电磁波的传播

第四章 电磁波的传播

Propagation of

Electromagnetic Wave

本章所要研究的问题是：讯变情

况下，电磁场的运动方式和规律。根

据Maxwell方程，我们知道变化的电场

和磁场可以互相激发，形成在空间中

传播的电磁波。所以本章着重探讨的

是电磁波的存在形式和运动方式。

2

本 章 主 要 内 容

平面电磁波 电磁波在介质介面上的反射和折射 导体存在时的电磁波传播 波导和谐振腔 光学波导 等离子体 高斯光束

§4.1平面电磁波

Plane Electromagnetic Wave

1、真空中电磁波的波动方程

介质中Maxwell方程组

0

B

E

t

D

H

j

t

D

B







  



_





  



_



  





  



在没有电荷，没有电流的自由空间，

，并利用

可以得到齐次Maxwell方程组

0,

0

j







0 0

(1)

(2)

0 (3)

0 (4)

E

B

t

B

E

t

E

B

 





 



_





  



_



  





  



0

,

0

D





E B





H

6

(1)



2 0 0 0 0 0 0 ₂ ( B) E ( E) B (5) t t t                     2 ( B) ( B) B         0 B   2 ( B) B     (6) 由(5)、(6)得 2 2 0 0 ₂

0

B

B

t

 



 





可得：

同样可得，

2 2 0 0 ₂

0

E

E

t

 



 





令： _{0 0} 2

1

c

 



我们可以得到真空中的波动方程： 2 2 2 2

1

0

B

B

c

t



 





2 2 2 2

1

0

E

E

c

t



 





由此可得，_{真空中电磁场的传播速度为c} 8

2、定态波动方程

由介质的微观结构可知，对不同频率的介电常 数是不同的，即 和 是角频率 的函数







( , )

x

( , )

x

 





  



在频率固定的情况下，介质中有关系

( )

( )

D



 

E

B



 

H

因此，对于一定频率的电磁波，即_{定态电磁波的} 波动方程设频率为



则有

( , )

( ) exp(

)

( , )

( ) exp(

)

E x t

E x

i t

B x t

B x

i t













代入麦克斯韦方程组，整理可得 0 0 E i B B i E E B          _     _     _ 2 ( E) i



B i

 

( i )E

 

E        2 2 ( E) ( E) E E           10

2 2

E

 

E





令

 

2



k

2 可得 2 2

0

0

E

k E

E







 

亥姆霍兹方程

i

B

E









可由

B

求出

2 2

0

0

E

k E

E

i

B

E



 



 





  



2 2

0

0

B

k B

B

i

E

B



 





  



 





归纳如下: 小结：电磁波在介质中的传播满足亥姆霍兹方程， 其解即显示了电磁波在介质中如何传播。 12

3、平面电磁波

平面波定义： 波阵面与波矢垂直的平面，平面上的点相位相等。 2 2

0

E

k E

 



亥姆霍兹方程： 它的一个解是

 

0 ik x

E x



E e

 其中 是常矢量 0

E

S P y x k x 场强的全表示式为 表示沿波矢 k 方向传播的 平面波 图中 所以S是等相面



,



0   i k x t

E x t



E e

 

k



x



kx



以上为了计算方便，把场强表示成复数形式，实 际存在的场强应理解为上式的实数部分。 14

2

k







方向代表波传播的方向，数值_{k称为圆波数。} k





0

( , )

cos

E x t



E

k x

 



t

由于 沿电磁波传播方向相距为 的两点有相位差 ，因此这两点的 距离即为波长 ， k  x  kx

2





2

k







2 / x



k   实部：

k x

 



t



kx







t



A

1

dx

v

dt

k













对同一相位的演化 得到相速度： 在介质中，不同频率的电磁波具有不同 的相速度，这就是介质的色散现象。

A

x

t

k

k



 



16









0 0

0

0

i k x t i k x t

E

E

e

 

E ike

 

ik E

  









