 通過點 P(1,2,3)﹐且

v (2,1,3)是 L 的一個方向向量﹒ 因為

vOP

(1,2,3)均在E上﹐如下圖所示﹐ 所以令

  

nv OP ﹐可得

n (2,1,3)  (1,2,3)  ( - 3, - 3,3)  ( - 3)(1,1, - 1)﹐ 即(1,1, - 1)是 E 的一個法向量﹐因此可設 E 的方程式為 x  y - z  d﹐ 又因為 E 通過原點(0,0,0)﹐將其代入方程式得 d  0﹐ 故 E 的方程式為 x  y - z  0﹒

54. 下圖是空間坐標中的一個長方體﹐ABCD 與 EFGH 均為正方形﹐兩頂點坐標 A(1, - 7,5)﹐C(7,1,5)﹐點

F﹐H 在 z 軸上﹒求

(34)

 解答  (1)4x - 3y  25;(2)5 解析 (1)設

n 是平面 ABCD 的一個法向量,則

nAC

(6,8,0)垂直﹒  因為直線 BD 與 z 軸平行﹐所以

n 與 z 軸的方向向量(0,0,1)垂直﹒  計算AC

(0,0,1) (8, 6,0) 2(4, 3,0) -  - ﹐可令

n (4, 3,0)- ﹐  並設平面方程式為 4x - 3y  d﹒  因為點 A(1, - 7,5)在平面上﹐所以將其代入方程式得 d  25﹐  故平面 ABCD 的方程式為 4x - 3y  25﹒ (2)由圖可知AE的長即為兩平行平面 ABCD 與 EFGH 的距離﹒  因為原點(0,0,0)在 z 軸上﹐所以計算原點到平面 ABCD 的距離 2 2 2 | 0 25 | 5 4 ( 3) 0 -  -   可得兩平行平面的距離為 5﹐即AE5﹒

55. 已知空間中三平面 E1﹕ x  2y  z  5﹐E2 2﹕x - 2y  cz  3﹐E3﹕ax  by  4z  10﹐且 E1⊥E2﹐E2 // E3﹐求

(1)a﹐b﹐c 的值﹒ (2)求兩平行平面 E2﹐E3的距離﹒

 解答  (1)a  2﹐b  - 4﹐c  2;(2)23

解析 (1)E1﹐E2﹐E3的法向量分別為(2,2,1) (1,﹐ - 2,c) (﹐ a,b,4)﹒ 因為 E1⊥E2﹐所以(2,2,1)(1,- 2,c)  0﹐解得 c  2﹔ 又因為 E2 // E3﹐所以(a,b,4)  t(1,- 2,2)﹐解得 t  2﹐a  2﹐b  - 4﹒ 故 a  2﹐b  - 4﹐c  2﹒ (2)因為 E2的方程式為 x - 2y  2z  3﹐E3的方程式為 2x - 4y  4z  10﹐ 可改寫成 x - 2y  2z  5﹐所以兩平行平面 E2﹐E3的距離為 2 2 2 | 3 5 | 2 3 1 ( 2) 2 -  -  56. 已知平面 E 通過點(1,1, - 2)﹐且與兩平面 E1:x  2y - z  1﹐E2:x - y  z  2 均垂直﹐求 E 的方程式﹒  解答  x - 2y - 3z  5

(35)

解析 設平面 E 的法向量為

n ﹒因為 E 與 E1﹐E2均垂直﹐ 所以

n 與 E1﹐E2的法向量

n1 (1, 2, 1)- ﹐

n2 (1, 1,1)- 均垂直﹐即

  

n // n1n2 ﹒ 計算

 

n1n2 (1, 2, 3)- - ﹐因為

  

n// n1n2 ﹐ 所以可令

n (1, 2, 3)- - ﹐並設 E 的方程式為 x - 2y - 3z  d﹒ 將(1,1, - 2)代入﹐得 d  5﹐ 故 E 的方程式為 x - 2y - 3z  5﹒ 57. 為了提高接收的效率﹐太陽能板在接收太陽光時﹐板面一直保持和太陽光垂直﹒ 現在設定空間坐標﹐將地面設為 xy 平面﹐發現經過點 A( 2,5,5)的太陽光射到太陽能板 E 上的點 B(0,4,4)﹐ 求 (1)平面 E 的方程式﹒ (2)平面 E 與地面之夾角q的值﹒  解答  (1) 2x  y  z  8;(2)60°與 120° 解析 (1)因為平面 E 和太陽光垂直﹐所以BA

( 2,1,1)是 E 的一個法向量﹒  令 E 的方程式為 2x y z d   ﹐將點 B(0,4,4)代入﹐得 d  8﹐  故 E 的方程式為 2x  y  z  8﹒   (2)因為 xy 平面的方程式為 z  0﹐其法向量為(0,0,1)﹐  又( 2,1,1)是平面 2x y z  8的一個法向量﹐所以   2 2 2 2 2 2 (0,0,1) ( 2,1,1) 1 cos 2 0 0 1 ( 2) 1 1 q        ﹐

(36)

 解得q  60°﹒  因此平面 E 與地面夾角為 60°與 180° - 60°  120°﹒ 58. 已知點 A ( - 2 , 5 , 4)與點 B (1 , 4, - 5)在平面 E 2﹕ x - y  2z  4  0 的兩側﹐且AB與平面 E 交於 P 點﹐求 APBP的比值﹒  解答  38 解析 由圖可知﹕ 二線段APBP的長度比等於 A﹐B 兩點到 E 的距離比﹐所以利用點到平面的距離公式得﹕ 2 2 2 | 2 ( 2) 5 2 4 4 | 2 ( 1) 2  - -     -  2 2 2 | 2 1 4 2 ( 5) 4 | 3 2 ( 1) 2  -   -   -  :8﹒APBP的比值為38﹒ 59. 已知平面 E 的 3 個截距均相等且不等於 0﹐又 E 通過點(2,3,6)﹐求 E 的方程式﹒  解答  11 11 11xyz 1 解析 設平面 E 的 3 個截距均為 a﹒由截距式可設 E 的方程式為ax  ay az 1﹒ 將(2,3,6)代入ax  ay az 1﹐解得 a  11﹐ 因此E的方程式為11 11 11xyz 1﹒

(37)

60. 設 A(2, - 2,1)﹐B(1,2,3)是空間中兩點﹒已知直線 AB 和平面 E 垂直於 B 點﹐求平面 E 的方程式﹒  解答  x - 4y - 2z  - 13 解析 因為直線 AB 和平面 E 垂直﹐所以AB

( - 1,4,2)是平面 E 的一個法向量﹐ 又因為 E 通過點 B(1,2,3)﹐所以由點法式得( - 1)(x - 1)  4(y - 2)  2(z - 3)  0﹐ 整理得- x  4y  2z  13﹐即 x - 4y - 2z  - 13﹒

Sec2-2

61. 設 L 為兩平面 3x  2y  z  4 和 x  2y  2z  4 的交線﹒下列哪一條直線與 L 平行﹖ (1) 3 2 1x   (2)y z 1 1 1 1 2 2 x- y- z -   (3) 1 1 4 1 5 xy z -  -  (4) 2 5 4 x y z   -  (5) 1 2 3 2 2 2 xyz   - ﹒  解答  4 解析 因為 L 的方向向量

v 與兩平面的法向量均垂直﹐ 所以

v //(3, 2,1) (1,2,2) (2, 5,4)  - ﹒ 所有選項中﹐僅選項(4)2x-y54z 的方向向量與(2, - 5,4)平行﹐ 又2x-y54z 上一點(0,0,0)並不在 3x  2y  z  4 上﹐因此 L 與2x-y54z平行﹒ 故正確的選項為(4)﹒ 62. 設直線 L 的方程式為x-32 y-11z2-1﹐則下列哪一個平面與 L 平行﹖ (1)2x - y  z  1 (2)x  y - z  2 (3)3x - y  2z  1 (4)3x  2y  z  2 (5)x - 3y  z  1﹒  解答  2 解析 若平面與直線平行﹐則平面的法向量將與直線的方向向量垂直﹐ 且直線上的點均不在平面上﹒ 由直線L:x-32 y-11z2-1可知﹕L 的方向向量為(3, - 1,2)﹐L 上一定點(2, - 1,1)﹒