  

k



E

上式表明，平面电磁波_{是横波， 可在垂直于 的任} 意方向上振荡。可以选取与 垂直的任意两个互相 正交方向作为 的两个独立偏振方向。因此，每一 个波矢量 存在两个独立的偏振波。

E

_k

k

E

k

i B E i k k ik E E E k               // E B k 1 E v B    (k ) 0 k B k E k



    

B



k

因此，磁场也垂直于波矢量 ，即磁场也是横波， 是成右手螺旋，三个互相正交矢量，且 和 相位相同， 振幅比为 k E B, 和k E B 1 E v B    18

E



k

B



k

// E B k , E B

v

（1） （2） （3） 在真空中，平面电磁波的电场和磁场比值为 0 0 1 E c B     综上述，平面电磁波_{有如下特征：} 电磁波为横波 E  B 同相，比值为 注意：_{如果不是平面电磁波就没有上述的特征。} 注意：高斯 单位制中比 值为1

4、平面电磁波的能量和能流

1

(

)

2

w



B H

  

E D

, D 



E B 



H 2 2

1

1

1

(

)

(

)

2

2

w

B H

E D



E

B





  





电磁场的能量密度为 在定态条件下 则 20

2 1 2 E B    2 1 2 w



E B



  在平面波条件下 1 E B   即平面电磁波中电场能量密度和磁场能量密度相等，因 此电磁场能量密度_为： 2 2 1 ( ) 1 k S E H E B E E k k E E nw wvn k                  能流密度 该式说明能流密度的物理 意义是带着能量沿着电磁 波传播方向以速度v运动。

2 2 2 0 0 1 cos ( ) [1 cos 2( )] 2 w   E k x t   E  k x t 2 2 0 0 1 1 2 2 w E B    * 2 0 1 1 Re( ) 2 2 S E H  E n wvn      周期为T，能量密度平均值为 1 T o w wdt T 



可得 其中利用了 0 1 cos 2( ) 0 T k x t dt T



 



 平均能流密度 22

例 t   y x E o    2   1 0 2 0 0 , z z _z i k z t x i k z t _{i k z t} y y E E e e E E e e  iE e e   _    _    两波函数：





 









0 0 cos sin z i k z t x y z x z y E E e ie e E E k z t e k z t e          _    _ 合成后： 实部： 圆偏振





  0 1 0 0 z E i k z t z y x c c

B



 

n E

 

e

 

E

e



ie e



由：



*



₀ 2 0 0

1

Re

2

z

S



E



H





_

E e

§4.2 单色平面电磁波在介

质界面上的反射和折射

Reflection and Refraction of

Monochromatic Plane Electromagnetic

Wave at Interface of Medium

本节所要研讨的问题是：

用Maxwell电磁理论来分析在

介质的分界面上，电磁波将发

生的反射和折射规律。

关于反射和折射的规律包括两个方面： （1）运动学规律: 入射角、反射角和折射角的关系； （2）动力学规律: 入射波、反射波和折射波的振幅比和相对相位。

1、反射和折射定律（即相位关系）

Law of Reflection and Refraction ( i.e.

Phase Relation)

研究电磁波反射和折射问题的基础是电磁场在

两个不同介质界面上的边值关系。

一般情况下，电磁场的边值关系为： 在介质的分界面上，通常没有自由电荷和传导电 流，即







































0

)

(

ˆ

)

(

ˆ

)

(

ˆ

0

)

(

ˆ

1 2 1 2 1 2 1 2

B

B

n

D

D

n

H

H

n

E

E

n































0

,

0











因此，介质的分界面上的_{Maxwell’s equations为：} 但是，在一定频率的情况下，这组边界方程（边 值关系）不是完全独立的。因此，在讨论定态 （一定频率）电磁波时，介质界面上的边值关系 只取下列两式：







































0

)

(

ˆ

0

)

(

ˆ

0

)

(

ˆ

0

)

(

ˆ

1 2 1 2 1 2 1 2

B

B

n

D

D

n

H

H

n

E

E

n

























28

也就是说， ，即切向连续 性。 下面来讨论反射和折射定律: 假若所考虑的交界面为一平面，即设 x-y 平 面，考虑一单色平面电磁波入射到交界面上，设 在z = 0 平面的上、下方的介质不同，如图所示





















0

)

(

ˆ

0

)

(

ˆ

1 2 1 2

H

H

n

E

E

n













t t t t

E

H

H

E

₂



₁

,

₂



₁ 29

设入射波、反射波和折射波的电场强度为 ，波矢量分别为 、 。由Fourier 频谱分析可知，反射波和折射波与入射波一样， 介质2 介质1 z x K _K_ K  2 2





1 1





   

E



E

E





和





_K



_K





_和

_K





30

也是平面波。这样就可以把入射波、反射波和折射 波写为： 同时由 可得磁场矢量为 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 t x k i t x k i t x k i e E E e E E e E E                                折射波 反射波 入射波 t B E         ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 1 1 1 t x k i t x k i t x k i t x k i t x k i t x k i e E k e B B e E k e B B e E k e B B                                                                       折射波 反射波 入射波

在 z=0 的平面上有一些边界条件，该平面上 的一切点必须永远满足这些边界条件。这个事实 意味着：在 z=0 处，所有场的空间和时间变化必 须相同。因此，_{所有的相因子在 z=0 处必须相等}， 即在边界面上 E_2t=E_1t ，所以 要使该式成立，只有





0

)

(

0

0

)

(

0

)

(

0







_





















z

t

x

k

i

t

z

t

x

k

i

t

t

x

k

i

t

e

E

e

E

e

E



















32

因为x

、

_y

、

_{t 都是独立变量，而且要求} 必然有：





0 0 0 0 0 0 0 0

    

































z z z z t z t t

t

x

k

t

x

k

t

x

k

E

E

E



















以及

t

y

k

x

k

t

y

k

x

k

t

y

k

x

k

y x y x y x



































y y y x x x

k

k

k

k

k

k































讨论： a) ，这说明反射波、折射波的 频率与入射波的频率相同。 b) 根据 ，假若 ，则必有 。这说明反射波和折射波与入射波 在同一平面内，这个面就称为入射面（入射波矢 与分界面的法线 所组成的平面）。 c) 根据 由此得到： ，即反射角=入射角。（反射 定律）















y y y

k

k

k









0









_y

_k

_y

k

k nˆ



























sin

sin

,

|

k

|

|

k

|

,

_{1 1}

k

k

k

k

_{x x}





有









0



y

k

34

d) 根据 ，有 则 这就是折射定律_{，其中n21为介质2相对于介质1的} 折射率，一般介质 （除铁磁质外），故 为两介质的相对折射率。 21 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 sin sin n n n k k         _{ }           0    1 2





x x

k

k





                      sin sin , | k | , sin k k , sin _{x 1 1 2 2} k k k k k_x  

2、菲涅耳公式（即振幅关系）

Fresnel’s Formula（i.e. Amplitude Relation) ）

所谓菲涅耳公式就是在边值关系条件下

求得的入射波、反射波和折射波的振幅关系。

由于对每一个波矢 有两个独立的偏振波，

所以我们只需要分别讨论电场 ⊥入射面和

电场 ∥入射面两种情况就可以了。

k



E



E



36

a)

E





入射面 θ _   z x 2 2





1 1





k E H _H _ E k k  E  H 

这时电场只有y分量，并⊥入射面（纸面）指向 外面，以⊙表示。因为介质1中有入射波和反射 波，介质2中只有折射波，因此根据边界条件 （边值关系）： ① 即 考虑到 X X X t t t t