(38)

(1)因為 2x - y  z  1 的法向量為(2, - 1,1)﹐  又(2, - 1,1)・(3, - 1,2)  9  0﹐所以平面與直線不平行﹒ (2)因為 x  y - z  2 的法向量為(1,1, - 1)﹐又(1,1, - 1)・(3, - 1,2)  0﹐  所以平面與直線可能平行﹐將定點(2, - 1,1)代入 x  y - z  2﹐  得 2  ( - 1) - 1  0  2﹐因此定點不在平面上﹐即平面與直線平行﹒ (3)因為 3x - y  2z  1 的法向量為(3, - 1,2)﹐又(3, - 1,2)・(3, - 1,2)  14  0﹐  所以平面與直線不平行﹒ (4)因為 3x  2y  z  2 的法向量為(3,2,1)﹐又(3,2,1)・(3, - 1,2)  9  0﹐  所以平面與直線不平行﹒ (5)因為 x - 3y  z  1 的法向量為(1, - 3,1)﹐又(1, - 3,1)・(3, - 1,2)  8  0﹐  所以平面與直線不平行﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(2)﹒ 63. 下列哪一個選項是直線 L:x-12 y23 z35和平面 E:x  y  z  6 的交點﹖ (1)(2,2,2) (2)(3,2,1)  (3)(1,2,3) (4)( - 3,2,7) (5)(4,1,1)﹒  解答  5 解析 由 L:x-12 y23z35可得 L 上的點坐標為(2  t, - 3  2t, - 5  3t)﹐t 為實數﹐ 將其代入 E:x  y  z  6﹐得 6t  12﹐解得 t  2﹒ 因此交點為(4,1,1)﹒ 故正確的選項為(5)﹒

(39)

64. 設 A(1,5, - 3)與 B(2,3,0)為空間中兩點﹐下列哪些是直線 AB 的方程式﹖ (1) 1 5 2 3 3 x t y t z t      -   -   (t 為實數) (2) 2 3 2 0 3 x s y s z s  -       - (s 為實數) (3) 2 3 1 2 3 x- y- z -  (4) 1 5 3 2 4 6 x- y- z - ﹒  解答  1234 解析 由題意可知﹕直線 AB 的方向向量為

v (1, 2,3)- ﹒ (1) 1 5 2 3 3 x t y t z t      -   -   通過點 A(1,5, - 3)﹐且方向向量為

v (1, 2,3)- ﹐是直線 AB 的方程式﹒ (2) 2 3 2 0 3 x s y s z s  -       - 通過點 B(2,3,0)﹐且方向向量( - 1,2, - 3)與

v 平行﹐是直線 AB 的方程式﹒ (3)x-12 y--233z 通過點 B(2,3,0)﹐且方向向量為

v (1, 2,3)- ﹐是直線 AB 的方程式﹒ (4)x2-1 y--45 z63通過點 A(1,5, - 3)﹐且方向向量為(2, - 4,6)與

v 平行﹐是直線 AB 的方程式﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(3)(4)﹒ 65. 已知坐標空間中兩相異平面 E1﹐E2皆通過 A( - 1,2,0)與 B(3,0,2)兩點﹐試問以下哪些點也同時在此二平面 上﹖ (1)(2,2,2) (2)(1,1,1) (3)(4, - 2,2) (4)( - 3,3, - 1) (5)( - 5, - 4, - 2)﹒  解答  24 解析 由題意知﹐平面 E1與 E2相交於直線 AB﹒ 因此直線 AB 上的每一點也同時在 E1﹐E2上﹒ 依序將選項中各點代入直線 AB 的方程式x21 y--121z得知只有(1,1,1)及( - 3,3, - 1)在直線 AB 上﹒ 故正確的選項為(2)(4)﹒