H

H

H

H

E

E

E

E

E

0 0 0 1 2 0 0 0 1 2

H

,

,





















有

由

有

由







_



_cos



_



_cos



cos

_{0 0} 0

H

H

H





















          | | | | | | , 1 2 2 1 1 k k k E k B H        38

故有 ② 联立①、②两式得       _{    } cos cos ) ( ₀ 2 2 0 0 1 1 _{E E E}                                                cos cos cos 2 cos cos cos cos 2 1 1 1 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 E E E E

对于光波， 即有



₁





₂





₀

)

sin(

sin

cos

2

cos

cos

cos

2

)

sin(

)

sin(

cos

sin

sin

cos

cos

sin

sin

cos

cos

cos

cos

cos

1 2 0 0 1 2 1 2 0 0

















































































































   

E

E

E

E

40

b)

_E



∥入射面 θ _   z x 2 2  1 1  k E H _H  E

k





k  E  H 

这时磁场只有y分量，并⊥入射面（纸面）指向 外面，以⊙表示。由边界条件，即在 z=0 的界面 上有： 即 同理由 的关系, 把上式中的磁场换为























0 0 0 0 0 0

H

H

H

E

E

E

_{X X X}



























0 0 0 0 0

0

cos

cos

cos

H

H

H

E

E

E







E k H    



1 42

电场。 从而得到： 联合上述两式即得：





























0 2 2 0 0 1 1 0 0 0

)

(

cos

cos

)

(

E

E

E

E

E

E















































2 1 1 2 2 1 || 0 || 0 2 1 1 2 2 1 1 2 || 0 || 0

cos

cos

cos

2

cos

cos

cos

cos











































E

E

E

E

对于光波， 则有



₁





₂





₀

)

(

tan

)

(

tan

)

cos(

)

sin(

)

cos(

)

sin(

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

sin

cos

cos

sin

sin

cos

cos

cos

cos

cos

1 2 1 2 || 0 || 0













































































































































E

E

44

综上所述，我们得到的振幅关系就是光学中的菲 涅耳公式。因此，这也有力地证示了光是电磁波 的理论学说，即光实际上是在一个特殊频段（波 长由4000 到8000 ）的电磁波。                              cos sin cos sin sin cos 2 cos sin sin cos cos cos cos cos 2 1 2 || 0 || 0 E E A A

菲涅耳公式讨论：

▲

对于垂直偏振：即

当 ，即反射

波中没有电场平行入射面的部分，这时的反

射波是完全的线偏振波，此时的

   



90



0

,

0

,

90



₀



_||



₀













时

_E

_E

_



?    根据 ，令此时的 则有 故 这个角称为Brewster’s angle。 21

)

90

sin(

sin

sin

sin

n











_







b





 b b b b b











tan

cos

sin

)

90

sin(

sin









21 1

tan n

b 





46

由此可见，一个任意偏振的波，总可以分为平行和 垂直入射面的两个入射波。平面波以布儒斯特角入 射时，反射波只有垂直入射面偏振的波，反射波和 折射波传播方向互相垂直。 ▲ 当 平 面 波 从 光 疏 介 质 入 射 到 光 密 介 质 时 （ 即 n₂₁>1）。根据折射定律，有 ，可知 ，光线向法线方向偏折。这时从菲涅 耳公式可看出：







sin



sin

n

₂₁









0

)

sin(

)

sin(

_





















   0 0 E E

:

入射面时



E



当 时： 而当 时： 从实际光反射效果看，也是E反向。 由此看出，即反射波与入射波位相相差 ，好象 差个半波长，这种现象称为半波损失_。 当平面波从光密介质入射到光疏介质时，反射波 与入射波同位相，即没有半波损失。



:

|| 入射面时

E



2







  

)

(

tan

)

(

tan

|| 0 || 0





















E

E

0 || 0 || 0  E E 0 



如垂直入射 反向 时， 所以 _E 2







2













0

|| 0 || 0





E

E

0 , 2 ; 0 , || 0 || 0 0 0           E E E E

_

_







反之亦然 48

0 30 60 90 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 r an d t incident angle rv rp tv tp |rv| |rp| 1 1.5 光疏 光密 0 30 60 90 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 r an d t incident angle 1.5 1 rv rp 光密 光疏 问题： 为何看不到场透射率

5）由菲涅耳公式可以计算电磁波的反射系数和 透射系数。 反射波平均能流与入射波平均能流在法线方 向的分量之比称为反射系数_{，即以 R 表示之。} 折射波平均能流与入射波平均能流在法线方 向的分量之比称为透射系数_{，即以 T 表示之。} 50

入射面：入射波的能流平均值： 反射波的能流平均值：  E | | 2 1 ) ( 2 1 2 0 1 1 * k k E H E R S _e          





入 | | 2 1 | | 2 1 ) ( 2 1 2 0 1 1 2 0 1 1 * k k E k k E H E R S _e                     









反

折射波的能流平均值： 从而得到：

|

|

2

1

)

(

2

1

2 0 2 2 *

k

k

E

H

E

R

S

_e

















 















折                                       ) ( sin 2 sin 2 sin | | cos | | cos ˆ ˆ ) ( sin ) ( sin | | | | ˆ ˆ 2 2 0 1 2 0 2 2 2 2 0 2 0





















E n E n n S n S T E E n S n S R         入 折 入 反 _ =0时? 52

同理可得： 根据能量守恒定律，容易证明： : || 入射面 E                       ) ( cos ) ( sin 2 sin 2 sin ) ( ) ( tg | | | | 2 2 || 2 2 2 0 2 0 ||





















T tg E E R















_ 

1

1

|| ||

T

R

T

R

3、全反射

_{（Total Reflection)}

若 ， 即电磁波从

介质1入射时，折射角θ〃_>入射角θ

_。

当 ，这时折射

波沿界面掠过，此时的入射角为 。即

此称为全反射临界角_{(Total Reflection Critical Angle)，}

即入射波以 入射时的反射为全反射，没有折射波 出现。 如果再增大入射角，使得 1 sin sin , 1 , ₂₁ 2 1         _则n 说明 1 2 21 sin , 2        时 则  n 

)

(

sin

1 ₂₁ 0

n







21 0 , sin  n 







即 0



0



54

假设在 情形下两介质中的电场形 式仍然为 则根据边值关系确定的表示式 形式上仍然成立，即仍有 21

sin





n

) ( 0

)

(

x

t

E

e

i k x t

E





   









y y y x x x

k

k

k

k

k

k









,









21 2 1 1

sin

kn

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

_{x x x x}























































即由此可见，在 情形下有 因而 这表明 是一虚数，令 21 sin



 n

k

_x





k



z

k



2 21 2

sin

,

k

n

i

k

_z















2 21 2 2 2 2 21 2 2 2 2 2 2

sin

sin

n

ik

k

n

k

k

k

k

k

k

k

x y x z



































0 56

故折射波的传播因子为： 这里 即 从而可得折射波的电场能量为： ) ( ) (k x i k x k z i _{x z}

e

e





    

sin ,

x x z

k





k



k



k





i



z ikx z k i ikx x k i

e

e

e

e

z       





sin sin ) (  

该式表明折射波将沿 z 方向衰减，沿 x 方向传播。 因此，_{在全反射时，介质2中的电磁波并不为零}， 如果介质2的电磁波完全为零的话，那么就不满 足边值关系。可见电场不仅沿着界面方向传播， 而且被限制在表面附近的一个区域内，所以称全 反射时的折射波为表面波_。 ( ) 0 ( ) 0 ( sin ) 0 x z i k x t i k x k z t z i kx t

E

E e

E e

E e

e

             



_











58

通过对分界面内侧（即折射波）的坡印亭矢 量的法向分量对时间平均值的计算，我们得到即 使在介质2中有电场存在，显然也没有能量流过 分界面。即： x z k

其中 但是， 为一纯虚数， 故 。







2



0 2 *

|

|

)

ˆ

(

2

1

)