(40)

66. 關於直線 L﹕ 2 1 2 0 x y z x y z  -     - ﹐選出正確的選項﹕ (1)L 的方向向量為(1 , 1 , 3) (2)點(2 , 3 , 7)在 L 上  (3)L與直線x1-1 y1-1 z3-3平行 (4)L 與平面 x  2y - z  1 平行 (5)L 落在平面 3x  3y - 2z  1上﹒  解答  1235 解析 由 L 的兩面式2xx y z - 2y z- 10得到 L 的參數式為 1 1 3 x t y t z t           (t 是實數)﹒ (1)(1 , 1 , 3)為 L 的一個方向向量﹒ (2)當 t  2 時﹐可得點(2 , 3 , 7)﹐故點(2 , 3 , 7)在 L 上﹒ (3)直線 1 1 3 1 1 3 x- y- z -和 L﹕ 1 31 x t y t z t           有相同的方向向量(1 , 1 , 3)﹐  又因為點(1 , 1 , 3)不在 L 上﹐所以兩直線互相平行﹒ (4)將 L 的參數式(t , 1  t , 1  3t)代入平面 x  2y - z  1﹐得 1  1﹒  可知 L 上的點均在平面上﹐故 L 落在平面 x  2y - z  1 上﹒  (或由 L 的二面式可知﹕L 落在平面 x  2y - z  1 上﹒) (5)將 L 的參數式(t , 1  t , 1  3t)代入平面 3x  3y - 2z  1﹐得 1  1﹒  可知 L 上的點均在平面上﹐故 L 落在平面 3x  3y - 2z  1 上﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(3)(5)﹒ 67. 已知直線 L1﹕ 1 2 2 2 1 x y- z - - 和 L2﹕ 3 1 1 1 4 1 x- y- z -- 為兩歪斜線﹐求 (1)L1與 L2之公垂線段的二端點坐標﹒ (2)L1與 L2的距離﹒  解答  (1)(1,0, - 1) (3,1,1);(2)3﹐ 解析 如下圖﹐設公垂線 L 與 L1交於 P 點﹐與 L2交於 Q 點﹒ 因為 P﹐Q 兩點分別在直線 L1與 L2上﹐所以可設 P﹐Q 兩點的坐標為

(41)

並得PQ

(4 2- s t - , 1 2s-4 ,1t  s t)﹒ 又因為PQ

和直線 L1與 L2的方向向量

v1 (2, 2, 1)- - ﹐

v2 (1, 4,1)- 均垂直﹐所以由內積等於 0﹐可得 2(4 2 ) 2( 1 2 4 ) (1 ) 0 (4 2 ) 4( 1 2 4 ) (1 ) 0 s t s t s t s t s t s t -  - -  - -      -  - -  -      ﹐ 整理得 1 2 1 s t s t -    -   ﹐解得 1 0 s t      ﹒因此﹐ (1)公垂線段的端點 P 的坐標為(1,0, - 1)﹐Q 的坐標為(3,1,1)﹒ (2)公垂線段PQ的長為PQ (3 1)- 2 -(1 0)2 - -(1 ( 1))2 3﹐  故 L1與 L2的距離為 3﹒ 68. 已知直線L:32x yx- -3y-5z7z25  的參數式為 0 3 2 2 x t y bt z z ct            (t 為實數)﹐求 b﹐c﹐z0的值﹒  解答  b  1﹐c  1﹐z0  1 解析 因為L的方向向量為

v (2, , )b c ﹐與兩平面 3x - y - 5z 2 2﹐ x  3y - 7z  5 的法向量 1 (3, 1, 5) n

-

n2 (2,3, 7)- 均垂直﹐所以

v

 

n1n2 平行﹒ 計算

 

n1n2 11(2,1,1)﹐由22 1 1 b c﹐可得 b  1﹐c  1﹒ 又因為直線 L 通過點(3,2,z0)﹐所以點(3,2,z0)在平面 3x - y - 5z  2 上﹐ 代入得 7 - 5z0  2﹐解得 z0  1﹒ 故 b  1﹐c  1﹐z01﹒ 69. 求兩直線 1 2 2 5 : 1 1 2 x y z L   -   - 與 2 2 1 2 : 2 1 1 x y z L -  -   - 的交點坐標﹒  解答  (0,0, - 1)

(42)

解析 由兩直線的對稱比例式可得它們的參數式分別為﹕ 1 2 : 2 5 2 x t L y t z t  -     -   -   (t為實數)﹐ 2 2 2 : 1 2 x s L y s z s          - (s為實數)﹒ 設 L1與 L2的交點為 P(x,y,z)﹐ 因為點 P 既在 L1上也在 L2上﹐ 所以可列得 2 2 2 2 1 5 2 2 t s t s t s -      -       - ﹐整理得 2 4 1 2 3 t s t s t s -     -     k l  ﹐ 由﹐‚解得 t  2﹐s  - 1﹐代入ƒ也滿足﹐ 可得 L1與 L2的交點為(0,0, - 1)﹒ 70. 空間中﹐一道雷射光由點 A(0,6,12)射向點 B(6,b, - 6)﹐行走的路徑中與 x 軸交於 C 點﹐求 B﹐C 二點的坐 標﹒  解答  B 點坐標為(6, - 3, - 6)﹐C 點坐標為(4,0,0) 解析 因為直線 AB 通過點 A(0,6,12)﹐且AB

(6,b- -6, 18)﹐所以直線 AB 的參數式為 0 6 6 ( 6) 12 18 x t y b t z t       -   - (t 為 實數)﹒ 因為 x 軸上任意點的 y﹐z 坐標均為 0﹐所以 z  12 - 18t  0﹐解得t 23 ﹐代入 y  6  (b - 6)t﹐得 2 6 ( 6) 0 3 b  -   ﹐解得 b  - 3﹐最後將 2 3 t代入 x  6t﹐得 x  4﹒故 B 點坐標為(6, - 3, - 6)﹐C 點坐標為 (4,0,0)﹒ 71. 設通過 A(2, - 1,1)﹐B(4,3,3)兩點的直線為 L﹒ (1)求 L 的參數式﹒ (2)已知點 C(0,h,k)在 L 上﹐求 h﹐k 的值﹒  解答  (1) 2 2 1 4 1 2 x t y t z t      -       (t 為實數);(2)h  - 5﹐k  - 1

(43)

解析 (1)因為直線通過點 A(2, - 1,1)﹐且向量AB

(2,4,2)是它的一個方向向量﹐所以直線的參數式為   2 2 1 4 1 2 x t y t z t      -       (t 為實數)﹒ (2)因為點 C(0,h,k)在 L 上﹐所以將(0,h,k)代入 2 2 1 4 1 2 x t y t z t      -       ﹐  得 0 2 2 1 4 1 2 t h t k t      -       ﹐解得 t  - 1﹐h  - 5﹐k  - 1﹒ 72. 求包含兩平行線 1 2 1 2 : 1 2 1 x y z L   -  -- 與 2 1 : 1 2 1 x y z L    - 的平面方程式﹒  解答  5x - y  3z  - 5 解析 設包含兩直線的平面法向量為

n因為平面包含直線 L1與直線 L2﹐所以

n (1,2, 1)- ﹒ 由直線 L1﹐L2的參數式得知﹐ 點 A( - 2,1,2)﹐點 B( - 1,0,0)分別在直線 L1﹐L2上﹐ 又因為點 A﹐B 均在平面上﹐所以