(

ˆ

2

1

ˆ

E

k

n

R

H

E

n

R

n

S

S

e e z











































E

k

H





















₂

1

z

k

k

k

n

ˆ









cos













0

ˆ

_









S

n

S

_z





60

在全反射情况下：（套用菲涅耳公式）

1

sin

cos

sin

sin

2 21 2 21























n

i

k

k

n

k

k

z x









▲ 当 入射面时： 根据指数表达式



E

























2 2 21 2 21 2 2 21 2 2 2 21 2 2 21 2 0 0 1 sin cos 2 ) (sin cos sin cos sin cos i e n n i n n i n i E E                















cos

sin

2

)

sin

(cos

2

sin

2

cos

2 2 2

i

i

e

i











 62

比较上式，可得 故有 该式表示在全反射时，入射波和反射波振幅相同， 两者存在_{相位差 。} 2 21 2 2 21 2 21

cos

cos

1

sin

sin

1

n

n

n











_



_





_



_



_













cos

sin

cos

sin

tan

2 21 2

n







2



































2 2 21 2 2 4 21 2 21 2 2 21 2 21 2 2 4 21 2 21 2 21 2 21 2 21 2 21 2 21 2 21 2 21 || 0 || 0 sin cos sin cos 2 ) (sin cos sin cos sin cos 1 sin cos 1 sin cos i e n n n n i n n n i n n i n n i n n i n E E                     ▲ 当 入射面时：

_E



_||

64

比较指数表达式： 可见 故有： 2 21 4 2 2 2 21 21 2 2 21 4 2 2 2 21 21 cos cos cos sin sin sin cos sin n n n n n n          _  _{ }     _  _{ } 















sin

cos

2

)

sin

(cos

2

sin

2

cos

2 2 2

i

i

e

i























cos

sin

cos

sin

tg

2 2 21 2

n

n







▲

_{比较 ，可见 ，并与入}

射角有关，如果 入射波是线编振波，但其

振动方向与入射面成一定夹角，则反射波的

两个分量将有一个位相差，因而是一个椭园

偏振波，

即一个线偏振波入射在介质界面上

经过反射成了一个椭园偏振波。





和













0

66

§4.3 有导体存在时电磁

波的传播

Electromagnetic Wave Propagation

in Conduction Medium

本节所要研讨的问题是：导电介质中

的电磁波的传播。由于导体内有自由电荷

存在，在电磁波的电场作用下，自由电荷

运动形成传导电流，而传导电流要产生焦

耳热，使电磁波能量有损耗。由此可见，

在导体内部的电磁场（波）是一种衰减波，

在传播过程中，电磁能量转化为热量。

68

1、导体内的自由电荷的分布

根据焦耳定律的微分形式

和电荷守恒定律

以及电场的 Gauss 定理

E

j









0       t j









   E

可得

解此微分方程，得

式中

_ρ

₀

_{是t=0时的电荷密度。}

由此可见，电荷密度ρ随时间指数衰减，

衰减的特征时间为

0     _    t t

e

t

 





(

)



₀ 









_通常10-17s 70

因此，只要电磁波的频率满足 或者 （这就是良导体条件_）

2、导体内的单色平面电磁波

导电介质与非导电介质的根本区别在于导电 介质中有自由电荷存在。因而，只要有电磁波存 在，总要引起传导电流 。导体中的自由电荷一 般都分布在导体表面。因此，导体内部：











1



1







j 

E

j











0

,



则_{Maxwell equ’s为：} 对一定频率_{ω的电磁波，可令} 则有                             0 0 B D t D j H t B E        H B E D 



 ,  



 72

从形式上看，与均匀介质中的情况完全相同，且 得

0

0

E

i

H

H

i

E

E

i

E

E

H









 



_

_{ }

_

_{ }

_



 



  