 

nBA -( 1,1,2)﹐ 得

n 與(1,2, - 1)  ( - 1,1,2)  (5, - 1,3)平行﹐ 因此可設平面的方程式為 5x - y  3z  k﹒ 因為平面包含點 B( - 1,0,0)﹐所以代入方程式﹐得 k  - 5﹐ 故平面方程式為 5x - y  3z  - 5﹒

(44)

73. 已知點 P(1,0,1)﹐直線 L﹕3xy1-1 z25﹐且自 P 點作直線 L 的垂線與直線 L 交於 A 點﹐求 (1)A點的坐標﹒ (2)點 P 到直線 L 的距離﹒  解答  (1)(3,2, - 3);(2)2 6 解析 從點 P(1,0,1)作 L 的垂線 PA 與 L 交於 A 點﹐如下圖所示﹒ 由 L 的對稱比例式﹐可令 A 點的坐標為(3t,1  t, - 5  2t)﹐t 為實數﹐ 並得PA

( - 1  3t,1  t, - 6  2t)﹒ 因為PA

L﹐所以PA

和 L 的方向向量(3,1,2)垂直﹐ 即( - 1  3t,1  t, - 6  2t)・(3,1,2)  0﹐整理得 14t - 14  0﹐解得 t  1﹒ 因此(1)A 點的坐標為(3,2, - 3)﹒   (2)PA

2,2, 4-

﹐故點P到直線L的距離為|PA

| 2222 -( 4)2 2 6 74. 求直線 L﹕x22 y1-1 - 與平面 E﹕x  2y - z  6 的交點坐標﹒z2  解答  (0,2, - 2) 解析 設 L 和 E 的交點為 P﹒由 L 的對稱比例式可設 P 點的坐標為( - 2  2t,1  t, - 2t)﹐所以將 P 代入 E﹕x  2y - z  6 得 6t  6﹐解得 t  1﹒ 故 L 與 E 之交點 P 的坐標為(0,2, - 2)﹒ 75. 已知直線 L1通過(2,0,0) (0,2,0)﹐ 兩點﹐直線 L2通過(0,0,2) ( ﹐ - 2, - 2,0)兩點﹐求 L1與 L2之公垂線段端點的 坐標﹒  解答  (1,1,0)與(0,0,2)

(45)

解析 由題意可得﹕直線 L1通過(2,0,0) (0,2,0)﹐ 兩點﹐方向向量 1 ( 2,2,0) v

-

﹐其參數式為 2 2 0 2 0 0 x s y s z s  -         (s 為實數)﹔直線 L2通過(0,0,2) ( ﹐ - 2, - 2,0)兩點﹐方向向量 2 ( 2, 2, 2) v

-

﹐其參數式為 0 2 0 2 2 2 x t y t z t  -   -   - (t 為實 數)﹒ 設公垂線 L 與 L1相交於 P 點﹐與 L2相交於 Q 點﹒ 因為 P 點與 Q 點分別在直線 L1與 L2上﹐所以可設 P 點坐標為(2 - 2s,2s,0)﹐Q 點坐標為( - 2t, - 2t,2 - 2t)﹐ 由此假設可得PQ

 - ( 2 2s-2 , 2t - -s 2 , 2 2 )t - t ﹒ 因為PQ

與直線 L1與 L2的方向向量

v1  -( 2,2,0)﹐

v2  - - -( 2, 2, 2)均垂直﹐所以 ( 2) ( 2 2 2 ) 2 ( 2 2 ) 0 0 ( 2) ( 2 2 2 ) ( 2) ( 2 2 ) ( 2) (2 2 ) 0 s t s t s t s t t -  -  -   - -     -  -  -  -  - -  -  -   ﹐ 整理得 8 4 0 12 0 s t -      ﹐解得 1 2 0 s t        ﹐即 P 點的坐標為(1,1,0)﹐Q 點的坐標為(0,0,2)﹒ 故公垂線段端點的坐標分別(1,1,0)與(0,0,2)﹒ 76. 已知(3,a,b)是 2 3 2 2 x y z L x y z          : 的一個方向向量﹐求(a,b)﹒  解答  (3, - 9) 解析 求兩向量(1,2,1)與(2,1,1)的外積為(1,1, - 3)﹐ 因為(3,a,b)與(1,1, - 3)平行﹐ 所以 a  3﹐b  - 9﹐即(a,b)  (3, - 9)﹒ 77. 設通過 A(2,1, - 3)﹐B(3,3,0)兩點的直線為 L﹒ (1)求 L 的參數式﹒ (2)已知點 C( - 1,h,k)在 L 上﹐求 h﹐k 的值﹒

(46)

 解答  (1) 2 1 2 3 3 x t y t z t          -   (t 為實數);(2)h -5﹐k -12 解析 (1)因為直線通過點 A(2,1, - 3)﹐且向量AB

(1, 2,3)是它的一個方向向量﹐  所以直線 L的參數式為 2 1 2 3 3 x t y t z t          -   (t 為實數)﹒ (2)因為點 C( - 1,h,k)在 L 上﹐所以將 C( - 1,h,k)代入 2 1 2 3 3 x t y t z t          -   ﹐  得 1 2 1 2 3 3 t h t k t -          -   ﹐解得t -3﹐h -5﹐k -12﹒

Sec2-3

78. 下圖(其中 E1與 E2平行)可能是下列哪一個聯立方程式的圖形﹖ (1) 1 1 1 x y z          (2) 1 1 1 x y y z z x             (3) 1 2 3 x y y z z x -    -    -    (4) 3 4 5 x y z y z x z x y  -     -    - -    (5) 3 2 4 2 3 4 4 x y z y z x x y z               ﹒  解答  4 解析 (1)三個平面均無任二平面平行﹐且交於點(1 , 1 , 1)﹒

(47)

(3)三個平面均無任二平面平行﹒ (4)將 3 4 5 x y z y z x z x y  -     -    - -   改成 3 4 5 x y z x y z x y z  -     -    -  ‚ ƒ ﹐可知與ƒ是兩個平行平面﹐  而且﹐ƒ與平面‚均交於一直線﹒ (5)三個平面中無任二平面平行﹒ 由上面的討論可知﹕可能的選項為(4)﹒ 79. 下列哪個 a 的值﹐使得平面 E1:x - 2y  z  1﹐E2:2x - 3y - z  2﹐E3:x - 3y  az  4 兩兩相交於一直

線﹐但沒有共同的交點? (1)a  1 (2)a  2 (3)a  3 (4)a  4 (5)a  5﹒  解答  4 解析 【解一】 因為三平面 E1﹐E2﹐E3的法向量

n1  -(1, 2,1)﹐

n2 (2, 3, 1)- - ﹐

n3  -(1, 3, )a 均不互相平行﹐ 所以將三平面的方程式聯立起來並編號為 2 1 2 3 2 3 4 x y z x y z x y az -     - -    -      j k l﹐ 因為三平面兩兩相交於一直線﹐但沒有共同的交點﹐所以方程組無解﹒ 利用加減消去法﹐由‚ -   2 及ƒ - 消去 x﹐得 2 1 3 0 ( 1) 3 x y z y z y a z -     -   -  -     j m n﹐ 再由…  „消去 y﹐得 2 1 3 0 ( 4) 3 x y z y z a z -     -   -    j m o﹒ 因為當 a - 4  0﹐即 a  4 時﹐†式為 0  3﹐表示聯立方程式無解﹒ 故正確的選項為(4)﹒ 【解二】 因為三平面兩兩相交於一直線﹐但沒有共同的交點﹐

數據

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參考文獻

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