( E) i



H           i

0

2 2









E









E



i



E



E





位移电流 与电场相差π/2相位 _{与电场同相} 传导电流 1 Re( * ) 1 ₀2 2 J  E  2 E

由 这里也令 故有 同理可得：

0

2 2









E









E













2 2

k

0

2 2







E



k

E



0

2 2







H



k

H



如果令 称之为复波数_。 可得











i

k





          



























2 1 2 2 2 z z y y x x   运动方程 74

当电磁波从真空中入射到导体表面时，以 矢量表示真空中的波矢， 表示导体内的波矢,即： ) 0 (

k



k  θ _   z x 0 , ,    0 , , ₀ 0     ) 0 (

k



 ) 0 ( k  k

根据边值关系： (a) : 真空中 为实数，其值为 而 因此 x x x

k

k

k

(0)



(0)





) 0 (

k



0 0 ) 0 ( ) 0 (













k

k







i

,

k

(0)

k

(0)

sin

k

_x



_x



_{x x}









_x



i

_x



k

_x(0)



k

(0)

sin

76

由此可得

(b):

所以

即得















0

sin

0 0 ) 0 ( x x x

k













0

) 0 ( ) 0 (









y y y

k

k

k

0







_{y y} y

i

k

















0

0

y y





(c)： 又因为良导体条件下，可知 ，而























2

1













z z z z y y x x





1



























2 2

2

2

i

k



























i

i

i

k















)

1

(

)

(

2 2 2 2 78

总上可得： 而 可得

0

2 2









2 2 2 z x z











2 2 ) 0 ( 2 0 0 2 0 0 0 2 ) ( 2 1 ) ( 2 1 sin 2 1 2 1 2 1 x x z z k





























             x z z z      2 1

3、趋肤效应和穿透深度

对于良导体有 根据 可求得











z z



































2

1

2 2 2 80

.

1

1

2

1

2













































.

1

1

2

1

2













































则此时的电磁场形式为：

.

) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ 0 t x n i x n t x n i x n

e

e

H

H

e

e

E

E

             













       









讨论： a) 从电磁场 形式中可看到，复数波矢 量 ，实质上包含了两个部分：实部 就是通常意义上的波矢量，而虚部 反映着电磁 波在进入导体以后的衰减程度。 b) 波振幅沿传播方向按指数衰减， 为衰减 常数。把波振幅降至原值的 时传播的距离称为 穿透深度，以δ表示，即 H E和      i k     2_





e 1









1



2

82

c) 相速度 ，由此可见，在导体 中传播速度由_{β决定， β称为相位常数(波数)，波} 长 ，与导电率有关，所以在导体中 波长变短了。 e) 在良导体中， ，且电磁场 的关系为：









  k

2

2

k













2     

.

ˆ

ˆ

1

1

1

ˆ

)

(

1

1

4

n

E

e

E

n

i

E

n

i

E

k

H

i











































































4、电磁波在导体表面上的反射

若电磁波从真空斜射到金属表面，并设金属 中的 ，则







₀ θ _   z x      ₀ , , 0 , , ₀ 0    

k



k  k  84

其中 由菲涅耳公式得到：





















_



_





_{0 0}

.

k

₀

k



















2 0 2 0 2 sin 1 sin 1 sin 1 cos            0 sin





sin





  

































































   































































2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0

sin

cos

cos

2

cos

cos

cos

2

sin

cos

sin

cos

cos

cos

cos

cos

E

E

E

E

86

若电磁波从真空垂直入射_{到金属表面，即} 故反射波和入射波的振幅之比为：                                                                         2 0 0 0 0 0 || 0 || 0 2 0 0 2 0 0 0 0 || 0 || 0 sin 1 cos cos 2 cos cos cos 2 sin 1 cos sin 1 cos cos cos cos cos E E E E

0

















那么有 对于良导体， ，从而由

k

k

k

k

E

E























 









0 0 0 0

k

k

k

k

E

E

























0 0 || 0 || 0









1













i

i

k









1



88

其中 ，则有





 2













































0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2

1

2

1

1

1

1

1



































 

i

i

i

i

i

i

E

E